§3.3多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹一、約束法1.基本思想：在多個(gè)目標(biāo)函數(shù)中選擇一個(gè)主要目標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，其它目標(biāo)處理為適當(dāng)?shù)募s束。無妨設(shè)為主要目標(biāo)，對(duì)其它各目標(biāo)可預(yù)先給定一個(gè)期望值，不妨記為，則有求解下列問題：§3.3多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹一、約束法1

容易證明，約束法求問題(P)的最優(yōu)解，其Kuhn-Tucker條件與(VP)有效解的K-T條件一致。因此，約束法求得的解是有效解。(P)問題中各目標(biāo)函數(shù)期望值的取得有多種方法，一種方法是取一點(diǎn)，而取得到下列問題：2.算法一般步驟：考慮上述(VP)問題，為主目標(biāo)。容易證明，約束法求問題(P)的最優(yōu)解，其2第一步：（1）對(duì)，求解單目標(biāo)問題：

得解；（2）計(jì)算對(duì)應(yīng)的各目標(biāo)函數(shù)值，并對(duì)每個(gè)函數(shù)，求其p個(gè)點(diǎn)值中的最大值Mj和最小值mj。得到下表：Mj與mj規(guī)定了在有效解集中的取值范圍。x(1)x(p)f1(x)f2(x)…fp(x)m1m2…mpf1(x(1))f2(x(1))…fp(x(1))f1(x(p))f2(x(p))…fp(x(p))M1M2…MpMjmj………第一步：x(1)x(p)f1(x)f2(x3第二步：選擇整數(shù)r>1，確定的r個(gè)不同閥值：第三步：對(duì)，分別求解問題：各目標(biāo)函數(shù)可對(duì)應(yīng)不同的（共有個(gè)約束問題）。求解后可得到(VP)的一有效解集合，是(VP)有效解集合的一個(gè)子集。第二步：選擇整數(shù)r>1，確定的r個(gè)不同閥值：4例6：用約束法求解。設(shè)為主目標(biāo)。第一步：分別求解

得得f1f2x(1)x(2)Mjmj-3063-1536-30-15例6：得得f1f2x(1)x(2)Mjmj-3063-1535選定r=4:求解于是可得四組解，如圖15所示。j=2只有一個(gè)tf02t0123-15-8-16選定r=4:j=2只有一個(gè)tf02t06多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹課件7二、分層序列法：基本步驟：把(VP)中的p個(gè)目標(biāo)按其重要程度排一次序。依次求單目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解。2.過程：無妨設(shè)其次序?yàn)橄惹蠼獾米顑?yōu)值，記再解得最優(yōu)值，依次進(jìn)行，直到得最優(yōu)值則是在分層序列意義下的最優(yōu)解集合。二、分層序列法：83.性質(zhì)：，即在分層序列意義下的最優(yōu)解是有效解。證明：反證。設(shè)，但，則必存在使即至少有一個(gè)j0，使,由于，即，矛盾。得證。4.進(jìn)一步討論：上述方法過程中，當(dāng)某個(gè)問題(Pj)的解唯一時(shí)，則問題的求解無意義，因?yàn)榻舛际俏ㄒ坏?。?shí)際求解時(shí)，有較寬容意義下的分層序列法：取為預(yù)先給定的寬容值，整個(gè)解法同原方法類似，只是取各約束集合時(shí)，分別取為：3.性質(zhì)：，即在分層序列意9三、功效系數(shù)法：設(shè)目標(biāo)為：其中：要求min；要求max。由于量綱問題，處理目標(biāo)之間的關(guān)系時(shí)往往帶來困難。1.功效系數(shù)法：針對(duì)各目標(biāo)函數(shù)，用功效系數(shù)表示（俗稱“打分”）：滿足：或使最滿意時(shí)，最不滿意時(shí)（即最差時(shí)）。2.常用的兩種產(chǎn)生功效系數(shù)的方法：（1）線性型：設(shè)三、功效系數(shù)法：10由于時(shí)求，令故取又時(shí)求，令故?。?）指數(shù)型：先討論求最大的函數(shù)，?？紤]：顯然，有如下性質(zhì)：10.當(dāng)充分大時(shí)，；20.是的嚴(yán)格遞增函數(shù)。（△）由于時(shí)求11為了便于確定b0、b1，選取兩個(gè)估計(jì)值：取為合格值（勉強(qiáng)合格，即可接受）；為不合格值（不合格，即不可接受）。令并取得解得：代入式(△)，得到功效系數(shù)：同理可得當(dāng)時(shí)的功效系數(shù)：為了便于確定b0、b1，選取兩個(gè)估計(jì)值12多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹課件133.利用功效系數(shù)求解問題(VP)：設(shè)(VP)的功效系數(shù)為令構(gòu)造問題：可以證明：上述問題(P)的最優(yōu)解，即原問題(VP)的有效解。四、評(píng)價(jià)函數(shù)法：1.理想點(diǎn)法：設(shè)，即各單目標(biāo)問題的最優(yōu)值。令評(píng)價(jià)函數(shù)，做為目標(biāo)函數(shù)。更一般地，取3.利用功效系數(shù)求解問題(VP)：14從不同角度出發(fā)，構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)h(F)，求問題,得到(VP)的有效解。下面介紹一些評(píng)價(jià)函數(shù)的構(gòu)造(即不同的方法)。2.平方和加權(quán)法：求出各單目標(biāo)問題最優(yōu)值的下界(期望的最好值)。令評(píng)價(jià)函數(shù)其中為預(yù)先確定的一組權(quán)數(shù)，且滿足的值為各目標(biāo)函數(shù)的權(quán)數(shù)，較重要的取值較大。從不同角度出發(fā)，構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)h(F)，求153.范數(shù)和加權(quán)法：

