33112020年高考文科數(shù)學(xué)《平面向量》題型歸納與訓(xùn)練題型歸納】題型一平面向量的基本定理例1給出下列命題：向量AB與向量BA是共線向量，不是平行向量；若向量a與向量b都是單位向量，貝歸=b；若AB二DC，則A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；―—k—r—F-l，m為實(shí)數(shù)，若la二mb貝用與b共線?其中錯(cuò)誤的命題的序號(hào)是.【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)錯(cuò)誤，因?yàn)楣簿€向量就是平行向量，平行向量就是共線向量2)錯(cuò)誤，向量有方向和大小兩個(gè)要素，只有方向相同且長(zhǎng)度相等，兩個(gè)向量才相等。兩個(gè)單位向量不一定相等，因?yàn)樗鼈兊姆较虿灰欢ㄏ嗤?；⑶是錯(cuò)誤的，當(dāng)A、B、C、D在一條直線上時(shí)，它們不構(gòu)成平行四邊形2)是錯(cuò)誤的，當(dāng)1=m=0時(shí)，a與b可以共線可以不共線【易錯(cuò)點(diǎn)】對(duì)平行向量單位向量的概念理解不透徹容易忽視一些特殊情況，5AB二DC，則a、B、C、D四點(diǎn)可能在一條直線上，所以不一定能構(gòu)成平行四邊形。=金°,若la二mb則a與b不一定共線?！舅季S點(diǎn)撥】平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略：fif進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位線及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來．向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用．用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運(yùn)用法則找關(guān)系；化簡(jiǎn)結(jié)果．例2已知a二（1,2）,b二（2x,_3）且a〃b,則x二.3【答案】—43【解析】根據(jù)a〃b有xy—xy=0,可知lx（—3）—2x2x=0,得x二—412214【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在把向量平行的充要條件記成了x-yy=0?2）a||boxy—xy=012121221'XX-yy=0、「人豐aAb?xxyy=0不疋〔212'可以記為“斜乘相減等于零”.1212，，可以記為“豎乘相加等于零”?這兩個(gè)公式是向量運(yùn)算里經(jīng)常要用到的，大家要區(qū)分并記牢.【思維點(diǎn)撥】平面向量的概念辨析題的解題方法準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類問題的關(guān)鍵，特別是對(duì)相等向量、零向量等概念的理解要到位，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法.2?幾個(gè)重要結(jié)論（1）向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；（2）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量；（3）向量平行與起點(diǎn)的位置無關(guān).T題型二平面向量的線性運(yùn)算例1在ABCD中，錯(cuò)誤的式子是（）II.A.AD—AB二BDB?AD—AB二DBC?AB+BC二ACD?AD+AB二AC【答案】D.【解析】根據(jù)平行四邊形法則知，錯(cuò)誤的為B?在向量的加法運(yùn)算中，第一個(gè)向量的終點(diǎn)和第二個(gè)向量的起點(diǎn)相同時(shí)，可得第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)的終點(diǎn)，如AB+BC二AC；在向量的減法運(yùn)算中，兩向量的起點(diǎn)相同，則由第二個(gè)向量的終點(diǎn)指向第一個(gè)的起點(diǎn)，女AD—AB=BD，對(duì)于d選項(xiàng)，利用平行四邊形法則結(jié)合圖像可得AD+AB=AC?【易錯(cuò)點(diǎn)】使用向量的加法三角形法則時(shí)，兩向量必須首尾相接，使用向量的減法三角形法則時(shí)，兩向量必須起點(diǎn)相同，差向量是減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)?！舅季S點(diǎn)撥】1?向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，從而可使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算.2?兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相同?此時(shí)注意方程（組）思想的應(yīng)用.題型三平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用例1已知a=4,e為單位向量，當(dāng)為色的夾角為卞時(shí)，a在e上的投影為()TOC\o"1-5"\h\zA.2B?一2C?2叮3D?—2【答案】B．\o"CurrentDocument"a.e2【解析】a在e上的投影為*0仙〉=樸岸「Seos』—-2,所以選擇B?abab|a|cos<a,b>【易錯(cuò)點(diǎn)】(1)對(duì)a在b上的投影的概念和公式理解不透徹.2(a在b上的投影為II，由于—FT—⑻？