第14講第十四講算兩次知識站牌級秋季端考慮級秋季級秋季數(shù)形結(jié)合體考慮漫畫釋義第11級下超常體系教師版 教學(xué)目標(biāo)1. 2. 知識點回顧1. 這時酒深25cm．酒瓶的容積是多少？(π取3)【分析】觀察前后，酒瓶中酒的總量沒變，即瓶中液體體積不變．當(dāng)酒瓶倒過來時酒深25cm，因為酒瓶深30cm，這樣所剩空間為高5cm的圓柱，再加上原來15cm高的酒即為酒瓶的容積．酒的體積：15π

1010 2

的體積

1010(3025)π 2

125π酒瓶容積：375π125π500π1500(ml)2. 如圖所示，圓圈中分別填入0到9這10個數(shù)，且每個正方形頂點上的四個數(shù)之和都是18，則 算了一次，故AB9．3.

102110的整數(shù)部分．2第11級下超常體系教師版第14講個連續(xù)整數(shù)之間．

所以101101110210011即１1021101.14. 【分析】如圖：○○|○○○○|○○○○，將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9個空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有98236種方法．課堂引入大家都聽說過阿基米德測量皇冠體積的故事吧，阿基米德恰好是利用了水從一個容器倒入另一個容器的過程中形狀可以改變但體積不變，即水的體積用兩個形狀表示而將王冠的體積與容器中水的體積建立了等式從而測出水王冠的體積這就是我們今天要學(xué)習(xí)的一種重要思想算兩次利用這一思想相信大家能解決漫畫中薇兒的難題了吧。經(jīng)典精講算兩次，顧名思義就是對同一個量從兩個不同角度進行計算，對分別計算出的結(jié)果進行比較，從而得到某個新的結(jié)論.實際上，數(shù)學(xué)研究中有很大比例的定理就是利用算兩次的思想得來的.而在何等問題中算兩次思想也有比較多的應(yīng)用.證明中也大量采用了算兩次的思想但通常要找一個載體對這個載體從不同的方向，到不同的正確結(jié)論，因而建立了一個等式。例題思路一、幾何方面的算兩次第11級下超常體系教師版 二、其他法方面的算兩次例6：反證法上的說理例1如圖，在△ABC中有長方形DEFG，G、F在BC上，D、E分別在AB、AC上，AH是△ABC邊BC的高，交DE于M，DG:DE1:2，BC12厘米，AH8厘米，求長方形的長和寬．

B G H F C B G H F 【分析】連接HD,HE,設(shè)長方形的長為2x厘米，寬為x厘米，一方面三角形的面積為128248，另一方面三角形的面積可以轉(zhuǎn)化為四邊形DHE

(S△DBH

,因此有82x12x48，解得

x24，所以長方形的長為24

248厘米，寬為24

例2閱讀下列文字：我們知道對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積時，可以得到一個數(shù)學(xué)等（1）寫出圖（b）中所表示的數(shù)學(xué)等式（2）4第11級下超常體系教師版第14講例3)辦法被人稱為“矩形的完全正方形分解”，前幾年曾是圖論領(lǐng)域里頗為轟動的一樁新聞。如下圖，一面積是多少？【分析】設(shè)右上角正方形的邊長為x，由題意，將各正方形的邊長標(biāo)在九個正方形上面，如右圖所xx333，寬為x3x132，長方形的面積為33321056。例4積是多少毫升？，它的瓶身呈圓柱形)，．26.4π．2？第11級下超常體系教師版 ⑶一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米．現(xiàn)將一個底面積是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后．現(xiàn)在水深多少厘米？ （學(xué)案對應(yīng)：帶號2）20cm 100cm來后，變成圓柱體，根據(jù)標(biāo)示的格子就可以算出來．由于每分鐘輸2.5毫升，12分鐘已輸液2.51230(毫升)，因此開始輸液時液面應(yīng)與50毫升的格線平齊，上面空的部分是50毫升的容積．所以整個吊瓶的容積是10050150(毫升⑵由題意，液體的體積是不變的，瓶內(nèi)空余部分的體積也是不變的，因此可知液體體積是

26.4π

31

⑶水的體積除以水的底面積就是水的高度．(法1)：808(8016)6406410(厘米)；(法2)：設(shè)水面上升了x厘米．根據(jù)上升部分的體積=浸入水中鐵塊的體積列方程為：80x16(8)，解得：x2，8210(厘米)．(提問”圓柱高是15厘米”，和”高為12厘米的長方體鐵塊”這兩個條件給的是否多余？)⑷纏繞在一起時塑料薄膜的體積為：

