第五講第五講神奇的九知識站牌六年級寒假

講（一）級秋季的九級暑期的計數(shù)級暑期的規(guī)律數(shù)論中棄九法的學習及棄九法的應(yīng)用漫畫釋義第11級下超常體系教師版 課堂引入大家一定非常喜歡數(shù)字謎吧，你能在一分鐘內(nèi)回答下面的數(shù)字謎嗎？首先不同的漢字代表不同的數(shù)字

樹 中中中中中中中中第一個為10899=9801，第二個為123456799111111111，其中這兩個數(shù)字謎中的“樹”都是9，99教學目標1、掌握加減法數(shù)字和與9的關(guān)系2、掌握多位數(shù)的計算中數(shù)字和與9的關(guān)系3、了解9在余數(shù)與數(shù)字謎中的應(yīng)用知識點回顧1. 314, 31415, 31415926， 【分析】314(mod9）=8，31415(mod9）=5，31415926(mod9）=4，142857(mod9=02. 并檢查自己填的是否正確【分析】一個數(shù)是9的倍數(shù)，那么它的數(shù)字和就應(yīng)該是9的倍數(shù)，即4□32□是9的倍數(shù)，而4329,所以只需要兩個方框中的數(shù)的和是9的倍數(shù)．依次填入3、6，因為4332618是9的倍數(shù)，所以43326是9的倍數(shù).3. 【分析】(85430)5(mod9)4. 檢驗下面的算式是否正確（1）46872×9537=447156404 （2）383831【分析】（1）46872是9的倍數(shù)，447156404÷9余8，即左邊是9的倍數(shù)，而右邊不是，因此算式.2第11級下超常體系教師版第五講注：棄九法僅能判斷出錯誤，若左右兩邊余數(shù)相等，等式不一定成立.如：18×365=6480.左右兩邊均是9的倍數(shù)，但算式卻是錯誤的.經(jīng)典精講一、整除中的9二、進位借位中的99三、棄九法：“棄九法”也叫做棄九驗算法，利用這種方法可以驗算加、減、乘、除、乘方計算的結(jié)果是否錯誤。把一個數(shù)的各位數(shù)字相加得9的數(shù)去掉，直到和是一個一位數(shù)，這個數(shù)就叫做原來數(shù)的棄九數(shù)．例如，3217：2+7=9 例題思路進位、模塊二：數(shù)論中的9：法應(yīng)用例1通過枚舉一些數(shù)回答下面的問題.(1)A的數(shù)字之和為5,B的數(shù)字之和為

,

A+B的數(shù)字之和為____.(2)A的數(shù)字之和為15,B的數(shù)字之和為13,A+B進位1次,則A+B的數(shù)字之和為____.(3)A的數(shù)字之和為15,B的數(shù)字之和為13,A-B沒有借位,則A-B的差的數(shù)字之和為____.(4)A的數(shù)字之和為15,B的數(shù)字之和為13,A-B借了1次位,則A-B的差的數(shù)字之和為____.通過上面幾道例題,你能否總結(jié)出數(shù)的加減與數(shù)字之和或差的關(guān)系.（學案對應(yīng)：超常1）【分析】(1)5+3=8,14+12=26,104+3=107,…可發(fā)現(xiàn)結(jié)果為5+3=8;第11級下超常體系教師版 (3)555-535=20,5127-4126=11,…15-13=2(4)555-418=137,5622-5503=119,…15-13+9=119.例26 1209【分析】由加法的運算性質(zhì)可知，這個豎式中，十位，百位相加均進位了，因此共進位2次，由例例3（1）111111×999999乘積的各位數(shù)字之和為______.（2）33333336666666乘積的各位數(shù)字之和為_____.（3）1993×123×999999乘積的各位數(shù)字之和為______.

k個9

k個9

)．1989個

乘積的各位數(shù)字之和為_______.于是我們采用添項湊整，簡化運算.原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-11111111110888889數(shù)字之和為9654法2：原式=111111×(1000000-1)=111111×1000000-111111×1=111111000000-111111213×6=18；33×66=2178；333×666=221778；3333×6666=22217778；……4第11級下超常體系教師版第五講n個3

