第4章非線性方程的數值解法第4章1

本章重點介紹求解非線性方程的幾種常見和有效的數值方法,同時也對非線性方程組求解,簡單介紹一些最基本的解法.無論在理論上,還是在實際應用中,這些數值解法都是對經典的解析方法的突破性開拓和補充,許多問題的求解,在解析方法無能為力時,數值方法則可以借助于計算機出色完成.本章重點介紹求解非線性方程的幾種24.1二分法求非線性方程

確定方程的有根區(qū)間計算根的近似值的根的方法分為兩步：4.1二分法求非線性方程的根的方法分為兩步：3首先確定有限區(qū)間：依據零點定理。設，且，則方程在區(qū)間上至少有一個根。如果在上恒正或恒負，則此根唯一。首先確定有限區(qū)間：依據零點定理。4等步長掃描法求有根區(qū)間

用計算機求有根區(qū)間：等步長掃描法。設h>0是給定的步長，取，若則掃描成功；否則令，繼續(xù)上述方法，直到成功。如果則掃描失敗。再將h縮小，繼續(xù)以上步驟。等步長掃描法求有根區(qū)間用計算機求有根區(qū)間：等步長掃描法。5等步長掃描算法

算法：（求方程的有根區(qū)間）(1)輸入；(2)；(3)，若輸出失敗信息，停機。(4)若。輸出，已算出方程的一個根，停機。等步長掃描算法算法：（求方程的有根區(qū)間6等步長掃描算法(5)若。輸出為有根區(qū)間，停機(6)，轉3）注：如果對足夠小的步長h掃描失敗。說明：在內無根在內有偶重根等步長掃描算法(5)若。輸出7二分法

用二分法(將區(qū)間對平分)求解。令若，則為有根區(qū)間，否則為有根區(qū)間記新的有根區(qū)間為，則且二分法用二分法(將區(qū)間對平分)求解。8二分法對重復上述做法得且

二分法對重復上述做法得9二分法設所求的根為，則即取為的近似解

二分法設所求的根為，10求方程f(x)=0的根的二分法算法求方程f(x)=0的根的二分法算法11求方程f(x)=0的全部實根的二分法算法求方程f(x)=0的全部實根的二分法算法12求方程f(x)=0的全部實根的二分法算法求方程f(x)=0的全部實根的二分法算法13例題例1設方程解：取h=0.1,掃描得：又即在有唯一根。例題例1設方程14x=[1:0.001:1.5];y=x.^3-x-1;z=0;plot(x,y,'r',x,z,'b')x=[1:0.001:1.5];y=x.^3-x15例2對求出[1，1.5]的實根，要求誤差不超過0.005解：f='x^3-x-1';bisection(f,1,1.5,20,5e-3)[nxaxbxcfc]1.00001.00001.50001.2500-0.29692.00001.25001.50001.37500.22463.00001.25001.37501.3125-0.0515例2對164.00001.31251.37501.34380.08265.00001.31251.34381.32810.01466.00001.31251.32811.3203-0.01877.00001.32031.32811.3242-0.0021x*=1.32424.00001.31251.3750174.2一般迭代法4.2.1迭代法及收斂性對于有時可以寫成形式如：4.2一般迭代法4.2.1迭代法及收斂性18迭代法及收斂性考察方程。這種方程是隱式方程，因而不能直接求出它的根，但如果給出根的某個猜測值，代入中的右端得到，再以為一個猜測值，代入的右端得反復迭代得迭代法及收斂性考察方程。19迭代法及收斂性若收斂，即則得是的一個根迭代法及收斂性若收斂，即20迭代法的幾何意義交點的橫坐標y=x迭代法的幾何意義21簡單迭代法

將變?yōu)榱硪环N等價形式。選取的某一近似值，則按遞推關系產生的迭代序列。這種方法算為簡單迭代法。簡單迭代法將變?yōu)榱硪环N等價形22例題解：輸入bdd例題解：輸入bdd23第4章非線性方程數值解法課件24第4章非線性方程數值解法課件25例題例4.2.2試用迭代法求方程在區(qū)間(1，2)內的實根。解：由建立迭代關系

k=10,1,2,3…….計算結果如下:例題例4.2.2試用迭代法求方程26例題精確到小數點后五位例題精確到小數點后五位27例題但如果由建立迭代公式仍取，則有，顯然結果越來越大，是發(fā)散序列例題但如果由建立迭代公式28迭代法的收斂性定理4.2.1（壓縮映像原理）設迭代函數在閉區(qū)間上滿足（1）（2）滿足Lipschitz條件即有且。迭代法的收斂性定理4.2.1（壓縮映像原理）29壓縮映像原理則在上存在唯一解，且對，由產生的序列收斂于。

