2013中考數(shù)學(xué)50個知識點(diǎn)專練26圓的基本性質(zhì)一、選擇題1．(2011·上海)矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3eq\r(5)，點(diǎn)P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是()A.點(diǎn)B、C均在圓P外B.點(diǎn)B在圓P外、點(diǎn)C在圓P內(nèi)C.點(diǎn)B在圓P內(nèi)、點(diǎn)C在圓P外D．點(diǎn)B、C均在圓P內(nèi)答案C解析如圖，AB＝8，BP＝3AP，得BP＝6，AP＝2.在Rt△APD中，PD＝eq\r(3\r(5)2＋22)＝7>BP，所以點(diǎn)B在圓P內(nèi)；在Rt△BPC中，PC＝eq\r(3\r(5)2＋62)＝9>PD，所以點(diǎn)C在圓P外．2．(2011·涼山)如圖，∠AOB＝100°，點(diǎn)C在⊙O上，且點(diǎn)C不與A、B重合，則∠ACB的度數(shù)為()A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°答案D解析當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧上，∠ACB＝eq\f(1,2)∠AOB＝50°；當(dāng)點(diǎn)C在劣弧上，∠ACB＝180°－50°＝130°.綜上，∠ACB＝50°或130°.3．(2011·重慶)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝40°，則∠A的度數(shù)等于()A．60°B．50°C．40°D．30°答案B解析在△OBC中，OB＝OC，∠OCB＝40°，∴∠BOC＝180°－2×40°＝100°.∴∠A＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)×100°＝50°.4．(2011·紹興)一條排水管的截面如圖所示．已知排水管的截面圓半徑OB＝10，截面圓圓心O到水面的距離OC是6，則水面寬AB是()A．16B．10C．8D．6答案A解析在Rt△OBC中，OB＝10，OC＝6，∴BC＝eq\r(102－62)＝8.∵OC⊥AB，∴AC＝BC.∴AB＝2BC＝2×8＝16.5．(2011·嘉興)如圖，半徑為10的⊙O中，弦AB的長為16，則這條弦的弦心距為()A．6B．8C．10D．12答案A解析作弦心距OC，得AC＝BC＝eq\f(1,2)×16＝8.連接AO，在Rt△AOC中，OC＝eq\r(102－82)＝6.二、填空題6．(2011·揚(yáng)州)如圖，⊙O的弦CD與直徑AB相交，若∠BAD＝50°，則∠ACD＝__________度．答案40解析∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°.∴∠B＝90°－∠BAD＝90°－50°＝40°.∴∠ACD＝∠B＝40°.7．(2011·安徽)如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，則⊙O的半徑是________________．答案eq\r(5)解析畫OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為M、N，連接OD.∵AB＝CD，∴OM＝ON.易證四邊形OMEN是正方形．∵CN＝DN＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×(1＋3)＝2，∴EN＝CN－CE＝2－1＝1.∴ON＝1.∴在Rt△DON中，OD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).8．(2011·杭州)如圖，點(diǎn)A、B、C、D都在⊙O上，eq\x\to(CD)的度數(shù)等于84°，CA是∠OCD的平分線，則∠ABD＋∠CAO＝________.答案48°解析∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.又∵∠ABD＝∠ACD，∴∠ABD＋∠CAO＝∠ACD＋∠ACO＝∠DCO.在△CDO中，OC＝OD，∠CODeq\o(=====,\s\up7(m))eq\x\to(CD)＝84°，∴∠DCO＝eq\f(180°－84°,2)＝48°，即∠ABD＋∠CAO＝48°.9．(2011·威海)如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)E，若AE＝5，BE＝1，CD＝4eq\r(2)，則∠AED＝___________.答案30°解析連接DO，畫OF⊥CD，垂足是F.∴CF＝DF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)＝2eq\r(2).∵AB＝AE＋BE＝5＋1＝6，∴DO＝eq\f(1,2)AB＝3.在Rt△DFO中，OF＝eq\r(32－2\r(2)2)＝1，在Rt△OFE中，OE＝3－1＝2，OF＝1.∴∠AED＝30°.10．(2011·舟山)如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點(diǎn)O，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，連接CD、OD，給出以下四個結(jié)論：①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.其中正確結(jié)論的序號是_______．答案①④解析∵OC⊥AB，∴Aeq\x\to(C)＝Beq\x\to(C)＝90°.∵AD平分∠CAD，∴∠CAD＝∠BAD，eq\x\to(CD)＝eq\x\to(BD)＝45°.∴∠CABeq\o(=====,\s\up7(m))eq\f(1,2)eq\x\to(BC)＝45°，∠DOBeq\o(=====,\s\up7(m))eq\x\to(BD)＝45°，∴∠CAD＝∠DOB，AC∥OD；在△ACO中，AC>AO，AE平分∠CAO，∴CE≠EO；由AC∥OD，得△ODE∽△CAE，而∠CAD＝∠BAO，∠ACE≠∠AOD，∠AEC≠∠AOD.∴△ACE與△ADO不相似，即△ODE與△ADO不相似；連接BD，有BD＝CD，可求得∠B＝67.5°，又∵∠CED＝∠AEO＝67.5°，∴∠B＝∠CED.又∵∠CDE＝∠DOB＝45°，∴△CDE∽△DOB，eq\f(CD,DO)＝eq\f(CE,DB)，CD·DB＝CE·DO，∴CD2＝CE·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))，即2CD2＝CE·AB.故結(jié)論①、④正確．三、解答題11．(2011·上海)如圖，點(diǎn)C、D分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并與Aeq\x\to(B)相交于點(diǎn)M、N.(1)求線段OD的長；(2)若tan∠C＝eq\f(1,2)，求弦MN的長．解(1)∵CD∥AB，∴∠OAB＝∠C，∠OBA＝∠D.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∴∠C＝∠D.∴OC＝OD.∵OA＝3，AC＝2，∴OC＝5.∴OD＝5.(2)過點(diǎn)O作OE⊥CD，E為垂足，連接OM.在Rt△OCE中，OC＝5，tan∠C＝eq\f(1,2)，設(shè)OE＝x，則CE＝2x.由勾股定理得x2＋(2x)2＝52，解得x1＝eq\r(5)，x2＝－eq\r(5)(舍去)．∴OE＝eq\r(5).在Rt△OME中，OM＝OA＝3，∴ME＝eq\r(OM2－OE2)＝eq\r(32－\r(5)2)＝2.∴MN＝2ME＝4.12．