單倒置擺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計及MATLAB仿真單倒置擺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計及MATLAB仿真單倒置擺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計及MATLAB仿真現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)期中作業(yè)題目：單倒置擺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計及MATLAB仿真2012年5月11日單倒立擺控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計和仿真大綱倒立擺是研究控制理論的典型實驗平臺。因為倒立擺系統(tǒng)自己所擁有的不穩(wěn)固、多變量、非線性和強耦合特征，

好多現(xiàn)代控制理論的研究人員向來將它視為典型的研究對象，

不停從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法。

控制器的設(shè)計是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，

因為倒立擺是一個絕對不穩(wěn)固的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)固，并且可以承受必定的攪亂，設(shè)計狀態(tài)反響控制器的方法進行系統(tǒng)性能的改進，使?jié)M足必定的性能的指標(biāo)。AbstractSummary:experimentalplatformforclassicinvertedpendulumisthestudyofcontroltheory.Duetotheinvertedpendulumbyinstabilityofthesystemitself,morevariableandnonlinearstrong-couplingcharacteristicsandmanyresearchersofmoderncontroltheoryhasbeenregardedastypicalofthesubjectsit,continuetoidentifynewcontrolstrategyandcontrolmethods.Controllerdesignofinvertedpendulumsystemisthecorecontent,becausetheinvertedpendulumisasystemofabsoluteinstability,tokeepitstable,andcanwithstandacertainamountofinterference,Statefeedbackcontrollerdesignmethodforimprovementofsystemperformance,tomeetcertainperformancetargets.第一章緒論單倒立擺是平常生活中好多重心在上、支點在下的控制問題的抽象模型，對倒立擺系統(tǒng)的控制就是使小車以及擺桿趕忙地達到預(yù)期的均衡地址，并且還要使它們不會有太強的振蕩幅度、速度以及角速度，當(dāng)?shù)沽[系統(tǒng)達到希望地址后，系統(tǒng)能戰(zhàn)勝必定范圍的擾動而保持均衡。作為一種控制裝置，它擁有形象直觀、結(jié)構(gòu)簡單、便于模擬實現(xiàn)多種不一樣控制方法的特色，倒立擺的應(yīng)用背景為火箭、導(dǎo)彈等發(fā)射前的穩(wěn)固性控制模型。單級倒立擺系統(tǒng)的控制對象是一個單輸入和多輸出的非最小相位系統(tǒng)，對倒立擺系統(tǒng)進行控制的方法有好多，常有的有以下幾種：（1）老例PID控制：經(jīng)過對倒立擺物理模型的解析，建立倒立擺的動力學(xué)模型，而后使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出非線性模型，在均衡點處進行線性化獲取倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程，就可以設(shè)計出PID控制器來實現(xiàn)其控制。2）自適應(yīng)控制：采納設(shè)計出自適應(yīng)控制器的方法對倒立擺進行控制。3）模糊控制：第一確立基本語言值，接著確立語言值的隸屬函數(shù)，在隸屬函數(shù)建立后，就可以建立模糊控制規(guī)則，它主若是依照人的傳統(tǒng)控制經(jīng)驗和直覺推理來建立的，主要采納了“if-then”規(guī)則以及連接詞and、or和also等。完成了上述步驟后，就基本上建立了倒立擺系統(tǒng)的模糊控制器，給定輸入后，經(jīng)過模糊控制規(guī)則的作用后，就產(chǎn)生了輸出，自然一定對輸出進行解模糊化，才能獲取我們所需要的可以直接作用于被控對象的信號。除了上述一些控制方式外，還可以采納將不一樣控制算法相結(jié)合的方法，比方模糊自適應(yīng)控制、模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等。3.Simulink是MATLAB環(huán)境下的模擬工具，經(jīng)過建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,應(yīng)用狀態(tài)反響控制配置系統(tǒng)極點設(shè)計倒立擺系統(tǒng)的控制器,實現(xiàn)其狀態(tài)反響,從而使倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)固工作。在倒立擺的控制研究試驗過程中,以狀態(tài)空間表達式形式建立倒立擺數(shù)學(xué)模型,采納MATLAB控制工具箱直接對倒立擺進行控制設(shè)計和仿真,以后在Simulink環(huán)境下建立倒立擺的控制仿真模型,將經(jīng)過MATLAB控制工具箱設(shè)計的控制參數(shù)直接運用到Simulink仿真模型中,經(jīng)過MATLAB設(shè)計平臺,大大加快了倒立擺系統(tǒng)的建模、控制仿真設(shè)計和實現(xiàn)過程。第二章倒立擺模型的數(shù)學(xué)建模因為倒立擺系統(tǒng)自己是一個自不穩(wěn)固的系統(tǒng)，所以實驗建模存在必定的困難。但是，經(jīng)過慎重的假設(shè)，忽視掉一些次要要素。此課題中忽視擺桿質(zhì)量、執(zhí)行電動機慣性以及擺軸、輪軸、輪與接觸面之間的摩擦及風(fēng)力。能使倒立擺系統(tǒng)成為一個典型的運動的剛系統(tǒng)統(tǒng)，使之在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論就能建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。單倒置擺系統(tǒng)的原理圖如圖1所示，設(shè)擺長為L，質(zhì)量為m，用鉸鏈安裝在質(zhì)量為M的小車上，小車由直流電動機拖動，設(shè)小車瞬時地址為z，倒擺置出現(xiàn)的偏角為θ。圖1單倒置擺系統(tǒng)的原理圖解析過程以下：以以下圖，設(shè)細桿擺沿順時針方向轉(zhuǎn)動為正方向，水平向右方向為水平方向上的正方向。當(dāng)細桿擺順時針往右運動時水平方向施加的力應(yīng)該為水平向右。現(xiàn)對小車和細桿擺分別進行隔斷受力解析：(1)對小車有：uusinMz(1)(2)對擺心有：水平方向上運動為zlsin故水平方向受力為dusinmd2(zlsin)dtdt2md(zlcos)dtmzmlcosmlsin()2(2)由(1)、(2)兩式得(Mm)zmlcosml2sinu(3)擺心垂直方向上位移為lcos故受力為ducosmgmd(lcos)2dtdtmlsinmlcos()2即ucosmmlsinmlcos()2(4)由(2)、(4)兩式得:coszgsinl（5）故由(3)、(5)可得以下運動方程組：(Mm)zmlcosml2sinucoszgsinl以上方程組為非線性方程組，故需做線性化辦理。因為：控制目的是保持倒置擺直立，所以，在施加適合u的條件下，可以為θ、θ′均湊近零，此時sinθ≈θ，cos≈1，且可忽視()2，故線性化后運動方程組簡化為(Mm)zmluzlg解方程組，可得zmg1（6）MuM(Mm)g1u（7）MlMl消去中間變量θ，可得輸入量為u、輸出量為z的微分方程為z4(Mm)gz1ugu（8）MlMMl第三章進行系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的求解：以擺角θ、角速度、小車位移z、速度z作為系統(tǒng)狀態(tài)變量，y為輸出，u為輸入，以及考慮dzz，d以及式（6）、（7）、（8），可列系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：dtdt0100000mg01MMx001xu（9a）000(Mm)g010MlMly1000x(9b)式中xzzT為方便研究，假設(shè)系統(tǒng)的參數(shù)M=1kg,m=0.1kg,l=1m,g9.81m/s2,則系統(tǒng)狀態(tài)方程中參數(shù)矩陣為：010000010,b1（10）A001，c100000001101此時倒置擺的狀態(tài)空間模型表達式為：01000x0010x1u（11）00010001101y1000x其系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖以下：圖2單倒置擺開環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖四被控對象特征解析能控性解析依據(jù)能控性的秩判據(jù)，并將式（11）的有關(guān)數(shù)據(jù)帶入該判據(jù)，可得rankM

