§11-1

機械波的產(chǎn)生和§11-2

平面簡諧波的波函數(shù)§11-3波動方程波速§11-4

波的能量波的強度§11-5

聲波超聲波次聲波§11-7

惠更斯原理波的衍射反射和折射§11-8

波的疊加原理

波的

駐波§11-9

多普勒效應(yīng)第十一章

機械波振動與波動區(qū)別聯(lián)系振動研究一個質(zhì)點的運動。波動研究大量有聯(lián)系的質(zhì)點振動的集體表現(xiàn)。振動是波動的根源。波動是振動的

。振動是波動的基礎(chǔ)，波動是振動的。常見的波有：機械波，電磁波，…振動在空間的

過程稱為波動機械振動在彈性介質(zhì)中的

稱為機械波如聲波、水波、

波等交變電磁場在空間的

稱為電磁波如無線電波、光波等§11-1

機械波的產(chǎn)生和一、機械波產(chǎn)生的條件過程機械波產(chǎn)生的兩個條件：波源，彈性介質(zhì)特征：

由近及遠

振動狀態(tài)。x機械波：機械振動(波源)在彈性介質(zhì)中的y如：振動沿一細繩的。結(jié)論(1)波的過程應(yīng)是波源振動狀態(tài)即相位的過程。振源得以持續(xù)振動是外界不斷饋入能量所致，因而波動也是能量的過程。質(zhì)元并未“隨波逐流”,波的不是媒質(zhì)質(zhì)元的,各質(zhì)點僅在自身平衡位置附近作同頻率、同方向的振動，只是各質(zhì)元的振動相位隨波到達的先后而沿波的方向依次，因而波動是介質(zhì)中各質(zhì)元保持一定相位聯(lián)系的集體振動。波的分類按波的性質(zhì)機械波（

mechanical

wave

）電磁波（electromagnetic

wave

）縱波（longitudinal

wave

）按波

方向與振動方向關(guān)系橫波（transverse

wave

）按波面形狀平面波（plane

wave

）球面波（spherical

wave

）柱面波（

cylindrical

wave

）簡諧波（simple

harmonic

wave

）復(fù)波（

compound

wave

）連續(xù)波（continued

wave

）脈沖波（pulsating

wave

）行波（

travelling

wave

）按復(fù)雜程度按持續(xù)時間按波形是否駐波（standing

wave

）方向垂直。二、橫波與縱波橫波：質(zhì)點的振動方向和波動的波形特征：存在波峰和波谷，如細繩上的波?？v波：質(zhì)點的振動方向和波動的

方向相平行。波形特征：存在相間的稀疏和稠密區(qū)域，如聲波。彈簧中的縱波水表面的波既非橫波又非縱波。波速波陣面：振動相位相同的點所構(gòu)成的面。波前：最前面的那個波陣面。波線：表示波的

方向的有向線段。平面波波線波面球面波遠離波源處，很小區(qū)域內(nèi)的波陣面可看作平面波。各向同性介質(zhì)中，波線與波陣面處處垂直。三、波陣面和波（射）線四、波長、頻率和波速間的關(guān)系2.周期T：波前進一個波長的距離所需的時間。等于波源的振動周期。T頻率：ν

11.

波長：沿波的方向兩相鄰?fù)辔稽c之間的距離3.

波速

u

(相速)：振動狀態(tài)或相位在空間的

速度。Tu

νu一般取決于介質(zhì)的性質(zhì)(彈性和慣性)。T角頻率：

2πν

2π例11-1

頻率為3000

Hz的聲波，以1560

m/s的

速度沿一波線

，經(jīng)過波線上的A點后，再經(jīng)13cm而傳至B點。求：(1)

B點的振動比A

點

的時間。(2)波在A、B兩點振動時的相位差是多少？(3)設(shè)波源做簡諧振動，振幅為1

mm，求振動速度的幅值，是否與波的

速度相等？解：(1)

波的周期：s

30001T

1

波長：

u

0.52

m

52

cm的相位差為4

2(2)

A、B

兩點相差13cm

，B點比A點4

2π

π(3)

