第二章§2.2函數(shù)的極限

§2.3無窮小量●

無窮大量§2.1數(shù)列的極限第

二

章極限●連續(xù)§2.4函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二章§2.2函數(shù)的極第二章2.1.4數(shù)列極限的四則運算2.1.3數(shù)列極限的概念§2.1數(shù)列的極限2.1.1問題的引入2.1.2數(shù)列概念2.1.5數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二章2.1.4數(shù)列極限的2.1.1問題的引入引例.設(shè)有一半徑為r的圓,如圖所示,可得：當(dāng)n無限增大時,解：分別表示圓內(nèi)接正n邊形的周長與面積,的變化特征如何？“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣?！眲⒒眨涸噯枺涸嚽笃渲荛Ll與面積A

?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.1問題的引入引例.設(shè)有一半徑為r的2.1.2數(shù)列的概念按自然數(shù)的順序排列的一串實數(shù):稱為（實）數(shù)列。or由函數(shù)的概念，數(shù)列可視為自變量取自然數(shù)的函數(shù)（即定義域為N的函數(shù)），或整序變量。還可理解為數(shù)軸上不斷運動著的點列，隨著時刻的推移在數(shù)軸上依次取各點。從幾何上看，故數(shù)列也常被稱為整標(biāo)函數(shù)記作：記作：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.2數(shù)列的概念按自然數(shù)的順序例如：●0●1●●●●●●-1●●●●●●●●●●●●●●●●●●0●●1-1又如：再如：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如：●0●1●●●●●●-1●●●●●●●●●●●●●●例如：●0●●●●●●●●●●●●●●●再如：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如：●0●●●●●●●●●●●●●●●再如：機動的量在各個時刻所處的狀態(tài)，這對于研究問題無疑是有益的，但這還不夠，的變化趨勢。也就是說，當(dāng)n無限增大時，是如何變化的？是否與某個常數(shù)無限的接近？Ⅰ)如何度量兩個數(shù)的接近程度？Ⅱ）如何刻畫無限接近？對于用數(shù)列所描述的實際問題而言，我們怎樣才能找到這個常數(shù)？是一個理論問題。這就提出了以下急待解決的問題：假若如此，這個常數(shù)該是多少？后者是一個方法問題，而前者則其取值反映了所關(guān)心我們不僅關(guān)心這個量在固定時刻的取值，更關(guān)注重它機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的量在各個時刻所處的狀態(tài)，這對于研究問題無疑是有益的，但這還如對于數(shù)列：由于反映了與“1”的接近程度，與1就“越接近”，顯然，隨著

n

“

越大”，要使故只要就能保證從100項之后的各項與數(shù)1的距離均小于也就是說：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束只須即可，例如：如對于數(shù)列：由于反映了與“1”的接近程度，與1就要使只須即可，也就是說：完全類似地，一般地，只須取當(dāng)時，即：有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對于任意地要使要使只須即可，也就是說：完全類似地，一般地，只須取當(dāng)時，即：2.1.3數(shù)列極限的定義定義設(shè)是一數(shù)列，對于任意給定的正數(shù)總存在著自然數(shù)N

，當(dāng)n>N

時都有：或則稱數(shù)列是收斂（于a）的；常數(shù)a

稱為數(shù)列(當(dāng)

n趨于無窮時)的極限?；蚧蛉绻麛?shù)列不收斂，就稱之是發(fā)散的。記作：若常數(shù)a滿足：的一切機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.3數(shù)列極限的定義定義設(shè)是一數(shù)列，對于任意給定的正數(shù)例如,趨勢不定收斂發(fā)散機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,趨勢不定收斂發(fā)散機動目錄上頁例1.設(shè)驗證數(shù)列的極限為C。

證:對任一自然數(shù)，都有：因此,取則當(dāng)時,就有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束C為常數(shù)，例1.設(shè)驗證數(shù)列的極限為C。證:對任例2.設(shè)驗證：證:欲使只要即取則當(dāng)時,就有故故也可取也可由N與有關(guān),但不唯一不一定取最小的N.說明:

取機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)驗證：證:欲使只要即取則當(dāng)時,就有故故也可取例3.設(shè)驗證等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時,就有故的極限為

0.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)驗證等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,例4.驗證：證:欲使只要即即因此,取則當(dāng)n>N時,就有故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令則例4.驗證：證:欲使只要即即因此,取則當(dāng)n>注明：N與

的關(guān)聯(lián)性以及N選取的多樣性；幾何解釋:改變數(shù)列有限項之值，其斂散性不受影響，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

取值的任意性與相對(尋求N時)的確定性；若收斂，其極限值也不變；但對于某個特定的若有無限多項，x是數(shù)列極限的一種邏輯法則，并非求極限的方法；注明：N與的關(guān)聯(lián)性以及N選取的多樣性；幾何解例5.