rankb

Ab

A2b

A3b

4

（12）所以，單倒置擺的運動狀態(tài)是可控的。換句話說，這意味著總存在一控制作用

u,將非零狀態(tài)x轉(zhuǎn)移到零。代碼：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);S=ctrb(A,b);f=rank(S);iff==ndisp('系統(tǒng)能控')elsedisp('系統(tǒng)不可以控')end結(jié)果：穩(wěn)固性解析由單倒置擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，可求的其特色方程為IA2(211)0（13）解得特色值為0,0，11，-11。四個特色值中存在一個正根，兩個零根，這說明單倒置擺系統(tǒng)，即被控系統(tǒng)不穩(wěn)固的。用Matlab仿真結(jié)果：圖3單倒置擺開環(huán)系統(tǒng)的個變量的階躍響應(yīng)曲線由上圖可知倒擺的開環(huán)響應(yīng)不穩(wěn)固，不可以到達控制目的。所以須對被控系統(tǒng)進行反響綜合，使4個特色值所有位于根平面S左半平面的適合地址，以滿足系統(tǒng)的穩(wěn)固工作已達到良好、靜態(tài)性能的要求。下邊設(shè)計兩種控制器方案來使系統(tǒng)到達控制的目的。五方案設(shè)計采納全狀態(tài)反響。取狀態(tài)變量

z、

z、θ、

為反響信號，狀態(tài)控制規(guī)律為uvkx

（14）設(shè)

