淺談賭博問(wèn)題中賭本的公平分配1、緒論1．1綜述公平分配賭本問(wèn)題的大意是：甲、乙兩人各拿出相同的一份賭注來(lái)賭博，賭博形式是同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一點(diǎn)；若反面朝上，乙得一點(diǎn)，先積滿3點(diǎn)者贏取全部賭注。假定在甲得2點(diǎn)、乙得1點(diǎn)時(shí)，賭局由于某種原因中止了，問(wèn)應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理？這個(gè)問(wèn)題相傳是1645年法國(guó)著名數(shù)學(xué)家巴斯卡(Pas—cal)和費(fèi)馬(P·Fermae)多次書信來(lái)往中討論的一個(gè)問(wèn)題。費(fèi)馬與巴斯卡進(jìn)行了幾次通信，不僅完全地解決了這個(gè)古老的賭博難題，還為解決其他機(jī)會(huì)性游戲搭起了框架，于是后人把他們建立通信聯(lián)系的這一天看作是現(xiàn)代概率論的生日，概率論即由此而產(chǎn)生了。概率論作為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的學(xué)科。從它的起源至近并沒(méi)有多長(zhǎng)的時(shí)間，但是，在這段時(shí)期，特別是近期，概率論對(duì)人類社會(huì)的影響卻異常重要的。它已被廣泛的應(yīng)用于物理學(xué)、生物學(xué)、工程技術(shù)、農(nóng)業(yè)技術(shù)和軍事技術(shù)等諸多方面，近期更是有越來(lái)越多的概率論方法被引入經(jīng)濟(jì)、金融和管理科學(xué)，概率論成為它們的有力工具。而概率論引入統(tǒng)計(jì)后，更使統(tǒng)計(jì)方法體系越來(lái)越嚴(yán)謹(jǐn)、廣博，并形成具有自身特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)模式，即以概率論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)思想體系，使統(tǒng)計(jì)由描述走向推斷。概率論起源于15-16世紀(jì)時(shí)對(duì)賭博問(wèn)題的研究，通過(guò)對(duì)其中概率問(wèn)題研究討論，才使概率論逐漸發(fā)展成一門逐漸成型的學(xué)科。而它真正的奠基人是雅格布·伯努利（JacobBernoulli,1654-1705），他在遺著《猜度術(shù)》中首次提出了后來(lái)以“伯努利定理”著稱的極限定理，此書成為概率論的第一本專著，在概率論發(fā)展史上占有重要地位。由他的名字命名的伯努利試驗(yàn)和伯努利概型更是成為概率論中的經(jīng)典。之后又有棣莫弗、蒲豐、拉普拉斯、高斯、泊松、切貝謝夫和馬爾可夫等諸多名家對(duì)概率論做出了許多工作，使得概率論開(kāi)始形成了一門嚴(yán)密、系統(tǒng)的學(xué)科。伯努利概型是概率論中研究得最多的一種數(shù)學(xué)模型，盡管它比較簡(jiǎn)單，卻也概括了許多實(shí)際問(wèn)題，因而很有實(shí)用價(jià)值。而巴斯卡分布又作為伯努利概型中一個(gè)重要的分布形式，是一種非常簡(jiǎn)單、常用的隨機(jī)模型，被廣泛的應(yīng)用于產(chǎn)品檢驗(yàn)和質(zhì)量控制中。所以，我們現(xiàn)在來(lái)研究這個(gè)賭博問(wèn)題，研究巴斯卡分布是很有必要的。那么，就讓我們從巴斯卡和費(fèi)馬的方法開(kāi)始，來(lái)慢慢解答這個(gè)曾經(jīng)困擾了世界多年的問(wèn)題，同時(shí)，我也將嘗試著用現(xiàn)在已學(xué)到的概率論的知識(shí)來(lái)補(bǔ)充當(dāng)年他們沒(méi)做完的一些事，并充分的介紹一下巴斯卡分布。1．2基礎(chǔ)知識(shí)1、巴斯卡分布：巴斯卡分布既然是屬于伯努利概型，所以首先它便是滿足伯努利試驗(yàn)中的一些規(guī)律：在試驗(yàn)中，事件域可取為{，，，}，并稱出現(xiàn)A為“成功”，出現(xiàn)為“失敗”。