證明數(shù)列是發(fā)散的。

證:用反證法假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a存在。取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N時,有因此該數(shù)列發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.證明數(shù)列是發(fā)散的。證:用反證法假設(shè)數(shù)列收斂2.1.4收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（有界與唯一性）收斂數(shù)列必是有界的且極限是唯一的。證:先證有界性：取從而有取則有有當(dāng)時,則收斂于a，即設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.4收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（有界與唯一性）收斂數(shù)列必再證唯一性：用反證法：及且取因故存在N1,同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時,有使當(dāng)n>N1時,有假設(shè)則當(dāng)n>N時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束不妨設(shè)且這與矛盾。再證唯一性：用反證法：及且取因故存在N1,同理,定理2（保序性）證:

設(shè)即：ⅱ）用反證法，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)均收斂，?。┤簪ⅲ┤簪。┤∮蓸O限的唯一性證明知，存在著N

，當(dāng)n>N

時，有若即由ⅰ）得這與題給條件矛盾。定理2（保序性）證:設(shè)即：ⅱ）用反證法，機動說明:在ⅰ）中用的是嚴(yán)格的不等號；在ⅱ）中用的是非嚴(yán)格的嚴(yán)格的不等號，如：顯然：推論1設(shè)收斂，a,b均為常數(shù)，且不等號，?。┤簪ⅲ┤糁灰诒Ｐ蛐远ɡ碇?，分別取再分別與作比較即得驗證。即使把ⅱ）條件改為嚴(yán)格的不等號，其結(jié)論也未必是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:在?。┲杏玫氖菄?yán)格的不等號；在ⅱ）中用的是非嚴(yán)格的嚴(yán)格推論2（保號性）設(shè)顯然，只須在推論1中，分別令a,b等于0即可。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束?。┤簪ⅲ┤襞cc同號;推論2（保號性）設(shè)顯然，只須在推論1中，分別令a定理（四則運算法則）設(shè)均收斂，則?。ⅲ＃┩普撛O(shè)為常數(shù)，且收斂，則?。ⅲ＃ぃC動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理（四則運算法則）設(shè)均收斂，則?。ⅲ＃┩普撛O(shè)為常數(shù)，且2.1.5數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則證:

由條件(2),當(dāng)時,當(dāng)時,令則當(dāng)時,有由條件(1)即故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1)(P30定理4)設(shè)數(shù)列滿足：2.1.5數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則證:由例6.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機動目錄上例7.計算解：1）當(dāng)a=1時，顯然有極限為1；2）當(dāng)a>1為一定值且n>[a]時，由夾擠原理得：綜上討論得：有3）當(dāng)時，有由2）得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.計算解：1）當(dāng)a=1時，顯然有極限為1；22.單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（準(zhǔn)則Ⅱ）(P30定理5)(證明略)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)數(shù)列滿足：?。ⅲ?.單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（準(zhǔn)則Ⅱ）(P30定理5)(例8.設(shè)證明數(shù)列收斂.(P30例11)證:利用不等式（n個正數(shù)的幾何平均小于其算術(shù)平均），有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由此可見數(shù)列是單調(diào)增的；n+1項相乘n+1項相加例8.設(shè)證明數(shù)列收斂.(P30例11)證:利根據(jù)準(zhǔn)則Ⅱ可知數(shù)列記此極限記為e,e為無理數(shù),其值為：即收斂.原題目錄上頁下頁返回結(jié)束又根據(jù)準(zhǔn)則Ⅱ可知數(shù)列記此極限記為e,e為無理數(shù),其內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N

”定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號性;3.極限收斂準(zhǔn)則:夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N”定義及應(yīng)用2.思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.找一個趨于∞的子數(shù)列;方法2.找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2.已知,求時,下述作法是否正確?說明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對!此處機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.如何判斷極限不存在?方法1.找一個趨于∞的作業(yè)P303(2),(3),4,6P564(1),(3)4(3)提示:可用數(shù)學(xué)歸納法證第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)P303(2),(3),4,6故極限存在，備用題