k

k0

k1

k2

k3式中，

k0

~k3分別為

z、z、θ、

反響至參照輸入

v的增益。則閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

x(A

bk)x

bv設(shè)置希望閉環(huán)極點為

-1，-2，-1+i,-1-i由matlab可求得：k0=-0.4，k1=-1，k2=-21.4，k3=-6狀態(tài)反響系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖以以下圖：圖4單倒置擺全狀態(tài)反響系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖用Matlab仿真結(jié)果:圖5單倒置擺全狀態(tài)反響的階躍響應(yīng)曲線如仿真圖可知，單倒置擺的全狀態(tài)反響為穩(wěn)固的閉環(huán)系統(tǒng)。觀察仿真曲線：單位階躍的作用下，輸出變量逐漸趨于某一常數(shù)，狀態(tài)變量θ則是逐漸趨于0。當(dāng)參照輸入v單位階躍時，狀態(tài)向量在單位階躍的作用下相應(yīng)逐漸趨于穩(wěn)固，這時擺桿回到原始地址（即θ=0），小車也保持穩(wěn)固（即z=某一常數(shù)）。方案一：全維觀察器的設(shè)計為實現(xiàn)單倒置擺控制系統(tǒng)的全狀態(tài)反響，一定獲取系統(tǒng)的所有狀態(tài)，即z、z、θ、的信息。所以，需要設(shè)置z、z、θ、的4個傳感器。在實質(zhì)的工程系統(tǒng)中常常其實不是所有的狀態(tài)信息都是能檢測到的，也許，雖有些可以檢測，但也可能因為檢測裝置昂貴或安裝上的困難造成難于獲守信號，從而使?fàn)顟B(tài)反響在實質(zhì)中難于實現(xiàn)，甚至不可以實現(xiàn)。在這類情況下設(shè)計全維狀態(tài)觀察器，解決全維狀態(tài)反響的實現(xiàn)問題。（1）判斷系統(tǒng)狀態(tài)的能觀察性將式（11）中的數(shù)值代入能觀察性秩判據(jù)，得：rankNrankcTATcT(AT)2cT(AT)3cT4（15）可見被控系統(tǒng)的4個狀態(tài)均是可觀察的，即意味著其狀態(tài)可由一個全維（四維）狀態(tài)觀測器給出估值。此中，全維觀察器的運動方程為??（16）x(AGC)xBuGy式中TGg0g1g2g3全維觀察器已G配置極點，決定狀態(tài)向量預(yù)計偏差衰減的速率。全維觀察器的特色多項式為I(AGC)4g03(g111)2(11g0g2)(11g1g3)（17）設(shè)置狀態(tài)觀察器的希望閉環(huán)極點為-2，-3，-2+j,-2-j。則希望特色多項式為(2)32j2j4933124930（18）令（17）與（18）同次項的系數(shù)相等，可求得g0=9，g1=42，g2=-148，g3=-492因為最湊近虛軸的希望閉環(huán)極點為-2，這意味著任一狀態(tài)變量預(yù)計值最少以e2t規(guī)律衰減。狀態(tài)反響系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖以以下圖圖5單倒置擺全反響的全維觀察器的結(jié)構(gòu)圖仿真：代碼：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;V=obsv(A,c);m=rank(V);ifm==4disp('系統(tǒng)能觀')elsedisp('系統(tǒng)不可以觀')end結(jié)果1：仿真狀態(tài)反響下的狀態(tài)變量的階躍響應(yīng)曲線為注：“——”表示z的階躍響應(yīng)；“——”表示z的階躍響“——”表示θ的階躍響應(yīng)；“——”表示的階躍響應(yīng)；系統(tǒng)狀態(tài)與全維觀察器獲取的預(yù)計狀態(tài)之間的偏差曲線圖6帶全維觀察器的狀態(tài)反響下的狀態(tài)變量的階躍響應(yīng)曲線由上圖可知，全維狀態(tài)觀察器觀察到的4個變量的階躍響應(yīng)曲線與全狀態(tài)反響時的階躍響應(yīng)曲線基實情似，但是兩者還是有偏差的，只但是偏差很?。ㄈ缦到y(tǒng)狀態(tài)與全維觀察器得到的預(yù)計狀態(tài)之間的偏差曲線圖6所示，它們的偏差都在1010級其余，很?。?，全維狀態(tài)觀測器所得的性能基本滿足要求。方案二：降維觀察器的設(shè)計因為系統(tǒng)中的小車位移，可由輸出傳感器丈量，因此無需預(yù)計，可以設(shè)計降維（3維）狀態(tài)的觀察器。經(jīng)過重新擺列被控系統(tǒng)狀態(tài)變量的次序，把需由降維狀態(tài)觀察器預(yù)計變量與輸出傳感器測得的狀態(tài)變量分開，也就是說，將z作為第四個狀態(tài)變量，則依照被控系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出方程可變換為：z0100z1d00100（19）dt01100u1z1000z0zy0001z簡記為x1A11A12x1b1ux2A21A22x2b2式中x1yy0I1x2z01001x1，A11001,A120,b0011001x2zy,A21100A220,b20,I11,單倒置擺三維子系統(tǒng)動向方程為z010z1d0010udt01101zz100降維狀態(tài)觀察器動向方程的一般形式為w(A11hA21)w(b1hb2)u[(A11hA21)hA12hA22]y