這種只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)稱為伯努利試驗(yàn)。在伯努利試驗(yàn)中，首先是要給出下面概率：，。顯然p≥0，q≥0，且p+q=1。而巴斯卡分布的基本模型為：，k=r，r+1，…其描述的內(nèi)容為考察在伯努利試驗(yàn)中要多長(zhǎng)時(shí)間才會(huì)出現(xiàn)第r次成功。首先，若第r次成功發(fā)生在第ξ次試驗(yàn)，則必然有ξ≥r。我們以表示第r次成功發(fā)生在第k次試驗(yàn)這一事件，并以f（k；r，p）記其概率，發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)前面的k-1次試驗(yàn)中有r-1次成功，k-r次失敗，而第k次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果為成功，這些事件的概率分別為與p，于是利用試驗(yàn)的獨(dú)立性，得到即，k=r，r+1，…注意到，l=k-r這里利用了推廣的二項(xiàng)系數(shù)公式。證明如下：即得所求。2、巴斯卡分布的期望和方差：因?yàn)楫?dāng)r=1時(shí)，該分布便成為幾何分布，所以巴斯卡分布期望方差的計(jì)算可以依賴于幾何分布的結(jié)果，而幾何分布的期望方差又可通過(guò)對(duì)其矩母函數(shù)的求導(dǎo)來(lái)得出。如果隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的幾何分布，則可以通過(guò)對(duì)其矩母函數(shù)的求導(dǎo)得：現(xiàn)在由概率論的知識(shí)可知，假定X服從參數(shù)為r和p的巴斯卡分布，則X可以表示成r個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的和，且每個(gè)隨機(jī)變量均與是有相同的分布，則由幾何分布的結(jié)果得：。顯然，當(dāng)0<p<1時(shí)，其方差大于期望。2、巴斯卡與費(fèi)馬的通信2．1如何公平分配賭本對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，也許有人說(shuō)：甲應(yīng)該得到全部的100法郎，因?yàn)檫@個(gè)賭博只有兩種結(jié)果，而現(xiàn)在甲領(lǐng)先；又有人說(shuō)：既然比分是2：1，那么甲應(yīng)該得到賭金的2/3，乙得另外的1/3。但真實(shí)情況是怎樣的呢？據(jù)說(shuō)對(duì)于這個(gè)賭本問(wèn)題，巴斯卡和費(fèi)馬共有7封來(lái)往信件，其中巴斯卡致費(fèi)馬的有三封。不管真實(shí)情況是怎樣的，總之他們都給出了自己的答案，雖然是兩份看似不同的答案，但他們都不約而同的運(yùn)用到了組合工具和遞推公式，使得問(wèn)題能順利解決且直接推導(dǎo)出了雛形的巴斯卡分布函數(shù)。巴斯卡的做法是：可以先認(rèn)為甲、乙兩人贏得一局的概率相同，都是1/2，那么就可以從第四局開(kāi)始計(jì)算了。甲有兩種情況獲勝，即直接贏了第四局獲勝，它發(fā)生的概率為1/2。另一種情況是第四局輸了但第五局贏了，它發(fā)生的概率為乙贏得第四局的概率乘上甲贏得第五局的概率，為1/2*1/2，則甲獲勝的概率為1/2+1/2*1/2=3/4。同理，可計(jì)算出乙獲勝的概率為1/4，這也正是兩人公平分配賭本的方式。費(fèi)馬的做法是：也先需設(shè)雙方贏得一局的概率相同，都是1/2。之后顯然最多再比兩局便可分出勝負(fù)了，其中甲要獲勝，只需在這兩局中贏下一局即可。此時(shí)費(fèi)馬想到的是二項(xiàng)分布，即有甲獲勝的概率為，乙要獲勝則必須連贏兩局，其概率為，得到了與巴斯卡相同的答案。這兩種方法有著明顯的相同點(diǎn)，而且由此推出的結(jié)果的計(jì)算式子都是一樣的，這多少讓人看的有些眼花繚亂。