變換;本章的主要內(nèi)容:連續(xù)時(shí)間級(jí)數(shù)與變換之間的關(guān)系;變換的性質(zhì);系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及系統(tǒng)的頻域分析；在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號(hào)是非周期信號(hào)，對(duì)非周期信號(hào)應(yīng)該如何進(jìn)行分解，非周期信號(hào)的頻譜表示，線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)非周期信號(hào)的響應(yīng)如何求解，就是這一章要解決的問(wèn)題。4.0

引言

Introduction（a）T0

0akakT0

（b）0當(dāng)

T0

時(shí)，周期性矩形脈沖信號(hào)將演變成為非4.1

非周期信號(hào)的表示—連續(xù)時(shí)間變換變換一.從 級(jí)數(shù)到再次周期性矩形脈沖的頻譜圖：周期的單個(gè)矩形脈沖信號(hào)。連續(xù)的頻譜。00T相應(yīng)地，譜線間隔

2，

離0散的頻譜將演變?yōu)橛捎?T0

k0ak

0也隨 增大而T減小，并最終趨于0，考查

T0a的k

變化，它在

T0

時(shí)非零。0T0

/2T0ak

xT

(t)e

dt

jk0tT

/2T0T00txT

(0即其頻譜為0。那么怎樣研究非周期信號(hào)的頻譜呢?x(tk0

Tx (t)

x(t)T0

X

(

j)

x(t)e

jt

dtT0

lim

T0ak

X

(j)

則有對(duì)上式取極限，并令0k

0T故：a

1

X

(

jk

)連續(xù)時(shí)間

變換可看成頻譜密度隨頻率的分布，故稱X

(j為頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱頻譜。T0

由于X

(j)

lim000000T

/2T

/2T01x(t)e

dt

jk

tkT0a

1Tx

(t)e

jk

tdt

這表明:周期信號(hào)的頻譜就是與它對(duì)應(yīng)的非周期信號(hào)頻譜的樣本。而非周期信號(hào)的頻譜是對(duì)應(yīng)的周期信號(hào)頻譜的包絡(luò)。000T當(dāng)

T

時(shí)，x

(t)

x(t),

2

d,T0k

于是有：

1

2x(t)

X

(

j)e

jt

d逆變換此式表明，非周期信號(hào)可以分解成無(wú)數(shù)多個(gè)頻率連續(xù)分布、振幅為

1

X

(

j的)d復(fù)

指數(shù)信號(hào)之和。2怎樣用頻譜來(lái)展開(kāi)非周期信號(hào)呢？根據(jù) 級(jí)數(shù)表示：00000X

(

jk

)ejk

tjk

tTx

(t)

kTa

e

jk0tX

(

jk

)e2k

0

k

k

1

1

jtX

(

j)e

d

1

2x(t)

jtX

(

j)

x(t)e

dt于是， 得到了非周期信號(hào)的頻域描述方法這一對(duì)變換關(guān)系被稱為連續(xù)時(shí)間變換對(duì)。變換的引出是從周期信號(hào)的級(jí)數(shù)表示出發(fā)， 周期趨于無(wú)窮大時(shí)的極限得級(jí)二.既然變換的收斂來(lái)的，

變換的收斂問(wèn)題就應(yīng)該和數(shù)的收斂相一致。也有相應(yīng)的兩組條件：這表明能量有限的信號(hào)其存在。變換一定存在。21.

若

x(t)

dt

則

X

(

jx(t)

dt

Dirichlet

條件絕對(duì)可積條件在任何有限區(qū)間內(nèi)，

x(只有有限個(gè)極值點(diǎn)，且極值有限。在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(

只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)。x的(t和周期信號(hào)的情況一樣，當(dāng) 變換存在時(shí)，其

變換在的x(t連續(xù)處收斂于信號(hào)本身，在間斷點(diǎn)處收斂于左右極限的平均值，在間斷點(diǎn)附近會(huì)也產(chǎn)生Gibbs

現(xiàn)象。0三.常用信號(hào)的 變換：1.

x(t)

eatu(t),

a

0at

jtX

(

j)

e

e dt

1

a

j1a2

2X

(

j

)

x(t01

a0

a1/

aX

(

j

)12a

/2

aa≮

X

/2

/4

/4a-1

≮

X

(

j)

tg2.

x(t)

(t)X

(

j

)

(t)edt

1

jt0

(t這表明

(中包括了所有的頻率成分，且所有頻率分量的幅度、相位都相同。因此，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)才能完全描述一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性，

(t)才在信號(hào)與系統(tǒng)分析中具有如此重要的意義。X

(

j

)101

2T1

Sa(T1

)X

(

j)

Te3.矩形脈沖:t

T10,x(t)

1,t

T1T1T1tx(1x(tT1T110x(t2T1

2T1100T12T1X

(

j

)4T12T10不同脈沖寬度對(duì)頻譜的影響X

(

j

)可見(jiàn)，信號(hào)在時(shí)域和頻域之間有一種相反的關(guān)系。即信號(hào)在時(shí)域脈沖越窄，則其頻譜主瓣越寬.與矩形脈沖情況對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)在時(shí)域和頻域之間存在一種對(duì)偶關(guān)系。4.

