20/20HYPERLINK"/"論文題目：金屬罐鑄造廠生產(chǎn)打算的優(yōu)化分析模型摘要本文使用線性規(guī)劃的方法建立了生產(chǎn)打算的優(yōu)化模型，合理規(guī)劃了該工廠的日生產(chǎn)打算，使其日盈利最大，最大利潤為4450元。問題一通過建立線性規(guī)劃模型，并利用治理運籌學軟件求得結(jié)果，對工廠每天的生產(chǎn)打算進行了合理的安排，使日盈利達到最大。問題二依照靈敏度分析原理通過改變資源數(shù)量分析了資源投入變化對生產(chǎn)打算的阻礙；并通過對產(chǎn)品的資源效益和影子價格的討論，分析了當前資源的利用情況。問題三依照靈敏度分析原理，通過改變價值系數(shù)來分析各種產(chǎn)品單位利潤的變化對生產(chǎn)的阻礙。問題四利用靈敏度分析的方法和對偶問題的方法提出了兩種B型產(chǎn)品（問題一中求得的不同意生產(chǎn)的產(chǎn)品）的投產(chǎn)條件：一是提高B型產(chǎn)品的價格，二是降低B型產(chǎn)品生產(chǎn)的成本。問題五依照靈敏度分析原理，并通過計算知新產(chǎn)品E的生產(chǎn)無利可圖，現(xiàn)時期最好不要開發(fā)新產(chǎn)品E。最后，通過分析上述問題的結(jié)果，結(jié)合實際意義，對該工廠的生產(chǎn)方案提出了一些相應(yīng)的意見和建議。關(guān)鍵字：線性規(guī)劃靈敏度分析對偶理論改進方案一、問題的提出與分析㈠問題重述北方某金屬罐鑄造廠的要緊產(chǎn)品有4種，分不由代號A,B,C,D表示。近年來，產(chǎn)品銷售情況良好，預(yù)測結(jié)果表明，需求還有進一步擴大的趨勢，客戶希望能有更多的不同功能的新產(chǎn)品問世。工廠面臨著進一步擴大再生產(chǎn)，努力開發(fā)適銷對路新產(chǎn)品的問題。生產(chǎn)A,B,C,D4種金屬罐要緊通過4個時期:第1時期是沖壓：金屬板經(jīng)沖壓機沖壓，制造成金屬罐所需要的零件；第2時期是成型：在該車間里把零件制成符合規(guī)格的形狀；第3時期是裝配：在裝配車間，各種成型的零件按技術(shù)要求焊接在一起成為完整的金屬罐；最后時期為噴漆：裝配好的金屬罐送到噴漆車間被噴上防火的瓷漆裝飾外表。依照工藝要求及成本核算單位產(chǎn)品所需的加工時刻、利潤以及可供使用的總工時如表1所示。表1單位產(chǎn)品所需加工時刻、利潤及可利用工時表產(chǎn)品產(chǎn)品工時/件工序ABCD可利用總工時（min/天）沖壓成形裝配噴漆1446182412581554480240020003000單產(chǎn)利潤（元）96118該廠僅有一臺沖壓機，每天工作8h，共計480min可供加工用。另有若干個成型中心，裝配中心、噴漆中心分屬各車間，除承擔本廠生產(chǎn)任務(wù)外，還承擔著科研試驗，新產(chǎn)品開發(fā)試制等項工作，因此這些生產(chǎn)中心每天可利用的總計時刻分不不超過2400min、2000min和3000min?？紤]以下問題：1、依照當前的生產(chǎn)條件，工廠每天的生產(chǎn)打算如何安排；2、對當前資源的利用情況進行分析，并講明資源投入變化時產(chǎn)生的阻礙；3、分析各種產(chǎn)品單位利潤的變化對生產(chǎn)的阻礙；4、假如按最優(yōu)生產(chǎn)方案某種產(chǎn)品不同意生產(chǎn)，給出該產(chǎn)品投產(chǎn)的條件；5、為滿足市場需求，開發(fā)新產(chǎn)品，該廠打算引進1種新型金屬罐技術(shù)，生產(chǎn)E型金屬罐。依照統(tǒng)計，得知生產(chǎn)1個E型金屬罐需要1min沖壓時刻、1min成形時刻、6min裝配時刻、12min噴漆時刻，單位產(chǎn)品利潤為13元。在試制及制定生產(chǎn)打算之前，研究其投產(chǎn)效果，以便給出是否投產(chǎn)的決策。