1.設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故極限存在，備用題1.設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.設(shè)證:顯然證明下述數(shù)列有極限.即單調(diào)增,又存在“拆項相消”法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.的方法:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)

校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主第二章§2.2函數(shù)的極限

§2.3無窮小量●

無窮大量§2.1數(shù)列的極限第

二

章極限●連續(xù)§2.4函數(shù)的連續(xù)性機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二章§2.2函數(shù)的極第二章2.1.4數(shù)列極限的四則運算2.1.3數(shù)列極限的概念§2.1數(shù)列的極限2.1.1問題的引入2.1.2數(shù)列概念2.1.5數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二章2.1.4數(shù)列極限的2.1.1問題的引入引例.設(shè)有一半徑為r的圓,如圖所示,可得：當(dāng)n無限增大時,解：分別表示圓內(nèi)接正n邊形的周長與面積,的變化特征如何？“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”劉徽：試問：試求其周長l與面積A

?機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.1問題的引入引例.設(shè)有一半徑為r的2.1.2數(shù)列的概念按自然數(shù)的順序排列的一串實數(shù):稱為（實）數(shù)列。or由函數(shù)的概念，數(shù)列可視為自變量取自然數(shù)的函數(shù)（即定義域為N的函數(shù)），或整序變量。還可理解為數(shù)軸上不斷運動著的點列，隨著時刻的推移在數(shù)軸上依次取各點。從幾何上看，故數(shù)列也常被稱為整標(biāo)函數(shù)記作：記作：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.2數(shù)列的概念按自然數(shù)的順序例如：●0●1●●●●●●-1●●●●●●●●●●●●●●●●●●0●●1-1又如：再如：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如：●0●1●●●●●●-1●●●●●●●●●●●●●●例如：●0●●●●●●●●●●●●●●●再如：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如：●0●●●●●●●●●●●●●●●再如：機動的量在各個時刻所處的狀態(tài)，這對于研究問題無疑是有益的，但這還不夠，的變化趨勢。也就是說，當(dāng)n無限增大時，是如何變化的？是否與某個常數(shù)無限的接近？Ⅰ)如何度量兩個數(shù)的接近程度？Ⅱ）如何刻畫無限接近？對于用數(shù)列所描述的實際問題而言，我們怎樣才能找到這個常數(shù)？是一個理論問題。這就提出了以下急待解決的問題：假若如此，這個常數(shù)該是多少？后者是一個方法問題，而前者則其取值反映了所關(guān)心我們不僅關(guān)心這個量在固定時刻的取值，更關(guān)注重它機動目錄上頁下頁返回結(jié)束的量在各個時刻所處的狀態(tài)，這對于研究問題無疑是有益的，但這還如對于數(shù)列：由于反映了與“1”的接近程度，與1就“越接近”，顯然，隨著

n

“

越大”，要使故只要就能保證從100項之后的各項與數(shù)1的距離均小于也就是說：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束只須即可，例如：如對于數(shù)列：由于反映了與“1”的接近程度，與1就要使只須即可，也就是說：完全類似地，一般地，只須取當(dāng)時，即：有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對于任意地要使要使只須即可，也就是說：完全類似地，一般地，只須取當(dāng)時，即：2.1.3數(shù)列極限的定義定義設(shè)是一數(shù)列，對于任意給定的正數(shù)總存在著自然數(shù)N

，當(dāng)n>N

時都有：或則稱數(shù)列是收斂（于a）的；常數(shù)a

稱為數(shù)列(當(dāng)

n趨于無窮時)的極限?；蚧蛉绻麛?shù)列不收斂，就稱之是發(fā)散的。記作：若常數(shù)a滿足：的一切機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.3數(shù)列極限的定義定義設(shè)是一數(shù)列，對于任意給定的正數(shù)例如,趨勢不定收斂發(fā)散機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,趨勢不定收斂發(fā)散機動目錄上頁例1.設(shè)驗證數(shù)列的極限為C。

證:對任一自然數(shù)，都有：因此,取則當(dāng)時,就有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束C為常數(shù)，例1.設(shè)驗證數(shù)列的極限為C。證:對任例2.設(shè)驗證：證:欲使只要即取則當(dāng)時,就有故故也可取也可由N與有關(guān),但不唯一不一定取最小的N.說明:

取機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)驗證：證:欲使只要即取則當(dāng)時,就有故故也可取例3.設(shè)驗證等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時,就有故的極限為

0.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)驗證等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,例4.驗證：證:欲使只要即即因此,取則當(dāng)n>N時,就有故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令則例4.驗證：證:欲使只要即即因此,取則當(dāng)n>注明：N與

的關(guān)聯(lián)性以及N選取的多樣性；幾何解釋:改變數(shù)列有限項之值，其斂散性不受影響，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

取值的任意性與相對(尋求N時)的確定性；若收斂，其極限值也不變；但對于某個特定的若有無限多項，x是數(shù)列極限的一種邏輯法則，并非求極限的方法；注明：N與的關(guān)聯(lián)性以及N選取的多樣性；幾何解例5.

