第二章波函數(shù)和薛定諤方程

微觀(guān)粒子的基本屬性不能用經(jīng)典語(yǔ)言確切描述。量子力學(xué)用波函數(shù)描述微觀(guān)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，波函數(shù)所遵從的方程——薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程。

這一章開(kāi)始介紹量子力學(xué)的基本理論與方法。主要介紹：1.二個(gè)基本假設(shè)：A.微觀(guān)粒子行為由波函數(shù)描述,波函數(shù)具有統(tǒng)計(jì)意義。B.描述微觀(guān)粒子行為的波函數(shù)由薛定諤方程解出。2.用定態(tài)薛定諤方程求解三個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題：A.一維無(wú)限深勢(shì)阱B.

一維諧振子C.勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）§2.1.物質(zhì)波的波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋1.波函數(shù)：類(lèi)似于經(jīng)典波的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，描述微觀(guān)客體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一般表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)形式推廣：三維自由粒子波函數(shù)二、波函數(shù)的物理意義如何理解波函數(shù)和粒子之間的關(guān)系？

1物質(zhì)波就是粒子的實(shí)際結(jié)構(gòu)？即三維空間連續(xù)分布的物質(zhì)波包，那就會(huì)擴(kuò)散，粒子將會(huì)越來(lái)越胖。再者，衍射時(shí)，電子就會(huì)被分開(kāi)?？浯罅瞬▌?dòng)性，抹煞了粒子性。

2大量粒子空間形成的疏密波？電子衍射實(shí)驗(yàn)，電子流很弱時(shí)，時(shí)間足夠長(zhǎng)，仍會(huì)出現(xiàn)干涉圖樣。單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。3波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)˙orn1926）:波函數(shù)在空間某點(diǎn)的強(qiáng)度（振幅絕對(duì)值的二次方）和該點(diǎn)找到粒子的幾（概）率成比例。即物質(zhì)波是幾率波。波函數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的積例：一維自由粒子：光柵衍射電子衍射類(lèi)比

波函數(shù)描述的物質(zhì)波不像經(jīng)典波代表實(shí)際物理量的波動(dòng),只是刻畫(huà)粒子在空間的幾率分布的幾率波。光子電子對(duì)比分析I大處到達(dá)光子數(shù)多I小處到達(dá)光子數(shù)少I(mǎi)=0無(wú)光子到達(dá)各光子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定用I對(duì)屏上光子數(shù)分布作概率性描述各電子起點(diǎn)、終點(diǎn)、路徑均不確定對(duì)屏上電子數(shù)分布作概率性描述電子到達(dá)該處概率大電子到達(dá)該處概率為零電子到達(dá)該處概率小光柵衍射電子衍射一般t時(shí)刻,到達(dá)空間r（x,y,z）處某體積dV內(nèi)的粒子數(shù)

t時(shí)刻，出現(xiàn)在空間（x,y,z）點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比

t時(shí)刻，粒子出現(xiàn)在空間（x,y,z）點(diǎn)附近單位體積內(nèi)的概率

t

時(shí)刻，粒子在空間分布的概率密度

的物理意義：4、波函數(shù)的歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件粒子在整個(gè)空間出現(xiàn)的概率為1

歸一化條件對(duì)微觀(guān)客體的數(shù)學(xué)描述：脫離日常生活經(jīng)驗(yàn)，避免借用經(jīng)典語(yǔ)言引起的表觀(guān)矛盾

標(biāo)準(zhǔn)化條件在0<x<a/2區(qū)域內(nèi)，粒子出現(xiàn)的概率為：（3）概率最大的位置應(yīng)滿(mǎn)足因0<x<a/2,故得粒子出現(xiàn)的概率最大。一、量子態(tài)和波函數(shù)