振幅A=1

mm，則振動速度的幅值為vm

A

1.88

10

cm/s

18.8m/s3振動速度是交變的，其幅值為18.8

m/s，遠小于波速。B點比A點的時間為1

(s)1.56103

120000.13即T4§11-2

平面簡諧波的波函數(shù)一、波函數(shù)

(r

,

t)

f

(r

,

t)

f

(x,

y,

z,

t)波函數(shù)表示任一時刻物理量

在空間的分布情況。二、平面簡諧波的波函數(shù)簡諧波：簡諧振動在介質(zhì)中

形成的波。如果波陣面為平面，則為平面簡諧波。平面波的特點：任一時刻在同一波陣面上的各點有相同的相位。只要研究其中任一條波線上波的規(guī)律，就能知道整個平面波的

規(guī)律。設(shè)一平面余弦波，在 收的均勻無限介質(zhì)中沿x

軸的正方向 ，波速為u

。取任意一條波線為x

軸，取O

作為x

軸的原點。O點處質(zhì)點的振動表式為y0

(t)

Acos(

t

0

)P點的振動狀態(tài)在時間上u于O點：t

x平面簡諧波的波函數(shù)：沿x

軸負向的平面簡諧波的波函數(shù)：平面簡諧波的波函數(shù)：（沿x

軸正向）波函數(shù)的意義：(1)當x

給定時：若x=x1,波動式成為x1

處質(zhì)點的振動式初相：隨著x

值的增大，即在

方向上，各質(zhì)點的相位依次

。這是波動的一個基本特征。(2)當t

給定時：若t=t1，波動式表示t1

時的波形01

1uy(

x,

t

)

Acos[

(t

x

)

]

f

(

x)t1

時刻的波形經(jīng)t

時間沿波的ut

的距離，波函數(shù)反映了波形的方向移動了——行波。yx1tt2

t1

tuOut同一質(zhì)點在先后時刻的相位差：

2π

t

tT不同質(zhì)點在同一時刻的相位差：

2π

x

k

x(3)波函數(shù)反映了波的時間、空間雙重周期性T

時間周期性

空間周期性0

T

y(x,

t)

A

cos

2π

t

x

0

y(x,

t)

A

cos

2πt

x

y(x,t)

Acos(

t

k

x

0

)其中角波數(shù)k

2π

uT

，可得利用關(guān)系式

2π

T

2π

和其他形式的平面簡諧波波函數(shù)：(4)質(zhì)點的振動速度，加速度v

y

Asin[

(t

x)

]t u22

y

xa

t

2

Acos[

(t

u)

]★媒質(zhì)中任意質(zhì)點的振動速度方向的判斷沿波的

速度方向看：波峰

波谷(下坡)

質(zhì)點運動速度波谷

波峰(上坡)

質(zhì)點運動速度v

0v

0t(s)oA

v例

如圖一向右

的簡諧波在

t=0時刻的波形，已知周期為

2

s

，則

P

點處質(zhì)點的振動速度與時間的關(guān)系曲線為：yxo

AAuP*yptoAP

點振動圖t(s)oA1

2v（A）1

2（C）t(s)o1

2（B）

AA

vt(s)oA1

2（D）v例11-2

頻率為=12.5

kHz的平面余弦縱波沿細長的金屬棒

，波速為5000

m/s。如以棒上某點取為坐標原點，已知原點處質(zhì)點振動的振幅為A

=0.1mm，試求：

(1)原點處質(zhì)點的振動表式；(2)波函數(shù)；(3)離原點10

cm處質(zhì)點的振動表式；(4)離原點20

cm和30

cm兩點處質(zhì)點振動的相位差；(5)在原點振動0.0021

s時的波形。解：波長：

0.40(m)u

5.0103ν

12.5103

周期：T

1

ν

8105

s(1)原點處質(zhì)點的振動表達式式中x

以m計，t

以s

計。(3)離原點10

cm處質(zhì)點的振動表達式y(tǒng)0

Acost

0.110

cos

2510

πt

(m)3

3145103

(m)y

0.103

cos

2510 π

t

(2)波函數(shù)y

Acos3510

(m)3 3

0.110

cos

2510

π

t

xx

10cm

0.10

m

4(4)該兩點間的距離相應(yīng)的相位差為

π

2(5)

t

=0.0021

s時的波形為3

3y

0.110 cos

2510

π

0.00213510x

0.1103

sin

5πx

(m)例11-3

一橫波沿一弦線

。設(shè)已知t

=0時的波形曲線如圖中的虛線所示。波速

u=12

m/s，求：(1)振幅；(2)波長；(3)波的周期；(4)弦上任一質(zhì)點的最大速率；(5)圖中a、b兩點的相位差；(6)3T/4時的波形曲線。(3)