證明數(shù)列是發(fā)散的。

證:用反證法假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a存在。取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時落在長度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N時,有因此該數(shù)列發(fā)散.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.證明數(shù)列是發(fā)散的。證:用反證法假設(shè)數(shù)列收斂2.1.4收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（有界與唯一性）收斂數(shù)列必是有界的且極限是唯一的。證:先證有界性：取從而有取則有有當(dāng)時,則收斂于a，即設(shè)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.1.4收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（有界與唯一性）收斂數(shù)列必再證唯一性：用反證法：及且取因故存在N1,同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時,有使當(dāng)n>N1時,有假設(shè)則當(dāng)n>N時,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束不妨設(shè)且這與矛盾。再證唯一性：用反證法：及且取因故存在N1,同理,定理2（保序性）證:

設(shè)即：ⅱ）用反證法，機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)均收斂，ⅰ）若ⅱ）若?。┤∮蓸O限的唯一性證明知，存在著N

，當(dāng)n>N

時，有若即由?。┑眠@與題給條件矛盾。定理2（保序性）證:設(shè)即：ⅱ）用反證法，機動說明:在?。┲杏玫氖菄?yán)格的不等號；在ⅱ）中用的是非嚴(yán)格的嚴(yán)格的不等號，如：顯然：推論1設(shè)收斂，a,b均為常數(shù)，且不等號，?。┤簪ⅲ┤糁灰诒Ｐ蛐远ɡ碇校謩e取再分別與作比較即得驗證。即使把ⅱ）條件改為嚴(yán)格的不等號，其結(jié)論也未必是機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:在ⅰ）中用的是嚴(yán)格的不等號；在ⅱ）中用的是非嚴(yán)格的嚴(yán)格推論2（保號性）設(shè)顯然，只須在推論1中，分別令a,b等于0即可。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束?。┤簪ⅲ┤襞cc同號;推論2（保號性）設(shè)顯然，只須在推論1中，分別令a定理（四則運算法則）設(shè)均收斂，則ⅰ）ⅱ）ⅲ）推論設(shè)為常數(shù)，且收斂，則ⅰ）ⅱ）ⅲ）ⅳ）機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理（四則運算法則）設(shè)均收斂，則?。ⅲ＃┩普撛O(shè)為常數(shù)，且2.1.5數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則證:

由條件(2),當(dāng)時,當(dāng)時,令則當(dāng)時,有由條件(1)即故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.夾逼準(zhǔn)則(準(zhǔn)則1)(P30定理4)設(shè)數(shù)列滿足：2.1.5數(shù)列極限的收斂準(zhǔn)則證:由例6.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由機動目錄上例7.計算解：1）當(dāng)a=1時，顯然有極限為1；2）當(dāng)a>1為一定值且n>[a]時，由夾擠原理得：綜上討論得：有3）當(dāng)時，有由2）得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.計算解：1）當(dāng)a=1時，顯然有極限為1；22.單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（準(zhǔn)則Ⅱ）(P30定理5)(證明略)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)數(shù)列滿足：?。ⅲ?.單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則（準(zhǔn)則Ⅱ）(P30定理5)(例8.設(shè)證明數(shù)列收斂.(P30例11)證:利用不等式（n個正數(shù)的幾何平均小于其算術(shù)平均），有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束由此可見數(shù)列是單調(diào)增的；n+1項相乘n+1項相加例8.設(shè)證明數(shù)列收斂.(P30例11)證:利根據(jù)準(zhǔn)則Ⅱ可知數(shù)列記此極限記為e,e為無理數(shù),其值為：即收斂.原題目錄上頁下頁返回結(jié)束又根據(jù)準(zhǔn)則Ⅱ可知數(shù)列記此極限記為e,e為無理數(shù),其內(nèi)容小結(jié)1.數(shù)列極限的“–N

”