20）21）22）23）x?1why式中，hh0h1h2

T

（24）使用matlab可求出降維狀態(tài)觀察器特色多項式為I(A11hA21)3h02(11h1)(11h0設(shè)希望的觀察器閉環(huán)極點為-3，2i，希望特色多項式為(3)(2i)(2i)3721715令式（25）和式（26）同次項的系數(shù)相等，解得h0=7，h1=-28，h2=-92所以由matlab的仿真可得降維觀察器的動向方程為710121w2801w0u194y9211013367??w28yx1xy0921使用降維狀態(tài)觀察器實現(xiàn)狀態(tài)反響的的單倒置擺系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖

h2)（25）（26）（27）（28）所示圖7單倒置擺全反響的降全維觀察器的結(jié)構(gòu)圖仿真：代碼：A=[0,-1,0,0;0,0,1,0;0,11,0,0;1,0,0,0];b=[1;0;-1;0];c=[0,0,0,1];d=0;N=size(A);n=N(1);sys=ss(A,b,c,d);S=ctrb(A,b)f=rank(S);iff==ndisp('系統(tǒng)能控')elsedisp('系統(tǒng)不可以控')endV=obsv(A,c);m=rank(V);ifm==ndisp('系統(tǒng)能觀')elsedisp('系統(tǒng)不可以觀')endP_s=[-1,-2,-1+i,-1-i];k=acker(A,b,P_s);symsh0h1h2symssh=[h0;h1;h2];A11=[0,-1,0;0,0,1;0,11,0];A12=[0;0;0];P=[-3,-2+i,-2-i];A22=0;A21=[1,0,0];eq=collect(det(s*eye(3)-(A11-h*A21)),s)systemeq=expand((s-P(1))*(s-P(2))*(s-P(3)))[h0,h1,h2]=sOlve('h0=7','-11-h1=17','-11*h0-h2=15')h=[h0;h1;h2];AW=(A11-h*A21)b1=[1;0;-1];b2=0;BU=b1-h*b2BY=(A11-h*A21)*h+A12-h*A22結(jié)果：系統(tǒng)能控系統(tǒng)能觀eq=s^3+h0*s^2+(-h1-11)*s-h2-11*h0systemeq=s^3+7*s^2+15+17*sh0=7h1=-28h2=-92AW=[-7,-1,0][28,0,1][92,11,0]BU=10-1BY=-21104336此中，AW、BU、BY分別為降維觀察器的動向方程中w、u、y的系數(shù)矩陣。仿真結(jié)果:（1）降維狀態(tài)觀察器時，變量z以及變量z的階躍響應(yīng)曲線（2）降維狀態(tài)觀察器時，變量θ以及變量的階躍響應(yīng)曲線解析比較兩種設(shè)計方案的性能比較兩種不一樣的觀察器下的發(fā)現(xiàn)：①在單位階躍的作用下，變量z在降維觀察器下的單位階躍曲線的調(diào)理時間ts要小于全維觀察器下的單位階躍曲線的調(diào)理時間ts。即小車的水平川址z在降維觀察器下的單位階躍曲線的動向性能較全維觀察器下的單位階躍曲線的動向性能要好一些，它們的穩(wěn)態(tài)性能則基本一致。②在單位階躍的作用下，變量θ在降維觀察器下的單位階躍曲線的調(diào)理時間ts要小于全維觀察器下的單位階躍曲線的調(diào)理時間ts，但是降維觀察器下的單位階躍曲線的超調(diào)量p%大于全維觀察器下的單位階躍曲線的超調(diào)量p%，即倒置擺出現(xiàn)的偏角θ在降維觀測器下的單位階躍曲線的動向性能比全維觀察器下的單位階躍曲線的動向性能要好一些，同樣兩者穩(wěn)態(tài)性能則基本一致。結(jié)論①解析兩種狀態(tài)觀察器下的單倒置擺全狀