階段復習課第二章【答案速填】

①形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù)叫做x的二次函數(shù)②拋物線③當a>0時,拋物線開口向上,當a<0時,拋物線開口向下⑥當a>0時,在對稱軸的左側,y隨x的增大而減小,在對稱軸的右側,y隨x的增大而增大;當a<0時,在對稱軸的左側,y隨x的增大而增大,在對稱軸的右側,y隨x的增大而減?、吆瘮?shù)表達式、表格、圖象⑧有兩個交點?b2-4ac>0;有一個交點?b2-4ac=0;沒有交點?b2-4ac<0主題1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【主題訓練1】(2021·貴陽中考):直線y=ax+b過拋物線y=-x2-2x+3的頂點P,如下圖.(1)頂點P的坐標是.(2)假設直線y=ax+b經(jīng)過另一點A(0,11),求出該直線的表達式.(3)在(2)的條件下,假設有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關于x軸成軸對稱,求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點坐標.【自主解答】(1)∵y=-x2-2x+3=-(x2+2x)+3=-(x+1)2+4,∴P點坐標為(-1,4).(2)將點P(-1,4),A(0,11)代入y=ax+b得:

∴該直線的表達式為y=7x+11.(3)∵直線y=mx+n與直線y=7x+11關于x軸成軸對稱,∴y=mx+n過點P′(-1,-4),A′(0,-11),

∴y=-7x-11,∴-7x-11=-x2-2x+3,解得:x1=7,x2=-2,此時y1=-60,y2=3,∴直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點坐標為(7,-60)和(-2,3).【主題升華】系數(shù)a,b,c與二次函數(shù)的圖象的關系(1)a決定開口方向及開口大小.當a>0時,開口向上,當a<0時,開口向下;|a|越大,拋物線的開口越小.(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=,故:①b=0時,對稱軸為y軸;②>0(即a,b同號)時,對稱軸在y軸左側;③<0(即a,b異號)時,對稱軸在y軸右側.(3)c的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置.當x=0時,y=c,∴拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點(0,c).即:①c=0,拋物線經(jīng)過原點;②c>0,與y軸交于正半軸;③c<0,與y軸交于負半軸.以上三點中,當結論和條件互換時,仍成立.1.(2021·新疆中考)對于二次函數(shù)y=(x－1)2+2的圖象,以下說法正確的選項是()A.開口向下 B.對稱軸是x=-1C.頂點坐標是(1,2) D.與x軸有兩個交點【解析】選C.選項A,由a=1知拋物線圖象的開口向上,所以A錯誤;選項B,由y=a(x-h)2+k的對稱軸為x=h知該圖象的對稱軸是x=1,所以B錯誤;選項C,由y=a(x-h)2+k的頂點坐標是(h,k)知該圖象的頂點坐標是(1,2),所以C正確;選項D,讓y=0,即(x-1)2+2=0,此方程無解,知該圖象與x軸無交點,所以D錯誤.2.(2021·麗水中考)在同一平面直角坐標系內(nèi),將函數(shù)y=2x2+4x-3的圖象向右平移2個單位,再向下平移1個單位得到圖象的頂點坐標是()A.(-3,-6) B.(1,-4)C.(1,-6) D.(-3,-4)【解析】選C.y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5,把y=2(x+1)2-5的圖象向右平移2個單位,再向下平移1個單位,得y=2(x+1-2)2-5-1=2(x-1)2-6,∴平移后的圖象的頂點坐標是(1,-6).【知識歸納】二次函數(shù)的平移規(guī)律平移不改變圖形的形狀和大小,因此拋物線在平移的過程中,圖象的形狀、開口方向必相同,即a不變,所以拋物線y=ax2+bx+c可以由y=ax2平移得到.其平移的規(guī)律用語言來表示可以歸結為:“上加下減,左加右減〞,平移時具體的對應關系可以用以下框圖來表示:3.(2021·泰安中考)函數(shù)y=-(x-m)(x-n)(其中m<n)的圖象如下圖,那么一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)y=的圖象可能是()【解析】選C.觀察函數(shù)y=-(x-m)(x-n)(其中m<n)的圖象知m<-1,n=1,m+n<0.所以一次函數(shù)y=mx+n的圖象必過第二、四象限,且與y軸交點為(0,1),反比例函數(shù)y=的圖象過第二、四象限.所以選C.