用波函數(shù)Ψ（r,t）來(lái)描述微觀(guān)粒子的量子態(tài)。當(dāng)Ψ（r,t）給定后，如果測(cè)量其位置，粒子出現(xiàn)在該點(diǎn)的幾率密度為。波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋也是波粒二象性的一種體現(xiàn)。經(jīng)典波：遵從迭加原理，兩個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程迭加后也是一個(gè)可能的波動(dòng)過(guò)程。如：惠更斯原理。描述微觀(guān)粒子的波是幾率波，是否可迭加？意義是否與經(jīng)典相同？二、量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理1、經(jīng)典物理中，光波或聲波遵守態(tài)迭加原理：二列經(jīng)典波φ1與φ2線(xiàn)性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以說(shuō)明的。量子力學(xué)的二個(gè)態(tài)的迭加原理：如果Ψ1與Ψ2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線(xiàn)性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1、c2是復(fù)數(shù)）也是這個(gè)體系的一個(gè)可能狀態(tài)。干涉項(xiàng)2、例：以雙縫衍射實(shí)驗(yàn)（見(jiàn)上面圖），衍射圖樣的產(chǎn)生證實(shí)了干涉項(xiàng)的存在。推廣到任意多態(tài)的一般態(tài)迭加原理：

3、態(tài)的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是體系可能的狀態(tài)，則它們的線(xiàn)性迭加態(tài)Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。當(dāng)體系處在迭加態(tài)Ψ時(shí)，體系部分處在Ψ1態(tài)、也部分處在Ψ2態(tài)，…等，即各有一定幾率處在迭加之前的各個(gè)態(tài)Ψi。

4、說(shuō)明：（1）量子力學(xué)使用最多的是把可以實(shí)現(xiàn)的態(tài)分解為某一個(gè)算符本征態(tài)的迭加。（2）如同經(jīng)典波的分解和迭加，量子力學(xué)的態(tài)的迭加也是波函數(shù)的迭加。三、一個(gè)結(jié)論：任何一個(gè)波函數(shù)都可以看作是各種不同動(dòng)量的平面波的迭加。

數(shù)學(xué)表示式：

其中，是動(dòng)量一定的平面波。這在數(shù)學(xué)上是成立的，這正好是非周期函數(shù)的傅里葉展開(kāi)。說(shuō)明：1、在態(tài)Ψ（r,t）的粒子，它的動(dòng)量沒(méi)有確定的值，由上式可知：粒子可處于任何一個(gè)態(tài)Ψp（r,t），但是當(dāng)粒子的狀態(tài)確定后，粒子動(dòng)量處于某一確定值的幾率是一定的。2、由于量子力學(xué)的態(tài)的迭加原理是幾率波的迭加，所以φ1+φ1=2φ1不是新的態(tài)，只不過(guò)未歸一化。在態(tài)φ=c1φ1+c2φ1進(jìn)行測(cè)量時(shí)，發(fā)現(xiàn)粒子要么處在φ1，要么處在φ2?！?.3

