第五章數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識

數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的任務(wù)觀察現(xiàn)象,收集資料,創(chuàng)建方法,分析推斷。

統(tǒng)計推斷

伴隨著一定概率的推測。其特點是:由“部分”推斷“整體”。5.1數(shù)理統(tǒng)計的基本概念從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機變量或隨機變量的分布。即一個具有確定概率分布的隨機變量。一、總體與總體分布在數(shù)理統(tǒng)計中，把所研究的對象的全體稱為總體。通常指研究對象的某項數(shù)量指標(biāo)，一般記為X。總體的每一個基本單位稱為個體。

如全體在校生的身高X，某批燈泡的壽命Y。對不同的個體，X的取值是不同的。X是一個隨機變量或隨機向量。X或Y的分布也就完全描述了我們所關(guān)心的指標(biāo)，即總體的分布。為方便起見，我們將X的可能取值的全體組成的集合稱為總體，或直接稱X為總體。X的分布也就是總體的分布。二、樣本與樣本分布從總體X中抽出若干個個體稱為樣本，一般記為(X1,X2,…,Xn)。n稱為樣本容量。而對這n個個體的一次具體的觀察結(jié)果——(x1,x2,…,xn)是完全確定的一組數(shù)值，但它又隨著每次抽樣觀察而改變。(x1,x2,…,xn)稱為樣本觀察值。如果樣本(X1,X2,…,Xn)滿足(1)代表性：樣本的每個分量Xi與X有相同的分布；(2)獨立性：X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量，則稱樣本(X1,X2,…,Xn)為簡單隨機樣本。設(shè)總體X的分布為F(x)，則樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布為當(dāng)總體X是離散型時，其分布律為樣本的聯(lián)合分布律為當(dāng)總體X是連續(xù)型時，X~f(x)，則樣本的聯(lián)合密度為總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體樣本樣本觀察值？理論分布統(tǒng)計是從手中已有的資料——樣本觀察值，去推斷總體的情況——總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體。例5.1設(shè)(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，求(X1,X2,…,Xn)的密度。解(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，故例5.2設(shè)某電子產(chǎn)品的壽命X服從指數(shù)分布，密度函數(shù)(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，求其密度函數(shù)。解因為(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本，三、統(tǒng)計量樣本是我們進行分析和推斷的起點，但實際上我們并不直接用樣本進行推斷，而需對樣本進行“加工”和“提煉”，將分散于樣本中的信息集中起來，為此引入統(tǒng)計量的概念。(X1,X2,…,Xn)g(X1,X2,…,Xn)其中g(shù)(x1,x2,…,xn)是(x1,x2,…,xn)的連續(xù)函數(shù)。如果g(X1,X2,…,Xn)中不含有未知參數(shù)，稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計量。統(tǒng)計量為隨機變量。（不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)）如未知，(X1,X2,…,Xn)為X的一個樣本均為統(tǒng)計量不是統(tǒng)計量若μ已知，σ2未知，(X1,X2,…,X5)為X的一個樣本幾個常用的統(tǒng)計量樣本均值樣本方差樣本均方差樣本k階原點矩樣本k階中心矩一、

正態(tài)分布5.2常用統(tǒng)計分布若P(Z>λ)=p,則稱λ為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)p分位數(shù).Xφ(x)其中

pλ正態(tài)分布、2—分布、

t

—分布和F—分布。

(一)2—分布1、定義：設(shè)n個r.v.X1,X2,…,Xn，Xi~N(0,1)，i=1,2,…,n則二、其他常用分布

稱為自由度為n的2分布。n個相互獨立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的平方和服從2(n)。2—分布的密度函數(shù)f(y)曲線隨著n的增大,密度曲線逐漸趨于平緩,對稱.2、性質(zhì)(1)(2)2分布的可加性X1,X2相互獨立，則X1+X2~2(n1+n2)例5.3(X1,X2,X3)為X的一個樣本求的分布。解因為(X1,X2,X3)為X的一個樣本Xi~N(0,1)，i=1,2,3則i=1,2,33、2分布表及有關(guān)計算(1)構(gòu)成P{2(n)<λ}=p，已知n,p可查表(P215)求得λ;(2)有關(guān)計算λ水平p的上側(cè)分位數(shù)1、定義若X~N(0,1)，Y~2(n)，X與Y獨立，則t(n)稱為自由度為n的t—分布。(二)t—分布例5.4(X1,X2,X3)為X的一個樣本，求的分布i=1,2,3t(n)的概率密度為

特點

關(guān)于y軸對稱;隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線.2、基本性質(zhì):(1)f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對稱；(2)f(t)的極限為N(0,1)的密度函數(shù)，即3、t分布表及有關(guān)計算(1)構(gòu)成：P{t(n)>λ}=p(2)有關(guān)計算P{t(n)>λ}=p，λ=tp(n)p注:(三)F—分布

1、定義若X~2(n1)，Y~2(n2)，X,Y獨立，則

稱為第一自由度為n1，第二自由度為n2的F—分布，其概率密度為例5.5(X1,X2,…,X5)為取自正態(tài)總體X~(0,σ2)的樣本，求統(tǒng)計量的分布解2、F分布性質(zhì)(1)若X~t(n),則X2~F(1,n);(2)若X~F(m,n)，則

1/X~F(n,m)m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=103、F分布表及有關(guān)計算(1)構(gòu)成：P{F(n1,n2)>λ}=p(2)有關(guān)計算P{F(n1,n2)>λ}=pλ=Fp(n1,n2)5.3.抽樣分布一、抽樣分布統(tǒng)計量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機變量，故統(tǒng)計量也是隨機變量，因而就有一定的分布，這個分布叫做統(tǒng)計量的“抽樣分布”.

抽樣分布就是通常的隨機變量函數(shù)的分布.只是強調(diào)這一分布是由一個統(tǒng)計量所產(chǎn)生的.研究統(tǒng)計量的性質(zhì)和評價一個統(tǒng)計推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì).

當(dāng)總體為正態(tài)分布時，教材上給出了幾個重要的抽樣分布定理.這里我們不加證明地敘述.抽樣分布精確抽樣分布漸近分布（小樣本問題中使用）（大樣本問題中使用)

定理1(樣本均值的分布)

二、單正態(tài)總體下的抽樣分布設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本，則有證明組合，故服從正態(tài)分布。是n

個獨立的正態(tài)隨機變量的線性設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，則

(1)(2)與S2獨立

定理2(樣本方差的分布)

定理3設(shè)X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有

定理4(兩總體均值差的分布)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值,則有Y1,Y2,…,是樣本

三、雙正態(tài)總體下的抽樣分布

定理5(兩總體方差比的分布)

分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,…,是樣本例5.6設(shè)總體X~N(10,32)，(X1,X2,…,X6)是它的一個樣本，設(shè) (1)寫出Z所服從的分布；(2)求P(Z>11)。解因為(X1,X2,…,X6)是X~N(10,32)的一個樣本，因此Xi~N(10,32)，且Xi相互獨立，i=1,2,…,6，所以P(Z>11)例5.7

設(shè)r.v.X與Y相互獨立，X~