第二章隨機變量及其分布 關鍵詞：

隨機變量 概率分布函數 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量隨機變量的函數1第二章隨機變量及其分布 關鍵詞：1第一節(jié)隨機變量在上一章中，我們把隨機事件看作樣本空間的子集；這一章里我們將引入隨機變量的概念，用隨機變量的取值來描述隨機事件。一、隨機變量引例：E1:將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現的情況。2第一節(jié)隨機變量在上一章中，我們把隨機事件看作e1=（正，正）2e2=（正，反）1e3=（反，正)1e4=（反，反）0

令X=“正面出現的次數”，則X是一個隨著試驗結果不同而取值不同的量，其對應關系如下：由上可知，對每一個樣本點e，都有一個X的取值X(e)基本結果(e)正面出現的次數X(e)3e1=（正，正）2令X=“正面出現的次數與之對應。我們把X稱為定義在這個試驗上的隨機變量。

E2：擲一枚骰子，觀察出現的點數.

令X=“正面出現的點數”

E3：某產品的使用壽命X,X>=0.

E4：擲一枚質地均勻的硬幣，觀察正反面出現的情況.4與之對應。我們把X稱為定義在這個試驗上的隨機變量。E2：擲一般地，對每一個隨機試驗，我們都可以引入一個變量X，使得試驗的每一個樣本點都有一個X的取值X(e)與之對應，這樣就得到隨機變量的概念.1、隨機變量的定義:

設E是一個隨機試驗，其樣本空間為S={e}，在E上引入一個變量X，如果對S中每一個樣本點e，都有一個X的取值X(e)與之對應，我們就稱X為定義在隨機試驗E的一個隨機變量.5一般地，對每一個隨機試驗，我們都可以引入一個（2）引入隨機變量的目的：用隨機變量的取值范圍表示隨機事件，利用高等數學的工具研究隨機現象。事件“正面至少出現一次”可表示為:“X≥1”；2、隨機變量的說明（1）隨機變量的表示：常用字母X,Y,Z，….表示;例如：上例中，事件“正面出現兩次”可表示為:“0<X≤2”表示事件“正面至少出現一次”?！癤=2”；6（2）引入隨機變量的目的：事件“正面至少出現一次”可表示為:例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X≥１)=3/4；P(0<X≤2)=3/4；隨機變量的取值具有一定的概率：(4)隨機變量的類型：這兩種類型的隨機變量因其取值方式的不同各有特點，學習時注意它們各自的特點及描述方式的不同。具有隨機性:在一次試驗之前不知道它取哪一個值，但事先知道它全部可能的取值。

（3）隨機變量的特點:離散型與連續(xù)型隨機變量。7例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X≥１)=3/4；

例1（用隨機變量的取值表示隨機事件）一報童賣報，每份報0.50元,其成本為0.30元。報館每天給報童1000份報紙，并規(guī)定賣不出的報紙不得退回。解：分析{報童賠錢}{賣出報紙的錢不夠成本}當0.50X<1000×0.3時，報童賠錢.故{報童賠錢}{X600}

令X=“報童每天賣出的報紙份數”試將“報童賠錢”這一事件用X的取值表示出來。8例1（用隨機變量的取值表示隨機事件）一報童賣報（1）隨機變量X可能取哪些值？

（2）隨機變量X取某個值的概率是多大？3、隨機變量的概率分布引入隨機變量后,上述說法相應變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑簩τ谝粋€隨機試驗，我們關心下列兩件事情：

（1）試驗會發(fā)生一些什么事件？（2）每個事件發(fā)生的概率是多大？9（1）隨機變量X可能取哪些值？

（2）隨機變量X取某個值的概

對一個隨機變量X，若給出了以上兩條，我們就說給出了隨機變量X的概率分布(也稱分布律）。這一章我們的中心任務是學習離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的概率分布.10對一個隨機變量X，若給出了以上兩條，我們就說§2離散型隨機變量及其分布11§2離散型隨機變量及其分布11

如果隨機變量X所有可能的取值是有限個或無窮可列個，則稱X為離散型隨機變量。一、離散型隨機變量的定義及其分布律1.離散型隨機變量的定義2.離散型隨機變量的分布律要掌握一個離散型隨機變量的分布律，必須且只需知道以下兩點：(1)X所有可能的取值:(2)X取每個值時的概率:12如果隨機變量X所有可能的取值是有限個或無窮可列個，則稱稱(1)式為離散型隨機變量X的分布律.注:離散型隨機變量X的分布律可用公式法和表格法描述。1)公式法:2)表格法:LL21kpppxxX2113稱(1)式為離散型隨機變量X的分布律.注:離散型隨機變量X012pk1/42/41/4

