分支穩(wěn)定和極限分析§7-1兩類穩(wěn)定問題的基本概念§7-2簡單結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析§7-3基本假設(shè)與基本概念§7-4極限平衡法比例加載時(shí)的若干定理§7-5結(jié)論與討論1.兩類穩(wěn)定問題的基本概念薄壁、高強(qiáng)、受壓結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)不當(dāng)容易產(chǎn)生部件或整個(gè)結(jié)構(gòu)喪失穩(wěn)定。因此，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)除關(guān)心強(qiáng)度、剛度外，對(duì)易失穩(wěn)的結(jié)構(gòu)還要進(jìn)行穩(wěn)定驗(yàn)算。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分靜力和動(dòng)力穩(wěn)定兩大類，本課程只討論靜力穩(wěn)定問題。例如圖示剛架，當(dāng)荷載達(dá)到臨界值時(shí)，受微小干擾將失穩(wěn)又如下圖所示園拱和窄條梁也存在失穩(wěn)問題剛性小球平衡狀態(tài)穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)結(jié)構(gòu)平衡狀態(tài)的分類根據(jù)結(jié)構(gòu)經(jīng)受任意微小外界干擾后，能否恢復(fù)初始平衡狀態(tài)，可對(duì)平衡狀態(tài)作如下分類：

穩(wěn)定的平衡狀態(tài)——外界干擾消除后結(jié)構(gòu)能完全恢復(fù)初始平衡位置，則初始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。

不穩(wěn)定平衡狀態(tài)——外界干擾消除后結(jié)構(gòu)不能恢復(fù)初始平衡位置，則初始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。經(jīng)簡化抽象，可能出現(xiàn)受干擾后可在任何位置保持平衡的現(xiàn)象，稱此現(xiàn)象為隨遇平衡狀態(tài)。根據(jù)受力狀態(tài)穩(wěn)定問題分類：1.完善體系：理想中心受壓桿，無初曲率或彎曲變形完善體系從穩(wěn)定到不穩(wěn)定，其受力、變形狀態(tài)將變化，也即隨荷載變大有分叉點(diǎn)，稱分支點(diǎn)穩(wěn)定。分支點(diǎn)失穩(wěn)失穩(wěn)前后平衡狀態(tài)的變形性質(zhì)發(fā)生變化結(jié)構(gòu)2.非完善體系

受壓桿有初曲率或受偏心荷載，為壓彎聯(lián)合受力狀態(tài)FP(a)非完善體系，一般受力、變形性質(zhì)不發(fā)生改變。但隨著荷載增大存在一極值荷載（此后變形增大荷載反而減少），這類穩(wěn)定現(xiàn)象稱極值點(diǎn)穩(wěn)定。極值點(diǎn)失穩(wěn)失穩(wěn)前后變形性質(zhì)沒有變化FPcrcr突跳失穩(wěn)穩(wěn)FPcrcr由受壓變變成受拉拉，系統(tǒng)統(tǒng)產(chǎn)生翻翻轉(zhuǎn)突跳失穩(wěn)穩(wěn)的力-位移關(guān)系系示意圖圖突跳失穩(wěn)穩(wěn)穩(wěn)定問題題的分析析方法在穩(wěn)定分分析中，，有基于于小變形形的線性性理論和和基于大大變形的的非線性性理論：：線性理論論中變形形是一階階微量，，計(jì)算中中將略去去高階微微量使計(jì)計(jì)算得以以簡化，，其結(jié)果果與大變變形時(shí)的的實(shí)驗(yàn)結(jié)結(jié)果有較較大偏差差。非線性理理論中考考慮有限限變形對(duì)對(duì)平衡的的影響，，其結(jié)果果與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)結(jié)果吻吻合的很很好，但但分析過過程復(fù)雜雜。由于實(shí)際結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度都很大大，變形和桿桿件尺寸相比比十分微小，，因此作受力力分析列平衡衡方程時(shí)都忽忽略變形影響響。因此線彈彈性材料力-位移成正比，，疊加原理適適用。2.