2.利用正弦定理、余弦定理求解四邊形問(wèn)題一．邊長(zhǎng)與角【例1】（2018年·新課標(biāo)I）在平面四邊形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【解析】（1）在中，由正弦定理得.由題設(shè)知，，所以.由題設(shè)知，，所以；（2）由題設(shè)及（1）知，.在中，由余弦定理得.所以.【方法技巧】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．二．面積問(wèn)題【例2】（2014年·全國(guó)Ⅱ）四邊形的內(nèi)角與互補(bǔ)，．（1）求和；（2）求四邊形的面積．【解析】（1）連接．在和中，利用余弦定理列等式和，且，代入數(shù)據(jù)得，求的值，進(jìn)而求和的值；（2）由（1）知和的面積可求，故四邊形等于和的面積．（1）由題設(shè)及余弦定理得．①．②由①②得，故，．（2）四邊形的面積．【方法技巧】與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略：(1)求三角形的面積．對(duì)于面積公式S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式．(2)已知三角形的面積解三角形．與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化．(3)求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值(范圍)問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再應(yīng)用基本不等式求解．三．結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題【例3】（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）在①面積，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，求.如圖，在平面四邊形中，，，______，，求.【解析】選擇①：所以；由余弦定理可得所以選擇②：設(shè)，則，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.【方法技巧】結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，需要在各種選擇當(dāng)中選一個(gè)自己擅長(zhǎng)的，或認(rèn)為更有把握的.【演練提高】1．（重慶市第八中學(xué)2022屆高三下學(xué)期高考適應(yīng)性月考卷（五））如圖，四邊形內(nèi)接于一個(gè)圓中，其中為直徑，，，.（1）求的長(zhǎng)；（2）求的面積.【解析】（1）在中，由余弦定理得：，解得：，設(shè)為外接圓半徑，由正弦定理得：，即.（2）為直徑，，，，又，.2．（山東省2022屆高三第二次學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測(cè)）如圖，D是△ABC外一點(diǎn)，△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求；（2）若，，且△ABC的面積是△ADC面積的2倍，求b的值.【解析】（1）在△ABC中，由及正弦定理，得，整理得，即.因?yàn)樵凇鰽BC中，，所以.又，所以.（2）由（1）知，因?yàn)椋?，所?又，，所以，解得.因?yàn)?，所?3．（2022屆高三數(shù)學(xué)新高考信息檢測(cè)原創(chuàng)卷（四））已知四邊形內(nèi)接于圓，，，是鈍角.（1）求的最大值；（2），求四邊形周長(zhǎng)的最大值.【解析】（1）設(shè)圓的半徑為.因?yàn)閮?nèi)接于圓，且，，由正弦定理得.又是圓的弦，所以，所以的最大值為4.（2）在中，由正弦定理得，即，所以.因?yàn)槭氢g角，所以，所以，即.由得，設(shè)，，在中，由余弦定理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以四邊形周長(zhǎng)的最大值為.4．（湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期月考（五））如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，AC=，AD=1，∠CAD=30°．（1）求∠ACD；（2）若△ABC為銳角三角形，求BC的取值范圍．【解析】（1）在中，由余弦定理得：，所以，又因?yàn)?，所以．?）由，且，可得，在中，由正弦定理得，所以，

因?yàn)闉殇J角三角形，，，所以，可得，則，所以，所以，所以的取值范圍為．5．（2021年·廣東韶關(guān)市高三綜合測(cè)試）如圖，在中，對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）已知，若為外接圓劣弧上一點(diǎn)，且，求四邊形的面積.【解析】（1）由正弦定理及已知，得，，，，，又，所以，即；（2）由A?B?C?D四點(diǎn)共圓得，設(shè)，在三角形中，由余弦定理得所以，而，，，因此.6．（2021年·遼寧省高三期中）在梯形ABCD中，已知，，對(duì)角線AC，BD交于O，，，．（1）把BD，分別用的函數(shù)表示；（2）若，，，求的值和的面積．【解析】（1）過(guò)A點(diǎn)作交CD的延長(zhǎng)線于E，則，，，在三角形ACE中，由正弦定理，得，所以，所以，，所以，.（2）因?yàn)椋?，所以，在中，由余弦定理得，解得或，又，所以或，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，,與矛盾，所以，所以，所以．7．（2021年·山東濰坊市高三核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)）如圖，在平面四邊形ABCD中，已知，點(diǎn)E在AB上且AE=2BE，．（1）求的值；（2）求的周長(zhǎng)．【解析】（1）由題知，，在中，由正弦定理得，因?yàn)?，，，所以．?）因?yàn)?所以，所以，所以，在中，因?yàn)?，，所以，在中，由余弦定理得，所以的周長(zhǎng)為．8．（2021年·黑龍江嫩江市第一中學(xué)等高三聯(lián)考）如圖，在平面四邊形ABCD中，若，，，，．（1）求的值；（2）求AD的長(zhǎng)度．【解析】（1）在中，因?yàn)?，，，由余弦定理，可得，所以．又由正弦定理可得，所以．所以．?）由（1），因?yàn)闉殇J角，可得．在中，根據(jù)余弦定理，可得，所以．9．（2021年·重慶市天星橋中學(xué)高三抽測(cè)）北京2022年冬奧會(huì)將于2022年2月4日在北京和張家口開(kāi)幕，運(yùn)動(dòng)員休息區(qū)本著環(huán)保，舒適，溫馨這一出發(fā)點(diǎn)，進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，如圖，在四邊形休閑區(qū)域，四周是步道，中間是花卉種植區(qū)域，為減少擁堵，中間穿插了氫能源環(huán)保電動(dòng)步道，且.（1）求氫能源環(huán)保電動(dòng)步道的長(zhǎng)；（2）若，求花卉種植區(qū)域總面積（電動(dòng)步道的面積忽略不計(jì)）.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以在ABC中，由余弦定理得，解得或（舍去），因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，故，所以花卉種植區(qū)域總面積為.10．（2022年·山東淄博市第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）在四邊形ABCD中，已知，，．（1）求四邊形ABCD的面積；（2）求的值．【解析】（1），，，可得，，則，，，，故，又，，故，∴四邊形ABCD的面積.（2）在△中，，，．11．（2022年·江蘇南通市海安市高三檢測(cè)）在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大?。唬?）求四邊形ABCD的面積．【解析】（1）由題意，設(shè)，則，，在中，由正弦定理有，即，解得.所以，因?yàn)?，所?（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四邊形ABCD的面積.12．（2022年·河南濮陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三限時(shí)訓(xùn)練）在平面中，四邊形滿足，，，，面積為4．（1）求的長(zhǎng)；（2）求的面積．【解析】（1）由已知，可得，又，所以，所以，在中，由余弦定理，,（2）由（1）可得：，所以，故.由，得，所以，.又，所以，所以為等腰三角形，即.在中，過(guò)頂點(diǎn)作的垂線，垂足為，且，，，在中，由正弦定理，可得，所以.13．（2022年·普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬測(cè)試（二））如圖，在四邊形中，．若，，______，求的長(zhǎng)．從①，；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答．（注：如果選擇多個(gè)條件分別