例1：將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現的次數X”的分布律。解：在此試驗中，所有可能的結果有：e1=（正，正）；e2=（正，反）；e3=（反，正)；e4=（反，反）。于是，正面出現的次數X”的分布律：14X012pk1/42/41/4例1：將一枚硬幣連擲圖形表示15圖形表示151616程序x=[0,1,2];pk=[1/4,2/4,1/4];figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)holdonplot(x,pk,'r-.')ylim([00.6])holdoffxlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);

figure('color','w')bar(x,pk,0.1,'r')ylim([00.6])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);xlim([0,2.3])text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);

figure('color','w')stem(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);17程序x=[0,1,2];173、離散型隨機變量分布律的性質

例２:設隨機變量X的分布律為：試求常數a.183、離散型隨機變量分布律的性質例２:設隨機變量例3:設隨機變量X的分布律為：試求常數a.19例3:設隨機變量X的分布律為：試求常數a.19練習:設隨機變量X的分布律為：試確定常數b.解：由分布律的性質，有20練習:設隨機變量X的分布律為：試確定常數b.解：由分布律的性

解：X所有可能的取值為：0，1，2，3；例4:

設有產品100件，其中3件是次品。從中有放回地任取3件，求“取得次品件數X”的分布律。21解：X所有可能的取值為：0，1，2，3；例4:這個分布其實就是將要介紹二項分布。我們先來看一個重要的試驗——伯努利（Bernoulli）試驗。22這個分布其實就是將要介紹二項分布。我們先來看一個重要二、伯努利（Bernoulli）試驗及二項分布(1)n次獨立重復試驗1、伯努利（Bernoulli）試驗將試驗E重復進行n次,若各次試驗的結果互不影響,則稱這n次試驗是相互獨立的.(2)n重伯努利試驗滿足下列條件的試驗稱為伯努利（Bernoulli）試驗:①每次試驗都在相同的條件下重復進行；23二、伯努利（Bernoulli）試驗及二項分布(1)n次獨立②每次試驗只有兩個可能的結果:A及③每次試驗的結果相互獨立。

若用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數,則n次試驗中事件A發(fā)生k次的概率為：

證明：在n重貝努利試驗中，事件A在前k次出現，而在后n-k次不出現的概率為:若滿足上述條件的試驗重復進行n次,則稱這一串試驗為n重伯努利(Bernoulii)試驗。24②每次試驗只有兩個可能的結果:A及若用X表示n重伯努而事件A在n次試驗中發(fā)生k次的方式為：25而事件A在n次試驗中發(fā)生k次的方式為：252、二項分布

用X表示n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數，，則X的分布律為:此時稱X服從參數為n,p的二項分布,記為X～B(n,p).例1：

將一枚均勻的骰子擲4次，求3次擲出5點的概率.262、二項分布用X表示n重Bernoull

解：令A=“擲出5點”，令X=“4次拋擲中擲出5點的次數”，則4次拋擲中3次擲出5點的概率為：27解：令A=“擲出5點”，令X=“4次拋擲中擲出5點的程序和結果x=0:4;y=binopdf(x,4,1/6);figure('color','w')plot(x,y,'r.','MarkerSize',31)figure('color','w')bar(x,y,0.1,'r')pxequal3=y(4)pxequal3=0.0154320987654328程序和結果x=0:4;pxequal3=0.0154例2：設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能有一個人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4個人維護，每人負責20臺；其二是由3個人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。29例2：293030例3：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨 立，且設各燈為紅燈的概率為p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次紅燈的概率。

解：這是三重貝努利試驗

31例3：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經過3個獨例4：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p， 0<p<1，設命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。

解：這是n重貝努利試驗同時可知：上式的意義為：若p較小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量試驗中“至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。32例4：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p，解：這是n重貝例5：有一大批產品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗， 從中任取10件，經檢驗無次品接受這批產品，次品數大 于2拒收；否則作第二次檢驗，從中任取5件，僅當5件 中無次品便接受這批產品，設產品的次品率為p． 求這批產品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)解： 設X為第一次抽得的次品數，Y為第2次抽得的次品數； 則X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}與{Y=j}獨立。A={接受該批}。33例5：有一大批產品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗， 從例6：某公交公司有車輛300臺，每臺出故障的概率是0.01，求至少有295輛車能正常運行的概率。至多有5輛車出故障的概率為：解：令X=“出故障的車輛數”，則X~B(300,0.01)。

至少有295輛車能正常運行，即至多有5輛車出故障。34例6：某公交公司有車輛300臺，每臺出故障的概率是三、Poisson定理及泊松分布設>0為一常數，n是任意正整數。設npn=λ,則對任一固定的非負整數k，有

