因式分解

例題講解及練習(xí)（1）

，評(píng)析：先查各項(xiàng)系數(shù)（其它字母暫時(shí)不看）

確定5，15，20

的最大，公因數(shù)是

5

5

X再確定

X

的最低次冪是幾，至此確認(rèn)提取X，同法確定提Y，最后確定提公因式

5XY。提取公因式后，再算出括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)。解：

=

)（2）

評(píng)析：多項(xiàng)式的第一項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，應(yīng)先提出負(fù)號(hào)，各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)為

3，且相同字母最低次的項(xiàng)是XY解:

=

)=

)=

（3）(y-x)(c-b-a)-(x-y)(2a+b-c)-(x-y)(b-2a)評(píng)析：在本題中，y-x

和

x-y

都可以做為公因式，但應(yīng)避免負(fù)號(hào)過(guò)多的情況出現(xiàn)，所以應(yīng)提取y-x解：原式=(y-x)(c-b-a)+(y-x)(2a+b-c)+(y-x)(b-2a)=(y-x)(c-b-a+2a+b-c+b-2a)=(y-x)(b-a)（4）

（4） 把

分解因式評(píng)析：這個(gè)多項(xiàng)式有公因式

2x，應(yīng)先提取公因式，剩余的多項(xiàng)式16y-1

具備平方差公式的形式解 ：

=2

=2

=

（5）

（5） 把

分解因式評(píng)析：首先提取公因式 xy

，剩下的多項(xiàng)式 x-y

可以看作(

)

()

用平方差公式分解，最后再運(yùn)用立方和立方差公式分解。對(duì)于

x-y也可以變成(

)

()

先運(yùn)用立方差公式分解，但比較麻煩。解：

=xy(x-y)=

xy[(

)

()

]=(

)(

)=(

)(

)(

)(

)（7）

（7）

把

分解因式（6）把(

)

)

（7）

（7）

把

分解因式評(píng)析：把(x+y)看作一個(gè)整體，那么這個(gè)多項(xiàng)式相當(dāng)于(x+y)的二次三項(xiàng)式，并且為降冪排列，適合完全平方公式。對(duì)于本例中的多項(xiàng)(x+y)代換完全平方公式中的a，（6Z）換公式中的解：(

)

)

=(

)

)

)=(x+y-6z)

x-2y和

yx-2y和

y的二次三項(xiàng)式，但首末兩項(xiàng)不是有理數(shù)范圍內(nèi)的完全平方項(xiàng)，不能直接應(yīng)用完全平方公式，但注意把首項(xiàng)系數(shù)提出后，括號(hào)里邊實(shí)際上就是一個(gè)完全平方式。解：

===

（8）

（8） 分解因式

a-b-2b-1評(píng)析：初看，前兩項(xiàng)可用平方差公式分解。采用“二、二”分組，原式=(a+b)(a-b)-(2b+1)，此時(shí)無(wú)法繼續(xù)分解。再仔細(xì)看，后三項(xiàng)是一個(gè)完全平方式，應(yīng)采用“一、三”分組。。解 ： a-b-2b-1=。a-(b-2b+1)=a-(b+1)=[a+(b+1)][a-(b+1)]=(a-b-1)(a+b+1)一般來(lái)說(shuō)，四項(xiàng)式“一、三”分解，最后要用“平方差”四項(xiàng)式“二、二”分組，只有前后兩組出現(xiàn)公因式，才是正確的分組方案。（9）

（9） 把

a-ab+ac-bc

分解因式解法一：a-ab+ac-bc=(a-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)解法二：a-ab+ac-bc=(a+ac)-(ab+bc)=a(a+c)-b(a+c)=(a-b)(a+c)（10） （10） 把

分解因式解法一：

=

)

)

(

)

)

(

解法二：

=

)

)

)（說(shuō)明：例（2）和例（3）的解法一和解法二雖然分組不同，但卻（2

1：1，解法二也是

1：1；（3）題解法一是1：1，解法二是

2：（-3）(11)

