第九 微分方程應(yīng)用模型舉習(xí) 12-(,),LLxOy平面的第一象限內(nèi),LMy軸相交,A,AOM始終等距,(,),L2程解M(x,yYyy(Xx)yA(0,yxyAOMA,(yxy)2x2(xy)2y() 33x

yx 2yx令uy,yuxdu, 2ududx解此微分方程,

1u(1u2xC,

y()x

C將初始條件代入,得C3,3x3x質(zhì)量為1g的質(zhì)點(diǎn)受外力作用作直線運(yùn)動(dòng),外力與時(shí)間成正比.在t10s時(shí),速率為50cms,外力為4gcms2.問從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過一分鐘后的速度是多少? 由題意知,外力與時(shí)間成正比的比例系數(shù)為k0.4.設(shè)物體在t時(shí)刻位為x(t),由第二運(yùn)動(dòng)定律,得微分方d2dt

0.4t

t

t

50.解該微分方程,dx0.2t2C, 將初始條件代入,得C130,

dx0.2t230.從運(yùn)動(dòng)開始經(jīng)過一分鐘后的速度是dtt

一質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)開始(t0沿直線運(yùn)動(dòng),已知在時(shí)刻t的加速度為t21,t1時(shí),速度為13,x與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系解設(shè)物體在tx(t),d2xt21,

t

dtt

1.3將初始條件代入,得C1

t x122C1tC2C20,xt4t2t 一架重4.5T的擊機(jī),著陸速度為600kmh,在傘的作用下,滑500m后,速度減為100kmh,設(shè)傘阻力與飛機(jī)的速度成正比,不計(jì)飛機(jī)所受其它外力,求 解 傘的阻力系數(shù)為k,物體的質(zhì)量為m,設(shè)物體在t時(shí)刻位移為x(t)由第二運(yùn)動(dòng)定律,得微分方m d2xkm

t

dtt

6105

dtt

1105令vdx,解此方程,

dvkdt ,vdxCek,m mxk

kmC2 可得k4.5106kgh容器內(nèi)有100L的鹽水,含10kg的鹽.現(xiàn)在以3Lmin注入凈水（假定凈水與鹽水立即調(diào)和）又以2Lmin的均勻速率從容器內(nèi)抽出鹽水,問60min后容器內(nèi)鹽水中鹽的含量是多少?解設(shè)ty(t),在[ttdt時(shí)間段內(nèi),dy 2dt100(3解此微分方程,

y (100t)2

t

10代入,得C100000,y100000

yt

3.90265kg沒有前進(jìn)速度的潛水艇,在下沉力P（包括重力）的作用力下向海沉

v0,求v與t解設(shè)物體的質(zhì)量為m,設(shè)物體在t時(shí)刻下沉速度為v(t),由 mdvPkv,t初始條件為 0.解該微分方程,tk Pk kvem emdtC)Cem 將初始條件代入,得CP,所以v與tkvk

k(1em)設(shè)平面曲線上各點(diǎn)的法線都通過坐標(biāo)原點(diǎn),證明此曲線為圓心在圓點(diǎn)的圓解M(xyYy1(Xx)由于曲線上各點(diǎn)的法線都通過坐標(biāo)原點(diǎn),所以將(0,0)代入上式,yyx,ydyxdx解此微分方程,

x2y2C設(shè)一平面曲線的曲率處處為１,求曲線方程解yy(x3(1y2即3y 3(1y2py,ydpp,3 13解此微分方程,

(1p21 (x1py1(x1(x(xC1)2(yC2)21一鏈條懸掛在一釘子上,起動(dòng)時(shí)一端離開釘子8m,另一端離開釘子12m分如摩擦力為鏈條1m長的重量解(1) 設(shè)時(shí)刻t鏈條離開釘子較長的長度為s(t),鏈條的線密度為,則在時(shí)刻t使鏈條下滑的力為fsg(20s)g2(s10)g20d2s2(s10)g,d2sgsg解此微分方程,

s(0)0

g

dt gse10e1010 s10 gt由2010 gt,得t

10ln(526)g 設(shè)時(shí)刻ts(t),,則在時(shí)刻t

fsg(20s)g2(s10)g

2(s10)gg,

s g 解微分方程,

s(0)0s

e

tet

21 s213 gt g由20213 gt,得t ln(19422)g 一根彈簧上端固定,懸掛5kg的物體使該彈簧伸長了50cm若把該物體拉到平衡位置以下20cm處,然后松手,求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 以平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn),鉛直向下的方向作為x軸的正方向,設(shè)物體在時(shí)刻t的位置為x(t),物體的質(zhì)量為m,彈簧的彈性系數(shù)為k,由題意知,50kmg即kmg.由 即

d2mdt2kxd2 dt250x0其初始條件為

t

t

0.r2g0,

i,gggx(t)C tC ggg 將初始條件代入,

gx(t)20 tg藥丸的溶解高血壓服用的一種球形藥丸在胃里溶解時(shí),直徑的變化率與表面積成正比.藥丸最初的直徑是0.50cm,在里做實(shí)驗(yàn)時(shí)測(cè)得:藥丸進(jìn)入人胃2min后的直徑是0.36cm,多長時(shí)間后藥丸的直徑小于0.02cm（此時(shí)藥丸已基解設(shè)在時(shí)刻t藥丸的直徑為l(t),k,dlkπl(wèi)2,初始條件為l(0)解此微分方程,

l(2)0.36

1kπtCl將初始條件代入,k7

C2,l 7t由0.02

7t7

,得t123(min)落體的速度與位移的關(guān)系設(shè)質(zhì)量為m的物體在某種介質(zhì)內(nèi)受重力G的作用下落,物體還受到介質(zhì)的浮力B（常數(shù)）與阻力R的作用,已知阻力R與下落的速度v成正比,比例系數(shù)為,試求該落體的速度與位移的函數(shù)關(guān)系.解設(shè)t時(shí)刻物體的位移為x(t),由第二運(yùn)動(dòng)定mdvGBv