202 2

822

(立方厘米)，薄膜展開后為一個長方體，體積保持不變，而厚度為0.04厘米，所以薄膜展開后的面積為8400π0.04659400平方厘米65.94平方米．另解：也可以先求出展開后薄膜的長度，再求其面積．由于展開前后薄膜的側(cè)面的面積不變，展開前為

20 2

(平方厘米)，展6第11級下超常體系教師版第14講【鞏固】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深10厘米．現(xiàn)將一個底面積是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后．現(xiàn)在水深多少厘米?【分析

8010(8016)12.5，因為12.512，所以此時水已淹沒過鐵塊，8010(8016)1232，32800.4，所以現(xiàn)在水深為120.412.4厘米【拓展】一只裝有水的圓柱形玻璃杯，底面積是80平方厘米，高是15厘米，水深13厘米．現(xiàn)將一個底面積是16平方厘米，高為12厘米的長方體鐵塊豎放在水中后．現(xiàn)在水深多少厘米?【分析】玻璃杯剩余部分的體積為80(1513)160立方厘米，鐵塊體積為1612192立方厘米，因為160192，所以水會溢出玻璃杯，所以現(xiàn)在水深就為玻璃杯的高度15厘米塊高但未溢出玻璃杯，③水有溢出玻璃杯.law里的物體受到豎直向上的浮力，浮力的大小等于被該物體排開的液體的重力但是在做好后，國王疑心工匠做的金冠并非全金，但這頂金冠確與當(dāng)初交給金匠的純金一樣重。工匠到底有沒有私吞黃金呢？既想檢驗真假，又不能破壞王冠，這個問題不僅難倒了國王，也使諸大臣們面面相覷。經(jīng)一大臣建議，國王請來阿基米德檢驗。最初，阿基米德也是冥思苦想而卻無計可施。一天，他在家洗澡，當(dāng)他坐進澡盆里時，看到水往外溢，同時感到身體被輕輕托起。他突然悟到可以用測定固體在水中排水量的辦法，來確定金冠的比重。他興奮地跳出澡盆，連衣服都顧不得穿上就跑了出去，大聲喊著“尤里卡！尤里卡！”意思是我知道了”。例5小張打算做一個兩位數(shù)乘以三位數(shù)的乘法，但粗心的他在計算時遺留掉了乘號，從而將兩位數(shù)直接放在三位數(shù)的左邊，形成一個五位數(shù)，該五位數(shù)恰好為應(yīng)得積的9倍，求原來的兩個數(shù)的乘積。（學(xué)案對應(yīng)：超常2）x1000x+y=9xy,(9y-1000)x=y,∴x=y/(9y-1000)>=10,∴y>=90y-10000,y0/89<112.4,=14,xy求。第11級下超常體系教師版 例6使每排中都有一個孩子的號碼數(shù)等于同排中其余孩子號碼數(shù)的和？并說明理由。【分析】如果可以按要求排成，每排中都有一個孩子的號碼數(shù)等于同排中其余孩子號碼數(shù)的和，那981+2+…+98=99×49數(shù)，矛盾！所以不能按要求排成。例7多少刀?（學(xué)案對應(yīng)：超常4）【分析】方法一：歸納法n我們知道內(nèi)部一個點貢獻(xiàn)360度角，原正方形的四個頂點共貢獻(xiàn)了360度角，所以當(dāng)內(nèi)部有n個點時，共有360n+360度角，而每個三角形的內(nèi)角和為180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2個三角形．n重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．議老師重點講方法二，此方法屬于算兩次）例8試說明

2nC0+C1+C2++Cnn n n （學(xué)案對應(yīng)：帶號4）8第11級下超常體系教師版第14講【分析】可以以數(shù)吃糖塊為載體，假設(shè)小明有n1塊糖，每天至少吃1塊，n1天或n1天之內(nèi)吃完，共有多少種吃法？將n1塊糖排成一行，這樣在n1塊糖之間就產(chǎn)生了n個空隙．可1個空隙都插入豎線，就代表著每天吃一塊糖，n1天吃完．一方面每個空隙都可以選擇插，這樣每一種插法都代表著一種吃法．由于每個空隙都有插或者不插兩個選擇，所以n個空隙就有2n種插法，即n1塊糖每天至少吃1塊，一共有2n種不同的吃法．令一方 種放法；如果兩天吃完，就是插有C1 n種放法，以此類推如果n1天吃完，就是插n條豎線，共有Cn 2nC0+C1+C2++Cnn n n 64=65?錯在哪里呢？數(shù)學(xué)上的視覺誤導(dǎo)？將3X8的長方形用對角線平分為兩個直角三角形，如圖黃色所示。再將5X8的長方形分為兩下面是轉(zhuǎn)化過程。梯形的上底和小直角三角形的底結(jié)合，然后組成大的直角三角形，兩個大直角三角形再組成大的長方形，這樣長方形就是5X13=65的長方形了。由于重新拼的過程中沒有加入什么新的東西，所以正方形和長方形的面積是相等的。由上面兩段話可以得出一個8X8=64=65=5x13?！痉治觥科唇舆^程中的斜線不是對角線，會產(chǎn)生一些縫隙，我們的眼睛無法觀察到思考題1. 第11級下超常體系教師版 【分析】利用勾股定理易得AB=5,利用

