1解三角形易錯題分析1解三角形易錯題分析1解三角形易錯題分析易錯題分析例題1在不等邊△ABC中，a為最大邊，若是a2b2c2，求A的取值范圍。錯解：∵a2b2c2，∴b2c2a20。則b2c2a20，由于cosA在（0°，180°）上為減函數(shù)且cos90°0，∴A90°cosA2bc又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴0°＜A＜90°。辨析：錯因是審題不細，已知條件弱用。題設是a為最大邊，而錯解中只把a看做是三角形的一般一條邊，造成解題錯誤。正解：由上面的解法，可得A＜90°。又∵a為最大邊，∴A＞60°。因此得A的取值范圍是（60°，90°）。例題2在△ABC中，若a2tanA，試判斷△ABC的形狀。b2tanB錯解：由正弦定理，得sin2AtanA即sin2AsinA·cosB，∵sinA0，sinB0sin2BtanBsin2BcosAsinB∴sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B。∴2A＝2B，即

A＝B。故△ABC是等腰三角形。辨析：由sin2Asin2B，得2A＝2B。這是三角變換中常有的錯誤，正解：同上得sin2Asin2B，∴2A＝2k2B

原因是不熟悉三角函數(shù)的性質(zhì)，

三角變換生疏?；?A

2k

2B(k

Z)

。∵0A，0b，∴k0，則AB或AB。2故△ABC為等腰三角形或直角三角形。例題3在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABCabc3，求sinB的值。sinAsinC錯解：∵A＝60°，b＝1，S△ABC3，又S△ABC1bcsinA，2∴31csin60°，解得c＝4。2由余弦定理，得ab2c2bccosA1168cos60°132又由正弦定理，得sinC6，sinB3?！郺bc1314。39239sinAsinBsinC336223939辨析：這樣復雜的算式，計算困難。其原因是公式不熟、方法不當造成的。正解：由已知可得c4，a13。由正弦定理，得2Ra13239?！郺bc2R239。sinAsin60°3sinAsinBsinC3例題4在△ABC中，c62，C＝30°，求a＋b的最大值。錯解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得ab62∴a2(62)sinA，sinAsin(150°A)sin30°b2(62)sin(150°A)又∵sinA1，sin(150°A)1∴ab2(62)2(62)4(62)。故ab的最大值為4(62)。辨析：錯因是未弄清A與150°－A之間的關系。這里A與150°－A是相互限制的，不是相互獨立的兩個量，sinA與sin(150°－A)不能夠同時取最大值1，因此所得的結果也是錯誤的。正解：∵C＝30°，∴A＋B＝150°，B＝150°－A。由正弦定理，得ab62sinAsin(150°A)sin30°因此ab2(62)[sinAsin(150°A)]2(6·°°2)sin75cos(A75)4(662·°4(843)cos(A°4375)8∴a＋b的最大值為843。例題5在△ABC中，已知a＝2，b＝22，C＝15°，求A。錯解：由余弦定理，得c2a2b2ab62°48×××8432cos1522224∴c62。又由正弦定理，得sinAasinC1而000或00A18030A150c2A辨析：由題意ba，∴BA。因此A＝150°是不能能的。錯因是沒有認真審題，未利用隱含條件。在解題時，要善于應用題中的條件，特別是隱含條件，全面認真地分析問題，防備錯誤發(fā)生。正解：同上c62，sinA1，∵ba，∴BA，且00A1800，∴A300。2例題6在△ABC中，錯解：在△ABC中，∵

cosAbcos，判斷△ABC的形狀。acosAbcosB，由正弦定理得2RsinAcosA2RsinBcosB∴sin2Asin2B，∴2A2B且2A2B180°∴A＝B且A＋B＝90°故△ABC為等腰直角三角形。辨析：對三角公式不熟，不理解邏輯連結詞“或”、“且”的意義，以致結論錯誤。正解：在△ABC中，∵acosAbcosB，由正弦定理，得2RsinAcosA2RsinBcosB，∴sin2Asin2B?！?A＝2B或2A＋2B＝180°，∴A＝B或A＋B＝90°。故△ABC為等腰三角形或直角三角形。例題7若a，b，c是三角形的三邊長，證明長為a，b，c的三條線段能構成銳角三角形。錯解：不如設0abc，只要考慮最大邊的對角θ為銳角即可。(a)2(b)2(c)2abccos2ab。2ab由于a，b，c是三角形的三邊長，依照三角形三邊關系，有