簡單結(jié)構(gòu)穩(wěn)定定分析1)穩(wěn)定問題分析析基本方法一一：靜力法通過考慮失穩(wěn)穩(wěn)狀態(tài)下的平平衡關(guān)系，利利用兩類穩(wěn)定定問題的特征征，確定臨界界荷載的方法法——靜力法。在作穩(wěn)定分析析時(shí)，必須考考慮變形的影影響，這時(shí)疊疊加原理不再再適用。2-1-1)分析步驟設(shè)定約束所允允許的可能失失穩(wěn)狀態(tài)建立平衡方程程用分支點(diǎn)穩(wěn)定定的平衡兩重重性（可在兩兩狀態(tài)平衡））建立特征方方程，也稱穩(wěn)穩(wěn)定方程求特征方程的的非零解，從從而得到臨界界荷載。2-1)分支點(diǎn)穩(wěn)定靜力法2-1-2）例一試試用靜力法分分析圖示結(jié)構(gòu)構(gòu)，求臨界荷荷載。穩(wěn)定方程非零解穩(wěn)定方程按靜力法，線線性與非線性性理論所得分分支點(diǎn)臨界荷荷載完全相同同，但線性理理論分析過程程簡單。小結(jié)非線性理論結(jié)果表明，達(dá)臨界荷載后，要使AB桿繼續(xù)偏轉(zhuǎn)（角增大），必須施加更大的荷載（增加）。而線性理論結(jié)果表明，不管轉(zhuǎn)角多大，荷載均保持為臨界荷載值，也即隨遇平衡，前者與實(shí)驗(yàn)吻合，后者實(shí)際是一種虛假的現(xiàn)象。例二完善體體系如圖所示示，試按線性性理論求臨界界荷載FPcr。已知：k1=k,k2=3k。設(shè)體系發(fā)生如如下的變形取B’C’為隔離體，由由MB’=0,得或再由整體平衡衡MA=0,得因?yàn)閥1、y2不能全部為零零，因此穩(wěn)定方程將k1、k2代入（3）式，展開后后得由上式可求得得：因此代回式（1）或（2）的失穩(wěn)形態(tài)為2-1-3）材料力學(xué)中中不同支承中中心受壓桿的的FPcr為求解的例子EI，lFPFPcr如何轉(zhuǎn)換成彈彈性支承中心心受壓柱？k1=？2-1-4）簡單結(jié)構(gòu)中中心受壓桿FPcr的分析方法邊界條件是什什么？根據(jù)形常數(shù)FPcrEI，l如何轉(zhuǎn)換成彈彈性支承中心心受壓柱？k1=？邊界條件是什什么？FPcrEI，lEI，lEA=∞如何轉(zhuǎn)換成彈彈性支承中心心受壓柱？k=？邊界條件是什什么？EI，lEI，lFPcr如何轉(zhuǎn)換成彈彈性支承中心心受壓柱？k1=？k2=？邊界條件是什什么？可見簡單結(jié)構(gòu)構(gòu)中受壓桿件件的穩(wěn)定分析析，主要是要要將桿件簡化化為相應(yīng)的彈彈性支撐的單單桿問題。實(shí)際工程結(jié)構(gòu)構(gòu)的穩(wěn)定性分分析復(fù)雜得多多，一般進(jìn)行行計(jì)算機(jī)分析析。穩(wěn)定平衡狀態(tài)態(tài)不穩(wěn)定平衡狀狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)態(tài)能量取極小值值2-2)分支點(diǎn)穩(wěn)定能量法2-2-1)剛性小球的穩(wěn)穩(wěn)定能量準(zhǔn)則則能量取極大值值能量取駐值與材料力學(xué)壓壓桿穩(wěn)定問題題一樣，在結(jié)結(jié)構(gòu)分支點(diǎn)失失穩(wěn)問題中，，臨界狀態(tài)的的能量特征為為：首先引入兩個(gè)個(gè)定義。定義：應(yīng)變能能Vε加外力（外荷荷載）勢(shì)能VP為體系的總勢(shì)勢(shì)能，記作V。2-2-2)彈性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)穩(wěn)定能量準(zhǔn)則則定義：從變形形位置退回?zé)o無變形位置過過程中，外荷荷載所做的功功，稱為外力力勢(shì)能，記作作VP。體系總勢(shì)能V取駐值。下面討論由此此特征確定臨臨界荷載的方方法——能量法。2-2-3)能量法分析步步驟(1)設(shè)定一種滿足足位移約束條條件的可能失失穩(wěn)變形狀態(tài)態(tài)（也稱失穩(wěn)穩(wěn)構(gòu)(位)形）；(2)計(jì)算體系的應(yīng)應(yīng)變能Vε、外力勢(shì)能VP，從而獲得總勢(shì)勢(shì)能V=Vε+VP；(3)從總勢(shì)能的駐駐值條件建立立穩(wěn)定性分析析的特征方程程；(4)由特征方程解解得臨界荷載載。l例1.求圖示有初偏偏離角體系的的臨界界荷載2-2-4)能量法舉例可能失穩(wěn)分析受力FN如何求?變形能V外力勢(shì)能VP體系的總勢(shì)能能V=V+VP如何計(jì)算?