第十四講算符的共同本征函數

(1)Schwartz不等式如果，,是任意兩個平方可積的波函數，則

1

(2)算符“漲落”之間的關系－測不準關系：如令

2

例1，所以，

這即為海森堡（Heisenberg）的測不準關系的嚴格證明。

例1，3

例2但在特殊態(tài)時

但這僅是某一特殊態(tài)。例3

在態(tài)下

例24這時

(3)算符的共同本征函數組定理1.如果兩個力學量相應的算符有一組正交，歸一，完備的共同本征函數組，則算符，必對易，。定理2：如果兩力學量所相應算符對易，則它們有共同的正交，歸一和完備的本征函數組。

5

(4)角動量的共同本征函數組―球諧函數

因 ，它們有共同本征函數組。

A.本征值：設：是它們的共同本征函數，則

(4)角動量的共同本征函數組―球諧6

的本征值為的本征值為這表明，角動量的本征值是量子化的。它與能量量子化不同在于它并不需要粒子是束縛的。自由粒子的角動量是量子化的。

B.本征函數量子力學課件_第14講7

已求得的共同本征函數組-球諧函數

稱為締合勒讓德函數（AssociatedLegendrefunction）。已求得的共同本征函數組-球諧函數8

當給定，也就是的本征值給定，那就唯一地確定了本征函數。

其性質：

1.正交歸一

2．封閉性

當給定，也就是的本征值給9

3．所以，

3．10

因此，

4.宇稱

即

5.遞推關系

因此，11量子力學課件_第14講12

(4)力學量的完全集

量子力學描述與經典描述大不一樣，在量子力學中，是確定體系所處的狀態(tài)。如對體系測量力學量的可能值及相應幾率。如能充分確定狀態(tài)，則認為是完全描述了。但是，如何才能將狀態(tài)描述完全確定呢？設：

是力學量所對應的算符，并且對易如是的本征函數。

(4)力學量的完全集13

?

的本征函數不簡并，則

?

當的本征值是兩重簡并。那問題就不一樣了。

測量

取值時，并不知處于那一態(tài)，可能為盡管也是的本征態(tài)。但一般而言

? 的本征函數不簡并，則14量子力學課件_第14講15可求得的本征值。若，則一起就唯一地決定函數量子力學課件_第14講16

的共同本征態(tài)沒有一個是簡并的。

力學量完全集：設力學量彼此對易；它們的共同本征函數是不簡并的，也就是說，本征值a,b,c…僅對應一個獨立的本征函數，則稱這一組力學量為力學量完全集。所以，以后要描述一個體系所處的態(tài)時，我們首先集中注意力去尋找一組獨立的完全集，以給出特解，然后得通解。有了力學量完全集，則可得

的共同本征態(tài)沒有一個是簡并的。17

完全集相應的本征函數為§4.5力學量平均值隨時間的變化，運動常數（守恒量）恩費斯脫定理（EhrenfestTheorem）（1）力學量的平均值，隨時間變化，運動常數

量子力學課件_第14講18

它隨時間演化為

19

若不顯含t，則當，則（對體系任何態(tài)）不隨t變。而取的幾率也不隨t變。我們稱與體系對易的不顯含時間的力學量算符為體系的運動常數。若不顯含t，則20

運動常數并不都能同時取確定值。因盡管它們都與對易，但它們之間可能不對易。如

都是運動常數，但彼此不對易，不能同時取確定值。

（2）

VivialTheorem維里定理不顯含t的力學量，在定態(tài)上的平均與t無關。

運動常數并不都能同時取確定值。因盡21量子力學課件_第14講22

若是x,y,z的n次齊次函數，則

例：諧振子勢是x,y,z的2次齊次函數

例：庫侖勢是x,y,z的–1次齊次函數量子力學課件_第14講23

(3)能量-時間測不準關系由算符的“漲落”關系，有如，則有若是不顯含時間的算符，則有量子力學課件_第14講24

取則有這即為能量和時間的測不準關系。量子力學課件_第14講25

（4）恩費斯脫定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。

?體系的坐標平均值的時間導數等于其速度算符的平均值。量子力學課件_第14講26?