主題2待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式【主題訓練2】(2021·新疆中考)如圖,拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A,B兩點,過點A的直線l與拋物線交于點C,其中A點的坐標是(1,0),C點坐標是(4,3).(1)求拋物線的表達式.(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點D,使△BCD的周長最小?假設存在,求出點D的坐標,假設不存在,請說明理由.【自主解答】(1)∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1,0),點C(4,3),所以拋物線的表達式為y=x2-4x+3.(2)∵點A,B關于對稱軸對稱,∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小,設直線AC的表達式為y=kx+b(k≠0),所以,直線AC的表達式為y=x-1,∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴拋物線的對稱軸為直線x=2,當x=2時,y=2-1=1,∴拋物線對稱軸上存在點D(2,1),使△BCD的周長最小.【主題升華】選擇不同表達形式求二次函數(shù)表達式的技巧(1)當拋物線上任意三點時,通常設為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的形式,然后組成三元一次方程組來求解.(2)當拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸或最大(小)值時,通常設為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0)的形式.(3)當拋物線與x軸的交點(或交點橫坐標)或拋物線與x軸一個交點和對稱軸時,通常設為交點式y(tǒng)=a(x-x1)·(x-x2)(a≠0)的形式.1.(2021·寧波中考)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A(1,0),B(3,0)且過點C(0,-3).(1)求拋物線的表達式和頂點坐標.(2)請你寫出一種平移的方法,使平移后拋物線的頂點落在直線y=-x上,并寫出平移后拋物線的表達式.【解析】(1)∵拋物線與x軸交于點A(1,0),B(3,0),可設拋物線表達式為y=a(x-1)(x-3)(a≠0),把C(0,-3)代入得:3a=-3,解得:a=-1,故拋物線表達式為y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3,∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴頂點坐標為(2,1).(2)先向左平移2個單位,再向下平移1個單位(也可先向下平移1個單位,再向左平移2個單位),得到的拋物線的表達式為y=-x2,平移后拋物線的頂點為(0,0)落在直線y=-x上(答案不唯一).2.(2021·營口中考)如圖,拋物線與x軸交于A(1,0),B(-3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3),設拋物線的頂點為D.(1)求該拋物線的表達式與頂點D的坐標.(2)試判斷△BCD的形狀,并說明理由.【解析】(1)設拋物線的表達式為y=ax2+bx+c(a≠0).由拋物線與y軸交于點C(0,3),可知c=3.即拋物線的表達式為y=ax2+bx+3.把點A(1,0),點B(-3,0)代入,得

解得a=-1,b=-2.∴拋物線的表達式為y=-x2-2x+3.∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴頂點D的坐標為(-1,4).(2)△BCD是直角三角形.理由如下:過點D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E,F.∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,∴BC2=OB2+OC2=18.在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴CD2=DF2+CF2=2.在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴BD2=DE2+BE2=20,∴BC2+CD2=BD2,∴△BCD為直角三角形.【一題多解】此題中的第(2)問還可以這樣求解:過點D作DF⊥y軸于點F.在Rt△BOC中,∵OB=3,OC=3,∴OB=OC,∴∠OCB=45°.