考慮到直接計算上式較麻煩，當n很大p很小時，有下列近似計算公式：1、Poisson定理35三、Poisson定理及泊松分布設>0為一常數，36362、泊松分布定義：若隨機變量X所有可能的取值為0,1,2,…,而取每個值的概率為:則稱X服從參數為的泊松分布(Poisson),記為:1)泊松分布與二項分布的關系：這兩個分布的X～().說明：372、泊松分布定義：若隨機變量X所有可能的取值為0,1,2,…數學模型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二項分布當n很大p很小時的近似計算。38數學模型都是Bernoulli概型。Poisson分布38程序對比泊松分布與二項分布poisspdf(k,Lambda)（a)n=20;p=0.04;(b)n=8;p=0.4;39程序對比泊松分布與二項分布poisspdf(k,Lambd上兩圖程序代碼figure('color','w')n=20;p=0.04;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,'r','LineWidth',3)xlim([0,n])lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);holdonplot(x,z,'g-.','LineWidth',3)holdofflegend('二項分布:n=20,p=0.04','\lambda=n*p=0.8')figure('color','w')n=8;p=0.4;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,'r','LineWidth',3)xlim([0,n])lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);holdonplot(x,z,'g-.','LineWidth',3)holdofflegend('二項分布:n=8,p=0.4','\lambda=n*p=3.2')

40上兩圖程序代碼figure('color','w')figu上述例2的解答：3、Poisson分布的應用41上述例2的解答：3、Poisson分布的應用41分別用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k,Lambda)函數編程解上一題n=300;p=0.01;n1=5;x=0:n1;y=binopdf(x,n,p);binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);Poissonsum=sum(z)binosum=0.91709643671569Poissonsum=0.9160820579687042分別用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k,分別用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k,Lambda)函數編程解上一題n=300;p=0.01;n1=5;y=binocdf(n1,n,p)%binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisscdf(n1,lama)%Poissonsum=sum(z)y=0.91709643671569z=0.9160820579687043分別用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k,四、（0—1）分布X01pk1-pp一個只有兩個結果的隨機試驗，都可以用（0－１）分布來描述。如新生嬰兒的性別，打靶中與不中等等。即X的分布律為：則稱X服從（0—１）分布。44四、（0—1）分布X01pk作業(yè)題（同濟大學）P46：2題、5題、7題45作業(yè)題（同濟大學）P46：2題、5題、7題45§3隨機變量的分布函數引例：設X=“擲一顆骰子時擲出的點數”，記P｛X≤1｝=F(1）P｛X≤2｝=F(2）P｛X≤3｝=F(3）……一般地：對任意的實數我們把稱為隨機變量X的分布函數。46§3隨機變量的分布函數引例：設X=“擲一顆骰子時擲出的點數設X為一隨機變量,為任意實數,稱為隨機變量X的分布函數。2）分布函數的定義域為：值域為：注：

1）分布函數的含義：1、分布函數的定義:xa分布函數F(a)的值等于X的取值落入區(qū)間(-∞,a]內的概率值。如何求？47設X為一隨機變量,為任意實數,稱為隨機變量X的分布函數4848

3）引進分布函數后，事件的概率可以用的函數值來表示。0（]ab493）引進分布函數后，事件的概率可以用5050例1：已知隨機變量X的分布律為:X012pk1/42/41/4(1)求X的分布函數(2)求X的分布函數51例1：已知隨機變量X的分布律為:X0125252P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)=????P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)+P(x=0)=3/4-1/4+1/4=3/453P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)=????P(0≤x2、分布函數的性質

是右連續(xù)函數，即是一個單調不減函數542、分布函數的性質是右連續(xù)函數，即是一個單調不減函數試說明F(x)能否作為某個隨機變量X的分布函數．例1：設有函數55試說明F(x)能否作為某個隨機變量X的分布函數．例1求:(1)常數A，B的值；(2)P(0<X≤1)例2：設隨機變量X的分布函數為：56求:(1)常數A，B的值；(2)P(0<X≤例3:下列函數中可作為隨機變量分布函數的是()．C57例3:下列函數中可作為隨機變量分布函數的是()．§4連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義：對于隨機變量X的分布函數若存在 非負的函數使對于任意實數有：其中稱為X的概率密度函數，簡稱概率密度。則稱X為連續(xù)型隨機變量，

連續(xù)型隨機變量的取值充滿一個區(qū)間，對這種類型的隨機變量不能象離散型的那樣用分布律描述，而是用概率密度描述。58§4連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義：對于隨機變量X的分布

與物理學中的質量線密度的定義相類似59與物理學中的質量線密度的定義相類似595）連續(xù)型隨機變量X取任一實數的概率值為零.注意:5)表明求連續(xù)型隨機變量落在一個區(qū)間上的概率值時，不必考慮區(qū)間端點的情況。即605）連續(xù)型隨機變量X取任一實數的概率值為零.注意:5)表隨機變量的分布函數、分布率、密度函數有什么聯系和區(qū)別？區(qū)別：分布函數描述隨機變量的取值規(guī)律，隨機變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的；分布率只能描述離散型隨機變量的取值規(guī)律；密度函數只能描述連續(xù)型隨機變量的取值規(guī)律。聯系：61隨機變量的分布函數、分布率、密度函數有什么聯系和區(qū)別？區(qū)別：例1、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數為：求(1)P(0.3<X<0.7);(2)X的概率密度f(x).62例1、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數為：求(1)P(0.例：設X的概率密度為(1)求常數c的值；(2)