體系動量算符平均值的時間導數等于作用力的平均值。于是有量子力學課件_第14講27稱為的恩費斯脫定理。

我們可以看到，上面三個式子與經典力學看起來非常相似。

量子力學課件_第14講28

但決不能無條件地認為如果這樣，即得但事實上，一般而言量子力學課件_第14講29

但在V(x)隨x的變化很緩慢，以及比較小的條件下，上式近似相等.以一維運動來討論

30

當場隨空間變化非常緩慢，且很小時，我們有不等式

量子力學課件_第14講31

這樣，量子力學中粒子運動與經典力學規(guī)律相似。經典運動是一好的近似。當然，根據測不準關系，

32

因此，當較小時， 比較大。所以要有

33

要有兩個條件：

★

勢隨空間作緩慢變化：

★

動能很大：

要有兩個條件：34第五章變量可分離型的三維定態(tài)問題★不顯含t時，有特解

第五章變量可分離型的三維定態(tài)問題★不顯35

★處理的是變量可分離型的位勢問題。§5.1有心勢

能量本征方程可寫為

36

我們可看到

因此，是兩兩對易。當共同本征函數組不簡并時，它們構成一組力學量完全集（球對稱勢的體系都有這一特點）。我們可看到37

以的本征值（即量子數）對能量本征方程的特解進行標識。于是歸結到解具有不同位勢的徑向方程

量子力學課件_第14講38

首先要研究邊條件的共性。對于束縛態(tài)，對于，波函數行為？

（1）不顯含時間的薛定諤方程解在的漸近行為

A．若

時，僅當0<m<2時才有束縛態(tài)。

39

根據維里定理：如是x,y,z的n次齊次函數，則有（在定態(tài)上）。對于上述勢即量子力學課件_第14講40

在這類位勢下，束縛態(tài)E<0。所以存在束縛態(tài)的條件為0<m<2量子力學課件_第14講41即僅當時，才有束縛態(tài)。

B．在

時，徑向波函數應滿足

由徑向方程

量子力學課件_第14講42

當時，方程的漸近解為，所以有

（2）三維自由粒子運動

因，所以可選力學量完全集量子力學課件_第14講43于是有

令

于是有44這即為球貝塞爾函數滿足的方程。而在處為有限的解是而在處為無窮的解是

量子力學課件_第14講45量子力學課件_第14講46

由于的條件，所以自由粒子的本征函數為對于自由粒子，亦可選作為力學量完全集，其共同本征函數為

47

而前述，

作為力學量完全集，有共同本征函數組

量子力學課件_第14講48

可按它展開

如取方向在z方向（即為z軸），則

可按它展開49

a.對kr求導，得

量子力學課件_第14講50于是有

量子力學課件_第14講51量子力學課件_第14講52

b.當時于是當在任意方向，則b.當時53

為和之間的夾角

為和之間的夾角54

現可求

的歸一化因子：而根據展開有

量子力學課件_第14講55

量子力學課件_第14講56

從而有即于是有量子力學課件_第14講57量子力學課件_第14講58（3）球方勢阱：考慮位勢為

令

（3）球方勢阱：考慮位勢為59

第十四講算符的共同本征函數

(1)Schwartz不等式如果，,是任意兩個平方可積的波函數，則

60

(2)算符“漲落”之間的關系－測不準關系：如令

61

例1，所以，

這即為海森堡（Heisenberg）的測不準關系的嚴格證明。

例1，62

例2但在特殊態(tài)時

但這僅是某一特殊態(tài)。例3

在態(tài)下

例263這時

(3)算符的共同本征函數組定理1.如果兩個力學量相應的算符有一組正交，歸一，完備的共同本征函數組，則算符，必對易，。定理2：如果兩力學量所相應算符對易，則它們有共同的正交，歸一和完備的本征函數組。

64

(4)角動量的共同本征函數組―球諧函數

因 ，它們有共同本征函數組。

A.本征值：設：是它們的共同本征函數，則

(4)角動量的共同本征函數組―球諧65

的本征值為的本征值為這表明，角動量的本征值是量子化的。它與能量量子化不同在于它并不需要粒子是束縛的。自由粒子的角動量是量子化的。

B.本征函數量子力學課件_第14講66

已求得的共同本征函數組-球諧函數

稱為締合勒讓德函數（AssociatedLegendrefunction）。已求得的共同本征函數組-球諧函數67

當給定，也就是的本征值給定，那就唯一地確定了本征函數。

其性質：

1.正交歸一

2．封閉性

當給定，也就是的本征值給68

3．所以，

3．69

因此，

4.宇稱

即

5.遞推關系

因此，70量子力學課件_第14講71

(4)力學量的完全集

量子力學描述與經典描述大不一樣，在量子力學中，是確定體系所處的狀態(tài)。如對體系測量力學量的可能值及相應幾率。如能充分確定狀態(tài)，則認為是完全描述了。但是，如何才能將狀態(tài)描述完全確定呢？設：

是力學量所對應的算符，并且對易如是的本征函數。

(4)力學量的完全集72

?