㈡問題分析分析題目可知：問題1可建立線性規(guī)劃模型，利用軟件或單純形法求解即可得到結(jié)果。問題2可依照靈敏度分析原理，通過改變資源數(shù)量分析資源投入變化對生產(chǎn)打算的阻礙；通過資源效益分析和影子價格來分析當前資源的利用情況。問題3可通過改變價值系數(shù)分析各種產(chǎn)品單位利潤的變化對生產(chǎn)的阻礙。問題4可利用靈敏度分析的方法和對偶問題的方法找出不同意生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的投產(chǎn)條件。問題5可依照靈敏度分析原理得到是否投產(chǎn)的決策。二、差不多假設(shè)不同種類的產(chǎn)品加工不考慮先后順序。所有機器均能正常使用。在生產(chǎn)期間無次品出現(xiàn)。三、符號講明：每天的產(chǎn)品總利潤（元）：產(chǎn)品的日產(chǎn)量（件）：產(chǎn)品生產(chǎn)過程中所需要的各工序加工工時向量（其中=1，2，3，4分不對應(yīng)產(chǎn)品A，產(chǎn)品B，產(chǎn)品C，產(chǎn)品D）四、模型的建立與求解1．分析題目知，這是一個線性規(guī)劃問題，可用線性規(guī)劃模型求解。此模型可用治理運籌學軟件和單純形法求解，用治理運籌學軟件求解結(jié)果見附錄1。若用單純形表求解，加入松弛變量，初始表如下：表2初始表961180000048011111000024004825010002000425500100300064840001961180000表3最終表（最優(yōu)表）9611800009400130050-100610000-18100-01-0-11700-10-044500-00-0--由表3可知，計算所得的最優(yōu)解為：=（400，0，70，10，0，610，0，0）目標函數(shù)最大值為：4450這確實是講，為了使日產(chǎn)利潤最大，每天的生產(chǎn)打算應(yīng)安排如下：生產(chǎn)A型產(chǎn)品400個，C型產(chǎn)品70個，D型產(chǎn)品10個，而不生產(chǎn)B型產(chǎn)品，如此日生產(chǎn)的總利潤可達4450元。2．對當前資源的利用情況的分析：可利用軟件直接求出當前資源的利用情況和資源投入的范圍（見附錄1的常數(shù)項數(shù)范圍），或通過靈敏度分析的方法求解（如下）。假設(shè)沖壓工序可利用的工時為，若該工廠不想改變生產(chǎn)打算，則計算令解得即在其他條件不變的情況下，當沖壓工序可利用的工時在[400，500]分鐘內(nèi)變動時，不改變生產(chǎn)打算；否則該工廠將改變生產(chǎn)打算。同理，在其他條件不變的情況下：假設(shè)成型工序可利用的工時為，則當，即當成型工序可利用的工時至少為1790分鐘時，不改變生產(chǎn)打算；否則該工廠將改變生產(chǎn)打算。假設(shè)裝配工序可利用的工時為，則當，即當裝配工序可利用的工時在[1980，2400]分鐘內(nèi)變動時，不改變生產(chǎn)打算；否則該工廠將改變生產(chǎn)打算。假設(shè)噴漆工序可利用的工時為，則當，即當噴漆工序可利用的工時在[2720，3040]分鐘內(nèi)變動時，不改變生產(chǎn)打算；否則該工廠將改變生產(chǎn)打算。而由表3（最終表）可看出，其中，而，這講明沖壓，裝配和噴漆三個工序可利用的工時都差不多全部用完，而成形工序剩余610分鐘時刻未被利用。依照附錄1的結(jié)果分析相應(yīng)的影子價格（機會成本）知：沖壓時刻的影子價格是2.5元，裝配時刻的影子價格是0.5元，噴漆時刻的影子價格是0.75元，其經(jīng)濟意義是上述三種工序的工時每增加（或減少）1分鐘，分不會使總利潤上升（或下降）2.5元、0.5元、0.75元。