薛定諤方程粒子狀態(tài)隨時(shí)間變化遵從怎樣的規(guī)律呢？

薛定諤建立的適用于低速情況的、描述微觀(guān)粒子在外力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的微分方程,稱(chēng)為薛定諤方程。薛定諤方程應(yīng)滿(mǎn)足的條件：1線(xiàn)性方程。態(tài)迭加原理所要求的。2方程的系數(shù)不應(yīng)包含狀態(tài)參量，如動(dòng)量、能量等?？梢院匈|(zhì)量、電量等粒子內(nèi)稟量，應(yīng)含有普朗克常數(shù)是量子力學(xué)的基本假設(shè)之一，只能建立，不能推導(dǎo)，其正確性由實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)。同理有(2.3-3)由得此式滿(mǎn)足前面所述條件。改寫(xiě)2.3-2和2.3-3為式中是劈形算符：(2.3-5)(2.3-6)(2.3-7)由（2.3-6）(2.3-7)式可看出，E,p各與以下算符相當(dāng)：（2.3-8）分別稱(chēng)為能量算符和動(dòng)量算符。對(duì)于多粒子體系(2.3-11)薛定諤方程為(2.3-12)式中——多粒子體系的薛定諤方程討論：1、薛定諤方程也稱(chēng)波動(dòng)方程，描述在勢(shì)場(chǎng)U中粒子狀態(tài)隨時(shí)間的變化規(guī)律。2、建立方程而不是推導(dǎo)方程，正確性由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。薛定諤方程實(shí)質(zhì)上是一種基本假設(shè)，不能從其他更基本原理或方程推導(dǎo)出來(lái)，它的正確性由它解出的結(jié)果是否符合實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)。3、薛定諤方程是線(xiàn)性方程。是微觀(guān)粒子的基本方程，相當(dāng)于牛頓方程。4、自由粒子波函數(shù)必須是復(fù)數(shù)形式，否則不滿(mǎn)足自由粒子薛定諤方程。5、薛定諤方程是非相對(duì)論的方程。

用薛定諤方程求解問(wèn)題的思路：1.寫(xiě)出具體問(wèn)題中勢(shì)函數(shù)U(r)的形式代入方程2.用分離變量法求解3.用歸一化條件和標(biāo)準(zhǔn)條件確定積分常數(shù)只有E取某些特定值時(shí)才有解本征值本征函數(shù)4.討論解的物理意義，即求|

|2，得出粒子在空間的概率分布。作業(yè)：2.1代入（2.4-2）式得(2.4-3)令(2.4-4)可得(2.4-5)此式具有連續(xù)性方程的性質(zhì)。將其對(duì)空間某體積積分(2.4-6)由高斯定理得(2.4-7)等式左邊表示單位時(shí)間內(nèi)體積V中幾率的增加,右邊是矢量J在體積V的邊界面上法向分量的面積分。故可把J解釋為幾率流密度矢量，Jn表示單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)S上單位面積的幾率。若波函數(shù)在無(wú)限遠(yuǎn)處為零，則有(2.4-8)表明整個(gè)空間內(nèi)找到粒子的幾率與時(shí)間無(wú)關(guān)。若波函數(shù)是歸一的，則將保持其歸一性不變。這就是幾率守恒定律。有連續(xù)方程一定有守恒定律，兩者是等價(jià)的。幾率守恒定律表明幾率不會(huì)憑空產(chǎn)生，也不會(huì)憑空消失。定義質(zhì)量密度質(zhì)量流密度由（2.4-5）可得2.4-9——質(zhì)量守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)體積V內(nèi)質(zhì)量的改變，等于穿過(guò)V的邊界S流進(jìn)或流出的質(zhì)量。定義電荷密度電流密度則有2.4-10——電荷守恒定律，粒子的電荷總量不隨時(shí)間改變?！?.5定態(tài)薛定諤方程討論勢(shì)能函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)的情形，即U(r)不含時(shí)間，此時(shí)粒子的能量是一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常量，這種狀態(tài)稱(chēng)為定態(tài)，對(duì)應(yīng)的波函數(shù)稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)。說(shuō)明：

