學案2函數的定義域與值域名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!考點1考點2考點3填填知學情課內考點突破規(guī)律探究考綱解讀考向預測名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!返回目錄

考綱解讀函數的定義域與值域會求一些簡單函數的定義域和值域.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!返回目錄

1.定義：在函數y=f(x),x∈A中，自變量x的取值范圍A叫做函數的

；對應的函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的

.2.設函數y=f(x)的定義域為A，如果存在實數M,對于任意的x∈A都有f(x)≤M(≥m)且存在x0∈A使得f(x0)=M(m)，就稱M(m)是函數y=f(x)的

.定義域值域名師伴你行SANPINBOOK最大（小值）名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!返回目錄

【分析】求函數定義域,應使函數的解析式有意義,其主要依據是:①分式函數，分母不等于零;②偶次根式函數，被開方式≥0;③一次函數、二次函數的定義域為R.x0中的底數x≠0;④y=ax，定義域為R;⑤y=logax，定義域為{x|x>0}.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!25-x2≥0cosx>0-5≤x≤5-+2kπ<x<2kπ+(k∈Z).∴函數的定義域為返回目錄

(3)由得名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!返回目錄

（1）當函數是由解析式給出時,其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合.（2）當函數是由實際問題給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、面積必須大于零、人數必須為自然數等）.（3）若一函數解析式是由幾個函數經四則運算得到的，則函數定義域應是同時使這幾個函數有意義的不等式組的解集.若函數定義域為空集，則函數不存在.（4）對于(4)題要注意:①對在同一對應法則f下的量“x”“x+a”“x-a”所要滿足的范圍是一樣的;②函數g(x)中的自變量是x,所以求g(x)的定義域應求g(x)中的x的范圍.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!返回目錄

考點2求函數的值域求下列函數的值域:(1)(2)y=x-;(3)y=x+;(4)y=;(5)y=x+.【分析】上述各題在求解之前,先觀察其特點,選擇最優(yōu)解法.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!(2)解法一:設=t(t≥0),得x=,∴y=-t=-(t+1)2+1≤(t≥0),∴y∈.解法二：∵1-2x≥0,∴x≤,∴定義域為.∵函數y=x,y=-在上均為單調遞增,∴y≤,∴y∈.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!解法二:先證此函數的單調性.任取x1,x2且x1<x2.∵f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=,∴當x1<x2≤-2或2≤x1<x2時,f(x)遞增;當-2<x<0或0<x<2時,f(x)遞減.故當x=-2時,f(x)極大=f(-2)=-4;當x=2時,f(x)極小=f(2)=4.∴所求函數的值域為(-∞,-4］∪［4,+∞).返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!解法二:數形結合法或圖象法.原函數式可化為y=,此式可以看作點(2,0)和(cosx,-sinx)連線的斜率,而點(cosx,-sinx)的軌跡方程為x2+y2=1,如圖所示,在坐標系中作出圓x2+y2=1和點(2,0).

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(5)函數的定義域為［-1,1］.當x∈［-1,1］時,f′(x)=由f′(x)=0,得-x=0,解得x=,x=-(舍去),∴f()=,又f(-1)=-1,f(1)=1,∴f(x)max=f()=,f(x)min=f(-1)=-1.∴值域為［-1,］.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!返回目錄

(4)不等式法利用基本不等式:a+b≥2,用此法求函數值域時,要注意條件“一正、二定、三相等”.如:a+b≥2求某些函數值域(或最值)時應滿足三個條件:①a>0,b>0;②a+b(或ab)為定值;③取等號條件a=b.三個條件缺一不可.(5)函數的單調性法確定函數在定義域(或某個定義域的子集上)的單調性求出函數的值域,例如:f(x)=ax+(a>0,b>0).當利用不等式法等號不能成立時,可考慮用函數的單調性.(6)數形結合法如果所給函數有較明顯的幾何意義,可借助幾何法求函數的值域,形如:可聯(lián)想兩點(x1,y1)與(x2,y2)連線的斜率.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!返回目錄

求下列函數的最值與值域:(1)y=4-;(2)y=;(3)y=名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!返回目錄

(3)將函數變形為y=可視為動點M(x,0)與定點A(0,1),B(2,-2)距離之和,連結AB,則直線AB與x軸的交點(橫坐標)即為所求的最小值點.ymin=|AB|=可求得x=時,ymin=.顯然無最大值,故值域為［,+∞).名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!返回目錄

【解析】(1)①若1-a2=0,即a=±1.(ⅰ)當a=1時,f(x)=,定義域為R,符合;(ⅱ)當a=-1時,f(x)=,定義域不為R,不合題意.②若1-a2≠0,則g(x)=(1-a2)x2+3(1-a)x+6為二次函數,∵f(x)的定義域為R,∴g(x)≥0對x∈R恒成立,1-a2>0Δ=9(1-a)2-24(1-a2)≤0-1<a<1(a-1)(11a+5)≤0綜合①②得a的取值范圍是.∴≤a<1.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!