abc，即cos0?！嚅L為a，b，c的三條線段能構成銳角三角形。辨析：三條線段構成銳角三角形，要滿足兩個條件：①三條邊滿足三角形邊長關系；②最長線段的對角是銳角。顯然錯解只考據(jù)了第二個條件，而缺少第一個條件。正解：由錯解可得cos0又∵abc(abc)(abc)(ab)2cabc2ab0abcabcabcabc即長為a，b，c的三條線段能構成銳角三角形。典型題1、若ABC的內(nèi)角A滿足sin2A2，則sinAcosA3A.15B．15C．5D．53333解：由sin2A＝2sinAcosA0，可知A這銳角，因此sinA＋cosA0，又(sinAcosA)21sin2A5，應選A32、若是A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值，則A．A1B1C1和A2B2C2都是銳角三角形B．A1B1C1和A2B2C2都是鈍角三角形C．A1B1C1是鈍角三角形，A2B2C2是銳角三角形D．A1B1C1是銳角三角形，A2B2C2是鈍角三角形解：A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則A1B1C1是銳角三角形，若A2B2C2是銳角三角形，由sinA2cosA1sin(A1)A22A12sinB2cosB1sin(B1)，得B22B1，那么，A2B2C22，因此A2B2C2是鈍角三角形。應選2sinC2cosC1sin(C1)C22C12D。3、VABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為ur(ar(ba,curra,b,c設向量pc,b),qa),若p//q,則角C的大小為(A)(B)(C)(D)23236urr(ac)(ca)b(ba)b2a2c2ab，利用余弦定理可得2cosC1，即【分析】p//q1C，應選擇答案B。cosC23【議論】本題察看了兩向量平行的坐標形式的重要條件及余弦定理和三角函數(shù)，同時重視察看了同學們的運算能力。4、已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是（）Ａ．3Ｂ．3Ｃ．15Ｄ．152872tanA15A15215解：依題意，結合圖形可得215，選Dtan15，故tanAA72121(15)2tan2155、ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且c2a，則cosBA．1B．3C．2D．24443解：ABC中，a、b、c成等比數(shù)列，且c2a，則b=a2c2b22a，cosB2ac選B.6、在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c,A=,a=3,b=1，則c=3(A)1（B）2（C）3—1（D）3解：由正弦定理得sinB＝1，又ab，因此AB，故B＝30，因此C＝90，故c＝2，選27、設a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，則a2bbc是A2B的（A）充要條件（B）充分而不用要條件（C）必要而充分條件（D）既不充分又不用要條件分析：設a,b,c分別是ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若a2bbc，則sin2AsinB(sinBsinC)，則1cos2a1cos2BsinBsinC，22∴1(cos2Bcos2A)sinBsinC，sin(BA)sin(AB)sinBsinC，2又sin(AB)sinC，∴sin(AB)sinB，∴ABB，A2B，若△ABC中，A2B，由上可知，每一步都能夠逆推回去，獲取a2bbc，

a24a22a23=4a2，4B因此a2bbc是A2B的充要條件，選A.8、在ABC中，若sinA:sinB:sinC5:7:8，則B的大小是___________.解：sinA:sinB:sinC5:7:8abc＝578設a＝5k，b＝7k，c＝8k，由余弦定理可解得B的大小為.39、在ABC中，已知a333，b＝4，A＝30°，則sinB＝.42解：由正弦定理易得結論sinB＝3。210、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，則AC＝【思路點撥】本題主要察看解三角形的基本知識【正確解答】由正弦定理得，ACoBCo解得AC46sin45sin60【解后反思】解三角形：已知兩角及任一邊運用正弦定理，已知兩邊及其夾角運用余弦定理11、已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為．分析:由ABC的三個內(nèi)角