分解因式

三”分組；不是，就考慮“二、二”分組解法一：

=(

)(

(

(

=(

(

(

(

解法二：

=

(

(

(

=(

(

(

(

解法三：

=(

(

)

(

(

=(

)

(

(

（12） （12） 分解因式(a-b)-1-2c(a-b)+c評(píng)析：本題將（a-b）看作一個(gè)整體，可觀察出其中三項(xiàng)是完全平方式，可以“一、三”分組解：(a-b)-1-2c(a-b)+c=[(a-b)-2c(a-b)+c]-1=[(a-b)-c]-1=(a-b-c)-1-(a-b-c+1)(a-b-c-1)（13）分解因式

8a-5ab-42b 8a -21b解：8a-5ab-42b a +2b=(8a-21b)(a+2b) -21ab+16ab=-5ab（14） （14） 分解因式

a-10a+16解：a-10a+16 a -2=(

a-2)(

a-8) a -8=(

a-2)(a-2)(a+2a+4) -8a-2a

=-10a（15） （15） 分解因式-x+x+30解：-x+x+30

（先提出負(fù)號(hào)） x +5=-(

x-x-30) x -6=-(x+5)(x-6) +5x-6x=-x（16） （16） 分解因式

12(x+y)-8(x+y)-7解：12(x+y)-8(x+y)-7 2(x+y) +1=[2(x+y)+1][6(x+y)-7] 6(x+y) -7=(2x+2y+1)(6x+6y-7) -14+6=8（17）把

分解因式-1提出后，實(shí)際上是

按立方差公式分解后的一個(gè)因式：解：

=(

)(

)=(

)(

)(

)=(

)(

（18）

（18）

把

分解因式

-1

提出之后恰好也是完全平方式，這樣分組后又可用平方差公式繼續(xù)分解。解：

=(

(

)=(

(

)=(

)(

)（19）分解因式(

評(píng)析：先不要把前面兩個(gè)二次三項(xiàng)式的乘積展開(kāi)，要注意到這兩個(gè)二次三項(xiàng)式的前兩項(xiàng)都是

這一顯著特點(diǎn)，我們不妨設(shè)

=a

可得（a+1）（a+2）-6

即

a+3a+2-6，即

a+3a-4，此時(shí)可分解為（a+4）（a-1）解：(

=(

)

)

=(

)

)=

[(

)

)

=(

（20）把(

分解因式解：(

=(

)

(

)

=(

)

(

)=

[(

)

)=(

（21）把(

分解因式評(píng)析：它不同于例3（1）的形式，但通過(guò)觀察，我們可以對(duì)這兩 個(gè) 二 次 三 項(xiàng) 式 先 進(jìn) 行 分 解 ， 有(

(

。它又回到例

3（1）的形式，我們把第一項(xiàng)和第三項(xiàng)結(jié)合在一起，第二、四項(xiàng)結(jié)合在一起，都產(chǎn)生了（x-3x）解：(

=(

=

[(

=(

=(

)

)=

[(

)

)

=(

(

（22）把(

分解因式評(píng)析：不要輕易展開(kāi)前四個(gè)一次因式的積，要注意到常數(shù)有

1×6=2×3=6

利用結(jié)合律會(huì)出現(xiàn)

a+6解：(

=[(

=(

)(

)

=(

(

(

)（23）把（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9

分解因式評(píng)析：不要輕易地把前四個(gè)一次因式的乘積展開(kāi)，要注意到1+7=3+5，如果利用乘法結(jié)合律，把（

x+1）（x+7）和（x+3）（x+5）分別乘開(kāi)就會(huì)出現(xiàn)

(

的形式，這就不難發(fā)現(xiàn)（x+8x）作為一個(gè)整體a

同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)因式中，即（a+7）（a+15）（-9

a+22a+96

aa，得到（a+6）

a+16）（而分解。解：（x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9=[（x+1）（x+7）][（x+3）（x+5）]-9=(

以下同于例

3=[(

)

)=(

)

)+96=[(

)