X

(

j1，0，

W

W

1

2e

jt

d

sinWt

W

Sa(Wt)x(t)

WWX

(

jWW10x(t

t

(W

/

)0W對(duì)偶關(guān)系可表示如下:x(tT1T110X

(

jW10

WX

(

j0T12T1x(t(W

/

)0W5.

若x(t)

1

則有X

(

j)

2

()證明：

1

2jt2

()e

d

1所以1F

2

()四.信號(hào)的帶寬(Bandwidth

of

Signals):由信號(hào)的頻譜可以看出：信號(hào)的主要能量總是集中于低頻分量。另一方面，傳輸信號(hào)的系統(tǒng)都具有自己的頻率特性。因而，工程中在傳輸信號(hào)時(shí)，沒(méi)有必要一定要把信號(hào)的所有頻率分量都有效傳輸，而只要保證將占據(jù)信號(hào)能量主要部分的頻率分量有效傳輸即可。為此，需要對(duì)信號(hào)定義帶寬。通常有如下定義帶寬的方法:2.

對(duì)包絡(luò)是Sa(x)形狀的頻譜，通常定義主瓣寬度(即頻譜第一個(gè)零點(diǎn)內(nèi)的范圍)為信號(hào)帶寬。以矩形脈沖為例，按帶寬的定義，可以得出，脈寬乘以帶寬等于常數(shù)(脈寬帶寬積)。這清楚地反映了頻域和時(shí)域的相反關(guān)系。1.

X

(

j

)

下降到最大值的

1

2

時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率范圍,此時(shí)帶內(nèi)信號(hào)分量占有信號(hào)總能量的1/2。4.2

周期信號(hào)的

變換002x(t)

1j

tjtd

e

X

(

j

)e

jt

d

(

)eThe

Fourier

Transformation

of

Periodic

SignalsX

(j)

2

(

0

)

所對(duì)應(yīng)的信號(hào)考查前面已經(jīng)介紹了周期信號(hào)用些情況下,需要對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行級(jí)數(shù)表示。某變換。但周期信號(hào)不滿足

Dirichlet

條件，因而不能直接從傅立葉變換的定義出發(fā)，建立其 變換表示。對(duì)其 級(jí)數(shù)進(jìn)行變換這表明周期性復(fù)指數(shù)信號(hào)的頻譜是一個(gè)沖激：級(jí)數(shù)時(shí)，因?yàn)?ka

ejk

t于是當(dāng)把周期信號(hào)表示為x(t)

k

就有

X

(

j)

2

ak

(

k0

)k

周期信號(hào)的 變換表示這表明：周期信號(hào)的 變換由一系列沖激組成，分別位于信號(hào)的各次諧波的頻率處，其沖激強(qiáng)度為2

ak00j

t

Fe

2

(

)例1：0

001x(t)

sin

t

2

jj

t

j

t[e

e

]0

0k

0jk

X

(

j)

2

a

(

k

)

[

(

)

(

)]00

jX

(

j

j0X

(

j)

2

ak

(

k0

)

[

(

0

)

(

0

)]k

X

(

j

)

0000012x(t)

cost

[ej

t

e

j0t

]例2：221

11T

TkTTa

T

T

j

2

ktTT2

(t)e dt

2

(t)dt

n例3：

x(t)

(

)單位沖激串k

分析：X

(j)

2

ak

(

k0

)因此要先求ak

2T

T

T

2T0x(t10

2T

2TTX

(

j2Tk

X

(

j)

2

T

(

2

k)4.3

連續(xù)時(shí)間

變換的性質(zhì)若則x(t)

X

(

j),

y(t)

Y

(

j)ax(t)

by(t)

aX

(

j)

bY

(

j)Properties

of

the

Continuous-Time

Fourier

Transform變換的性質(zhì)，旨在通過(guò)這些性質(zhì)揭示信號(hào)時(shí)域特性與頻域特性之間的關(guān)系，而且利用這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化變換對(duì)的求解運(yùn)算。1.

線性:

Linearity2.