寫出X的概率分布函數；

(3)要使 求k的值。解：013663例：設X的概率密度為016464幾個重要的連續(xù)量均勻分布定義：X具有概率密度稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X～U(a,b)65幾個重要的連續(xù)量65例1某站點從8點到10點有一班車隨機到達,一乘客9點到達車站。問他能坐上該班車的概率。乘客9點到達能坐上班車的概率為:解：設X班車到達車站的時刻，則X～U（8，10）,故66例1某站點從8點到10點有一班車隨機到達,一乘客9點到例：在區(qū)間(-1,2)上隨機取一數X，試寫出X的概率 密度。并求 的值； 若在該區(qū)間上隨機取10個數，求10個數中恰有 兩個數大于0的概率。 解：X在區(qū)間(-1,2)上均勻分布 設10個數中有Y個數大于0， 則：67例：在區(qū)間(-1,2)上隨機取一數X，試寫出X的概率 解：X由題意X的概率密度為：68由題意X的概率密度為：686969指數分布定義：設X的概率密度為 其中λ>0為常數，則稱X服從參數為λ的指數分布。記為 X具有如下的無記憶性：70指數分布 X具有如下的無記憶性：70正態(tài)分布定義：設X的概率密度為 其中

為常數，稱X服從參數為

的正態(tài)分布(Gauss分布)， 記為可以驗算：71正態(tài)分布定義：設X的概率密度為71稱μ為位置參數(決定對稱軸位置)σ為尺度參數(決定曲線分散性)72稱μ為位置參數(決定對稱軸位置)72X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。當固定μ時，σ越大，曲線的峰越低，落在μ附近的概率越小，取值就越分散，∴σ是反映X的取值分散性的一個指標。

在自然現象和社會現象中，大量隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布。73X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。737474則Z的分布函數為:一般正態(tài)分布的標準化75則Z的分布函數為:一般正態(tài)分布的標準化7576767777例：查書后附表78例：查書后附表78

例：一批鋼材(線材)長度 (1)若μ=100，σ=2，求這批鋼材長度小于97.8cm 的概率；(2)若μ=100，要使這批鋼材的長度至少 有90%落在區(qū)間(97,103)內，問σ至多取何值？79例：一批鋼材(線材)長度79

例：設某地區(qū)男子身高

(1)從該地區(qū)隨機找一男子測身高，求他的身高大于

175cm的概率；(2)若從中隨機找5個男子測身高,問至 少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身 高大于175cm的概率為多少？80例：設某地區(qū)男子身高80mu=169.7;sigma=4.1;plarge175=1-normcdf(175,mu,sigma)plargeless1=1-binopdf(0,5,plarge175)plargeequal1=binopdf(1,5,plarge175)

plarge175=0.09806037254757plargeless1=0.40311956686400plargeequal1=0.3244691543545581mu=169.7;plarge175=0.09806編程畫出幾個正態(tài)分布的概率密度和分布函數曲線mu=10;sigma=3;x=(mu-3.1*sigma):0.1:(mu+3.1*sigma);y1=normpdf(x,mu,sigma);y2=normcdf(x,mu,sigma);figure('color','w')plot(x,y1,'r','LineWidth',3)legend('Normalprobabilitydensityfunction(pdf)\mu=10\sigma=3')figure('color','w')plot(x,y2,'g','LineWidth',3)legend('Normalcumulativedistributionfunction(cdf)\mu=10\sigma=3')82編程畫出幾個正態(tài)分布的概率密度和分布函數曲線mu=10;828383標準正態(tài)分布的上分位點1）定義：設X~N（0，1），稱滿足陰影部分面積為84標準正態(tài)分布的上分位點1）定義：設X~N（0，1）例5：求85例5：求85編程計算例5的結果X=norminv(p,mu,sigma)%p為累積概率值，mu為均值，sigma為標準差，X為臨界值，滿足：p=P{X≤x}。因為例5是標準正態(tài)分布，所以mu＝0，sigma=1.P＝1－α，所以當α分別取0.05,0.005,0.001時候，對應的上α分位點的標準正態(tài)分布函數值分別為0.95，0.995,0.99986編程計算例5的結果X=norminv(p,mu,sigma)mu=0;sigma=1;z0_05=norminv(1-0.05,mu,sigma)z0_005=norminv(1-0.005,mu,sigma)z0_001=norminv(1-0.001,mu,sigma)z0_05=1.64485362695147z0_005=2.57582930354890z0_001=3.0902323061678287mu=0;z0_05=1.6448536269514787作業(yè)題（同濟大學）P47：12題、16題、18題和24題88作業(yè)題（同濟大學）P47：12題、16題、18題和24題88補充：實際應用中，如何求信號的概率分布率89補充：實際應用中，如何求信號的概率分布率891、采樣901、采樣902、統計－－直方圖912、統計－－直方圖913、頻率直方圖－－概率分布率923、頻率直方圖－－概率分布率92求二維信號（圖像）的灰度概率分布93求二維信號（圖像）的灰度概率分布93頻率直方圖－－概率分布率94頻率直方圖－－概率分布率94§5隨機變量的函數分布問題：已知隨機變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。95§5隨機變量的函數分布95一維隨機變量函數的分布1.X離散加法使對應的X的那些可能值,其概率之和96一維隨機變量函數的分布1.X離散加法使(1)先求出Y的分布函數與X的分布函數之間的關系：(2)再兩邊同時對y求導數2.X連續(xù)97(1)先求出Y的分布函數與X的分布函數之間的關系：(2)再例：設

Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。X-110pZ01pY-220p 解：Y的可能取值為-2,0,2 Z的可能取值為0,1 (Y=-2)的等價事件為(X=-1)… (Z=1)的等價事件為(X=1)∪(X=-1) 故得：98例：設 X-110pZ01pY-220p 解：Y例：

99例：99xh(y),yy0y=g(x)y100xh(y),yy0y=g(x)y100101101例： 解：例：解：102例： 解：例：解：102

103103第二章隨機變量及其分布 關鍵詞：

隨機變量 概率分布函數 離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量隨機變量的函數104第二章隨機變量及其分布 關鍵詞：1第一節(jié)隨機變量在上一章中，我們把隨機事件看作樣本空間的子集；這一章里我們將引入隨機變量的概念，用隨機變量的取值來描述隨機事件。一、隨機變量引例：E1:將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現的情況。105第一節(jié)隨機變量在上一章中，我們把隨機事件看作e1=（正，正）2e2=（正，反）1e3=（反，正)1e4=（反，反）0

令X=“正面出現的次數”，則X是一個隨著試驗結果不同而取值不同的量，其對應關系如下：由上可知，對每一個樣本點e，都有一個X的取值X(e)基本結果(e)正面出現的次數X(e)106e1=（正，正）2令X=“正面出現的次數與之對應。我們把X稱為定義在這個試驗上的隨機變量。

E2：擲一枚骰子，觀察出現的點數.

令X=“正面出現的點數”

E3：某產品的使用壽命X,X>=0.

E4：擲一枚質地均勻的硬幣，觀察正反面出現的情況.107與之對應。我們把X稱為定義在這個試驗上的隨機變量。E2：擲一般地，對每一個隨機試驗，我們都可以引入一個變量X，使得試驗的每一個樣本點都有一個X的取值X(e)與之對應，這樣就得到隨機變量的概念.1、隨機變量的定義:

設E是一個隨機試驗，其樣本空間為S={e}，在E上引入一個變量X，如果對S中每一個樣本點e，都有一個X的取值X(e)與之對應，我們就稱X為定義在隨機試驗E的一個隨機變量.108一般地，對每一個隨機試驗，我們都可以引入一個（2）引入隨機變量的目的：用隨機變量的取值范圍表示隨機事件，利用高等數學的工具研究隨機現象。事件“正面至少出現一次”可表示為:“X≥1”；2、隨機變量的說明（1）隨機變量的表示：常用字母X,Y,Z，….表示;例如：上例中，事件“正面出現兩次”可表示為:“0<X≤2”表示事件“正面至少出現一次”。“X=2”；109（2）引入隨機變量的目的：事件“正面至少出現一次”可表示為:例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X≥１)=3/4；P(0<X≤2)=3/4；隨機變量的取值具有一定的概率：(4)隨機變量的類型：這兩種類型的隨機變量因其取值方式的不同各有特點，學習時注意它們各自的特點及描述方式的不同。具有隨機性:在一次試驗之前不知道它取哪一個值，但事先知道它全部可能的取值。

（3）隨機變量的特點:離散型與連續(xù)型隨機變量。110例如：上例中P(X=2)=1/4；P(X≥１)=3/4；

例1（用隨機變量的取值表示隨機事件）一報童賣報，每份報0.50元,其成本為0.30元。報館每天給報童1000份報紙，并規(guī)定賣不出的報紙不得退回。解：分析{報童賠錢}{賣出報紙的錢不夠成本}當0.50X<1000×0.3時，報童賠錢.故{報童賠錢}{X600}

令X=“報童每天賣出的報紙份數”試將“報童賠錢”這一事件用X的取值表示出來。111例1（用隨機變量的取值表示隨機事件）一報童賣報（1）隨機變量X可能取哪些值？

（2）隨機變量X取某個值的概率是多大？3、隨機變量的概率分布引入隨機變量后,上述說法相應變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑簩τ谝粋€隨機試驗，我們關心下列兩件事情：