壓縮映像原理則在上30壓縮映像原理證明：不失一般性,不妨設否則為方程的根。首先證明根的存在性令

壓縮映像原理證明：不失一般性,不妨設31壓縮映像原理則，即由條件2）是上的連續(xù)函數是上的連續(xù)函數。故由零點定理在上至少有一根壓縮映像原理則32壓縮映像原理再證根的唯一性設有均為方程的根則因為0<L<1，所以只可能，即根是唯一的。壓縮映像原理再證根的唯一性33壓縮映像原理最后證迭代序列的收斂性

與n無關，而0<L<1即壓縮映像原理最后證迭代序列的收斂性34壓縮映像原理誤差估計若滿足定理2.2.1條件，則

這是事后估計，也就是停機標準。L越小，收斂速度越快。

這是事前估計。選取n，預先估計迭代次數。

壓縮映像原理誤差估計35例題例4.2.2證明函數在區(qū)間[1，2]上滿足迭代收斂條件。證明：例題例4.2.2證明函數36例題

例題37例題若取迭代函數，不滿足壓縮映像原理，故不能肯定收斂到方程的根。例題若取迭代函數，38簡單迭代收斂情況的幾何解釋簡單迭代收斂情況的幾何解釋394.3Newton迭代法設x*是方程f(x)=0的根，又x0為x*附近的一個值，將f(x)在x0附近做泰勒展式令，則

4.3Newton迭代法設x*是方程f(x)=40Newton迭代法

去掉的二次項，有：即以x1代替x0重復以上的過程，繼續(xù)下去得：Newton迭代法 去掉的二次項，有：41Newton迭代法

以此產生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解，稱為Newton法，又叫切線法。Newton迭代法 以此產生的序列{Xn}得到f(x)=0的42Newton迭代法幾何解釋

幾何意義Newton迭代法幾何解釋 幾何意義43例題例4.3.1用Newton法計算。解：例題例4.3.1用Newton法計算。44Newton迭代法算法框圖Newton迭代法算法框圖45Newton迭代法算法Newton迭代法算法46解：f=inline('x^3+2*x^2+10*x-20');df=inline('3*x^2+4*x+10');Newton(f,df,1.5,0.5e-6)解：f=inline('x^3+2*x^2+10*x-20'47It.no=0x[0]=1.500000000It.no=1x[1]=1.373626374It.no=2x[2]=1.368814820It.no=3x[3]=1.368808108It.no=4x[4]=1.368808108It.no=0x[0]=1.50000000048Newton迭代法收斂性定理2.3.1設函數，且滿足若初值滿足時，由Newton法產生的序列收斂到在[a,b]上的唯一根。Newton迭代法收斂性定理2.3.1設函數49Newton迭代法收斂性證明：根的存在性根的唯一性Newton迭代法收斂性證明：根的存在性50Newton迭代法收斂性收斂性Newton迭代法收斂性收斂性51Newton迭代法收斂性

Newton迭代法收斂性52Newton迭代法收斂性Newton迭代法收斂性53Newton迭代法收斂性推論在定理4.3.1條件下，Newton迭代法具有平方收斂速度。Newton迭代法收斂性推論在定理4.3.1條件下，N54代數方程的Newton迭代法代數方程的Newton迭代法推導設n次代數方程用Newton迭代法求有限區(qū)間的實根，則要計算，一般采用秦九韶算法。代數方程的Newton迭代法代數方程的Newton迭代法推導55代數方程的Newton迭代法由Taylor展式代數方程的Newton迭代法由Taylor展式56代數方程的Newton迭代法

代數方程的Newton迭代法57第4章非線性方程數值解法課件58代數方程的Newton迭代法同理

代數方程的Newton迭代法同理59代數方程的Newton迭代法比較x的同次冪系數得：故代數方程的Newton迭代公式代數方程的Newton迭代法比較x的同次冪系數得：60代數方程的Newton迭代法算法代數方程的Newton迭代法算法61