0j?COSa,b>?1,所以a在b上的投影可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，也可以是零有的同學(xué)把b在b上的投影和射影混淆了，一個(gè)線段在另外一個(gè)線段上的射影是一個(gè)非負(fù)數(shù)..【思維點(diǎn)撥】1?對(duì)兩向量夾角的理解—*兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點(diǎn)不同，應(yīng)通過移動(dòng)，使其起點(diǎn)相同，再觀察夾角．兩向量夾角的范圍為［0,刃，特別當(dāng)兩向量共線且同向時(shí)，其夾角為0,共線且反向時(shí)，其夾角為〃在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍．2．向量運(yùn)算與數(shù)量運(yùn)算的區(qū)別若a，b^R，且ab=0，則有a=0或b=0,但ab=0卻不能得出a=0或b=0.若a，b,c^R，且a^O，則由ab=ac可得b=c，但由ab=ac及a^0卻不能推出b=c.若a，b,ceR，則a(bc)=(ab)c(結(jié)合律)成立，但對(duì)于向量a，b,c，而(ab)c與a(bc)一般是不相等的，向量的數(shù)量積是不滿足結(jié)合律的．若a,beR,則|ab|=|a||b|，但對(duì)于向量a,b,卻有|ab|<|a||b|，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a〃b時(shí)成立.例2已知向量a,b滿足:a+2b與4a—b垂直，且|a|=1,|b|=1，則例2已知向量a,b滿足:?！敬鸢浮卡D3?(51a?b1b忙,又因?yàn)?lt;a?b>e[0,兀],r解析】由已知得(a+2b).4a—b)=0故a?b=2，貝tos<a?b>=|故b忙,又因?yàn)?lt;a?b>e[0,兀],【易錯(cuò)點(diǎn)】（1）經(jīng)典錯(cuò)解錯(cuò)在對(duì)向量的夾角的范圍沒有記清2）兩個(gè)向量的夾角q的范圍是q（[°，P],不是qi,所以本題只有一個(gè)答案.【思維點(diǎn)撥】1．求兩非零向量的夾角時(shí)要注意：（1）向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律；（2）數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)兩向量的夾角就是鈍角．2?當(dāng)a,b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得ab及|a|,|b|或得出它們的關(guān)系.【鞏固訓(xùn)練】題型一平面向量的基本定理1．給出下列命題：兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，則AB=DC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若a與b同向，且|a|>b，則a>b2,“為實(shí)數(shù)，若2a=〃b,則a與b共線.其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】①不正確?當(dāng)起點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，雖然終點(diǎn)相同，但向量不共線.正確.???AB=DC,.?.伴|=空且AB〃DC.又TA,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，TOC\o"1-5"\h\z■屮.片$申???四邊形ABCD是平行四邊形.反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，貝3B二DC且AB與DC方向相同，因此AB=DC.不正確?兩向量不能比較大小.■屮■甲不正確?當(dāng)2=^=0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足2a=〃b,但a與b不一定共線.設(shè)a為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，貝歸=|a|a；②若a與a平行，則a=|a|a；③若a與0000ao平行且|a|=1,則a=a0?上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.344?設(shè)D△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BC二4CD，貝9（）7755【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向0^a=—|a|a0，故②③也是假命題?綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3．3?已知a，b不共線，°A二a，°B=b,°C=c，OD=d,°B二巳設(shè)t^R，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說明理■中卜b.由.【答案】見解析【解析】解：由題設(shè)知，CD=d—c=2b—3a，CE=e—c=(t—3)a+tb,C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得CE=kCD，即(t—3)a+tb=—3ka+2kb,整理得(t—3+3k)a=(2k—t)b.