同上面類似，先求出各單目標(biāo)問題的最優(yōu)值下界，取，構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)：其中為權(quán)系數(shù)，且。把此方法與分層序列法結(jié)合，取，用于線性多目標(biāo)規(guī)劃，即得到目標(biāo)規(guī)劃方法（運(yùn)籌學(xué)課中所學(xué)的）。4.虛擬目標(biāo)法：

仍如“2、3”得到，設(shè)取評(píng)價(jià)函數(shù)：3.范數(shù)和加權(quán)法：165.線性加權(quán)法：

預(yù)先給出每一目標(biāo)函數(shù)的權(quán)系數(shù)，滿足。取評(píng)價(jià)函數(shù)：線性加權(quán)法是最常用的方法之一。此法可直接解釋(VP)有效解的Kuhn-Tucker條件?！鲙缀我饬x：

設(shè)n=2,p=2。線性加權(quán)法解問題：5.線性加權(quán)法：17在像空間，(P)等價(jià)為問題：記，則。及分別對(duì)應(yīng)單目標(biāo)問題(P1)及(P2)。當(dāng)正數(shù)確定后，可得問題(PF)的最優(yōu)值，如圖18，可知對(duì)應(yīng)的原像。、。在像空間，(P)等價(jià)為問題：18可以利用線性加權(quán)法來逼近有效解的集合，但不是一種準(zhǔn)確尋找所有有效解的有效方法。當(dāng)μ從0→-∞時(shí)，可得到非劣解的一個(gè)子集。如上圖19所示。A、B為相應(yīng)集合的端點(diǎn)。當(dāng)或時(shí)，可能是弱有效解，如下圖20。只有，由A到B的其余點(diǎn)為弱有效點(diǎn)。它們對(duì)應(yīng)的原像為弱有效解。例7：可以利用線性加權(quán)法來逼近有效解的集合，但不是一19其中：，F(xiàn)映射是由x1ox2到f1of2空間的一個(gè)線性變換?？尚杏蚴嵌喟蜨(A,B,C,D,E,F)。其A(0,0)T、B(6,0)T、C(6,2)T、D(4,4)T、E(1,4)T、F(0,3)T是每?jī)蓷l直線的交點(diǎn)。F(A)=MA=(0,0)T，F(xiàn)(B)=MB=(-30,6)T，F(xiàn)(C)=MC=(-26,-2)T，F(xiàn)(D)=MD=(-12,-12)T，F(xiàn)(E)=ME=(3,-15)T，F(xiàn)(F)=MF=(6,-12)T。F(S)是由F(A)、F(B)、F(C)、F(D)、F(E)、F(F)構(gòu)成的多胞形。如圖21。其中：，20圖21：圖21：21

當(dāng),即時(shí),即(P2)的解:E(1,4)T,對(duì)應(yīng)F(E)=(3,-15)T；當(dāng),即時(shí),即(P1)的解:B(6,0)T,對(duì)應(yīng)F(B)=(-30,6)T；

取μ=-1,即時(shí),問題為：最優(yōu)解為:C(6,2)T,對(duì)應(yīng)F(C)=(-26,-2)T；取μ=-1/2,即時(shí),問題為：最優(yōu)解為:D(4,4)T,對(duì)應(yīng)F(D)=(-12,-12)T；