幾率守恒具有定域性質(zhì)。當(dāng)粒子在某地的概率減小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使總概率不變，并且伴隨著有什么東西在流動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。連續(xù)性就意味著某種流的存在。2.5-1把此式帶入方程2.3-10中，兩邊除以若等式成立，需兩邊等于一常量，設(shè)該常量為E，則有2.5-22.5-3可考慮用分離變量法求薛定諤方程的一種特解。設(shè)2.5-2的解為C為任意常數(shù)，此式代入2.5-1得到薛定諤方程的特解2.5-4可看出，這個(gè)波函數(shù)與時(shí)間成正弦關(guān)系，其角頻率是，根據(jù)德布羅意關(guān)系，E就是體系處于這個(gè)波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)時(shí)的能量。此時(shí)能量具有確定值，稱(chēng)這種狀態(tài)為定態(tài)。該波函數(shù)稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)。在定態(tài)中，幾率密度、幾率流密度都與時(shí)間無(wú)關(guān)。2.5-3式稱(chēng)為定態(tài)薛定諤方程。函數(shù)也稱(chēng)為波函數(shù)，可由2.5-3式和具體條件求出,且有分別乘以2.5-2和2.5-3式兩邊得2.5-52.5-6算符完全相當(dāng)，都稱(chēng)為能量算符。也稱(chēng)為哈密頓算符，表示為，2.5-6式可寫(xiě)為2.5-7本征值方程，本征值，本征函數(shù)，能量本征態(tài)討論定態(tài)問(wèn)題就是求出體系可能的定態(tài)波函數(shù)，和這些態(tài)中的能量E；亦即解定態(tài)薛定諤方程，求出能量的可能值E和波函數(shù)。表示能量算符的第n個(gè)本征值En對(duì)應(yīng)的波函數(shù)，則有含時(shí)薛定諤方程的一般解可寫(xiě)為式中cn是常系數(shù)§2.6一維無(wú)限深勢(shì)阱一維空間中運(yùn)動(dòng)的粒子，其勢(shì)能分布為（如圖）2.6-1U(x)x-a0a一維無(wú)限深勢(shì)阱這種勢(shì)稱(chēng)為一維無(wú)限深勢(shì)阱。在阱內(nèi)，體系滿(mǎn)足定態(tài)薛定諤方程2.6-2在阱外，體系滿(mǎn)足定態(tài)薛定諤方程2.6-3式中，。根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性、有限性條件，2.6-3式成立需滿(mǎn)足2.6-4引入符號(hào)2.6-52.6-2式簡(jiǎn)化為其通解為2.6-6根據(jù)邊界條件2.6-4式可得兩式分別相加減可得2.6-7由于A、B不能同時(shí)為零，得到兩組解2.6-82.6-9解得（n為奇數(shù)，對(duì)應(yīng)第一組解n為偶數(shù)，對(duì)應(yīng)第二組解）2.6-10由此可得到體系的能量為n=整數(shù)2.6-11結(jié)果說(shuō)明粒子被束縛在勢(shì)阱中，體系能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。兩組解對(duì)應(yīng)的波函數(shù)分別為2.6-122.6-13兩式合并得2.6-14波函數(shù)已進(jìn)行了歸一化。粒子的定態(tài)波函數(shù)為2.6-15可看出波函數(shù)是駐波。束縛態(tài)：無(wú)限遠(yuǎn)處波函數(shù)為零的狀態(tài)基態(tài)：體系能量最低的態(tài)n為偶數(shù)時(shí)，由2.6-12式可得n為奇數(shù)時(shí)，由2.6-13式可得一維無(wú)限深勢(shì)阱中=1=2=3=4x粒子的波函數(shù)0nnnnax0a例題：勢(shì)壘貫穿（隧道效應(yīng)）在經(jīng)典力學(xué)中,若,粒子的動(dòng)能為正,它只能在I區(qū)中運(yùn)動(dòng)。即粒子運(yùn)動(dòng)到勢(shì)壘左邊緣就被反射回去，不能穿過(guò)勢(shì)壘。OIIIIII在量子力學(xué)中,無(wú)論粒子能量是大于還是小于都有一定的幾率穿過(guò)勢(shì)壘，也有一定的幾率被反射。這種現(xiàn)象已經(jīng)實(shí)驗(yàn)證實(shí)。我們下面只就時(shí)，討論薛定諤方程的解。勢(shì)壘的勢(shì)場(chǎng)分布寫(xiě)為：在三個(gè)區(qū)間內(nèi)波函數(shù)應(yīng)遵從的薛定諤方程分別為：OIIIIII定態(tài)薛定諤方程的解又如何呢？令：定態(tài)解的含時(shí)部分：三個(gè)區(qū)間的薛定諤方程化為：若考慮粒子是從I區(qū)入射，在I區(qū)中有入射波反射波；粒子從I區(qū)經(jīng)過(guò)II區(qū)穿過(guò)勢(shì)壘到III區(qū)，在III區(qū)只有透射波。粒子在