匕■??*■因?yàn)閍，b不共線，所以有;卄一3因?yàn)閍，b不共線，所以有;[t—2k=0，故存在實(shí)數(shù)t=5吏C，D，E三點(diǎn)在一條直線上.4.下列說法正確的是向量AB與向量CD是共線向量，則點(diǎn)A,B,C,D必在同一條直線上兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量C?長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量D.兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同【答案】D【解析】對(duì)于A若向量AB與向量CD是共線向量，則AB〃CD或點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，其方向可能既不相同又不相1I反，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，長(zhǎng)度相等的向量不一定是相等向量，還需要方向相同，故!錯(cuò)誤；對(duì)于D，相等向量是大小相等、方向相同的向量，故兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同正故?故選D.5?已知e農(nóng)0久wR，a=e+Ae，b=2e，則a與b共線的條件是()1121A?2=0B?e=0C?e〃eD?e〃e或2=021212【答案】D【解析】選D。若e與e共線，則e?因此a=(1+M)e，此時(shí)a〃b若e與e不共線，設(shè)a=〃b,則1221112e+久e?=〃2e〔，因此2=0,1—2ju=0.題型二平面向量的線性運(yùn)算1?在△KBC中，點(diǎn)P在BC上,且bp=2PC，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA=(4,3),PQ=(1,5)，貝BC等于()A.(-2,7)B.(-6,21)C.2—7)D.(6，-21)【答案】B【解析】BC=3PC=3(2PQ-PA)=6PQ-3PA=(6,30)-(12,9)=(-6,21).2.Z在ABC中，AB=2,AC=3，ABBC=1，則BC=()A.3B?叮7C?22D?,.23■【答案】A【解析】???ABBC=1，且AB=2，???1=|AB||BC|cos(lB)，???|BC|cosB=—；△在ABC中，AC2=AB2+BC2—2ABBCcosB，即9=4+BC2—2x2^—2)?.??BC=3?若A、B、c、D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子：AB+CD二BC+DA，②AC+BD二BC+AD，③AC—BD二DC+AB.其中正確的有II■q口‘II1■A.3個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)【答案】B【解析】①AB+CD=BC+DA的等價(jià)式是AB—DA二BC—CD，左邊二AB+AD，右邊二BC+DC,不一定相等；AC+BD二BC+AD的等價(jià)式是AC—AD二BC—BD，左邊二右邊二DC，故正確；AC—BD二DC+AB的等價(jià)式是AC—AB二BD+DC，左邊二右邊二BC，故正確.所以正確的有2個(gè)，故選B.a.ad=—Jab+?ac―」?ad=_]ab+?ac33441414—C?兀=5ab+5acD.［答案】【解析】AD=AB+BD=AB+：BC=AB+4\c--]AB+三AC,故選b.【解析】5?已知A（—2,4）,B（3,-1）,C（-3,-4），設(shè)AB=a,BC=b,CA=c.（1）求3a+b-3c；___（2）求滿足a=mb+M的實(shí)數(shù)m,n.【解析】（1）由已知得°=（5,-5）,b=（-6,_3）,c=（1,8）,則3a+b-3C=3（5廠5）+（-6廠3）-3（1,8）=（15-6-3,-15-3-24）=（6廠42）.（2）?.?mb+nc=（-6m+n,-3m+8n）,—6ITI+n二5???[3m+8n=-5=m=n=-1*題型三平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1?對(duì)于非零向量a,b,下列命題正確的是（）A.a?b二0na=0或b=0b.a//bna在b上的投影是|a|C.a丄bna?b=（a?b）2d.a?c=b?cna=b【答案】C.【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,a?b°?|a||b|cosa,b>=0?a0或b=0,或<a，b>=P，故a錯(cuò)誤；對(duì)于B,a在b上的投影是|a|cosq=?|a|-,所以B錯(cuò)誤.對(duì)于D,ae二/.|a||c|cosa=|b||c|cosa不能推出ab;所以d錯(cuò)誤，排除法選C?故選C?—平-~?2?已知a=(1,2),b=(—2,n),a與b的夾角是45°.(1)求b；(2)若c與b同向，且a與c—a垂直，求c.【答案】見解析【解析】解：(1)vab=2n—2,|a|=5,|b^=3n2—16n—12=0(n>1)?2n=6或n=—3(舍)???13=(—2,6)?(2)由(1)知，ab=10，|a|2=5．又Tc與b同向，故可設(shè)c=2bQ>0?*.*(c—a)a=0,?'?Aba—|a|2=0??*?A=ba10=2?.*.c=2b=(—1,3).3?設(shè)向量a，b滿足|a|=1，|a—b|=p3，a(a—1)=0，則|2a+b|=()A.2B?2寸3C.4D.4j3【答案】B【解析