時(shí)移:

Time

Shifting這表明信號(hào)的時(shí)移只影響它的相頻特性，其相頻特性會(huì)增加一個(gè)線性相移。0

jt若

x(t)

X

(

j)

則

x(t

t0

)

X

(

j)e3.反轉(zhuǎn):Reflectionx(t)

X

(

j)若則證明:x(t)

X

(

j)d

X

(

j)

jt

j

(

)x(t)e dt

x(

)e00j

tx(t)e

X

[

j(

)]頻移特性*x*

(t)e

jt

dtX

(

j

)

所以*X

(

j

)

x

(t)e

dt*

jt即x*(t)

X

*(

j)x(t)e

dt

jtX

(

j

)

可得4.共軛對(duì)稱性:若

x(t)

X

(

j)則

x*(t)

X

*(

j)證明：由

共軛對(duì)稱性:

若x(t)為實(shí)，則

X

(

j)

X

*(

j)推論1：若x(t)為實(shí)偶函數(shù)，則其若x(t)為實(shí)奇函數(shù)，則其變換也是實(shí)偶；變換是虛奇函數(shù)若x(t)為實(shí)，且x(t)

xe

(1xe

(t)

2

[x(t)

x(t)]2ox

(t)

1

[x(t)

x(t)]則F[x(t)]

F[xe

(t)]

F[xo

(t)]

X

(j)根據(jù)推論1，

F[xe

(t)]

為實(shí)函數(shù)，F(xiàn)[xo

(t)]

為虛函數(shù)則有推論2：xe

(t)

Re{X

(

j)}xo

(t)

j

Im{X

(

j)}例:

u(的頻譜:u(t)

ue

(2eu

(t)

110u(t

1/2

0ue

(t-1/21/20uo

(t)t將u(分解為偶部和奇部有1uo

(t)

2

Sgn(t)Sgn(t)

1,1,t

0t

02eu

(t)

1

()a0

a2

2

j

lim

j2

2ju(t)

1

()a0Sgn(t)

lim[eatu(t)

eatu(t)]]a01

1a

j

a

jF

[Sgn(t)]

lim[1j2ou

(t)

1

Sgn(t)1tSgn(t)1e

ateat5.時(shí)域微分與積分:Differentiation

and

Integration若x(t)

X

(j)(將

1

2x(t)

X

(j

)e

jt

d

兩邊對(duì)t微分即得該性質(zhì))dt則dx(t)

j

X

(

j

)

(可將微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)運(yùn)算)易證頻域微分特性：

jtx(t)

dX

(j)d時(shí)域積分特性是否除jω

?j而：F

[u(t)]

()

1

F

[u(t

)]

[

()

1

]e

jj]e

d

[

()

1

]X

(

j)

X

(

j)

X

(0)

()j

j證明：由于：故：x(

)u(t

)dx(

)d

jt

x(

)d

]

[t

jtx(

)u(t

)d

]e

dt

F

[x(

)[dt]d

jtu(t

)e

1jx(

)d

]

x(

)[

()

t所以：F[

j

x(

)F

[u(t

)]dx(

)d

1

X

(

j)

X

(0)

(（)t時(shí)域積分特性）6.對(duì)偶性:

Duality若

x(t)

X

(

j)

則

X

(

jt)

2

x()

X

(

jt)e

dtjt2

x()

X

(

jt)e

dt

jt

X

(

jt)

2

x()操作口訣：t負(fù)，換t，負(fù)外擔(dān)2π

1

2證明：x(t)jtX

(

j)e

d7.

Parseval定理:若x(t)

X

(j)則2X

(

j

)

2d

1

2x(t)

dt

這表明：信號(hào)的能量既可以在時(shí)域求得，也可以在頻域求得。由于X

(j)2

表示了信號(hào)能量在頻域的分布，因而稱其為“能量譜密度”函數(shù)。22X

(

j)

dx(t)

dt

x(t)x

(t)dt

1

x(t)X

(

j)e

jt

d

dt

1

2

1

2x(t)eX

(

j)dt

d

jt

2

證明：4.4

卷積性質(zhì)

The

Convolution

Property一.卷積特性：x(t)

X

(

j)x(t)

h(t)

h(t)

H

(

j

)

jt

[

x(

)h(t

)d

]e

dt

若則證明：F[x(t)

h(t)]x(

)[dt]d

jth(t

)ex(

)H

(

j)e

d

j

X

(

j由于卷積特性的存在，使對(duì)LTI系統(tǒng)在頻域進(jìn)行分析成為可能。二.LTI系統(tǒng)的頻域分析法:根據(jù)卷積特性,可以對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析,其過(guò)程為:1.由x

(t)

X

(

j)根據(jù)系統(tǒng)的描述，求出

H

(Y

(

j

)

X

(

j

)H

(

j

)y(t)

F

1[Y

(

j)]4.5

相乘性質(zhì)

The

Multiplication

Property利用

逆變換的定義式易證。由相乘性質(zhì)也可以得到頻移性質(zhì)：若

x1(t)