波的周期

(s)u

12

30

0.4

1T

解：由圖：(1)

A=0.5

cm；(2)

=40

cm；m(4)

質(zhì)點的最大速率

vT

A

A

2π

0.94

m/s(5)a、b兩點相隔半個波長，b點處質(zhì)點比a點處質(zhì)點的相位

。(6)3T/4時的波形如下圖中實線所示，波峰M1和M2已分別右移3

4而到達

M1

'

和

M

2

'

處?！?1-3波動方程波速一、波動方程速度：加速度：平面波的波動方程：二、波動方程的建立設(shè)弦上的橫波，設(shè)線密度l

，張力F（不變）。FFaFFFaFbb

dxsin

Fcossin

Fcos

Fy

Fb

sin

Fa

sin

x

xdx

F

(tan

tan

)

F

(yx

x

y

)2

l

x2

F

t

22

y

yFl弦上橫波的波速：u

x2由牛頓運動定律：2

y

2

yF

(

x2

)dx

l

dx

t

2xdxxyx

y

)

F

(

y2)dxxF

F

(

y三、波速波速由彈性介質(zhì)性質(zhì)（彈性和慣性）決定。繩索或弦線中的(橫波)波速lFu

固體中橫波：u

GG為切變模量，為固體密度?？v波：u

E為彈性模量（楊氏模量）。ElF為張力，

為線密度?？v波在流體內(nèi)的波速Κu

為體積模量，為流體密度。Mu

Κ

p

RT理想氣體中的聲速流體內(nèi)只能縱波，不能橫波。四、介質(zhì)的形變及其模量1.

線變正應(yīng)力：

F/S

線應(yīng)變：

l/lES

lF

lll

+

lFFS彈性模量：E2.

切變GSF

切變角：切變模量：GSF3.

體變壓強為p時，體積為V；p

Κ

VVp

0,

V

0;p

0,

V

0壓強為p+Δp時，體積為V+ΔV。體應(yīng)變：V/VV

V

pppp體積模量：一.波的能量振動有能量，它的將導(dǎo)致能量的。這里要搞清：①媒質(zhì)質(zhì)元能量是如何變化的？②能量

的規(guī)律如何？以彈性棒中的簡諧橫波為例來分析：§11-4

波的能量波的強度x0y

=Acos

(

t-

x

/u)ux

x+x

xy0yy

yy00“質(zhì)元”形變勢能ΔWp，振動動能ΔWky21Wp

F

d

y

GS

x

d

2

G

Vx（

y

）模量切變

G

F

/

S

F

GSxSyFFyyy

d

y

Asin

(t

x

)

1x

d

x

u

upuW

1

V

2

A2

sin2

(t

x

)k

d

t

d

y

2(

V

)W

212122V

2

A2

sinux

(t

)p

W∴1

y

22

x

G

V

Wp

1

y

22

x

u2

Vu

G

G

u2

又uy

Acos

(

t

x

)∴質(zhì)元總能量W

Wp

Wk

2Wp

2Wk

2

A2

sin2

(t

x

)Vu振動系統(tǒng)：

Ek

Ep

，Ek

Ep

const.系統(tǒng)與外界

量交換。波動質(zhì)元：Wk

Wp

，Wk

Wp

const

.每個質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。能量密度（energy

density）：w

W

2

A2

sin2

(t

x

)

2

A（2V

u特征）2T

w

1

T

w

d

t

1

2

A2適用于各種彈性波0Awxyu20w2

A2y

0

處，w

wmax，y

A處，w

0，能量“一堆一堆”地傳播在一個周期內(nèi)的平均值w（平均能量密度）：二、波的強度平均能流：P

w

uS通過垂直于

方向單位面積的平均能流。能流：單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某截面S的波動能量。平均能流密度I

