222222知識點任意角的概念與弧度制、任意角的三角函數(shù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式和與差的三角函數(shù)公式簡單的三角恒等變換三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝A＋)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用正弦定理和余弦定理解三角形應(yīng)用舉例

第四章三角數(shù)與解三角形考綱下載了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化．理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切的定sin理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sinx＋cos＝1＝tanx.cosπ能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±的正弦余弦、正切的誘導(dǎo)公式.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)能運用公式進(jìn)行簡單的恒等變包括導(dǎo)出積化和差、和差化積半角公式，但對這三組公式不要求記)能畫出y＝sin＝cos＝tan的象，了解三角函數(shù)的周期性．理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在區(qū)，2上的性質(zhì)如單調(diào)性、最ππ大值和最小值以及與軸交點等)正函數(shù)在區(qū)間－，內(nèi)的單調(diào)性.了解函數(shù)y＝Asin(＋)物理意義；能畫出函數(shù)y＝sin(＋)的圖象，了解參數(shù)A，，φ對數(shù)圖象變化的影響．了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問能夠運用正弦定理弦理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.第1講任角和弧度制及任意角的三函數(shù)．角的有關(guān)概念角形成：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成2x2x的圖形．(2)角的分類按旋轉(zhuǎn)按時針方向旋而成的角①方向不按時針方向旋轉(zhuǎn)而成的角同分類射沒有旋轉(zhuǎn)按終邊：的終邊在第象限，這個角就是②位置不第象限角同分類：的終邊落在標(biāo)軸上③所有與角α終相同的角，連同角在，可構(gòu)成一個集合＝{β＝＋k∈Z}{β＝＋2π，k∈Z}．弧度制(1)定義：把長度等于半徑長的弧對的圓心角叫做度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零．(2)角度制和弧度制的互化＝rad＝

π

rad，1＝

π

．1(3)扇形的弧長公式l＝αr，扇形的面積公式＝lrr．．任意角的三角函三角函數(shù)

正弦

余弦

正切設(shè)是個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y，那么定義

y叫的正弦叫余弦，記作

y叫做α的切tanα

cosα

α三角函數(shù)線有向線段MP為弦線

有向線段為弦線

有向線段為切線判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×)(1)銳角是第一象限的角，第一象的角也都是銳角()(2)角α的角函數(shù)值與其終邊上點的位置無關(guān)．)(3)不相等的角終邊一定不相同()(4)終邊相同的角的同一三角函數(shù)相等()π(5)若α∈，，tanαα.(

)(6)若α為一象限角，則sinα＞)x122100ππS2πx122100ππS2π答案：(1)

(2)√

(3)×(4)√√√(教材習(xí)題改編)角－870°的終邊所在的象限()A第一象限C．三象限答案：

B第二象限D(zhuǎn)．四限(教材習(xí)題改編)若角滿足θ>0，sin，則角θ所的象限()A第一象限C．三象限答案：

B第二象限D(zhuǎn)．四限(教材習(xí)題改編)單位圓中，200°的圓心角所對的弧長()A10πC．π答案：D

BπD．π(教材習(xí)題改編)已知角θ的終邊過點(12，－5)，則θ的為________．解析：x，y，r

xy2，cosr13答案：

(教材習(xí)題改編)扇形弧長為cm中心角為100°，則該扇形的面積解析：lαrr，136360lr×20×)答案：π象限角及終邊相同的角[典例引領(lǐng)](1)若α＝k＋45°(∈)則α在()A第一或第三象限C．二或第四象限

B第一或第二象限D(zhuǎn)．三第四象限66kk(2)設(shè)集合＝{xx＝·180°＋，k∈Z}N＝{＝＋，k∈Z}那么()A＝C．NM

BMND．∩N＝(3)已知角α的邊在如圖所示陰影表示的范圍(不包括邊界)角α用合可表示為．【解析n(∈)，2·180°n，21(n∈)，n1)·180°45°n225°，αAk(2)法一：M{·180°，k∈Z}{，，，，225°，…}kN{，k∈Z}{，，0°，45°90°，，，225°，…}N.k法二：M，xk45°45°(2，2k1，kxk·45°45°(k，，MNπ(3)[0π)，(，π)(k