22...2177...78(n-1)個2(n-1)個7

，則原式數(shù)字之和26176863法2：原式9999999222222222222220000000222222222222217777778所以，各位數(shù)字之和為7963法3：原式99999992222222222222200000002222222是有點繁瑣．則M×999999=×1000000-1）=1000000-=abcdef000000-abcdef相減時借位6次，所以差的數(shù)字之和為（a+b+c+d+e+f）-（a+b+c+d+e+f）+6×9=54（4）

999...91000k個9 k個0

MM

-的數(shù)字之和+9k=9k1989個1 1989 1989個9 1989

..99

99...9919891989個

的各個位數(shù)字之和為：1989=17901例41234567891011121314…20082009除以9，商的個位數(shù)字是_________.寫，所得到的數(shù)也能被9整除.由于200992232，所以除以9為4.第11級下超常體系教師版 里面介紹了一個檢驗加法是否正確的方法九法。一定錯誤。。利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數(shù)相加，對于檢驗相乘、和乘方的結(jié)果是否正確同樣適用。例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是的。但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式兩端一定棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復雜的數(shù)字謎問題。例5（2010年第15屆華杯賽決賽第5題） 【分析】一個數(shù)與其各位數(shù)字之和模9同余，顯然這個數(shù)除以9余6，這是一個同余類，其內(nèi)部的數(shù)從小到大排成一個等差數(shù)列，公差為9首項為6，末項為2004，其個數(shù)為例62008 【分析】法一（位值原理）：設(shè)這樣的四位數(shù)為abcd，則abcdabcd2008，即1001a101b11c2d2008，則a1或2．⑴若a2，則101b11c2d6，得bc0，d3，abcd2003；⑵若a1，則101b11c2d1007，由于11c2d11929117，所以101b1007117890，所以b8，故b為9，11c2d100790998，則c為偶數(shù)，且11c982980，故c7，由c為偶數(shù)知c8，d5，abcd1985；法二（同余）：設(shè)這樣的四位數(shù)為abcd，則abcdabcd20086第11級下超常體系教師版第五講由于abcdabcd(mod9)，所以abcdabcd2(abcd)20081(mod9)，那么abcd5(mod9)，即abcd除以9的余數(shù)是5，又不超過299929，所以abcd可以為5、14、23.如果是5，則abcd2008(abcd)200852003，滿足；如果是14，則abcd2008(abcd)2008141994，但1994數(shù)字和是23，不是14，不滿足；

cd

2008(abcd)2008231985

，滿足。所以，這樣的四位數(shù)有2003和1985兩個，其和為：200319853988．例7258，等式成立則其中未被選中的數(shù)字是_.□□+□□□+□□□□=201029，_____.□□□□+□□□+□□－□=2010.學解題”與“能力”的差的最小值是_______.最大值是_____.【分析】（1）根據(jù)棄九法，所有加數(shù)的各位數(shù)字總和與求得總和的各位數(shù)字之和應(yīng)該差9的整數(shù)x相同.右邊的余數(shù)是3，當x=3時，左右余數(shù)會相等.所以減數(shù)處的數(shù)字是3.除以9的余數(shù)相同.當x=6時成立，即未選中的數(shù)字為6.“于是差最小為1842-95=1757.第11級下超常體系教師版 1948-25=1923例8(第十三屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽)右圖是一個分數(shù)等式：等式中的漢字代表數(shù)字

1、2、34、5、6、7、89，同的漢字代表不同“由．北奧運會京夢想成真而：“D”＋“E”＋“F”＋“G”最大為：8＋7＋6＋5=26最小為：2＋3＋4＋5=14所以：“D”＋“E”＋“F”＋“G”=18“A”、“B”、“C”、“D”、“E”、“F”、“G”分別代表2-8所以：“A”“B”＋“C”=2＋3＋……8-18=17可以得出：“A”、“B”、“C”必是下面四組中的一組：8、7、2 8 8、5、4 7ABCDEFG