624.4弦截法Newton迭代法有一個較強的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代。

4.4弦截法Newton迭代法有一個較強的要求是63弦截法令y=0,解得弦與x軸的交點是坐標x2弦截法令y=0,解得弦與x軸的交點是坐標x264弦截法弦截法65弦截法的幾何解釋弦截法的幾何解釋66求解方程f(x)=0的快速弦截法求解方程f(x)=0的快速弦截法67解：輸入xianjie(0.4,0.6)；Iterationsx_nfeval(x_n)n=0x_0=0.40000000-2.160000e-001n=1x_1=0.600000005.360000e-001解：輸入xianjie(0.4,0.6)；68n=2x_2=0.45744681-2.831381e-002n=3x_3=0.46459926-3.410914e-003n=4x_4=0.465578922.698819e-005Iterationsn=4x*=0.46558n=2x_2=0.45744681-2.69弦截法收斂定理弦截法收斂定理70弦截法收斂定理弦截法收斂定理71第4章非線性方程的數值解法第4章72

本章重點介紹求解非線性方程的幾種常見和有效的數值方法,同時也對非線性方程組求解,簡單介紹一些最基本的解法.無論在理論上,還是在實際應用中,這些數值解法都是對經典的解析方法的突破性開拓和補充,許多問題的求解,在解析方法無能為力時,數值方法則可以借助于計算機出色完成.本章重點介紹求解非線性方程的幾種734.1二分法求非線性方程

確定方程的有根區(qū)間計算根的近似值的根的方法分為兩步：4.1二分法求非線性方程的根的方法分為兩步：74首先確定有限區(qū)間：依據零點定理。設，且，則方程在區(qū)間上至少有一個根。如果在上恒正或恒負，則此根唯一。首先確定有限區(qū)間：依據零點定理。75等步長掃描法求有根區(qū)間

用計算機求有根區(qū)間：等步長掃描法。設h>0是給定的步長，取，若則掃描成功；否則令，繼續(xù)上述方法，直到成功。如果則掃描失敗。再將h縮小，繼續(xù)以上步驟。等步長掃描法求有根區(qū)間用計算機求有根區(qū)間：等步長掃描法。76等步長掃描算法

算法：（求方程的有根區(qū)間）(1)輸入；(2)；(3)，若輸出失敗信息，停機。(4)若。輸出，已算出方程的一個根，停機。等步長掃描算法算法：（求方程的有根區(qū)間77等步長掃描算法(5)若。輸出為有根區(qū)間，停機(6)，轉3）注：如果對足夠小的步長h掃描失敗。說明：在內無根在內有偶重根等步長掃描算法(5)若。輸出78二分法

用二分法(將區(qū)間對平分)求解。令若，則為有根區(qū)間，否則為有根區(qū)間記新的有根區(qū)間為，則且二分法用二分法(將區(qū)間對平分)求解。79二分法對重復上述做法得且

二分法對重復上述做法得80二分法設所求的根為，則即取為的近似解

二分法設所求的根為，81求方程f(x)=0的根的二分法算法求方程f(x)=0的根的二分法算法82求方程f(x)=0的全部實根的二分法算法求方程f(x)=0的全部實根的二分法算法83求方程f(x)=0的全部實根的二分法算法求方程f(x)=0的全部實根的二分法算法84例題例1設方程解：取h=0.1,掃描得：又即在有唯一根。例題例1設方程85x=[1:0.001:1.5];y=x.^3-x-1;z=0;plot(x,y,'r',x,z,'b')x=[1:0.001:1.5];y=x.^3-x86例2對求出[1，1.5]的實根，要求誤差不超過0.005解：f='x^3-x-1';bisection(f,1,1.5,20,5e-3)[nxaxbxcfc]1.00001.00001.50001.2500-0.29692.00001.25001.50001.37500.22463.00001.25001.37501.3125-0.0515例2對874.00001.31251.37501.34380.08265.00001.31251.34381.32810.01466.00001.31251.32811.3203-0.01877.00001.32031.32811.3242-0.0021x*=1.32424.00001.31251.3750884.2一般迭代法4.2.1迭代法及收斂性對于有時可以寫成形式如：4.2一般迭代法4.2.1迭代法及收斂性89迭代法及收斂性考察方程。這種方程是隱式方程，因而不能直接求出它的根，但如果給出根的某個猜測值，代入中的右端得到，再以為一個猜測值，代入的右端得反復迭代得迭代法及收斂性考察方程。90迭代法及收斂性若收斂，即則得是的一個根迭代法及收斂性若收斂，即91迭代法的幾何意義交點的橫坐標y=x迭代法的幾何意義92簡單迭代法