其實(shí)這是再正常不過(guò)的了，因?yàn)樗麄冎皇菑牟煌慕嵌瘸霭l(fā)，最終推出的都是解決此類問(wèn)題的巴斯卡分布概率。那么巴斯卡和費(fèi)馬的推導(dǎo)又到底有那些不同，這個(gè)賭本問(wèn)題就只是這樣簡(jiǎn)單嗎？顯然兩位學(xué)者并不想就此放棄向深處探討的機(jī)會(huì)，否則他們也就成為不了偉大的學(xué)者。2．2巴斯卡與費(fèi)馬的通信現(xiàn)在讓我們?cè)倩氐侥莻€(gè)分賭本的問(wèn)題，在給定輸贏局?jǐn)?shù)的情況下，巴斯卡和費(fèi)馬都解出了相同的答案，但他們并不僅僅滿足于此，他們分別用自己的方法將此問(wèn)題推廣開(kāi)來(lái)，使問(wèn)題在輸贏局?jǐn)?shù)不給定的情況下也有了它的解法，這才是他們真正偉大和有區(qū)別之處了。首先，我們可以把問(wèn)題假設(shè)為：甲、乙兩人各拿出相同的一份賭注來(lái)賭博，賭博形式是同擲一枚硬幣，規(guī)定：正面朝上，甲得一點(diǎn)；若反面朝上，乙得一點(diǎn)，先積滿t點(diǎn)者贏取全部賭注。假定在甲得r點(diǎn)、乙得s點(diǎn)（r<t，s<t）時(shí)，賭局由于某種原因中止了，問(wèn)應(yīng)該怎樣分配賭注才算公平合理？顯然，根據(jù)以上所介紹的內(nèi)容，若以n=t-r及m=t-s分別記甲及乙為達(dá)到最后勝利所須再勝的局?jǐn)?shù)，又設(shè)甲在每局中取勝的概率仍為1/2，我們便可以把分賭本問(wèn)題歸結(jié)為如下概率問(wèn)題：在伯努利試驗(yàn)中，求在出現(xiàn)m次之前出現(xiàn)n次的概率。（為甲勝，為乙勝）。若以記上述概率，則它為甲最終取勝的概率，那么賭本以：1-分配是公平合理的。此時(shí)再來(lái)看巴斯卡和費(fèi)馬的方法，便可很容易的看出里面的一些不同之處了。在解決這個(gè)問(wèn)題上，巴斯卡首先接受了一些前人的觀點(diǎn)，即公平地分配賭本的原則只與雙方為獲勝所需贏得的局?jǐn)?shù)n，m有關(guān)。設(shè)為最終取勝的概率，總賭本為1，則既是獲勝的概率，又是期望，同時(shí)還是應(yīng)獲得的總賭本的比例。為了得到，巴斯卡考察了幾個(gè)簡(jiǎn)單的情況，如下表：nm(1)0k>01(2)kk1/2(3)1211/23/4(4)1313/47/8(5)1417/815/16(6)237/81/211/16通過(guò)細(xì)心觀察，巴斯卡很快發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并認(rèn)為對(duì)一般情況也成立，即：=+（1-1）邊界條件為：上式是一個(gè)簡(jiǎn)單的偏微分方程，也是一個(gè)遞歸方程。它非常類似算術(shù)三角形的一個(gè)性質(zhì)：巴斯卡對(duì)算術(shù)三角形的這個(gè)性質(zhì)當(dāng)然非常熟悉，于是他令=，便猜出=，（1-2）并且證明了他的猜想。實(shí)際上，式1-1是一個(gè)全概率公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，即如果賭博不被打斷，雙方再賭一局，則以1/2的概率或勝或敗，因此式1-1成立。費(fèi)馬考慮了一個(gè)簡(jiǎn)單的情況，=（2，3）。雖然賭博最多需進(jìn)行2+3-1=4局才結(jié)束，但也可能在這之前就結(jié)束。不過(guò)費(fèi)馬認(rèn)為想象賭博共進(jìn)行4局并不影響賭本的分配結(jié)果，這一點(diǎn)可從下表中看出：第一局結(jié)果第二局結(jié)果第三局結(jié)果第四局結(jié)果最終結(jié)果從表中可以看出，在總共16種結(jié)果中，有4種甲在第二局勝出；有4種甲在第三局中勝出；有3種甲在第四局勝出。據(jù)此費(fèi)馬得出結(jié)論：。推廣到一般情況，不妨設(shè)n<m，則甲可能在第n局取得最終勝利，也可能在第n+1，…，n+i，…，n+m-1局取得最終勝利。