歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！平面向量與“四心”教(1)已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|，eq\o(NA,\s\up7(→))＋eq\o(NB,\s\up7(→))＋eq\o(NC,\s\up7(→))＝0，且eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PC,\s\up7(→))·eq\o(PA,\s\up7(→))，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的()A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，內(nèi)心(2)在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cosA＝eq\f(1,5)，O是△ABC的內(nèi)心．若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))，其中x，y∈[0,1]，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為()A．eq\f(10\r(6),3) B．eq\f(14\r(6),3)C．4eq\r(3) D．6eq\r(2)[思維架橋](1)△ABC的外心O1滿足O1A＝O1B＝O1C；△ABC的重心O2滿足eq\o(O2A,\s\up7(→))＋eq\o(O2B,\s\up7(→))＋eq\o(O2C,\s\up7(→))＝0；△ABC的垂心O3滿足O3A⊥BC，O3B⊥AC，O3C⊥AB．結(jié)合條件可得答案．(2)分析可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC的面積的2倍．在△ABC內(nèi)，利用余弦定理可求a＝7．由eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，解得r＝eq\f(2\r(6),3)(其中r為△ABC的內(nèi)切圓的半徑)，可得△BOC的面積，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積可求．(1)C(2)B解析：(1)由|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|知，O為△ABC的外心；由eq\o(NA,\s\up7(→))＋eq\o(NB,\s\up7(→))＋eq\o(NC,\s\up7(→))＝0知，N為△ABC的重心；因?yàn)閑q\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))，所以(eq\o(PA,\s\up7(→))－eq\o(PC,\s\up7(→)))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(CA,\s\up7(→))⊥eq\o(PB,\s\up7(→))，即CA⊥PB，同理AP⊥BC，CP⊥AB，所以P為△ABC的垂心．故選C．(2)根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△BOC的面積的2倍．在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得a＝7．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r，解得r＝eq\f(2\r(6),3)，所以S△BOC＝eq\f(1,2)×a×r＝eq\f(1,2)×7×eq\f(2\r(6),3)＝eq\f(7\r(6),3)，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△BOC＝eq\f(14\r(6),3)，故選B．三角形“四心”的向量表示(1)在△ABC中，若|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|或eq\o(OA,\s\up7(→))2＝eq\o(OB,\s\up7(→))2＝eq\o(OC,\s\up7(→))2，則點(diǎn)O是△ABC的外心．(2)在△ABC中，若eq\o(GA,\s\up7(→))＋eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→))＝0，則點(diǎn)G是△ABC的重心．(3)已知O，P為△ABC所在平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up7(→))＋\f(1,2)\o(BC,\s\up7(→))))，λ∈(0，＋∞)，則直線AP過△ABC的重心．(4)在△ABC中，若eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))·eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(OA,\s\up7(→))，則點(diǎn)O為△ABC的垂心．(5)在△ABC中，若|eq\o(BC,\s\up7(→))|·eq\o(OA,\s\up7(→))＋|eq\o(AC,\s\up7(→))|·eq\o(OB,\s\up7(→))＋|eq\o(AB,\s\up7(→))|·eq\o(OC,\s\up7(→))＝0，則點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心．(6)已知O，P為△ABC所在平面內(nèi)的任意兩點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up7(→)),|\o(AC,\s\up7(→))|)))(λ>0)，則直線AP過△ABC的內(nèi)心．[應(yīng)用體驗(yàn)]1．已知O是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心C解析：由原等式，得eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，即eq\o(AP,\s\up7(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，根據(jù)平行四邊形法則，知eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AD,\s\up7(→))(D為BC的中點(diǎn))，所以點(diǎn)P的軌跡必過△ABC的重心．故選C．2．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，則直線AD通過△ABC的()A．重心 B．外心C．垂心 D．內(nèi)心D解析：因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝2，所以eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\f(3,2)．設(shè)eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))，則|eq\o(AE,\s\u