ACBC

=2.42. 右圖的長方形被分割成5個正方形，已知原長方形的面積為120平方厘米，求原長方形的長與寬．【分析是小正方形邊長的1.5倍，大正方形的面積是小正方形面積的1.51.52.25倍，所以小正方形面積為120(2.2523)16平方厘形的長為4312厘米，寬為4610厘米．3. 如圖所示，在長方形中放入六個形狀，大小相同的長方形，圖中陰影部分的面積是多少？【分析】為了便于觀察，對圖中長方形進行平移：

觀察圖中長方形的長與寬，不難發(fā)現(xiàn)它們有下列關(guān)系：所以：1個寬(146)(13)2，1個長268．

4. 7個完全相同的長方形拼成了圖中陰影部分圖中空白部分的面積是多少平方厘米【分析】由圖可知，1個長4個寬，1個長2個寬24，也就是寬的6倍是24厘米，則長方形的1第11級下超常體系教師版第14講4)5. 下圖內(nèi)9個相同的小長方形構(gòu)成大長方形，當(dāng)大長方形周長為90，則每個小長方形周長為 【分析】首先要分析出小長方形的：2個長3個寬所以小長方形的長為90109，小長方形的寬為92366. 意大利數(shù)學(xué)家斐德利哥(P．J．Federico)用23塊大大小小都不一樣的正方形填滿了長、寬之比正好一樁新聞．他的一位頑皮的小外甥問舅舅要去了答案，可是，小家伙漫不經(jīng)心，竟把最重要的數(shù)據(jù)——每個正方形的邊長——幾乎統(tǒng)統(tǒng)忘得一千二凈．幸好，舅舅的圖形還在，不過基本上成了一個沒有數(shù)據(jù)的空殼子．另外，他只記得圖中有兩個正方形的邊長是4與8．當(dāng)然，所有正方形的邊長全部都是自然數(shù)．有沒有辦法把全部數(shù)據(jù)復(fù)原?(只需將正方形的邊長填人圖中相應(yīng)的正方形內(nèi))【分析】如圖第11級下超常體系教師版 72 19 154 14 知識點總結(jié) 如圖有：abcd2. 說明一個等式要找到一個載體從兩個方面考慮得到正確結(jié)論家庭作業(yè)1. 1第11級下超常體系教師版第14講【分析】利用勾股定理易得AB=13,利用

ACBC

可得到CD=602. 試說明4xy(xy)2(xy)2【分析】如圖，以這個圖為載體，用兩種不同思路求面積即可3. 圖中的長方形被分割成6個正方形已知中央小正方形的面積是1平方厘米，求原來長方形的面積．】11厘米．為了求出長方形的面積，必須知道其它四個正方形的邊長，這樣須探究各個正方形邊長之間的關(guān)系了．x+2 x

如左上圖所示，把其余個正方形依次編號，那么號與號正方形大小、形狀完全相同．不妨設(shè)①號正方形的邊長為x，那么有：⑤號正方形的邊長為x1，④號正方形的變成為(x2)；③號正方形邊長為(x3)．另一方面，從右上圖可以看出，③號正方形的邊長也等于①號與②號正方形邊長的和減去中央陰影正方形的邊長1，即等于(xx1)．所以x3xx1，由此可得x4．4. 如圖，厚度為0.25毫米的銅版紙被卷成一個空心圓柱(紙卷得很緊，沒有空隙)，它的外直徑是180厘米，內(nèi)直徑是50厘米．這卷銅版紙的總長是多少米？【分析】卷在一起時銅版紙的橫截面的面積為