應(yīng)變能等于于外力功.根據(jù)定義可可得由體系的總總勢(shì)能的駐駐值條件得得：則：如果=0：令：To41令：得：因此為求極值設(shè)：跳轉(zhuǎn)1當(dāng)按線性理論計(jì)算時(shí)，是微量，線性理論計(jì)計(jì)算結(jié)果比比非線性理理論計(jì)算結(jié)結(jié)果大，因因而是偏于于危險(xiǎn)的。。To38不同的初偏偏角將影響響臨界荷載載，初偏離離增大時(shí)減減小，這表表明制造或或安裝誤差差對(duì)穩(wěn)定性性都是不利利的。非線性理論論計(jì)算結(jié)果果存在極值值點(diǎn)失穩(wěn)，，這一結(jié)果果與實(shí)際吻吻合。小結(jié)非完善體系系的臨界荷荷載只能由由非線性理理論確定。。在線性理論（微?。┣疤嵯?，是單調(diào)增加的，不存在極值點(diǎn)。lEIyx設(shè)：例2.求圖示一端端固定一端端自由簡支支梁的臨界界荷載。滿足位移約束條件變形能V外力勢(shì)能VP體系的總勢(shì)勢(shì)能V=V+VP由體系的總總勢(shì)能的駐駐值條件得得：因?yàn)閍0則：返回以圖示柱為為例，取隔隔離體列彎彎矩方程得得特解通解利用邊界條條件：解方程可得得穩(wěn)定方程返回可得試總結(jié)中心心壓桿穩(wěn)定分析的的要點(diǎn)3-1)材料力學(xué)內(nèi)內(nèi)容回顧——結(jié)構(gòu)內(nèi)實(shí)際際最大應(yīng)力力——材料容許應(yīng)應(yīng)力——極限應(yīng)力（脆性）（塑性）——安全系數(shù)對(duì)塑性材料料制成的結(jié)構(gòu)構(gòu)不經(jīng)濟(jì)3.基本假設(shè)與與基本概念念彈性分析法法（容許應(yīng)應(yīng)力法）材料的本構(gòu)構(gòu)關(guān)系（應(yīng)應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系））塑性金屬線性強(qiáng)化理想彈塑性性剛線性強(qiáng)化化剛塑性3-2)基本假定假定材料具具有相同的的拉、壓力力學(xué)性能以以及理想彈彈塑性的應(yīng)應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。。假定結(jié)構(gòu)上上所受荷載載是按荷載載參數(shù)P以同一比例例由小變大大逐步加載載的，同時(shí)時(shí)荷載參數(shù)數(shù)P單調(diào)增加，，不出現(xiàn)卸卸載情形，，這種加載載方式稱為為比例加載載。假定在彈塑塑性階段橫橫截面應(yīng)變變?nèi)苑掀狡浇孛婕俣ǘā?-3)基本概念等面積軸形心軸---彈性彈塑性屈服彎矩Ms塑性極限彎矩Mu純彎梁由彈彈性到塑性性的過程分分析極限荷載FPu-彈性塑性分析法法（極限應(yīng)應(yīng)力法）極限荷載——結(jié)構(gòu)在極限限狀態(tài)時(shí)所所能承受的的荷載強(qiáng)度條件：：k—安全系數(shù)F—實(shí)際荷載FPu—極限荷載問題：按塑塑性分析設(shè)設(shè)計(jì)與按彈彈性分析設(shè)設(shè)計(jì)相比，，在結(jié)構(gòu)破壞壞時(shí)，何者者的應(yīng)力大大？將結(jié)構(gòu)進(jìn)入入塑性階段段并喪失承承載能力時(shí)時(shí)的狀態(tài)，，作為結(jié)構(gòu)構(gòu)破壞的標(biāo)標(biāo)志，稱為為極限狀態(tài)。To55屈服彎矩MS，按按定定義義為為極限限彎彎矩矩（（整整個(gè)個(gè)截截面面都都屈屈服服））Mu抗彎彎截截面系系數(shù)數(shù)（1）由由中性性軸軸等等分分截截面面積積To51外邊邊到到形形心心軸軸（2）極極限限彎彎矩矩Mu塑性截面系數(shù)（）

