第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概二、導(dǎo)數(shù)的定三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)一、問題的提t(yī)0t落體運動的瞬時速t0t如圖

求t0時刻的瞬時速度位置函數(shù)為ss(t

1gt22取一鄰近于t0的時刻t,

運動時間t,

v

s(t)

s(t0)

g

t

0t0

t0時

取極限瞬時速度

)lim

g(t0

t)

1gt0 t00

t 例瞬時速設(shè)質(zhì)點沿直線運動的位置函數(shù)為ss(t，求其在時t0的(瞬時)速度.t0t的平均速度

s(t0

s(t vs

s(t)

s(t0

tt0故在t0時刻的瞬時速度 lim

s(t)s(t0 t0

t

tt0切線問題割線的極限位置——切線位yyf(x)NToCMx0xx如圖,如果割線MN繞點yyf(x)NToCMx0xx設(shè)Mx0

y0),N(

y).割線

的斜率

tan

y

f(x)

f(x0)

xxx0

xx0切線

的斜率

k

f(x)f(x0x

x瞬時速

s(t)s(t0 t

tt0切線斜

k

f(x)

f(x0兩個問題的共

x

x所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限類似加速

是速度增量與時間增量之電流強

是電量增量與時間增量之比的二、導(dǎo)數(shù)(derivative)的定定

設(shè)函數(shù)y

f(

在點

的某個鄰域U(

,內(nèi)有定義,

x0

xU(

,

f(

x)

f(x0

存在

則稱

xx0點可導(dǎo)

且稱極限值為

fx

x0點的導(dǎo)數(shù)記為

xx0

y(x0),即

x

f(

x)

f(x0)導(dǎo)數(shù)也可

fx0或dx

xx0關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明1、點導(dǎo)數(shù)是因變量在x0處的變化率反映了因變量隨自變量的變化而變化的快2y

fx)在開區(qū)間I內(nèi)的每點

就稱函數(shù)

fx)在開區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)若函

f(

在開區(qū)

(a,b)

內(nèi)的每一點處都可

,則稱函

fx

(a,b)

內(nèi)可

,這時稱fx

(a,b)

內(nèi)的可導(dǎo)函

.

f(x)

D(a,b)對x(a,b

f(

應(yīng)

(a,b

fx

,

f(x)或 即對

x(a,b)

f(x)

f(x

x)

f(x)顯然

f(x0)

f(

x0)與

f(x0

xf0 求xf0

x2

x

處的導(dǎo)數(shù)注意：導(dǎo)數(shù)定義實質(zhì)上是函數(shù)在x0x的y與自變量的增量x之比的極限，于是定義可改寫為

f(

)

f(x)f(x0) x

xx0特別

f(0)

f(x)

f(0).x0 f(x0)

f(

x)

f(x0)x

h

f(x0

f(

h)h

f(x0)按定義求導(dǎo)數(shù)的步驟為求增

y

f(x

x)

f(

y

f(x

x)

f(x);取極限

y

yx0求導(dǎo)舉(C

0

(xn

nxn1(ax

ax

lna

(ex

ex(sinx)

cosx

(cos

sinx

1x求函

f(x)

C(C為常數(shù)的導(dǎo)數(shù)fx

h0

f(x

h)h

f(

limCh0

(C)yxn(n為正整數(shù)的導(dǎo)數(shù)解xn)

lim(xh0

xnlim[nx

n(n

xn2h

hn1

nxn1 (xn)

nxn1更一般

(x)

x1

( 1

例如

x1

x 2

x

(

) xxx xx

(

4

x4

f(x)

ax

0,

解(ax)

ax

ah0

ahaa

h0 a. (ax)a

(ex)

ex設(shè)函

f(x)

x,求

x)

limsin(xh0

h)sinxlimcos(xh0

h)2

sin2h2

cosx.

類似地有

(cosx)

sin求函

f(x)

lnx的導(dǎo)

x)

limln(xh)ln

lim1ln(1h

h0 1limln(1h1

limln(1

hx)h

x1limln(1h)hxx

1x(C

0(x

x1(ax)

axlna

(ex

ex

cosx

(cosx)

sinx

1x例1

f(x0

存在,

f(

x)

f(x0

f(x0

f(

h)h

f(

2f(x0(3)

f(

h)h

f(

h)

f(x0

f(

1)n

f(x0

f(x0例 存在,求極

f(

h)

(

h).

lim

f(

h)

f(x0)

f(x0)

f(

lim

(

h)

f(x0)

f(

h)

f(x0)

1f(x

1f(x

f(x0是否可按下述方法作:令tx0h,原 單側(cè)導(dǎo)左導(dǎo)(lefthandf(x)

f(x)

f(x0)

f(

x)

f(x0)0 xx0

x

右導(dǎo)(righthandf(x)

f(x)

f(x0

f(

x)

f(x0)0 xx0

x

定理

x0存在

f(x0)

f(x0)

x)在開區(qū)間ab內(nèi)可導(dǎo)，

f(a)f(b)都存在，就fx)在閉區(qū)間ab上可導(dǎo)例2函

f(x)

x在

0處的可導(dǎo)性 xf(x)x

xx0

yf(0)

f(x)

f(0)

lim

1 f(0)

f(x)x

f

xx1x

f(x)

x在

0點不可導(dǎo)例3

，

在

的可導(dǎo)性解f(0)解

f(x)x

f(0)

x2x

0f(0)

f(x)

f(0)