(2011·江西)如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為2eq\r(3)，點(diǎn)A為弦BC所對優(yōu)弧上任意一點(diǎn)(B、C兩點(diǎn)除外)．(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)求△ABC面積的最大值．(參考數(shù)據(jù)：sin60°＝eq\f(\r(3),2)，cos30°＝eq\f(\r(3),2)，tan30°＝eq\f(\r(3),3).)解(1)解法一：連接OB、OC，過O作OE⊥BC于點(diǎn)E(如圖)．∵OE⊥BC，BC＝2eq\r(3)，∴BE＝EC＝eq\r(3).在Rt△OBE中，OB＝2，∵sin∠BOE＝eq\f(BE,OB)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BOE＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝60°.解法二：連接BO并延長，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD.(如圖)∵BD是直徑，∴BD＝4，∠DCB＝90°.在Rt△DBC中，sin∠BDC＝eq\f(BC,BD)＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°.(2)因為△ABC的邊BC的長不變，所以當(dāng)BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點(diǎn)A落在優(yōu)弧BC的中點(diǎn)處．如圖，過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點(diǎn)A，則A為優(yōu)弧BC的中點(diǎn)．連接AB、AC，則AB＝AC，∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC＝30°.在Rt△ABE中，∵BE＝eq\r(3)，∠BAE＝30°，∴AE＝eq\f(BE,tan30°)＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×3＝3eq\r(3).答：△ABC面積的最大值是3eq\r(3).13．(2011·德州)●觀察計算當(dāng)a＝5，b＝3時，eq\f(a＋b,2)與eq\r(ab)的大小關(guān)系是__________________；當(dāng)a＝4，b＝4時，eq\f(a＋b,2)與eq\r(ab)的大小關(guān)系是__________________．●探究證明如圖所示，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過C作CD⊥AB于D，設(shè)AD＝a，BD＝b.(1)分別用a、b表示線段OC、CD；(2)探求OC與CD表達(dá)式之間存在的關(guān)系(用含a、b的式子表示)．●歸納結(jié)論根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出eq\f(a＋b,2)與eq\r(ab)的大小關(guān)系是：________________________.●實(shí)踐應(yīng)用要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結(jié)論，求出鏡框周長的最小值．解觀察計算：eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)；eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab).探究證明：(1)∵AB＝AD＋BD＝2OC，∴OC＝eq\f(a＋b,2).∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD.∴△ACD∽△CBD.∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BD).即CD2＝AD·BD＝ab，∴CD＝eq\r(ab).(2)當(dāng)a＝b時，OC＝CD,eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；a≠b時，OC>CD,eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab).結(jié)論歸納：eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).實(shí)踐應(yīng)用：設(shè)長方形一邊長為x米，則另一邊長為eq\f(1,x)米，設(shè)鏡框周長為l米，則l＝2(x＋eq\f(1,x))≥4eq\r(x·\f(1,x))＝4.當(dāng)x＝eq\f(1,x)，即x＝1(米)時，鏡框周長最小．此時四邊形為正方形時，周長最小為4米．14．(2011·肇慶)已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連接AD.(1)求證：∠DAC＝∠DBA；(2)求證：P是線段AF的中點(diǎn)；(3)若⊙O的半徑為5，AF＝eq\f(15,2)，求tan∠ABF的值．解(1)證明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA.∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD.∴∠DAC＝∠DBA.(2)證明：∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°.又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，∴∠DEB＝90°.∴∠ADE＋∠EDB＝∠ABD＋∠EDB＝90°.∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP.∴PD＝PA.又∵∠DFP＋∠DAC＝∠ADE＋∠PDF＝90°，且∠ADE＝∠DAC，∴∠PDF＝∠PFD，∴PD＝PF.∴PA＝PF，即P是線段AF的中點(diǎn)．(3)解：∵∠DAF＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°，∴△FDA∽△ADB，∴eq\f(AD,DB)＝eq\f(AF,AB).∴在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,DB)＝eq\f(AF,AB)＝eq\f(\f(15,2),10)＝eq\f(3,4)，即tan∠ABF＝eq\f(3,4).15．(2011·廣州)如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點(diǎn)D在線段AC上．(1)證明：B、C、E三點(diǎn)共線；(2)若M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，證明：MN＝eq\r(2)OM；(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)α(00<α<900)后，記為△D1CE1(圖2)，若M1是線段BE1的中點(diǎn)，N1是線段AD1的中點(diǎn)，M1N1＝eq\r(2)OM1是否成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由．解(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∵∠DCE＝90°，∴∠ACB＋∠DCE＝180°，∴B、C、E三點(diǎn)共線．(2)證明：如圖，連接ON、AE、BD，延長BD交AE于點(diǎn)F.∵