（1）試驗會發(fā)生一些什么事件？（2）每個事件發(fā)生的概率是多大？112（1）隨機變量X可能取哪些值？

（2）隨機變量X取某個值的概

對一個隨機變量X，若給出了以上兩條，我們就說給出了隨機變量X的概率分布(也稱分布律）。這一章我們的中心任務是學習離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的概率分布.113對一個隨機變量X，若給出了以上兩條，我們就說§2離散型隨機變量及其分布114§2離散型隨機變量及其分布11

如果隨機變量X所有可能的取值是有限個或無窮可列個，則稱X為離散型隨機變量。一、離散型隨機變量的定義及其分布律1.離散型隨機變量的定義2.離散型隨機變量的分布律要掌握一個離散型隨機變量的分布律，必須且只需知道以下兩點：(1)X所有可能的取值:(2)X取每個值時的概率:115如果隨機變量X所有可能的取值是有限個或無窮可列個，則稱稱(1)式為離散型隨機變量X的分布律.注:離散型隨機變量X的分布律可用公式法和表格法描述。1)公式法:2)表格法:LL21kpppxxX21116稱(1)式為離散型隨機變量X的分布律.注:離散型隨機變量X012pk1/42/41/4

例1：將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現的次數X”的分布律。解：在此試驗中，所有可能的結果有：e1=（正，正）；e2=（正，反）；e3=（反，正)；e4=（反，反）。于是，正面出現的次數X”的分布律：117X012pk1/42/41/4例1：將一枚硬幣連擲圖形表示118圖形表示1511916程序x=[0,1,2];pk=[1/4,2/4,1/4];figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);figure('color','w')plot(x,pk,'r.','MarkerSize',31)holdonplot(x,pk,'r-.')ylim([00.6])holdoffxlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);

figure('color','w')bar(x,pk,0.1,'r')ylim([00.6])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);xlim([0,2.3])text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);

figure('color','w')stem(x,pk,'r.','MarkerSize',31)ylim([00.6])xlim([0,2.3])text(x(1),pk(1),num2str(pk(1)),'FontSize',21);text(x(2),pk(2),num2str(pk(2)),'FontSize',21);text(x(3),pk(3),num2str(pk(3)),'FontSize',21);120程序x=[0,1,2];173、離散型隨機變量分布律的性質

例２:設隨機變量X的分布律為：試求常數a.1213、離散型隨機變量分布律的性質例２:設隨機變量例3:設隨機變量X的分布律為：試求常數a.122例3:設隨機變量X的分布律為：試求常數a.19練習:設隨機變量X的分布律為：試確定常數b.解：由分布律的性質，有123練習:設隨機變量X的分布律為：試確定常數b.解：由分布律的性

解：X所有可能的取值為：0，1，2，3；例4:

設有產品100件，其中3件是次品。從中有放回地任取3件，求“取得次品件數X”的分布律。124解：X所有可能的取值為：0，1，2，3；例4:這個分布其實就是將要介紹二項分布。我們先來看一個重要的試驗——伯努利（Bernoulli）試驗。125這個分布其實就是將要介紹二項分布。我們先來看一個重要二、伯努利（Bernoulli）試驗及二項分布(1)n次獨立重復試驗1、伯努利（Bernoulli）試驗將試驗E重復進行n次,若各次試驗的結果互不影響,則稱這n次試驗是相互獨立的.(2)n重伯努利試驗滿足下列條件的試驗稱為伯努利（Bernoulli）試驗:①每次試驗都在相同的條件下重復進行；126二、伯努利（Bernoulli）試驗及二項分布(1)n次獨立②每次試驗只有兩個可能的結果:A及③每次試驗的結果相互獨立。

若用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數,則n次試驗中事件A發(fā)生k次的概率為：

證明：在n重貝努利試驗中，事件A在前k次出現，而在后n-k次不出現的概率為:若滿足上述條件的試驗重復進行n次,則稱這一串試驗為n重伯努利(Bernoulii)試驗。127②每次試驗只有兩個可能的結果:A及若用X表示n重伯努而事件A在n次試驗中發(fā)生k次的方式為：128而事件A在n次試驗中發(fā)生k次的方式為：252、二項分布

用X表示n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數，，則X的分布律為:此時稱X服從參數為n,p的二項分布,記為X～B(n,p).例1：