將變?yōu)榱硪环N等價形式。選取的某一近似值，則按遞推關系產生的迭代序列。這種方法算為簡單迭代法。簡單迭代法將變?yōu)榱硪环N等價形93例題解：輸入bdd例題解：輸入bdd94第4章非線性方程數值解法課件95第4章非線性方程數值解法課件96例題例4.2.2試用迭代法求方程在區(qū)間(1，2)內的實根。解：由建立迭代關系

k=10,1,2,3…….計算結果如下:例題例4.2.2試用迭代法求方程97例題精確到小數點后五位例題精確到小數點后五位98例題但如果由建立迭代公式仍取，則有，顯然結果越來越大，是發(fā)散序列例題但如果由建立迭代公式99迭代法的收斂性定理4.2.1（壓縮映像原理）設迭代函數在閉區(qū)間上滿足（1）（2）滿足Lipschitz條件即有且。迭代法的收斂性定理4.2.1（壓縮映像原理）100壓縮映像原理則在上存在唯一解，且對，由產生的序列收斂于。

壓縮映像原理則在上101壓縮映像原理證明：不失一般性,不妨設否則為方程的根。首先證明根的存在性令

壓縮映像原理證明：不失一般性,不妨設102壓縮映像原理則，即由條件2）是上的連續(xù)函數是上的連續(xù)函數。故由零點定理在上至少有一根壓縮映像原理則103壓縮映像原理再證根的唯一性設有均為方程的根則因為0<L<1，所以只可能，即根是唯一的。壓縮映像原理再證根的唯一性104壓縮映像原理最后證迭代序列的收斂性

與n無關，而0<L<1即壓縮映像原理最后證迭代序列的收斂性105壓縮映像原理誤差估計若滿足定理2.2.1條件，則

這是事后估計，也就是停機標準。L越小，收斂速度越快。

這是事前估計。選取n，預先估計迭代次數。

壓縮映像原理誤差估計106例題例4.2.2證明函數在區(qū)間[1，2]上滿足迭代收斂條件。證明：例題例4.2.2證明函數107例題

例題108例題若取迭代函數，不滿足壓縮映像原理，故不能肯定收斂到方程的根。例題若取迭代函數，109簡單迭代收斂情況的幾何解釋簡單迭代收斂情況的幾何解釋1104.3Newton迭代法設x*是方程f(x)=0的根，又x0為x*附近的一個值，將f(x)在x0附近做泰勒展式令，則

4.3Newton迭代法設x*是方程f(x)=111Newton迭代法

去掉的二次項，有：即以x1代替x0重復以上的過程，繼續(xù)下去得：Newton迭代法 去掉的二次項，有：112Newton迭代法

以此產生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解，稱為Newton法，又叫切線法。Newton迭代法 以此產生的序列{Xn}得到f(x)=0的113Newton迭代法幾何解釋

幾何意義Newton迭代法幾何解釋 幾何意義114例題例4.3.1用Newton法計算。解：例題例4.3.1用Newton法計算。115Newton迭代法算法框圖Newton迭代法算法框圖116Newton迭代法算法Newton迭代法算法117解：f=inline('x^3+2*x^2+10*x-20');df=inline('3*x^2+4*x+10');Newton(f,df,1.5,0.5e-6)解：f=inline('x^3+2*x^2+10*x-20'118It.no=0x[0]=1.500000000It.no=1x[1]=1.373626374It.no=2x[2]=1.368814820It.no=3x[3]=1.368808108It.no=4x[4]=1.368808108It.no=0x[0]=1.500000000119Newton迭代法收斂性定理2.3.1設函數，且滿足若初值滿足時，由Newton法產生的序列收斂到在[a,b]上的唯