而成形時刻的影子價格為0，即不管時刻增減對總利潤均不產(chǎn)生阻礙。沖壓時刻的影子價格為2.5元，在所有工序中最高，這講明沖壓工序是生產(chǎn)的關(guān)鍵，因此該工廠應(yīng)設(shè)法增加沖壓工時，從而能較大程度的提高產(chǎn)品總利潤。3．分析各種產(chǎn)品單位利潤的變化對生產(chǎn)的阻礙可利用軟件直接求出各種產(chǎn)品單位利潤的變化對生產(chǎn)的阻礙（見附錄1的目標函數(shù)系數(shù)范圍），或通過靈敏度分析的方法求解（如下）。假設(shè)A產(chǎn)品的單產(chǎn)利潤由9元變?yōu)樵?，則對應(yīng)的最終單純型表變?yōu)椋罕?修改表61180000400130050-100610000-18100-01-0-11700-10-00000-則當，即當時，生產(chǎn)方案不變（在其他條件保持不變的情況下）。若超出此范圍，則會阻礙生產(chǎn)方案。同理，在其他條件保持不變的情況下：假設(shè)B產(chǎn)品的利潤由6元變?yōu)樵?，當時，生產(chǎn)方案不變。假設(shè)C產(chǎn)品的利潤由11元變?yōu)樵?，則當時，生產(chǎn)方案不變。假設(shè)D產(chǎn)品的利潤由8元變?yōu)樵?，當時，生產(chǎn)方案不變。4．B型產(chǎn)品投產(chǎn)的條件由上述最優(yōu)生產(chǎn)打算可知，B型產(chǎn)品的日生產(chǎn)量為0（），但若市場上對B型產(chǎn)品是有需求的，則需要生產(chǎn)B產(chǎn)品。下從靈敏度分析角度討論B型產(chǎn)品投產(chǎn)的條件，要緊考慮兩種途徑：一是提高B產(chǎn)品的單位利潤（增大），二是減少B型產(chǎn)品生產(chǎn)加工的工時資源（降低成本）。（1）提高B產(chǎn)品的單位利潤假設(shè)是B產(chǎn)品新的單位利潤，由，可得因此令，即，講明只要B型產(chǎn)品的利潤由原來的6元提高到6.5元以上，那么，生產(chǎn)B型產(chǎn)品就有經(jīng)濟效益。另外，從用治理運籌學軟件求解的輸出結(jié)果中（見附錄1），最優(yōu)解，對應(yīng)的相差值等于0.5，講明當利潤為6元時產(chǎn)品B不利于生產(chǎn)，只有當其單位利潤增加0.5元時，生產(chǎn)該產(chǎn)品才有利可圖。（2）減少B型產(chǎn)品生產(chǎn)加工的工時可從原問題的對偶問題考慮。假設(shè)該工廠打算把沖壓、裝配、成型、噴漆四道工序的設(shè)備出租（或用于其它用途），設(shè)（）分不為決策變量（）的對偶變量，即設(shè)（）分不表示產(chǎn)品A、B、C、D出租的底價，則可把原線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為對偶問題：min由治理運籌學軟件可求得對偶問題的最優(yōu)解為：（附錄2）假設(shè)分不為B型產(chǎn)品在沖壓、成形、裝配、噴漆四道工序所用的工時的減少量，則把它們代入對偶問題的第2個約束條件中，且令再將代入，可求出因此，只要B型產(chǎn)品沖壓時刻由1分鐘降低到（1-0.2）=0.8分鐘以下，或裝配時刻由2分鐘降低到（2-1）=1分鐘以下，或噴漆時刻由4分鐘降低到（4-）=分鐘以下，則生產(chǎn)B型產(chǎn)品可帶來經(jīng)濟效益。且由上述結(jié)果知，B型產(chǎn)品對成型時刻沒有要求。5．開發(fā)新產(chǎn)品E的條件設(shè)為E型產(chǎn)品生產(chǎn)過程中所需要的各工序加工時刻向量，則，因此有這講明，假如安排E型產(chǎn)品生產(chǎn)，則每生產(chǎn)一件就會使總利潤降低1.5元，即產(chǎn)品E的生產(chǎn)不具有價值，無利可圖。因此，在現(xiàn)時期最好不要投產(chǎn)產(chǎn)品E。