的本征函數不簡并，則

?

當的本征值是兩重簡并。那問題就不一樣了。

測量

取值時，并不知處于那一態(tài)，可能為盡管也是的本征態(tài)。但一般而言

? 的本征函數不簡并，則73量子力學課件_第14講74可求得的本征值。若，則一起就唯一地決定函數量子力學課件_第14講75

的共同本征態(tài)沒有一個是簡并的。

力學量完全集：設力學量彼此對易；它們的共同本征函數是不簡并的，也就是說，本征值a,b,c…僅對應一個獨立的本征函數，則稱這一組力學量為力學量完全集。所以，以后要描述一個體系所處的態(tài)時，我們首先集中注意力去尋找一組獨立的完全集，以給出特解，然后得通解。有了力學量完全集，則可得

的共同本征態(tài)沒有一個是簡并的。76

完全集相應的本征函數為§4.5力學量平均值隨時間的變化，運動常數（守恒量）恩費斯脫定理（EhrenfestTheorem）（1）力學量的平均值，隨時間變化，運動常數

量子力學課件_第14講77

它隨時間演化為

78

若不顯含t，則當，則（對體系任何態(tài)）不隨t變。而取的幾率也不隨t變。我們稱與體系對易的不顯含時間的力學量算符為體系的運動常數。若不顯含t，則79

運動常數并不都能同時取確定值。因盡管它們都與對易，但它們之間可能不對易。如

都是運動常數，但彼此不對易，不能同時取確定值。

（2）

VivialTheorem維里定理不顯含t的力學量，在定態(tài)上的平均與t無關。

運動常數并不都能同時取確定值。因盡80量子力學課件_第14講81

若是x,y,z的n次齊次函數，則

例：諧振子勢是x,y,z的2次齊次函數

例：庫侖勢是x,y,z的–1次齊次函數量子力學課件_第14講82

(3)能量-時間測不準關系由算符的“漲落”關系，有如，則有若是不顯含時間的算符，則有量子力學課件_第14講83

取則有這即為能量和時間的測不準關系。量子力學課件_第14講84

（4）恩費斯脫定理（EhrenfestTheorem）以,表示的平均值。

?體系的坐標平均值的時間導數等于其速度算符的平均值。量子力學課件_第14講85?

體系動量算符平均值的時間導數等于作用力的平均值。于是有量子力學課件_第14講86稱為的恩費斯脫定理。

我們可以看到，上面三個式子與經典力學看起來非常相似。

量子力學課件_第14講87

但決不能無條件地認為如果這樣，即得但事實上，一般而言量子力學課件_第14講88

但在V(x)隨x的變化很緩慢，以及比較小的條件下，上式近似相等.以一維運動來討論

89

當場隨空間變化非常緩慢，且很小時，我們有不等式

量子力學課件_第14講90

這樣，量子力學中粒子運動與經典力學規(guī)律相似。經典運動是一好的近似。當然，根據測不準關系，

91

因此，當較小時， 比較大。所以要有

92

要有兩個條件：

★

勢隨空間作緩慢變化：

★

動能很大：

要有兩個條件：93第五章變量可分離型的三維定態(tài)問題★不顯含t時，有特解

第五章變量可分離型的三維定態(tài)問題★不顯94

★處理的是變量可分離型的位勢問題。§5.1有心勢

能量本征方程可寫為

95

我們可看到

因此，是兩兩對易。當共同本征函數組不簡并時，它們構成一組力學量完全集（球對稱勢的體系都有這一特點）。我們可看到96

以的本征值（即量子數）對能量本征方程的特解進行標識。于是歸結到解具有不同位勢的徑向方程

量子力學課件_第14講97

首先要研究邊條件的共性。對于束縛態(tài)，對于，波函數行為？

（1）不顯含時間的薛定諤方程解在的漸近行為

A．若

時，僅當0<m<2時才有束縛態(tài)。

98

根據維里定理：如是x,y,z的n次齊次函數，則有（在定態(tài)上）。對于上述勢即量子力學課件_第14講99

在這類位勢下，束縛態(tài)E<0。所以存在束縛態(tài)的條件為0<m<2