ABC+DEFGABC0根據(jù)數(shù)字和分析，加數(shù)的數(shù)字之和為A+B+C+D+E+F+G=35，和的數(shù)字和為一位，所以十位沒有向百位進位。所以有CG10,BF1C,進而有BFG9234所以有G2,3,4當G2時，C8,B3,F4,A17836,有63857426380當G3時，C7,B4,F2,A17476,有64758236470當G4時，C6,B3,F2,A17638,有836752483608第11級下超常體系教師版第五講動手嘗試用棄九法驗算乘除法運算是否正確413×212=875566=208知識點總結(jié)x(2)若A的數(shù)字之和為x,B的數(shù)字之和為y,A-B借位k次,則差的數(shù)字之和為x-y+9kk個9k個9

)乘積的各位數(shù)字之和為9k.附加題

將12345678910111213依次寫到第1997個數(shù)字，組成一個1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是________【分析】本題第一步是要求出第1997個數(shù)字是什么，再對數(shù)字求和．1～9共有9個數(shù)字，1099共有90個兩位數(shù)，共有數(shù)字：902180(個),100～999共900個三位數(shù)，共有數(shù)字：90032700(個),所以數(shù)連續(xù)寫，不會寫到999,從100開始是3位數(shù)，每三個數(shù)字表示一個數(shù)，(19979180)36022，即有602個三位數(shù)，第603個三位數(shù)只寫了它的百位和十位．從100開始的第602個三位數(shù)是701，第603個三位第11級下超常體系教師版 數(shù)是702，其中2未寫出來．因為連續(xù)9個自然數(shù)之和能被9整除，所以排列起來的9個自然數(shù)也能被9整除，702個數(shù)能分成的組數(shù)是：702978(組)，依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2未寫出來，所以余數(shù)為927．

(第十六屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽決賽)在圖中的加法豎式中，如果不同的漢字代表不同的數(shù)字，使得算式成立，那么滿足要求的不同算式共有多少種？十六屆+華杯初賽2011【分析】顯然華=1．和的數(shù)字之和除以9的余數(shù)應(yīng)該與加數(shù)上的數(shù)字之和除以9的余數(shù)相等，根據(jù)位進1位，下面就十位和個位的進位情況討論：以共有1×6×6+2×6×6+2×6×6=180種．93. 【分析】由于一個數(shù)除以9的余數(shù)等于這個數(shù)的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)，那么這五個四位數(shù)的最高的前2位和最小為10+10+23+24+34=101，而和的數(shù)字均是奇數(shù).因此前三位最小為099+1088+2547+2646+3735=111154. 9中的7個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，恰使得加法算式成立．則“第、十、一、．10第11級下超常體系教師版第五講

第十一2006【分析】法1：顯然十位和百位都出現(xiàn)了進位，所以有以下的等式：“第”=1，“十”“華”=9，如果“屆”“賽”沒有出現(xiàn)進位，那么“一”“杯”=10，“屆”“賽”=6，那么“屆”和“賽”一個是2現(xiàn)進位，那么“一”“杯”9，“屆”“賽”16，所以7個漢字代表的7個數(shù)字之和等于1991635．經(jīng)過嘗試“十”、“華”、“一”、“杯”、“屆”、“賽”分別是3、6、4、5、7、9時可滿足條件(答案不止一種)．

1為1，則202ab8917，其中滿足除以9余1的只有10，所以ab10，

A3333333332010個3

，那么A的各位數(shù)字之和等于

【分析

10A303303330

3330個2010個3 2010 2006個3

333273009370370370369700 2006個

，數(shù)字和為66810256705.家庭作業(yè)1. 【分析】100-50+5×9=952. 右邊的加法算式中，每個“□”內(nèi)有一個數(shù)字，所有“□”內(nèi)的數(shù)字之和最大可達到．第11級下超常體系教師版11【分析】法1：末尾和最大24，十位和最大18，百位和最大18，24+18+18=60法2：三個數(shù)字相加，最高可進2位.上式中均可進2位，因此方框內(nèi)的數(shù)字之和最大為+4+9×6=60