1x2

(t)

2則1

21

22x

(t)

x

(t)

1

X

(

j

)

X

(

j

)兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可以看成是由一個(gè)信號(hào)控制另一個(gè)信號(hào)的幅度，這就是幅度調(diào)制。其中一個(gè)信號(hào)稱為載波，另一個(gè)是調(diào)制信號(hào)。x(t)

X

(

j)e

j0t0

2

(

)

x(t)e

j0t

X[

j(

)]0頻移性質(zhì)0p(t)

cos

t1.正弦幅度調(diào)制:調(diào)制信號(hào)s(t)

S

(j)r(t)

s(t)

p(t)

s(t)

cos0tp(s(tr(1MM

0S(

jr(ts(載波已調(diào)信號(hào)0P(

j)

[

(0(

)00P(

j0

02R(

j)

1

S(

j)

[

(

)

(

)]0

02

2

1

S

j(

)

1

S[

j(

)]00R(

j1/2正弦幅度調(diào)制等效于在頻域?qū)⒄{(diào)制信號(hào)的頻譜搬移到載頻位置。為什么需要頻譜搬移？便于天線發(fā)送或?qū)崿F(xiàn)不同信號(hào)源、不同系統(tǒng)的頻分復(fù)用2.同步解調(diào):0

002r(t)

cos

t

1

R(

j

)

[

(

)

(

)]0

02

4

4

1

S

(

j)

1

S[

j(

2

)]

1

S[

j(

2

)]1/21/41/4MM

20200

0

0

04

1

S

j(

)

S[

j(

)][

(

)

(

)]此時(shí)，用一個(gè)頻率特性為H

(的系統(tǒng)即可從r(恢復(fù)出s(t)。H

(20c

cM

M只要

c

20

即可。具有此頻率特性的LTI系統(tǒng)稱為理想低通濾波器。3.中心頻率可變的帶通濾波器：x(t)y(e

j0tw(t)

e

j0t

f

(c0F

(

jX

(

jc

c0

c

Y

(

j00

cc1cW

(理想低通器2c1H

(等效帶通濾波器0系統(tǒng)頻域響應(yīng)相當(dāng)于從

X

(

中直接用一個(gè)帶通濾波器濾出的頻譜。表明整個(gè)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)中心頻率為0的帶通濾波器，改變0即可實(shí)現(xiàn)中心頻率可變。Systems

Characterized

byLinear

Constant-Coefficient

Differential

Equations連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)其輸入輸出關(guān)系可以由一個(gè)線性常系數(shù)微分方程描述。一般形式為:4.7

由線性常系數(shù)微分方程表征的系統(tǒng)d

k

y(t)d

k

x(t)NNdtk

dtkk

0

k

0ak

bk一.由LCCDE描述的LTI系統(tǒng)的頻率特性:變換有：對(duì)LCCDE兩邊進(jìn)行NNk

0kkkk

0a

(

j)

Y

(

j)

kb

(

j)

X

(

j)由于Y

(

j

)

X

(

j

)H

(

j

)N

H

(

j)

kNkb

(

j)a

(

j)k

0

k

kk

0可見(jiàn)由LCCDE描述的LTI

系統(tǒng)其頻率響應(yīng)是一個(gè)有理函數(shù)。對(duì)有理函數(shù)求

逆變換通常采用部分分式展開(kāi)和利用常用信號(hào)的變換進(jìn)行。二.頻率響應(yīng)的求法：1.用微分方程表征的系統(tǒng)

3x(t)dx(t)dy(t)6例：

d

2

y(t)

dt2對(duì)方程進(jìn)行

8y(t)

變換得dtdt1

1

[H

(

j)

X

(

j)

(12 2

j

4

j]h(t)

1

[e2t

e4t

]u(t)2假分式呢？(

j)2Y

(

j)

6(

j)Y

(

j)

8Y

(

j)

jX

(

j)

3X

(

j)h(t)

(t)

2

(t)

e2tu(t)上面的例子表明，對(duì)由微分方程所描述的系統(tǒng)通過(guò)求頻率響應(yīng)可以方便地求出其單位沖激響應(yīng)。反之，也可以由系統(tǒng)函數(shù)（頻域響應(yīng)）寫(xiě)出系統(tǒng)方程。(

j)2

4

j

3j

212

jH

(

j)

j

2

例：H

(j)(

j)2

4

j

3j

2例:已知x(t)=e-tu(t)→y(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)u(t)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。解:

由給定的x(t)和y(t)可得則

H

(

j)

Y

(

j)

2

j

8

X

(

j) (

j)2

5

j

6對(duì)上式逆變換得系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)

(4e2t

2e3t

)u(t)4

2j

2

j