處的幾率要大于在處出現(xiàn)的幾率。其解為：根據(jù)邊界條件：求出解的形式畫(huà)于圖中。定義粒子穿過(guò)勢(shì)壘的貫穿系數(shù)：IIIIII隧道效應(yīng)當(dāng)

時(shí)，勢(shì)壘的寬度約50nm以上時(shí)，貫穿系數(shù)會(huì)小六個(gè)數(shù)量級(jí)以上。隧道效應(yīng)在實(shí)際上已經(jīng)沒(méi)有意義了。量子概念過(guò)渡到經(jīng)典了。作業(yè)：2.2,3,4

§2.7線(xiàn)性諧振子

什么叫諧振子？彈簧振子、單擺就是諧振子，它們的位移或角位移滿(mǎn)足方程：諧振子在物理中很重要，很多物理問(wèn)題都可以近似按諧振子處理。比如固體中的每個(gè)原子的微振動(dòng)，就可以看成在各自平衡位置作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。雙原子分子的振動(dòng)可化為諧振子。這節(jié)介紹求解線(xiàn)性諧振子（一維）的定態(tài)薛定諤方程，解出波函數(shù)與能量，并作些討論。

若選取線(xiàn)性諧振子平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，并選取其為勢(shì)能的零點(diǎn)，則線(xiàn)性諧振子的勢(shì)能表示為：μ是粒子的質(zhì)量，k是諧振子的彈性系數(shù)。對(duì)經(jīng)典諧振子它是角頻率。線(xiàn)性諧振子的定態(tài)薛定諤方程為：它是變系數(shù)二階常微分方程，可解。2.7-1引進(jìn)參量和方程化為：*波函數(shù)在時(shí)的漸近行為：方程化為：其漸近解為：因?yàn)橹C振子是處于束縛態(tài)應(yīng)舍棄解。所以有當(dāng)時(shí)2.7-22.7-32.7-4根據(jù)漸近行為方程解可寫(xiě)為：2.7-5求導(dǎo)得代入原方程應(yīng)滿(mǎn)足：上述厄密微分方程的解是個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)。為了保證束縛態(tài)邊界條件的成立，必須使這個(gè)級(jí)數(shù)只包含有限項(xiàng)，其條件是：2.7-6*得出滿(mǎn)足束縛邊界條件的級(jí)數(shù)解是：稱(chēng)為厄密多項(xiàng)式。它的前幾個(gè)為：普遍表達(dá)式：2.7-72.7-152.7-142.7-11λ為奇數(shù)，即*能量本征值和零點(diǎn)能因?yàn)椋核跃€(xiàn)性諧振子的能級(jí)只能取分立值，能級(jí)間隔相等。線(xiàn)性諧振子基態(tài)能：稱(chēng)為零點(diǎn)能。有關(guān)光被晶體散射的實(shí)驗(yàn)，證明在趨于絕對(duì)零度時(shí)，散射光的強(qiáng)度趨于一確定值。說(shuō)明原子有零點(diǎn)振動(dòng)存在。常壓下，溫度趨于零度附近，液態(tài)氦也不會(huì)變成固體，具有顯著的零點(diǎn)能效應(yīng)。實(shí)驗(yàn)事實(shí)：*能量本征函數(shù)和宇稱(chēng)線(xiàn)性諧振子的定態(tài)波函數(shù)——?dú)w一化系數(shù)線(xiàn)性諧振子波函數(shù)線(xiàn)性諧振子位置幾率密度線(xiàn)性諧振子n