)=(

（24）把

x（x+1）（x+2）（x+3）-24

分解因式a評(píng)析：通過(guò)觀察第一項(xiàng)和第四項(xiàng)兩上一次式相乘出現(xiàn)（x+3x），ax+3x）。可以設(shè)

x+3x=a

（a+2）-24，此時(shí)已易于分解解：x（x+1）（x+2）（x+3）-24=[x（x+3）][（x+1）（x+2）]-24=(

)(

=(

)[(

)

=(

)

)=(

（25）把(

)

分解因式評(píng)析：不要急于展開(kāi)

(

，通過(guò)觀察前兩項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)它們有公共的

x+3x，此時(shí)把它看成一個(gè)整體將使運(yùn)算簡(jiǎn)化。解：(

)=(

)

)

)

=(

)

(

（26）把分解因式(

b

d)

b)(

d)評(píng)析：我們可以觀察到+前后的兩項(xiàng)都有（a+b）和（c+d）。據(jù)此可把它們看作為一個(gè)整體。解：(

b

d)

b)(

d)=

[(

b)(

d)]

b)(

d)=(

b)

b)(

d)(

d)

b)(

d)=(

b)

b)(

d)(

d)=

[(

b)(

d)]

(

b

d)（27）把

(

(

(

分解因式評(píng)析：把（1+a）看成一個(gè)整體，第一項(xiàng)

1

與第二項(xiàng)

a

也合成一個(gè)整體（1+a）解：

(

(

(

=

)

)]=

)]=

)

)（28）把

分解因式評(píng)析：此題容易想到分組分解法，但比較困難，考慮到

)(

)此時(shí)可設(shè)

m)(

)

再用待定系數(shù)法求出

m

和

n解：設(shè)

=

m

n

mnnm

mn比較兩邊對(duì)應(yīng)系數(shù)

得到m+2n=2 ①-3n+2m=11 ②mn=-4 ③由①和②

得到

m=4，n=-1

代入③也成立（∴

=（2x-3y+4）

x+2y-1）（（29）把

分解因式解：

=(

)(

)

=（x+4y+m）（x-2y+n）=

(m

)

m)

mn有 m+n=-4 ①4n-2m=-10 ②mn=3 ③由①和②

得到

m=-3，n=-1 代入③也成立∴

=（x+4y-3）（x-2y-1）（30）當(dāng)

x+y=2

時(shí)，求

的值評(píng)析：∵x+y=2

這是唯一的條件?！嘁獜?/p>

中找到

x+y或有關(guān)（x+y）的表達(dá)式解：

=（x+y）（

）+6xy∵x+y=2∴原式=

=

)=2(

)

=8

=2

求

=2

求

的值

=

解：

=

∵

=2∴原式=2[（2）-3]=2（32）己知

x-y=2，求

的值解：

=

=

=

（x-y）

-3a（x-y）

+2a∴原式=∴原式=

.ambmcm

mb),

.

b

bb),

b

b,

b

b b.

ambmbn

b=ambmbn=mbm =mb

=

=

=

b

=b

b=

b =b

=(

)(

)=

=

b

=(

b)=b

=bb

b

bb

b

b

b

b

m

m bb(b)b(

)(

b)

b

.

(p

q)

pq

(

p)(

q)

特點(diǎn)：（

6=2

2+3=5

=

=

2+13=5

=

[((

( =

+=

條件：（

b

b

=

+=

=

bb

b=

b(b)]

b(b)=b

b

m

mn

b

=

=

、（

(

)

) (

b)

b

m

mn

m

b)

b)

b)

)

)

)

(b

)

.

=

=

=

=

=

(

=

(

-1+2=1=

(

=

=

b

b

F

條件：（

F

E

E

F

解：（

=

=

(

解：（

=

(

=

=

=(

=(

)

=

=

=(

(

)

(

)(

(

(

==

=

==

（

=

=

=·

=·

··

=

=(

==

=

==

=

=

=

、（

)

=

=

=(

=(

=(

=

=(

=(

=(

=(

=(

(

(

=(

(

(

=(

=(

(

(

(

b

b

b

mn

mn

b

b

b

m

m

b

b

m

=

m

m

=

(m

)

m)

mn

=

(m

)

m)

mnm

m

m

=

、（m

mx