2

π 2

(平方厘米)，如果將其0.25第11級下超常體系教師版 長為7475π0.025938860厘米9388.6米．所以這卷銅版紙的總長是9388.6米．本題也可設(shè)空心圓柱的高為h，根據(jù)展開前后銅版紙的總體積不變進行求解，其中h在計算過程將會消掉．5. 【分析】因為計算它們的平均數(shù)時，得數(shù)保留一位小數(shù)的得數(shù)是15.9，所以它們的平均數(shù)不小于如右圖，把圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。問：有無可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？請說明理由?！痉治觥咳绻織l直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)，而五角星有五條邊，奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，那么五點，則每個圓圈都要計算兩次，因此，每個紅圈也都算了兩次，總個數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，得出矛盾。所以，不可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)。7. 不交叉的直線段它們的端點都是這些孔或正方形的頂點將這些正方形分割成一些三角形并且這些三角形內(nèi)部和邊上都不再有孔。問一共引了多少條線段？共得到多少個三角形？【分析】2013個小孔和正方形的4個頂點共有2017個頂點．我們從兩方面來計算所有三角形的內(nèi)角和。設(shè)共分成了n個三角形，于是它們的內(nèi)角和為180n．另一方面，這些三角形的內(nèi)角的頂點都是2017個點中的點．換句話說，它們的內(nèi)角都是由2017個點提供的．正方形的每個頂點都提供90度角，每個孔點則提供360度角．所以有36020133602014360，故得180n2014360．解得n4028，即共得到4028個三角形．這4028個三角形共有4但每條線段恰為兩個三角形的公共邊，所以，引出的線段總數(shù)為(402834)26040．8.

A1 A2 A3 A4 An 【】可以以數(shù)圖中的線段為載體條線段，因此圖中線段的條數(shù)與任意為線段的條數(shù)有n1條，因此一共有n(n1)321超常班學(xué)案1第11級下超常體系教師版第14講【超常班學(xué)案1】用邊長相同的正六邊形白色皮塊、正五邊形黑色皮塊總計32塊，縫制成一個足皮塊相鄰接．這個足球共有多少塊白色皮塊？【分析】設(shè)這個足球上共有x塊白色皮塊，則共有3x條邊是黑白皮塊共有的．另一方面，黑色皮塊有32x塊，共有5(32x)條邊是黑白皮塊共有的．由于在這個足球上黑白皮塊共有的邊是個定值，列得方程如下：3x5(32x)，解得x20．即這個足球上共有20塊白色皮塊．【超常班學(xué)案2】有34個偶數(shù)，如果保留一位小數(shù)是15.9，如果保留兩位小數(shù)，得數(shù)最小是【分析】由于這個平均數(shù)保留一位小數(shù)是15.9，所以它至少應(yīng)該是15.85，這34個數(shù)的和不小于15.8534538.9，而且和為偶數(shù)，所以最小為540，當(dāng)和為540時，平均數(shù)為5403415.882，所以保留兩位小數(shù)最小為15.88【超常班學(xué)案3】將15×15的正方形方格表的每個格涂上紅色、藍(lán)色或綠色．證明：至少可以找到兩行，這兩行中某一種顏色的格數(shù)相同．【分析】如果找不到兩行的某種顏色數(shù)一樣，那么就是說所有顏色的行與行之間的數(shù)目不同．那么和綠色也是，這樣就必須有至少：3×(0+l+2+…+14)=315個格子．【超常班學(xué)案4】在一個六邊形紙片內(nèi)有60個點，以這60個點和六邊形的6個頂點為頂點的三角形，最多能剪出_______個．【分析】方法一：設(shè)正六邊形內(nèi)有n個點，當(dāng)n1時有6個三角形，每增加一個點，就增加2個三n60時，可剪出124個三角形．方法二：設(shè)最多能剪出x個小三角形，則這些小三角形的內(nèi)角和為180x．換一個角度看，匯聚到正六邊形六個頂點處各角之和為4180，故這些小三角形的內(nèi)角總和為603604180．于是180x603604180，解得x124．123班學(xué)案【123班學(xué)案1】圖中的三角形都是等邊三角形，三角形A的邊長是24.7，三角形B的邊長是26．問：所夾三角形C的邊長是多少?第11級下超常體系教師版 C 21

【分析】如圖，設(shè)相應(yīng)的三角形的邊長是x和y，則可知：標(biāo)號為1的三角形的邊長是：26x標(biāo)號為4的三角形的邊長是：xy標(biāo)號為3的三角形的邊長是：yxy2yx最小的三角形的邊長是：x26x2x26；標(biāo)號為2的三角形的邊長是：2yx2x262yx26或

x2x26523x

xy24.7y2x39

x14.3

，可以得到三角形C的邊長是15.6．知紙的厚度為0.4毫