∵在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴DF=CF,∴∠DCF=45°,∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°,∴△BCD為直角三角形.主題3二次函數(shù)的實際應用【主題訓練3】(2021·鹽城中考)水果店王阿姨到水果批發(fā)市場打算購進一種水果銷售,經(jīng)過還價,實際價格每千克比原來少2元,發(fā)現(xiàn)原來買這種水果80kg的錢,現(xiàn)在可買88kg.(1)現(xiàn)在實際購進這種水果每千克多少元?(2)王阿姨準備購進這種水果銷售,假設這種水果的銷售量y(kg)與銷售單價x(元/kg)滿足如下圖的一次函數(shù)關系.①求y與x之間的函數(shù)表達式.②請你幫王阿姨拿個主意,將這種水果的銷售單價定為多少時,能獲得最大利潤?最大利潤是多少?(利潤=銷售收入-進貨金額)【自主解答】(1)設現(xiàn)在實際購進這種水果每千克a元,根據(jù)題意,得:80(a+2)=88a,解得:a=20,答:現(xiàn)在實際購進這種水果每千克20元.(2)①∵y是x的一次函數(shù),設函數(shù)表達式為y=kx+b(k≠0),將(25,165),(35,55)分別代入y=kx+b,得:解得:k=-11,b=440,∴y=-11x+440.②設利潤為W元,那么W=(x-20)(-11x+440)=-11(x-30)2+1100.∴當x=30時,W最大值=1100.答:將這種水果的銷售單價定為每千克30元時,能獲得最大利潤,最大利潤是1100元.【主題升華】二次函數(shù)應用的類型及解題策略(1)最值問題①利潤最大問題的解題策略:先運用“總利潤=總售價-總本錢〞或“總利潤=單件商品利潤×銷售數(shù)量〞建立利潤與價格之間的二次函數(shù)表達式,再求出函數(shù)的最值.②幾何圖形中最值問題的解題策略:先結合面積公式、相似等知識,把要討論的量表示成另一變量的二次函數(shù)的形式,再求出函數(shù)的最值.(2)拋物線型問題解決此類實際問題的關鍵是進行二次函數(shù)建模,依據(jù)題意,建立適宜的平面直角坐標系,并利用拋物線的性質(zhì)解決問題.1.(2021·紹興中考)如圖的一座拱橋,當水面寬AB為12m時,橋洞頂部離水面4m,橋洞的拱形是拋物線,以水平方向為x軸,建立平面直角坐標系.假設選取點A為坐標原點時的拋物線表達式是y=-(x-6)2+4,那么選取點B為坐標原點時的拋物線表達式是.【解析】以點B為坐標原點時,拋物線的頂點坐標是(-6,4),所以拋物線的表達式為y=-(x+6)2+4答案:y=-(x+6)2+42.(2021·南充中考)某商場購進一種每件價格為100元的新商品,在商場試銷時發(fā)現(xiàn):銷售單價x(元/件)與每天銷售量y(件)之間滿足如下圖的關系:(1)求出y與x之間的函數(shù)表達式.(2)寫出每天的利潤W與銷售單價x之間的函數(shù)表達式;假設你是商場負責人,會將售價定為多少,來保證每天獲得的利潤最大,最大利潤是多少?【解析】(1)設y與x之間的函數(shù)表達式為y=kx+b(k≠0).由所給函數(shù)圖象得∴函數(shù)表達式為y=-x+180.(2)W=(x-100)y=(x-100)(-x+180)=-x2+280x-18000=-(x-140)2+1600.當x=140時,W最大=1600.∴售價定為140元/件時,每天最大利潤W=1600元.3.(2021·安徽中考)某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營,了解到一種本錢為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關信息如下表所示.銷售量p(件)p=50-x銷售單價q(元/件)當1≤x≤20時,q=30+x;當21≤x≤40時,q=20+(1)請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件.(2)求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關于x的函數(shù)表達式.(3)這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大?最大利潤是多少?【解析】(1)①對于q=30+x，當q=35時，30+x=35，解得x=10，在1≤x≤20范圍內(nèi)；②對于q=20+當q=35時，20+=35，解得x=35，在21≤x≤40范圍內(nèi)．綜上所述，第10天或第35天該商品的銷售單價為35元/件.(2)①當1≤x≤20時，y=(30+x－20)(50－x)=－x2+15x+500；②當21≤x≤40時，y=(20+－20)(50－x)=－525.(3)①y=－x2+15x+500=－(x－15)2+612.5，由于－＜0，拋物線開口向下，且1≤x≤20，所以當x=15時，y最大=612.5(元)；②y=－525，越大(即x越小)y的值