將一枚均勻的骰子擲4次，求3次擲出5點的概率.1292、二項分布用X表示n重Bernoull

解：令A=“擲出5點”，令X=“4次拋擲中擲出5點的次數”，則4次拋擲中3次擲出5點的概率為：130解：令A=“擲出5點”，令X=“4次拋擲中擲出5點的程序和結果x=0:4;y=binopdf(x,4,1/6);figure('color','w')plot(x,y,'r.','MarkerSize',31)figure('color','w')bar(x,y,0.1,'r')pxequal3=y(4)pxequal3=0.01543209876543131程序和結果x=0:4;pxequal3=0.0154例2：設有80臺同類型設備，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺設備的故障能有一個人處理。 考慮兩種配備維修工人的方法，其一是由4個人維護，每人負責20臺；其二是由3個人共同維護80臺。試比較這兩種方法在設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率的大小。132例2：2913330例3：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經過3個獨立的交通燈，設各燈工作獨 立，且設各燈為紅燈的概率為p，0<p<1， 以Y表示一路上遇到紅燈的次數。 (1)求Y的概率分布律； (2)求恰好遇到2次紅燈的概率。

解：這是三重貝努利試驗

134例3：某人騎了自行車從學校到火車站，一路上 要經過3個獨例4：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p， 0<p<1，設命中X次，(1)求X的概率分布 律；(2)求至少有一次命中的概率。

解：這是n重貝努利試驗同時可知：上式的意義為：若p較小，p≠0,只要n充分大，至少有一次命中的概率很大。即“小概率事件”在大量試驗中“至少有一次發(fā)生”幾乎是必然的。135例4：某人獨立射擊n次，設每次命中率為p，解：這是n重貝例5：有一大批產品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗， 從中任取10件，經檢驗無次品接受這批產品，次品數大 于2拒收；否則作第二次檢驗，從中任取5件，僅當5件 中無次品便接受這批產品，設產品的次品率為p． 求這批產品能被接受的概率L(p)．L(P)=P(A)解： 設X為第一次抽得的次品數，Y為第2次抽得的次品數； 則X～b(10,p)，Y～b(5,p)，且{X=i}與{Y=j}獨立。A={接受該批}。136例5：有一大批產品，其驗收方案如下：先作第一次檢驗， 從例6：某公交公司有車輛300臺，每臺出故障的概率是0.01，求至少有295輛車能正常運行的概率。至多有5輛車出故障的概率為：解：令X=“出故障的車輛數”，則X~B(300,0.01)。

至少有295輛車能正常運行，即至多有5輛車出故障。137例6：某公交公司有車輛300臺，每臺出故障的概率是三、Poisson定理及泊松分布設>0為一常數，n是任意正整數。設npn=λ,則對任一固定的非負整數k，有

考慮到直接計算上式較麻煩，當n很大p很小時，有下列近似計算公式：1、Poisson定理138三、Poisson定理及泊松分布設>0為一常數，139362、泊松分布定義：若隨機變量X所有可能的取值為0,1,2,…,而取每個值的概率為:則稱X服從參數為的泊松分布(Poisson),記為:1)泊松分布與二項分布的關系：這兩個分布的X～().說明：1402、泊松分布定義：若隨機變量X所有可能的取值為0,1,2,…數學模型都是Bernoulli概型。Poisson分布是二項分布當n很大p很小時的近似計算。141數學模型都是Bernoulli概型。Poisson分布38程序對比泊松分布與二項分布poisspdf(k,Lambda)（a)n=20;p=0.04;(b)n=8;p=0.4;142程序對比泊松分布與二項分布poisspdf(k,Lambd上兩圖程序代碼figure('color','w')n=20;p=0.04;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,'r','LineWidth',3)xlim([0,n])lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);holdonplot(x,z,'g-.','LineWidth',3)holdofflegend('二項分布:n=20,p=0.04','\lambda=n*p=0.8')figure('color','w')n=8;p=0.4;x=0:n;y=binopdf(x,n,p);plot(x,y,'r','LineWidth',3)xlim([0,n])lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);holdonplot(x,z,'g-.','LineWidth',3)holdofflegend('二項分布:n=8,p=0.4','\lambda=n*p=3.2')

143上兩圖程序代碼figure('color','w')figu上述例2的解答：3、Poisson分布的應用144上述例2的解答：3、Poisson分布的應用41分別用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k,Lambda)函數編程解上一題n=300;p=0.01;n1=5;x=0:n1;y=binopdf(x,n,p);binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);Poissonsum=sum(z)binosum=0.91709643671569Poissonsum=0.91608205796870145分別用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k,分別用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k,Lambda)函數編程解上一題n=300;p=0.01;n1=5;y=binocdf(n1,n,p)%binosum=sum(y)lama=n*p;z=poisscdf(n1,lama)%Poissonsum=sum(z)y=0.91709643671569z=0.91608205796870146分別用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k,四、（0—1）分布X01pk1-pp一個只有兩個結果的隨機試驗，都可以用（0－１）分布來描述。如新生嬰兒的性別，打靶中與不中等等。即X的分布律為：則稱X服從（0—１）分布。147四、（0—1）分布X01pk作業(yè)題（同濟大學）P46：2題、5題、7題148作業(yè)題（同濟大學）P46：2題、5題、7題45§3隨機變量的分布函數引例：設X=“擲一顆骰子時擲出的點數”，記P｛X≤1｝=F(1）P｛X≤2｝=F(2）P｛X≤3｝=F(3）……一般地：對任意的實數我們把稱為隨機變量X的分布函數。149§3隨機變量的分布函數引例：設X=“擲一顆骰子時擲出的點數設X為一隨機變量,為任意實數,稱為隨機變量X的分布函數。2）分布函數的定義域為：值域為：注：