五、結(jié)論分析及現(xiàn)實意義1.假如不考慮產(chǎn)品品種是否齊全的問題及B型產(chǎn)品的市場需求，則原始最優(yōu)生產(chǎn)打算是可行的，即只需要安排生產(chǎn)A型產(chǎn)品400個，C型產(chǎn)品70個，D型產(chǎn)品10個，即可使該工廠的日總利潤達最大，為4450元。2.當沖壓、成型、裝配、噴漆工序可利用的總工時在一定的范圍內(nèi)變動時，即當，，，（單位：分鐘）時，將可不能阻礙生產(chǎn)打算。而由表3（最終單純形表）或附錄1的求解結(jié)果可知，成形工序有610分鐘工時未被利用，造成資源的白費。因此建議該工廠對資源的分配進行合理的調(diào)整，例如能夠?qū)⒍嘤嗟某尚卧O(shè)備用于開發(fā)新產(chǎn)品或出租出去。3.當產(chǎn)品A，產(chǎn)品B，產(chǎn)品C，產(chǎn)品D的利潤值在一定的范圍內(nèi)變動時，即當或或或（單位：元）時，將可不能阻礙生產(chǎn)打算。若想改變生產(chǎn)方案，可改變產(chǎn)品的價格。4.假設(shè)市場上對B型產(chǎn)品有需求，則需要生產(chǎn)B型產(chǎn)品，這時應(yīng)該設(shè)法改進B型產(chǎn)品的生產(chǎn)條件：第一可考慮提高單位產(chǎn)品的利潤，使其達到6.5元以上，這點能夠通過開發(fā)產(chǎn)品的新功能實現(xiàn)；第二考慮減少單位產(chǎn)品的加工工時，即減少資源的消耗，從而能夠降低成本，由上面的計算過程知，當沖壓時刻減少0.2分鐘，或裝配時刻減少1分鐘，或噴漆時刻減少分鐘時，生產(chǎn)B型產(chǎn)品是有利可圖的。5.現(xiàn)時期，新開發(fā)的E型產(chǎn)品投產(chǎn)的條件還不成熟，由于生產(chǎn)E型產(chǎn)品會使總利潤下降，因此目前情況下不應(yīng)該盲目投產(chǎn)E型產(chǎn)品。建議該工廠先對產(chǎn)品進行深入的研究與實驗，并做市場調(diào)查，然后再考慮投產(chǎn)的問題。六、模型分析本文用的是線性規(guī)劃模型，同時運用靈敏度分析和對偶理論的方法。線性規(guī)劃模型的優(yōu)點是模型簡單，易于理解，容易同意，運算也較為簡單；不足之處在于它不適用于非線性和較為復(fù)雜的情況。靈敏度分析可方便、準確地討論數(shù)據(jù)的變化對線性規(guī)劃問題最優(yōu)解的阻礙。對偶理論則應(yīng)用于產(chǎn)品資源效益和影子價格的分析。參考文獻：[1]《運籌學》教材編寫組，《運籌學》，北京：清華大學出版社，2009。[2]鄧成梁，《運籌學的原理和方法》，武漢：華中科技大學出版社，2002。[3]韓中庚，《有用運籌學模型、方法與計算》，北京：清華大學出版社，2007。附錄1：利用軟件求得的結(jié)果為：**********************最優(yōu)解如下*************************目標函數(shù)最優(yōu)值為:4450變量最優(yōu)解相差值x14000x20.5x3700x4100約束松弛/剩余變量對偶價格102.52610030.540.75目標函數(shù)系數(shù)范圍:變量下限當前值上限x18.83399.5x2無下限66.5x3101111.333x4789常數(shù)項數(shù)范圍:約束下限當前值上限1400480500217902400無上限31980200024004272030003040附錄2：對偶問題的解：**********************最優(yōu)解如下*************************目標函數(shù)最優(yōu)值為:4450變量最優(yōu)解相差值x12.50x20610x3.50x4.750約束松弛/剩余變量對偶價格10-4002.5030-7040-10目標函