1ex

1 f(0

fx

x0點不可導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意yyyyf(x)TMox0xf(x0

y

(x)在點Mx0fx0切線的斜率,f(x0)

tan

(為傾角切線方程

yy0

f(x0)(x

x0法線方程

yy0

(xf(x0

x0 求曲

yx2

在x

1處的切線方程和法線方程 y

1,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率k

(x2

2

2所求切線方程

y1

即y2

1法線方程

y1

1(2

1)

即2y

x1例2求等邊雙曲y

1在點(1

,2)處的切線斜率,并寫出在該點處的切線方程和法線方程解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得切線斜率k

x2

1x1

x2

x

x2

所求切線方程

y2

4(x

1),2

即4

y4法線方程

y2

1(x4

1),2

即2x

8

15若limy不存在,yfx

處不可導(dǎo)x0 若

y

則稱y

fx在點

x0

f(x0)3x即曲y3x

fx

處切線垂直

x軸例如

(x)

在x0曲線在

(x0

y0)處法線方

切線與x軸平行,切線x軸垂

(f(x0)0例問曲 哪一點有垂直切線?哪一點的切線與直 平行?寫出其切線方程1x

3故在原(00處有垂直切

x0 x2 x23

1,3

x1 對

y1則在點(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即物理意義非均勻變化量的瞬時變化率v(t)

limt0

ds三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)定理若函數(shù)在某點處可導(dǎo),則函數(shù)在該點處連證設(shè)函

fx)在點

可導(dǎo),

y

f(x) x0 y

f(

,

(x

即y

f(x0

limy

lim[

f(x0

x]fx)x0連續(xù)三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)定理若函數(shù)在某點處可導(dǎo),則函數(shù)在該點處連續(xù).f(x)

D[

,b

f(x)C[

,b注意該定理的逆定理不成立,即連續(xù)函數(shù)不(連續(xù)是可導(dǎo)的必要不充分條件連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉y例

(x)

x2

x,

y

yx, x 在x

0處連續(xù)但不可導(dǎo)例

(x)

x

y

x在x

1處連續(xù)但不可導(dǎo) 例

(x)

xsin1

xy10y10x在x

0處連續(xù)但不可導(dǎo)例

eax

x設(shè)fx)

b(1

x2

x求a,b使

在

0處可導(dǎo)此種題型必須先考慮連續(xù)性得到一個關(guān)系式再由可導(dǎo)得到另一個關(guān)系式,聯(lián)立求解參數(shù)分段函數(shù)求分界點導(dǎo)數(shù)一定要用左右導(dǎo)數(shù)四、小導(dǎo)數(shù)的實質(zhì):增量比的極限

(x0)

f(x0)

f(x0)導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)

不連續(xù),一定不可導(dǎo)直接用定義連看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等思考與練1、函

fx在某點

處的導(dǎo)數(shù)

fx0)與導(dǎo)函數(shù)fx)有什么區(qū)別與聯(lián)系4.

fx

且

f(1

x)

1

f(1) 2思考與練1、函

fx在某點

處的導(dǎo)數(shù)

fx0)與導(dǎo)函數(shù)fx)有什么區(qū)別與聯(lián)系

fx是函數(shù)

fx0是數(shù)值

f(

x

f(x0注意

f(x0)

f(x0kk0證 x0

f(x)x

f即fx

x0處可導(dǎo)解由準則 fx

x0可4.

fx

且

f(1

x)

1

f(1) 2解

f(1

f(1

x)

f 2 21

f(1

(x))

f2x0

(x)f(1)

2

12

(1)一、填空題

練習(xí)1

fx)

xx0處可導(dǎo)，

fx0存在，xx

f(f(

x)x)

f(x0) f(x0) xt2秒時的速度 x x xx3x

y1(

,y2(x)

x2,y3(

它們的導(dǎo)數(shù)分

dy2dx=

，dy3 4ff(x) 5

ye

01

fx0)定觀察下列極限，分析并A表示什么1

f(x)

f(x0)A；x2、

xf(h)h

x0A，其

f(0)

0且f(0)存在3、

f(

h)h

f(

h)A.

fx)

f(0

(0)0

f(x)

ksin1xxx

x0k滿足什么

xfx在x0(1)連續(xù)（2）可導(dǎo)x

,x

f(x)

axb

x

fx)在

1處連續(xù)且可導(dǎo)，a

f(x)

sinx,

0,求fxx,x七、證明：雙曲線xya2上任一點處的切線與坐標軸構(gòu)成的三角形的面積2a2八、設(shè)有一根細棒，取棒的一端作為原點，棒上任意點的坐標x，于是分布在區(qū)間[01上細棒的質(zhì)mxm

m(

x0處的線密度（對于均勻細棒來說，單位長度細棒一、1

練習(xí)題答fx0； 2、

f(x0)3、3

x3x

,16

6 3、4x2,2x25、

y10.二、1

f(x0)； 2、f(0) 3、

f(x0).四、(1)當(dāng)當(dāng)

0時1

fx在fx在

0處連續(xù)0處可導(dǎo),且

(0)0當(dāng)

2及

0fx在

五、

2,b

六、

(x)

cos

x 八

x

x2.切線問題割線的極限位置——切線位2.切線問題割線的極限位置——切線位2.切線問題割線的極限位置——切線位2.切線問題割線的極限位置——切線位2.切線問題