π5，2π)(∈Zπ【答案(1)Ak＋，2k＋∈Z)(1)終邊相同角的應(yīng)用，k(2)象限角的兩種判斷方法*θππαπαα*θππαπααα(0°≤，∈Z)，α，αθ(3)求或nθn∈)所在象限方法(k)，n(nN*)[注意]“，”，)α(α()∈Z)α[通關(guān)練習(xí)]．終邊在直線x－y＝0的角的集合()πA{＝＋π，k∈Z}πB{＝＋π，k∈}πC．{α＝＋2π，∈}πD．{α＝＋2，k∈Z}解析：，α3xα{2πππ，k∈}{αkπ，∈Z}{αk，∈Z}．若α是二象限角，則下列結(jié)論一定成立的()AC．tan

α＞0α＞0

αB＞ααD．sin＜解析：Ckπk，∈，π∈Z2，，C322×.322×.扇形的弧長、面積公式[典例引領(lǐng)]已知扇形的圓心角是α，半徑R，弧長為l.若α＝，R＝10，求扇形的弧長l若扇形的周長為，當(dāng)扇形的圓心角α多少弧度時，這個扇形的面積最大？π【解】α，π10l×(cm)(2)，lR，(20210RR

2(5)，5，，lcmα弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問的解題策略1lαrSlrrl，)[注意][通關(guān)練習(xí)]．將表的分針撥快分，則分針旋轉(zhuǎn)過程中形成的角的弧度數(shù)()πAπC．

πBπD．解析C，AB不10，π

某弧長度等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長該弧所對的圓心角的弧度數(shù)()2ππl(wèi)3r522ππl(wèi)3r52πAC．

πBD．3解析：D.r，∠AOB，⊥，MAOMr，AOM，

r，AB3r，l3r，αrr三角函數(shù)的定義)任意角的三角函數(shù)正弦、余弦、正的定義屬于理解內(nèi)容．在高考中多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．主要命題角度有：利用三角函數(shù)定義求值；三角函數(shù)值的符號判定；利用三角函數(shù)線比較大小、解不等式．[典例引領(lǐng)]角度一利用三角函數(shù)定義求值已知角α的邊經(jīng)過點P(－x－6)且cosα＝則＋＝．sinαtanα【解析α(

xx36

，x()，P(

，6)sin，tancosαsin，tancosα6

α12，α5135sinαtanα12123【答案－角度二三角函數(shù)值的符號判定cosα若sintanα＜，＜，則角是()tanαA第一象限角C．三象限角

B第二象限角D．四限角【解析sintansinα，tanα，α，α，tanαα，α【答案角度三利用三角函數(shù)線比較大小、解不等式函數(shù)y＝－＋－的定義域為．，【解析，≥，x≤

，，，，

π5k，2(∈Zππ【答案k＋，2＋(∈Z(1)利用三角函數(shù)定義求值的方法αP，α，3，θ3，θ1.α，αPαα，α(2)三角函數(shù)值的符號判斷方法(αcostanα)，(3)利用單位圓解三角不等式的步()[通關(guān)練習(xí)]2πP從出位圓逆時針方向運動弧到達(dá)Q點Q點坐標(biāo)為)3A－，3C．－，－

B－D．－

1，－21，22π123解析AQ(yxcossin.Q，.．已知角θ的點與原點重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線＝－2x上則cos2＝()A－C．

B－D．解析：B(，atanθ，θ

3三角函數(shù)定義下的創(chuàng)新問題f)π1()|cos|3πf)π1()|cos|3π[典例引領(lǐng)]如圖，圓的徑為，A是上的定點，P是上的動點，角x的邊為射線OA終邊為射線OP過點作線OA的垂線，垂足為M.將點M到直線OP的離示成x的數(shù)fx)，則y＝fx)在[，的象大致為)π【解析，∈0，