利用加法公式和負(fù)二項(xiàng)公式不難得出結(jié)論：。（1-3）費(fèi)馬并未直接給出式1-3，但他在信中明顯認(rèn)為=（2，3）時(shí)的結(jié)論對(duì)一般情況也成立。至此，巴斯卡與費(fèi)馬終于聯(lián)手解決了賭本分配問(wèn)題，同時(shí)也為最終建立概率原理邁出了偉大的一步。不難證明，兩人給出的結(jié)論是一致的。不過(guò)費(fèi)馬明顯使用的是負(fù)二項(xiàng)式，而現(xiàn)代人卻稱之為巴斯卡分布。故此時(shí)的分賭本問(wèn)題的解決方案為：1-=：1-=：1-巴斯卡和費(fèi)馬的通信除了正確解決了一些問(wèn)題和概念之外，還創(chuàng)造了一種研究的傳統(tǒng)——用數(shù)學(xué)方法（主要是組合數(shù)學(xué)的方法）研究和思考機(jī)會(huì)性游戲。這種傳統(tǒng)統(tǒng)治這個(gè)領(lǐng)域達(dá)半個(gè)多世紀(jì)的時(shí)間。所以，綜合考慮所有這些因素，這個(gè)事件贏得它在數(shù)學(xué)概率論的歷史中的標(biāo)志性地位是當(dāng)之無(wú)愧的。3、會(huì)對(duì)公平分配賭本產(chǎn)生影響的因子前面的章節(jié)我們已經(jīng)對(duì)分賭本問(wèn)題的模型進(jìn)行了初步了解，那么，現(xiàn)在我們就要接著開(kāi)始分析在這個(gè)問(wèn)題中參數(shù)對(duì)最后分賭本的影響。畢竟，在實(shí)際問(wèn)題中，各個(gè)參數(shù)是很難有其確切的數(shù)字來(lái)讓我們計(jì)算的，在這個(gè)時(shí)候，我們便只能對(duì)結(jié)果進(jìn)行估計(jì)，而正確或者說(shuō)與實(shí)際情況能相差不遠(yuǎn)的估計(jì)，則必須要進(jìn)行科學(xué)的計(jì)算和估計(jì)，才能最終做出有效合理的判斷。即分析出各參數(shù)對(duì)模型的影響，從中掌握規(guī)律，此后便可由此對(duì)相類似的問(wèn)題做出快速的判斷了。就像巴斯卡所想的一樣：公平地分配賭本的原則只與雙方為獲勝所需贏得的局?jǐn)?shù)n，m有關(guān)。但顯然，我們不能只憑直觀的判斷就說(shuō)所需贏得的局?jǐn)?shù)越多，則所能分到的賭本越少，這需要做出科學(xué)的運(yùn)算才能下定論，這就需要我們對(duì)巴斯卡分布有更深入的了解。3．1p對(duì)n的影響首先，我們可以從p、q對(duì)分賭本問(wèn)題的影響開(kāi)始。因?yàn)樵谠瓎?wèn)題中，這兩個(gè)概率都被假設(shè)為1/2，即在兩人輸贏概率相同的情況下進(jìn)行的，那么，當(dāng)p≠q的時(shí)候呢，它們對(duì)n，m，對(duì)分配賭本的影響會(huì)怎樣？顯然，此時(shí)的分配形式只需將1-1式中的因子1/2改成p、q就可以了。即：=+同樣的，根據(jù)巴斯卡的猜想和證明及費(fèi)馬的證明可以得出=由于，而兩個(gè)概率分別影響著甲、乙兩個(gè)賭徒，所以只需要考慮其中一人即可，另一人的情形可同理推出，本文選甲作為考察對(duì)象，則分配概率比可化為：：1-=：1-首先我們可以先了解巴斯卡分布中r的極大似然估計(jì)因?yàn)榘退箍ǚ植嫉钠谕头讲罘謩e為。因此，由中心極限定理可得：由上式可得：如果p已知，未知參數(shù)r的置信度為的置信區(qū)間可由如下不等式確定為：假設(shè)，解不等式，得，從而可得r的置信度為的置信區(qū)間為：如果p未知，則只需將原式中的p用替代，那么，r的置信度為的置信區(qū)間仍為原來(lái)的形式?；氐椒仲€本的問(wèn)題，此時(shí)巴斯卡分布中的p則代表著甲贏下一局的概率，r即為甲最終獲勝還需贏下的局?jǐn)?shù)n。從它的置信區(qū)間可以看出，當(dāng)p變大時(shí)，區(qū)間的最大、最小值也跟著變大，表示n也變大了。