：I

wu

1

uA22

1

ZA222

2(

W/m2

)(J/s

)SuuZ

u介質(zhì)的特性阻抗平面余弦行波振幅不變y

Acos

(t

x

u)uSA1SA2P1

w1uS

2

21A

uS1212P2

w2uS

2

22A

uS，有

A1

A2

。若

P1

P2介質(zhì)不吸收能量時，平面余弦行波振幅不變球面簡諧波的波函數(shù)（介質(zhì)不吸收能量時）222

442

21

122

21

1

A

u

4πr

A

u

4πr22

A2

4πr22

2A1

4πr1A1

r200

0cos[(t

)

]

r

uA

r

rO1S22S

rr1A12A點波源

各向同性介質(zhì)A2

r1

A0

rA0為r

=r0

處的振幅。A

r0時波的三、波的吸收若介質(zhì)吸收機械波的能量，則振幅將減小。

d

A

Ad

x,

：介質(zhì)的吸收系數(shù)。A

A

ex0若

為常數(shù)，則有A0為x

=0

處的振幅。I

I

e2x0xx

x+dxAA+dAI

A2例11-4

空氣中聲波的吸收系數(shù)為1=210-112(m-1)，鋼中的吸收系數(shù)為2=410-7

(m-1)，式中代表聲波頻率的數(shù)值。問5 MHz的超聲波透過多少厚度的空氣或鋼后，其聲強減為原來的1%？解：

1=210-11(5106)2=500

(m-1)2=410-7(5106)2=2

(m-1)x

(1

2

)

ln(

I0

I

)分別代入I=I0e-2

x

或I0

I

1001空氣的厚度x1

1000

ln

100

0.0046(m)鋼的厚度42x

1

ln

100

1.15(m)§11-5

聲波超聲波次聲波按頻率范圍劃分：次聲波（infrasonicwave）

：f

<20

Hz聲

波（sound

wave）：

20

<

f

<20000

Hzic

wave）：

f

>20

000

Hz超聲波（su一、聲壓介質(zhì)中有聲波時的壓強與無聲波時的靜壓強之差稱為聲壓（sound

pressure）。設(shè)介質(zhì)中沒有聲波時的壓強為p0，有聲波時各處的實際壓強為p。p

=p-p0是聲壓，常用p

表示。稀疏處聲壓為負值，稠

聲壓為正。設(shè)密度為

的流體中一平面余弦聲波0uy(x,

t)

Acos[(t

x

)

]聲壓的周期性變化形體積元，體積V

Sx

。當聲波時，這段流體柱兩端的位移分別為y和y+y。在流體中x

處取一截面積為S、長度為x

的柱體積增量為V

Sy。Ooxxx

xxyy

y流體體積模量

V

pV

V

VpΚ

有聲波

時，式中壓強增量

p就是聲壓

p。

p

xSy

ypΚ

Sx或xp

Κ

yxp

Κ

yx對于平面波，有

A

sin[(t

)

]x

u

u

0y

0u

up

ΚA

sin[(t

x

)

]由

u

Κ

0up

uAsin[(t

x)

]pm

uA

為聲壓振幅。聲壓波比位移波在相位上超前

π

2。m

0u

p

sin[(t

x

)

]m

0u

2p

p

cos[(t

x

)

π]0u

up

ΚA

sin[(t

x

)