（屈服彎矩）截面面形形狀狀系系數(shù)數(shù)：：矩形形1.5圓形形1.7To51非純純彎彎、、雙雙對(duì)對(duì)稱稱軸軸截截面面梁梁的的情情況況實(shí)驗(yàn)驗(yàn)和和理理論論分分析析結(jié)結(jié)果果都都表表明明，，對(duì)對(duì)于于細(xì)細(xì)長長梁梁，，切切應(yīng)應(yīng)力力對(duì)對(duì)極極限限承承載載力力影影響響很很小小，，可可不不予予考考慮慮。。例如如簡簡支支梁梁截面出現(xiàn)塑性鉸破壞壞機(jī)機(jī)構(gòu)構(gòu)—結(jié)構(gòu)構(gòu)由由于于出出現(xiàn)現(xiàn)塑塑性性鉸鉸而而變變成成瞬變變或或可可變變時(shí)時(shí)的的體體系系。。靜定定梁梁，，塑塑性性鉸鉸出出現(xiàn)現(xiàn)在在彎彎矩矩（（絕絕對(duì)對(duì)值值））最最大大處處。。ABFP1）普普通通鉸鉸不不能能承承受受彎彎矩矩，，塑塑性性鉸鉸能能承承受受Mu塑性性鉸鉸———能承承受受彎彎矩矩并并能能單單方方向向轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)的的鉸鉸。。塑性性鉸鉸與與普普通通鉸鉸的的區(qū)區(qū)別別：：2）普普通通鉸鉸為為雙雙向向鉸鉸，，塑塑性性鉸鉸為為單單向向鉸鉸。。若梁梁的的左左半半部部分分截截面面高高度度增增加加一一倍倍（（變變截截面面梁梁）），，塑塑性性鉸鉸出出現(xiàn)現(xiàn)在在何何處處？？4.極限限平平衡衡法法及及比比例例加加載載時(shí)時(shí)的的若若干干定定理理結(jié)構(gòu)構(gòu)達(dá)達(dá)極極限限狀狀態(tài)態(tài)時(shí)時(shí)應(yīng)應(yīng)該該滿滿足足以以下下條條件件：：平衡衡條條件件結(jié)構(gòu)構(gòu)整整體體或或任任何何部部分分均均應(yīng)應(yīng)是是平平衡衡的的。。內(nèi)力力局局限限條條件件極限限狀狀態(tài)態(tài)時(shí)時(shí)結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)中中任任一一截截面面彎彎矩矩絕絕對(duì)對(duì)值值不不可可能能超超過過其其極極限限彎彎矩矩Mu，亦即即|M|≤≤Mu。單向向機(jī)機(jī)構(gòu)構(gòu)條條件件結(jié)構(gòu)構(gòu)達(dá)達(dá)極極限限狀狀態(tài)態(tài)時(shí)時(shí)，，對(duì)對(duì)梁梁和和剛剛架架必必定定有有若若干干（（取取決決于于具具體體問問題題））截截面面出出現(xiàn)現(xiàn)塑塑性性鉸鉸，，使使結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)變變成成沿沿荷荷載載方方向向能能作作單單向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的機(jī)機(jī)構(gòu)構(gòu)（（也也稱稱破破壞壞機(jī)機(jī)構(gòu)構(gòu)））。。試求等截截面單跨跨超靜定定梁的極極限荷載載FPl/2ABl/2C4-1）極限平平衡法—從極限狀狀態(tài)由平平衡求FPuA處出現(xiàn)塑塑性鉸時(shí)時(shí)：彈性解得得彎矩圖圖ABC能繼續(xù)承承荷A、C處都出現(xiàn)現(xiàn)塑性鉸鉸：靜力法ABC列靜力平平衡方程程，可得得虛功法或或機(jī)動(dòng)法法極限狀態(tài)態(tài)沿加載方方向虛位位移根據(jù)剛體體虛位移移原理，，主動(dòng)力力虛功總總和為零零l/2ABl/2Cl/2ABl/2C試求圖示示變截面面單跨超超靜定梁梁的極限限荷載虛功法的的虛功方方程為當(dāng)時(shí)，

時(shí)，其可能的極限狀態(tài)和虛位移圖如下所示試求圖示示變截面面單跨超超靜定梁梁的極限限荷載虛功法的的虛功方方程為時(shí)，其可能的極限狀態(tài)和虛位移圖如下所示當(dāng)時(shí)，A、B、D都為塑性鉸

小結(jié)結(jié)任何結(jié)構(gòu)構(gòu)（靜定定、超靜靜定）的的極限荷荷載只需需分析破破壞機(jī)構(gòu)構(gòu)(collapsemechanism)，由平衡條條件（靜靜力平衡衡方程或或虛功方方程）即即可求出出。超靜定結(jié)結(jié)構(gòu)的溫溫度改變變、支座座移動(dòng)等等外因只只影響結(jié)結(jié)構(gòu)彈塑塑性變形形的過程程（或稱稱歷程）），并不不影響極極限荷載載值。亦亦即僅計(jì)計(jì)算極限限荷載時(shí)時(shí)，可不不考慮溫溫度改變變、支座座移動(dòng)等等外因的的作用。。4-2)比例加載載時(shí)有關(guān)關(guān)極限荷荷載的若若干定理理4-2-1）兩個(gè)定定義：4-2-2）幾個(gè)定定理：滿足單向向破壞機(jī)機(jī)構(gòu)和平平衡條件件的荷載載稱為可破壞荷荷載，記作FP+。滿足內(nèi)力力局限條條件和平平衡條件件的荷載載稱為可接受荷荷載，記作FP-