本題要注意分類討論,要分1-a2=0和1-a2≠0兩種情況.分類一定要做到不重不漏.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!【解析】（1）由4-ax≥0，得ax≤4.當a＞1時，f(x)的定義域為(-∞,loga4］;當0＜a＜1時，f(x)的定義域為［loga4,+∞).令t=，則t∈［0,2).∴y=4-t2-2t-1=4-(t+1)2.當t∈［0,2)時，y=4-(t+1)2是減函數.∴函數的值域是(-5,3］.返回目錄

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求函數值域沒有通用的方法和固定的模式，要靠在學習過程中不斷積累，掌握規(guī)律，所以要記住各種基本函數的值域；要記住什么結構特點的函數用什么樣的方法求值域，即熟悉求函數值域的幾種常用方法，但在解決求值域問題時要注意選擇最優(yōu)解法.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!返回目錄

凡是涉及到函數問題時,均要考慮函數的定義域,因此求定義域是必考內容,可獨立考查,也可滲透到大題中;對值域的考查主要與求變量的取值范圍融合在一起,常和方程與不等式、最值問題及應用性問題等結合起來.考向預測名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!返回目錄

考點1求函數的定義域求下列函數的定義域:(1)［2010年高考廣東卷］函數f(x)=lg(x-2)的定義域是

；(2)(3)y=+lg(cosx);(4)已知函數f(x)的定義域是(0,1］,求函數g(x)=f(x+a)·f(x-a)(其中|a|<)的定義域.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!返回目錄

4x+3>0x>4x+3≠1x≠5x-4≠0x≠∴函數的定義域為

【解析】(1)由由x-2>0得x>2,∴函數的定義域為(2,+∞).(2)由得名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!0<x+a≤10<x-a≤1,-a<x≤1-aa<x≤1+a.∴函數g(x)的定義域是區(qū)間(-a,1-a］與(a,1+a］的交集.①當-<a≤0時,1+a>-a.∴(a,1+a］∩(-a,1-a］=(-a,1+a］;②當0<a<時,1-a>a.∴函數g(x)的定義域為(-a,1-a］∩(a,1+a］=(a,1-a］.返回目錄

(4)由已知,得即名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!返回目錄

若函數f(2x)的定義域是［-1,1］，求函數f(log2x)的定義域.【解析】∵y=f(2x)的定義域是［-1,1］,∴≤2x≤2.∴y=f(x)的定義域是.由≤log2x≤2得≤x≤4.∴y=f(log2x）的定義域是［,4］.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!返回目錄

【解析】(1)解法一:,∵1+x2≥1,∴0<≤2,∴-1<y=-1≤1,即y∈(-1,1］.解法二:由y=,得x2=.∵x2≥0,∴≥0,解得-1<y≤1.∴y∈(-1,1］.名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!返回目錄

(3)解法一:當x>0時,y=x+≥2=4,當且僅當x=2時,取等號;當x<0時,=-4,當且僅當x=-2時,取等號.綜上,所求函數的值域為(-∞,-4］∪［4,+∞).名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!(4)解法一:利用函數的有界性.將原函數化為sinx+ycosx=2y,即令cosφ=且sinφ=,∴sin(x+φ)=,平方得3y2≤1,∴-≤y≤.∴原函數的值域為.返回目錄

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由圖可看出,當過(2,0)的直線與圓相切時,斜率分別取得最大值和最小值,由直線與圓的位置關系,可設直線方程為y=k(x-2),即kx-y-2k=0,∴解得k=±,∴斜率的范圍是.即函數y=的值域名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!

求函數值域(或最值)的常用方法:(1)基本函數法對于基本函數的值域可通過它的圖象性質直接求解.(2)配方法對于形如:y=ax2+bx+c(a≠0)或F(x)=a［f2(x)+bf(x)+c］(a≠0)類型的函數的值域問題,均可用配方法求解.(3)換元法利用代數或三角換元,將所給函數轉化成易求值域的函數,形如y=的函數,令f(x)=t,形如:y=ax+b±(a,b,c,d均為常數,ac≠0)的函數,令=t;形如含的結構的函數,可利用三角代換,令x=acosθ,θ∈［0,π］或令x=asinθ,θ∈.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!(7)函數的有界性法形如y=,可用y表示出sinx.再根據-1<sinx≤1,解關于x的不等式,可求y的值的范圍.(8)導數法設y=f(x)的導數為f′(x),由f′(x)=0可求得極值點坐標,若函數定義域為［a,b］,則最值必定為極值點和區(qū)間端點中函數值的最大值和最小值.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!【解析】(1)由3+2x-x2≥0得函數定義域為［-1,3］,又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.∴t∈［0,4］,∈［0,2］,從而,當x=1時,ymin=2;當x=-1或x=3時,ymax=4.故值域為［2,4］.(2)∵其中≠0,∴y=的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK名校學案2函數的定義域與值域共36頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!考點3關于定義域、值域及參數問題函數f(x)=.(1)若f(x)的定義域為R,求實數a的取值范圍;(2)若f(x)的定義域為［-2,1］,求實數a的值.【分析】(1)定義域為R,即不等式(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0恒成立.(2)定義域為［-2,1］,即(1-a2)x2+3(1-a)x+6≥0的解集為［-2,1］.返回目錄

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(2)命題等價于不等式(1-a2