]二、聲強聲強級聲強（intensity

of

sound）是聲波的平均能流密度2mu21I

聲壓和聲強隨頻率增加而增大。對于每個可聞頻率，聲強有上下兩個限值。聽覺閾（threshold

of

hearing）：恰好能引起聽覺的最低聲強。痛覺閾（threshold

of

pain）：恰好能引起痛覺的最低聲強。聲強的上下限值隨頻率而異。在1000Hz時，正常人聽覺的最高聲強為1W/m2，最低聲強為10-12

W/m2。將I

0=10-12W/m2作為測定聲強的標準。聲強級（soundlevel）單位為B（貝爾）聚焦超聲波——210

dBIL

log10

I

I0

IL

10log10

I

I0

幾種典型聲音的聲強級：細語——10

dB聲——110

dB單位為dB（分貝）例11-5

人耳可以聽見的最低聲強為10-12

W/m2，試求出聲波在

過程中空氣分子做正弦振動的最小振幅。設(shè)空氣的密度為

=1.2910-3

kg/m3，聲音在空氣中的速度u

=340

m/s。解：由式I

1

uA22

1

ZA222

22I

1

I

u

πν

2uA

1可得振幅將對人耳比較靈敏的頻率

=1000

Hz

代入，得3.14

1031A例11-6

頻率為500

kHz，聲強為1200W/m2，聲速為1500

m/s

的超聲波，在水(水的密度為1

g/cm3)中時，求其聲壓振幅為多少大氣壓?又位移振幅、加速度振幅各為多少？解：I

=1200

W/m2，

=1103

kg/m3pm

2uI

6

10 Pa

0.6atm4

1.

10287m2Iu

2A

am

A

1.2610

m/s

1.2

5

21024

9g三、超聲波超聲波（su ic

wave）：

f

>20000

Hz產(chǎn)生超聲波的裝置：機械型超聲發(fā)生器（例如氣哨、汽笛和液哨）電聲型超聲發(fā)生器（利用壓電晶體的電致伸縮效應(yīng)和鐵磁物質(zhì)的磁致伸縮效應(yīng)制成）超聲波頻率高，波長短，具有以下特性：定向性好、

性強、強度大、空化作用。聲納探測器:船只上的發(fā)射器先向海底發(fā)射超聲波，然后通過儀器接收和分析反射回來的訊息，從而得到整個海床的面貌.病變部分群；工業(yè)探傷;

醫(yī)學上用超聲波顯示圖象等.超聲波在科學研究和生產(chǎn)上的應(yīng)用在檢測中的應(yīng)用超聲波頻率高（

可達109

Hz）、

能量大、

本領(lǐng)大，可用于測量海洋深度，海底地形，探測沉船和魚B超:因為不同身體構(gòu)射是不同的，所以高頻率聲音(超聲波）可用來作醫(yī)學成像.越短的波長，得到的解像度就越高.在加工處理和醫(yī)學治療中的應(yīng)用超聲波在液體中會引起空化作用,

它可用于搗碎藥物制成各種藥劑,

食品工業(yè)上用于制作調(diào)味劑,

建筑業(yè)上用于制作水泥乳燭液.多普勒超聲波掃描術(shù):利用多普勒效應(yīng),反射超聲波物體的運動會改變回聲的頻率,可測量血流速度.超聲波可以用來弄碎腎石,

食物，因為高速的振動會令細菌難以抵抗.超聲波亦可以用來清除眼鏡或飾物的污垢.超聲電子學的延遲線,

振蕩器,

諧振器,

帶通濾波器等儀器,

可廣泛用于電視、通訊、

等方面.~

109

Hz

內(nèi)利用超聲元件代替電子元件制作在107三、次聲波次聲波（infrasonicwave）

：10-4

Hz<f

<20

Hz次聲波產(chǎn)生的聲源相當廣泛：火山爆發(fā)、墜入大氣層中的流星、

、

、海嘯、臺風、雷暴、

、電離層擾動，等等。利用人工的方法也能產(chǎn)生次聲波，例如

、火箭發(fā)射、化學

，等等。由于次聲波的頻率很低，其最顯著的特點是不容易被吸收，具有極強的

力，不僅可以

大氣、海水、土壤，而且還

能

堅固的鋼筋水泥構(gòu)成的建筑物，甚至

、軍艦、潛艇和飛機，

距離很遠。尼西亞的喀拉喀托火山爆發(fā)時，它所產(chǎn)生的次聲波圍繞地球轉(zhuǎn)了三圈，

了十幾萬千米。當時，人們利用簡單的微氣壓計曾記錄到它。次聲波不但“跑”得遠，而且它的速度大于風暴的速度，所以它就成了海洋風暴來臨的前奏曲，人們可以利用次聲波來預(yù)報風暴的來臨。次聲

時，不僅能使人產(chǎn)生頭暈、煩燥、耳鳴、、心悸、視物模糊，吞咽、胃痛、肝功能失調(diào)、四肢麻木，而且還可能破壞大腦神經(jīng)系統(tǒng)，造成大腦組織的重大損傷。次聲波對心臟影響最為嚴重，最終可導(dǎo)致。§11-7惠更斯原理波的衍射、反射和折射一、惠更斯原理惠更斯原理（Hygensprinciple）：介質(zhì)中任一波面上的各點，都可看成是產(chǎn)生球面子波的波源；在其后的任一時刻，這些子波的包絡(luò)面構(gòu)成新的波面。子波波源波陣面子波平面波·····utt+t時刻波面波