這是在固定的大樣本，即假想的甲需要獲勝的局?jǐn)?shù)中，可見(jiàn)在此條件下，甲其實(shí)已經(jīng)贏得了更多的局?jǐn)?shù)，也就是說(shuō)，在為了保持分配概率不變的情況下，n必須變大，可見(jiàn)，p的增加其實(shí)是使n減小了的。3．2n對(duì)公平分配賭本的影響要準(zhǔn)確的分析出n對(duì)公平分配賭本的影響還得要回到巴斯卡的方法，那個(gè)算術(shù)三角形和其中的一些性質(zhì)。巴斯卡的幾個(gè)簡(jiǎn)單的舉例如下：nm(1)0k>01(2)kk1/2(3)1211/23/4(4)1313/47/8(5)1417/815/16(6)237/81/211/16這個(gè)表及其推廣形式有如下性質(zhì)可體現(xiàn)出n對(duì)對(duì)公平分配賭本的影響：該表所描述的情況只為nm時(shí)，因?yàn)榧住⒁覂扇耸窍鄬?duì)的，即：=：1-，所以n>m的情況可以相似的推倒出來(lái)，即將第二行的改為0便可以了。而此處則只考慮nm時(shí)的情況，當(dāng)時(shí)，則有。由此我們可以推出，顯然的，（其中a為任一正整數(shù)）也不一定會(huì)等于?？梢?jiàn)我們也不能光按比賽雙方還需要贏得的局?jǐn)?shù)的比例來(lái)分配賭本。表中必然有>。實(shí)際上，巴斯卡的方法是令=則有=，=。而又有nm，且都為大于1的自然數(shù)，故有n，此時(shí)由二項(xiàng)式的性質(zhì)便可看出：>又，通過(guò)上文的證明可得：，其中有。則可看出小于等于后兩項(xiàng)中的較大項(xiàng)，大于等于后兩項(xiàng)中的較小項(xiàng)，即。由此可得：當(dāng)，即時(shí)，也將永遠(yuǎn)的大于，即若甲每一場(chǎng)的勝率大于乙，且他獲勝所需贏下的局?jǐn)?shù)小于乙時(shí)，他必然可以分到一半以上的賭本；而當(dāng)時(shí)呢？的取值范圍即為，也就是說(shuō)，此時(shí)的甲只要獲勝所需贏下的局?jǐn)?shù)小于乙，仍然有希望拿到一半以上的賭本，例如：當(dāng)時(shí)，若要=，則有，解得，即此時(shí)只要，甲便可獲得一半以上的賭本了。該性質(zhì)便表明了賭本的公平分配不能只由或以往的勝負(fù)情況來(lái)決定。最后，當(dāng)增大時(shí)，來(lái)看看甲所分配到的賭本做何變化，此時(shí)需保證不變。我們可以假設(shè)增加了個(gè)量，則有變?yōu)椋缮鲜鲂再|(zhì)可得：，其中即得，依次類推下去則有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立從中可以看出，除非甲贏一局的概率為1，否則當(dāng)他所需獲勝的局?jǐn)?shù)增加時(shí)，他所能分到的賭本必然減小。從中我們應(yīng)該還能獲取到更多的信息，就像概率論本身也正在發(fā)展中一樣，以后我們應(yīng)該還能對(duì)分賭本問(wèn)題做出更多的分析，得出更新的結(jié)論。4、推廣——當(dāng)賭博者大于兩人時(shí)4．1解決方案的提出作為導(dǎo)致概率論誕生的賭博問(wèn)題，當(dāng)然不可能僅僅只有巴斯卡和費(fèi)馬兩個(gè)人研究，也不可能只研究到這個(gè)地步，隨著概率論的發(fā)展，對(duì)賭博問(wèn)題的深入也在一步一步的前行著?；莞沟摹墩撡€博中的計(jì)算》一書便是其中的一部?jī)?yōu)秀的代表。該書最大的貢獻(xiàn)莫過(guò)于創(chuàng)立了數(shù)學(xué)期望，給其下了定義為：贏取某物的機(jī)會(huì)或期望（ChanceorExpectation）等于這樣一個(gè)和，即是在一個(gè)公平賭博中他將以同樣的機(jī)會(huì)和期望會(huì)獲得的那些。雖然措辭有點(diǎn)晦澀，但正是有了這一步的邁出才會(huì)有以后概率論的迅猛發(fā)展。惠更斯就這個(gè)期望提出了一個(gè)公理：每個(gè)公平博弈的參與者愿意拿出經(jīng)過(guò)計(jì)算的公平賭注冒險(xiǎn)而不愿拿出更多的數(shù)量。即賭徒愿意押的賭注不大于其獲得賭金的數(shù)學(xué)期望數(shù)。