555333乘積的各位數(shù)字之和為_____. 2007個3【分析】

555333 2007個3

5552007個5

999N999 2007個9 2007個9，N為整數(shù)，由結(jié)論可知乘積的各位數(shù)字之2007×9=180634. 將1至2008這2008個自然數(shù)，按從小到大的次序依次寫出，得一個多位數(shù)：1234567891011121320072008，試求這個多位數(shù)除以9的余數(shù).【分析】數(shù)，但是由于1999與1999被9除的余數(shù)相同，2000與2000被9除的余99，5. 九位數(shù)則所有這些九位數(shù)的最大公因數(shù)為．【分析】

本題的范圍很大，必須縮小入手點．涉及因數(shù)倍數(shù)問題，首先思考這類數(shù)本身具有的特點．因為123945，所以無論次序如何，它們的數(shù)字之和總可以被9整除，因而9為所有這些九位數(shù)的公因數(shù)．99這362880個數(shù)的最大公因數(shù)．6. 個．【分析】839的數(shù)字和后(即數(shù)字和的82倍)是9的倍數(shù)；而82,91，所以數(shù)字和是9的倍數(shù)，原數(shù)是839747的倍數(shù)，12第11級下超常體系教師版第五講依次檢驗：74721494符合，而74732241和74742988均不符合．所以滿足條件的四位數(shù)只有1個．7. 在右邊的加法算式中，若每個字母均表示0到9中的一個數(shù)字，任意兩個字母表示的數(shù)字都不相同，也不與算式中已有的數(shù)字相同，則A與B乘積的最大值是多少？

CFDG10 AB【分析】因為ECF9DG10AB，等號兩邊除以9的余數(shù)相等，所以等號兩邊的各個數(shù)字的和除以9的余數(shù)相等，而所有數(shù)字的和是9的倍數(shù)，所以兩邊都是9的倍數(shù)，即10AB是9的倍數(shù)，由于AB7815，所以AB8，再根據(jù)“和一定，差小積大”，所以A、B的取值為3、5時，A與B乘積的最大值是15．8. 在右面的加法豎式中如果不同的漢字代表不同的數(shù)使得算式成立 十六屆華杯初賽 【分析】一需要進兩位，有兩種可能：9為了讓“華杯初賽”盡量大，“”應(yīng)盡量大，“十”應(yīng)盡量小(1)超常班學案第11級下超常體系教師版139減數(shù)，用豎式做減法運算時，有兩次借位.那么甲乙兩數(shù)之差的各位數(shù)字之和是____.【分析】9-10+2×9=17【分析】根據(jù)棄九法可得知，乘積是310313171113，適當組合可得知兩數(shù)為317217和1113143，和為360.【超常班學案3】將從1開始的到103的連續(xù)奇數(shù)依次排列寫成一個多位數(shù)：a=13579111315171921……9799101103.則數(shù)a共有_____位，數(shù)a除以9的余數(shù)是___.a6.所以，a被9除的余數(shù)是（7+6）被9除的余數(shù)，是4.【超常班學案4】將數(shù)字0-9填入下面十個方框內(nèi)，使等式成立，則共有_____種不同的填法.xy相同，只有x,y均為9的倍數(shù)時符合要求.再由數(shù)字謎的特點可知，1，0，9的位置固定，如下圖.CF9DG10AB.C+D=11=3+8=4+7有2種成立的情況.因此共有53!2!60種不同的填法.123班學案【123班學案1】用數(shù)字0、0、1、1、2、2、3、3、4、4、5、5、6、6、7、7、8、8、9、9組成五個四位數(shù)，要求這5個數(shù)的和的各位數(shù)字都是奇數(shù)，那么這個和數(shù)最大是 14第11級下超常體系教師版 第五講【分析】由于一個數(shù)除以9的余數(shù)等于這個數(shù)的各位數(shù)字之和除以9的余數(shù)，那么這五個四位數(shù)的，．注：最值問題，需要證明出理論最值，之后構(gòu)造成功