方向t

時刻波面球面波··········

··tt

+t·

·t

時刻波面

t+t時刻波面波的方向應(yīng)用：二、波的衍射波的衍射（diffractionofwave）：波

過程中當遇到

物時，能繞過發(fā)生偏折的現(xiàn)象。物可用惠更斯原理解釋：（2）a

≈

陰影區(qū)a陰影區(qū)（1）a

<<

可見，長波衍射現(xiàn)象明顯，方向性不好；短波衍射現(xiàn)象不明顯，方向性好。(長波、短波是以波長與

物的線度相比較而言的)★如你家住在山后，收聽無線廣播和收看無線電視哪個信號更容易接收到？(俯視圖)墻cab★a(男)、b(女)在說話，c在墻后，

c較容易聽到誰

？三、波的反射和折射反射定律：i

i折射波方向ri（1）（2）ABCEDt1t2BC=u1(t2-t1)AD=u2(t2-t1)

n21sin

θ

u

i

1sin

θr

u2折射定律：§11-8波的疊加原理波的一、波的疊加原理駐波

幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征（頻率、波長、振幅、振動方向等）不變,

并按照原來的方向繼續(xù)前進,

好象沒有遇到過其他波一樣.（獨立性）

在相遇區(qū)域內(nèi)任一點的振動，為各列波單獨存在時在該點所引起的振動位移的矢量和.（疊加性）（紅仍是紅、綠仍是綠）▲聽樂隊演奏（仍可辨出不同樂器的音色、旋律）▲空中無線電波很多（仍能分別接收不同的電臺廣播）現(xiàn)象：▲紅、綠光束空間交叉相遇強波不遵循波的疊加原理。二、波的相干條件：兩列波的頻率相同，振動方向相同，相位差恒定。相干波源相干波：滿足相干條件的幾列波。（interference）：兩列波在空間相遇疊加，結(jié)果在空間的某些地方振動始終加強，而在空間的另一些地方振動始終減弱或完全

的現(xiàn)象。波疊加時在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動加強和減弱的分布叫波的

。水波盤中水波的干相干波源的振動方程：S1

:

y1

A1

cos(

t

10

)202S

:

y2

A2

cos(

t

)

2π

r1

)y1

A1

cos(

t

102

)2π

ry2

A2

cos(

t

20

P點的相位差：

20

10

2π

(

r2

r1

)P點的合振動：

y

y1

y2

Acos(

t

0

)相干波的波動式：Pr2r1O1O2y

y1

y2

Acos(

t

0

)振幅：1

222212

A

A

cosA

A

A

初相：

2πr2

)2021101A

cos(

2021101A

sin(

0tan

A

sin(

2πr2πr

2πr2

))

A

sin(

)

波的強度：I1I2

cosI

I1

I2

2

2kπ其他

(2k

1)πAmax=A1+A2

(加強)Amin<A

<AmaxAmin=|A1-A2|

(減弱)=(k

0,1,2,)1

22221

2

A

A

cosAA

A

特例：

2π(r2

r1

)

2π

1020

,波程差：加強條件r2

r1

k減弱條件22

1r

r

(k

1

)(k

0,1,2,)合振幅最大；合振幅最小。

r2

r1減弱條件加強條件r2

r1

k22

1r

r

(k

1

)

I1

I2

2(k

0,1,2,)I1I2(k

0,1,2,)ImaxI1I2Imin

I1

I2

2若I1=I2，221I

2I

[1

o

2π

4π

2π

6πcos(

)]