，，x，(cos，，MM⊥OPM，

MM|

sinx，sin，cosfx)sinxcossin2，，(x)max2∈

π

，，sinπ)，f)xcosxx，，().B【答案B00πd2t.sinππ00πd2t.sinππ，，[通關(guān)練習(xí)]如圖所示，質(zhì)點P在徑為的周上逆時針運動，其初始位置為(2－2)，角0速度為，那么點P到軸距離關(guān)時間t的數(shù)象大致()π解析：C(22)∠Ox.，t，∠POPt∠POxt0

π，P2sint0，d22.t，d0，C利用三角函數(shù)定義解題的常用技

πt，在利用三角函數(shù)定義時，點可終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點．|＝r一是正值．已知三角函數(shù)值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況．三角函數(shù)符號是重點，也是難點，在理解的基礎(chǔ)上可借助口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦．在解決簡單的三角函數(shù)不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧．對角的有關(guān)概念的再理解xππ22xππ22相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等．注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小9的角是概念不同的三類角．第一類是象限角，第二、三類是區(qū)間角．角度制與弧度制可利用180°πrad行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．．已知點(tan，α在第三象限，則角α的邊()A第一象限C．三象限

B第二象限D(zhuǎn)．四限解析BP(tancosαα．已知α是二象限角(，5)為其終邊上一，且α

x，則x等()A3C．解析：D.cos

x5

B．±3D．x，x，D.ππ．集合{k＋≤≤π＋，∈Z}的角的終邊所在的范(陰影部分是()解析：2nnZ)，2π≤≤2nk21(∈)，nπππ≤≤2n．若角α的邊在直線＝－上則角α的值合()A{＝－，k∈Z}B{＝k＋π，∈Z}C．{α＝·＋π，∈Z}πD．{α＝k－，k∈Z}4{α(21)π4A4{α(21)π4A解析：D.，{απ，∈}{|απ∈Z}πππ，nZ}{2π，∈}{αk，∈Z}πθcosθtan．已知角α＝2－(k∈)，若與角的邊相同，則y＝＋＋的θ||tanθ值為)A1C．

B－1D．π解析：Bαkk∈)，α，θα，θ，sin，costanθ1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中角的邊與以原點為圓心的單位圓交于點A，點A的縱坐標(biāo)為，且點在二象限，則cos＝．解析：

，，O，A

，cosα

答案：．與角017°終邊相同，且在0°內(nèi)角．解析：25，217°.答案：217°5．一扇形是從一個圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的，面積等于圓面積的則扇形的弧長與圓周長之比．απrC2rl2l1424απrC2rl2l14242r2r2解析：r，，，2，5π2r5πl(wèi)65答案：

．已知角的邊上有一點P(x，－x≠，且tanθ＝x，＋的．解：θ(x，1)(x≠，θ

x

，θx，2，x±1.，sinθsin0

2，cosθ，1，

，cos，sin．已知扇形的長8.若這個扇形的面積為3，求圓心角的大?。磺筮@個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小和弦長AB解：AOBr，l，l，(1)lr，α6.rr(2)法一：2rl8Slrl·2rl2r≤()2×)22l12ll12l2l，2，4.rα，×1.法二：2rl，Slrr(82rr(4r)(r2)2≤，r，α2，4.r×4sin．(2018·安江淮十校協(xié)作體聯(lián))已知銳角，且5終邊上有一點P－，cos130°)，α的為()A8°C．26°

BD．40°解析Bsin(50°)<0cos130°50°<0α<90°0°<5<450°.(cos，sin，，44°，．已知點α－cos，tanα在第一象限，則[，2內(nèi)α的值范圍是)π35A，∪π，ππB，∪π，ππ5πC．，∪，π3π，∪，解析：Bαα，tanα，sin，α0α∈[0，2π]，∈，π，239πr9122∈，π，239πr9122π5．一扇形的圓心角為120°，則此扇形的面積與其切圓的面積之比________．解析：R，r(Rrr

)r12ππ743α2××R2R2r，S742.答案：＋∶．高考北京)在平面直角坐標(biāo)系中，角α與β均為邊它們的終