1）分布函數的含義：1、分布函數的定義:xa分布函數F(a)的值等于X的取值落入區(qū)間(-∞,a]內的概率值。如何求？150設X為一隨機變量,為任意實數,稱為隨機變量X的分布函數15148

3）引進分布函數后，事件的概率可以用的函數值來表示。0（]ab1523）引進分布函數后，事件的概率可以用15350例1：已知隨機變量X的分布律為:X012pk1/42/41/4(1)求X的分布函數(2)求X的分布函數154例1：已知隨機變量X的分布律為:X01215552P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)=????P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)+P(x=0)=3/4-1/4+1/4=3/4156P(0≤x≤1)=F(1)-F(0)=????P(0≤x2、分布函數的性質

是右連續(xù)函數，即是一個單調不減函數1572、分布函數的性質是右連續(xù)函數，即是一個單調不減函數試說明F(x)能否作為某個隨機變量X的分布函數．例1：設有函數158試說明F(x)能否作為某個隨機變量X的分布函數．例1求:(1)常數A，B的值；(2)P(0<X≤1)例2：設隨機變量X的分布函數為：159求:(1)常數A，B的值；(2)P(0<X≤例3:下列函數中可作為隨機變量分布函數的是()．C160例3:下列函數中可作為隨機變量分布函數的是()．§4連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義：對于隨機變量X的分布函數若存在 非負的函數使對于任意實數有：其中稱為X的概率密度函數，簡稱概率密度。則稱X為連續(xù)型隨機變量，

連續(xù)型隨機變量的取值充滿一個區(qū)間，對這種類型的隨機變量不能象離散型的那樣用分布律描述，而是用概率密度描述。161§4連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義：對于隨機變量X的分布

與物理學中的質量線密度的定義相類似162與物理學中的質量線密度的定義相類似595）連續(xù)型隨機變量X取任一實數的概率值為零.注意:5)表明求連續(xù)型隨機變量落在一個區(qū)間上的概率值時，不必考慮區(qū)間端點的情況。即1635）連續(xù)型隨機變量X取任一實數的概率值為零.注意:5)表隨機變量的分布函數、分布率、密度函數有什么聯系和區(qū)別？區(qū)別：分布函數描述隨機變量的取值規(guī)律，隨機變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的；分布率只能描述離散型隨機變量的取值規(guī)律；密度函數只能描述連續(xù)型隨機變量的取值規(guī)律。聯系：164隨機變量的分布函數、分布率、密度函數有什么聯系和區(qū)別？區(qū)別：例1、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數為：求(1)P(0.3<X<0.7);(2)X的概率密度f(x).165例1、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數為：求(1)P(0.例：設X的概率密度為(1)求常數c的值；(2)

寫出X的概率分布函數；

(3)要使 求k的值。解：0136166例：設X的概率密度為0116764幾個重要的連續(xù)量均勻分布定義：X具有概率密度稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X～U(a,b)168幾個重要的連續(xù)量65例1某站點從8點到10點有一班車隨機到達,一乘客9點到達車站。問他能坐上該班車的概率。乘客9點到達能坐上班車的概率為:解：設X班車到達車站的時刻，則X～U（8，10）,故169例1某站點從8點到10點有一班車隨機到達,一乘客9點到例：在區(qū)間(-1,2)上隨機取一數X，試寫出X的概率 密度。并求 的值； 若在該區(qū)間上隨機取10個數，求10個數中恰有 兩個數大于0的概率。 解：X在區(qū)間(-1,2)上均勻分布 設10個數中有Y個數大于0， 則：170例：在區(qū)間(-1,2)上隨機取一數X，試寫出X的概率 解：X由題意X的概率密度為：171由題意X的概率密度為：6817269指數分布定義：設X的概率密度為 其中λ>0為常數，則稱X服從參數為λ的指數分布。記為 X具有如下的無記憶性：173指數分布 X具有如下的無記憶性：70正態(tài)分布定義：設X的概率密度為 其中

為常數，稱X服從參數為

的正態(tài)分布(Gauss分布)， 記為可以驗算：174正態(tài)分布定義：設X的概率密度為71稱μ為位置參數(決定對稱軸位置)σ為尺度參數(決定曲線分散性)175稱μ為位置參數(決定對稱軸位置)72X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。當固定μ時，σ