4I1

cosI4π6π例，A、B

兩點為同一介質(zhì)中兩相干波源.其振幅皆為5cm，頻率皆為100Hz，但當點A

為波峰時，點B

恰為波谷.設(shè)波速為10m/s，試寫出由A、B發(fā)出的兩列波傳到點P

時的結(jié)果.15m20mABP解BP

152

202

m

25

m

100

u

10

m

0.10

m設(shè)A

的相位較B

超.前，則A

B

π

2π

BP

AP

π

2π

25

15

201πB

A點P

合振幅0.1A

A1

A2

0例11-9

兩相干波源S1和S2的間距為d=30

m，且都在x軸上，S1位于原點O。設(shè)由兩波源分別發(fā)出兩列波沿x

軸

，強度保持不變。x1

=9

m和

x2=12

m處的兩而

的點。求兩波長和兩波點是相鄰的兩個因源間最小相位差。解：OS1S2x1

x2dx1

2設(shè)S1和S2的振動初相位分別為x1點的振動相位差：4π

(x2

x1

)

2π

2(x2

x1)

2(12

9)

6(m)12

1

(2k

1)π

2π

(d

2x

)

(2k

5)πk

=-2，-3

時相位差最小：2

1

π兩式相減，得OS1S2x1

x2dxx1點的振動相位差：x2點的振動相位差：三、駐波駐波產(chǎn)生的條件：兩列振幅相同的相干波沿相反方向傳播疊加而成。三、駐波1、駐波的產(chǎn)生振幅、頻率、速度都相同的兩列相干波，在同一直線上沿相反方向

時疊加而形成的一種特殊的

現(xiàn)象.實際觀察到的弦上的駐波uux駐波：o駐波的形成駐波的振幅與位置有關(guān)

2Acos

2π

x

cos

2π

t2、駐波方程正向xy1

Acos

2π

(t

)2y

Acos

2π

(t

x

)負向y

y1

y2各質(zhì)點都在作同頻率的簡諧運動

Acos

2π

(t

x

)

Acos

2π

(t

x

)

駐波方程

y

2Acos

2π

x

cos

2π

t隨x

而異，與時間無關(guān).cos

2

π

x

1

2π

x

k

π

k

0,1,2,2π

x

(k

1

k

0,π1),2,0相鄰波腹（節(jié)）間距

2相鄰波腹和波節(jié)間距

41）振幅x2

A

cos

2π

波腹波節(jié)22

kk

0,1,

max

2A2

2

(k

1)

mink

0,1,

A

0x

（與行波不同，無相位的

）.2）相鄰兩波節(jié)之間質(zhì)點振動同相位，任一波節(jié)兩側(cè)振動相位相反，在波節(jié)處產(chǎn)生

π

的相位躍變.y

2

Acos

2π

x

cos

2π

t

x

,4

4xy

2

Acos

2π

cos

2π

t4

x

3

,

y

2Acos

2π

x

cos(2π

t

π

)cos

2π

x

0,cos

2π

x

0,44例x

為波節(jié)xy2o

42

4341uy

Acos[(t

x)

]1y

=

y1+y2駐波方程:2

2uy

Acos[(t

x)

]：（a）cos(t

21

相位中無x)表示質(zhì)點做簡諧振動。2（c）

A'

表示質(zhì)點合振動的振幅不隨t

變，只隨x

變。2

2

)(b）駐波各點相位由A'

2

Acos(2

x

1的正負決定2

2y

2Acos(

2

x

1

2

)cos(t

1

2

)不具備傳播的特征振動因子振幅|

A'|駐波特點：A.有的點始終不動（有的點振幅最大（B.減弱）稱波節(jié)；加強）稱波腹；其余的點振幅在0與最大值之間。波形只變化不向前傳

故稱駐波。駐波能量：

波形無走動、能量無流動C.