惠更斯對(duì)分配賭本問(wèn)題的解題思路為：賭徒分得賭本的比例等于其獲勝的概率。他假設(shè)賭徒在每局獲勝的概率不變，且各局間相互獨(dú)立。這樣就可以將所有問(wèn)題歸結(jié)為一般問(wèn)題：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中某隨機(jī)事件每次成功的概率為p，重復(fù)獨(dú)立進(jìn)行該試驗(yàn)若干次，求在b次失敗前取得a次成功的概率。既然思路是一樣的，那么解題過(guò)程當(dāng)然也就大同小異了。例如對(duì)有三個(gè)賭徒（甲、乙、丙）在分賭本時(shí)，他們獲勝概率則為：，（l，m，n分別代表三人獲勝還需贏得的局?jǐn)?shù)；x，y，z分別代表三人贏下一局的概率），依次類推即可得其他人的概率了。即：x在獲得l局勝利前最多還可以比賽局，第局甲贏得最終賭博。而在前面乙、丙兩人則又可組合出種贏下最多局的可能。由此便可衍生出更多人一起賭博時(shí)的情況了。不管怎樣，惠更斯的《論賭博中的計(jì)算》標(biāo)志著概率論正式誕生了，它也對(duì)賭博問(wèn)題有了許多完美的解答。4．2影響結(jié)果的因子顯然，雖然多了一個(gè)人來(lái)參與賭博，但這并不影響決定賭本分配的原則，而此時(shí)在每人分配的概率公式中有的因子仍是x和l，而且還需贏的局?jǐn)?shù)l仍是影響公平分配賭本的主要因子。式中的形式雖有所不同，但其實(shí)變化并不大，只是多了幾個(gè)無(wú)關(guān)緊要的式子，所以x對(duì)l的影響仍然是不變的，即x增大時(shí)，甲獲勝所需贏得的局?jǐn)?shù)l將會(huì)減少。這也是能從直觀上理解到的，這也正如上面所說(shuō)，并不是影響公平分配賭本的重點(diǎn)，只是通過(guò)對(duì)l的影響來(lái)間接的影響而已。下面看看l又是如何起到其作用的，本文將借鑒兩人賭博時(shí)巴斯卡所使用的方法——考察幾個(gè)簡(jiǎn)單的情況：lmn(1)0k>0j>01(2)k>00j>00(3)k>0j>000(4)kkk1/3以上為此種情況下的一些邊界條件，此時(shí)認(rèn)為三人贏下一局的概率相同，都為1/3。而其中表示的即為甲所能分配到賭本的比例。lmn(5)112101/34/9(6)12111/304/9(7)113104/913/27(8)13114/9013/27 由上可看出只是n，m兩個(gè)值相互交換時(shí)，值不變，和值則是相互交換。其實(shí)這也正表明在計(jì)算一個(gè)人的分配概率時(shí)，另兩個(gè)人所還需贏下的局?jǐn)?shù)便并不重要了，只需要知道具體數(shù)字，卻并不需將這些數(shù)字具體到個(gè)人了。lmn(9)12214/94/917/27(10)123113/2717/2757/81(11)132117/2713/2713/27(12)2111/3001/9(13)2214/91/905/27(14)3215/271/2702/27綜上可看出：1、當(dāng)n=m時(shí)=；當(dāng)n<m時(shí)，<；當(dāng)n>m時(shí)>。可見(jiàn)、二維仍有著兩人賭博時(shí)表中的一些特性，其實(shí)只要將它們的共同點(diǎn)l，則l所帶來(lái)的影響仍將不留在式中，便可放心設(shè)出與的情形，通過(guò)3.2中的介紹便可得出以上結(jié)論了，但這并不適用于與另兩項(xiàng)，因?yàn)檫@里要討論的便是l對(duì)的影響，所以并不能將l也帶如原方法中，忽略其影響。2、經(jīng)多項(xiàng)對(duì)比可得下式：且為右式三項(xiàng)最大的一項(xiàng)，這主要體現(xiàn)在：對(duì)于甲，影響他獲勝的最重要的一個(gè)數(shù)據(jù)只會(huì)是自己還需贏下的局?jǐn)?shù)，而非另兩人所需的，該結(jié)論表現(xiàn)的就是這樣的一個(gè)比重。3、由上則可得，當(dāng)且僅當(dāng)后兩項(xiàng)都為0時(shí)等號(hào)成立。