駐波各點相位由A'的正負決定以波節(jié)為界的分段振動，同一段內(nèi)相位相同，相鄰段相位相反，相位不oxyu。424u32ydWk

(

t

)2p)dW

(yx駐波的能量在相鄰的波腹和波節(jié)間往復(fù)變化，在相鄰的波節(jié)間發(fā)生動能和勢能間的轉(zhuǎn)換，動能

主要集中在波腹，勢能主要集中在波節(jié)，但無長距離的能量

.A

BC波節(jié)波腹x*3、

駐波的能量位移最大時x平衡位置時例11-10

兩人各執(zhí)長為

l

的繩的一端,以相同的角頻率和振幅在繩上激起振動，右端的人的振動比左端的人的振動相位超前

，試以繩的中點為坐標原點描寫合成駐波。由于繩很長，不考慮反射。繩上的波速設(shè)為u。解：y1

Acosty2

Acos(t

)設(shè)左端的振動右端的振動1

2u

Acos

t

l

Acost2u1

l右行波表達式：

y1

Acost

x

u

1左行波表達式：

y2

Acost

x

u

2

x

l

2

時，y1

=Acos

t，2

2u

Acos

t

l

Acos(t

)2u2

l右行波、左行波表達式：

u

2u

1y

Acost

x

l

u

2u

y

Acos

t

x

l

2x

l

2

時，y2

=Acos

t，

u

2u

1

2波：

y

y

y

Acost

x

l

u

2u

Acos

t

x

l

2

2u

u

2

y

2

Acos

x

cost

l

當

=0

時，x

=0

處為波腹；當

=

時，x

=0

處為波節(jié)。例11-11

在弦線上有一簡諧波，其表達式為0.02

20

31

x

)

π]

(m)y

2.0

102

cos[2π(t2002

]0.π2(cos[2y

0.02t

x為了在此弦線上形成駐波，并且在x=0處為一波節(jié)，此弦上還應(yīng)有一簡諧波，求其表達式。解：反向波：)]π32

0.02)]cos[

(1

4πt3π2

20

0.04

cos[

(1

2x波：y

y1

y2

因為x

=0處為波節(jié)，1

(

π)

π2

3

23

42

x

)

4π]0.02

20

3ty

2.0102

cos[2π()]π32

0.02)]cos[

(1 4π

tπ32

201

2xy

0.04

cos[

(

四、弦線上的駐波若將拉緊的弦（弦長L）兩端固定，由于固定端必須是波節(jié)，弦上形成駐波的條件(稱為簡正模式)：2L

n(n=1,2,3)駐波波長和簡正模頻率：n

2L,

2L

nu(基頻,二次諧頻)*若弦的一端固定，一端，簡正模：2

4

L

n

4L

(2n

1)un

1,2,2l

n

2l頻率

u

nuT波速u

基頻1T

262

Hz2l

n

1

1

n

T2l

n

1

n諧頻解：弦兩端為固定點，是波節(jié).千斤l碼子例如圖二胡弦長l

0.3

m

，張力T

9.4N

.密度

3.8104

kg

m

.

求弦所發(fā)的基頻和諧頻.五、半波損失全波反射

波密

波疏界面反射,反射波與入射波在反射點同相,半波反射波疏

波密，反射,反射波與入射波在反射點反相,相位突變

(半波損失)波密

波疏界面反射,全波反射反射點:波腹反射波與入射波在反射點同相,半波反射

波疏

波密界面反射,反射點:

波節(jié)反射波與入射波在反射點反相,波密

特征阻抗：z

u大全波反射

端反射波疏界面反射z

u小波在垂直入射到兩種不同介質(zhì)界面上的反射半波反射入射波與反射波在反射點同相波腹入射波與反射波在反射點反相固定端反射波疏

波密界面反射波節(jié)相位突變半波損失半波損失光波：光密

到

光疏光波：光疏

到

光密反

入

y

AoABCupx例

如圖一向右

的簡諧波在

t

時刻的波形BC

為波密媒質(zhì)的反射面，則反射波在

t

時刻的波形圖為：答：（B）P

點兩振動反相y

AxoAy

AoAuupx（C）（D）y

AxoAu（A）ppy

AxoAu（B）p例如圖示，已知：y0=

Acos

t

，波長為

，

y(

x,

t

)

Acos

t

2l

x

2π

π

Acos

t

x

2π

2l

2π

π

全射壁(l-

x)lxy0

=

Acosωt入反

S

反0反射波在S處相位改變。求：反射波函數(shù)y(x,t

)解：全反射，A不變。了距離l

+(l

x)=2l

x，在壁處反射相位改變了

，波由0經(jīng)壁反射到x相位

了(2lx)/

，“+”表示沿

x

方向取+、均可解：1）)11

A

cos

(t

1y

(

x,

t

)ux

d如圖示，

余弦波沿

x

方向

，1）1區(qū)入射波函數(shù)

y1；2）S1面上反射波

y1，3u3

。求：ya

A1

cost，1u1

<