取μ=-1/3,即時(shí),問題為:最優(yōu)解為:D(4,4)T,對(duì)應(yīng)F(D)=(-12,-12)T。當(dāng),即226.“min-max”法（極小-極大法）

對(duì)策論中常遇到“在最不利情況下找出最有利策略”的問題，即“min-max”問題。取評(píng)價(jià)函數(shù)然后求解設(shè)得解,是x的函數(shù)。如右圖。實(shí)用中，可以使用下列加權(quán)形式，取，令6.“min-max”法（極小-極大法）23為了求解方便，可把問題(PMm)等價(jià)化為下列數(shù)學(xué)規(guī)劃問題:定理：設(shè)是的最優(yōu)解，那么為(PMm)的最優(yōu)解；反之，若是(PMm)的最優(yōu)解,且那么是的最優(yōu)解。證：設(shè)是問題的最優(yōu)解，明顯地，有由第一組約束知：由目標(biāo)mint知取得滿足上式的最小值。對(duì)(PMm)的任意可行解x，令那么。于是即是問題(PMm)的最優(yōu)解。為了求解方便，可把問題(PMm)等價(jià)化為下列數(shù)學(xué)規(guī)劃24反之，考慮是的任意可行解，則（第一組約束）是(PMm)的最優(yōu)解，可得，對(duì)(PMm)的任意可行解x，有于是。即為的最優(yōu)解。7.乘除法：設(shè)(VP)中，對(duì)，均有再設(shè)求min；求max。取評(píng)價(jià)函數(shù)

求解，。反之，考慮是的任意可行解258.評(píng)價(jià)函數(shù)法的收斂性：考慮(VP)，h(F(x))為評(píng)價(jià)函數(shù)。定義：設(shè)，10.若滿足時(shí)，均有，則稱h(F)是F的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)；20.若滿足：當(dāng)時(shí)，均有，則稱h(F)是F的單調(diào)增函數(shù)。定理：若，10.若h(F)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，則數(shù)學(xué)規(guī)劃的最優(yōu)解；20.若h(F)是單調(diào)增函數(shù)，則數(shù)學(xué)規(guī)劃的最優(yōu)解。8.評(píng)價(jià)函數(shù)法的收斂性：26證明：10.反證。設(shè)，由定義，使由h(F)的單調(diào)增性質(zhì)，得到與是(P1)的最優(yōu)解矛盾。20.反證。設(shè)，由定義，使由h(F)的單調(diào)增性質(zhì)，得到與是(P2)的最優(yōu)解矛盾。證畢。

可以證明，上述各評(píng)價(jià)函數(shù)：1.理想點(diǎn)法、2.平方和加權(quán)法、范數(shù)和加權(quán)法、4.虛擬目標(biāo)法、5.線性加權(quán)法()、7.乘除法均為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)；而5.線性加權(quán)法()、6.min-max方法為單調(diào)增函數(shù)。由此，根據(jù)定理可得，方法5(線性加權(quán)法())方法6(min-max法)得到的解；其它各方法得到的解。證明：279.確定權(quán)系數(shù)的方法：(VP)問題的評(píng)價(jià)函數(shù)h(F(x))中所需預(yù)先給出的權(quán)系數(shù)：（1）“老手法”基本過程：邀請(qǐng)一批“老手”（專家，有經(jīng)驗(yàn)的人員等），汲取他們對(duì)權(quán)系數(shù)的意見，加以綜合得到權(quán)系數(shù)。設(shè)有k位“老手”，為了便于其獨(dú)立發(fā)表意見，將事先準(zhǔn)備好的調(diào)查表送給他們分別填寫。設(shè)第i位“老手”對(duì)第j個(gè)目標(biāo)給出的權(quán)系數(shù)為。針對(duì)每個(gè)目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算平均權(quán)系數(shù)：得到下表：9.確定權(quán)系數(shù)的方法：28計(jì)算每一位老手i(i=1,2,…,k)關(guān)于平均權(quán)系數(shù)評(píng)價(jià)的偏差：。第二輪討論，請(qǐng)最大偏差的老手首先發(fā)表意見，經(jīng)充分討論以達(dá)到對(duì)目標(biāo)重要度的正確認(rèn)識(shí)，消除參數(shù)估計(jì)中的誤解。然后重新評(píng)價(jià)。如此反復(fù)進(jìn)行，最后達(dá)到較為一致的認(rèn)識(shí)。多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹課件29（2）α-方法：對(duì)p=2的情形敘述：求的最優(yōu)解。記，像空間的圖形如下（圖23）。在像空間中，點(diǎn)確定一條直線L1，記其方程為。把上面兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到：。若問題(VP)不存在絕對(duì)最優(yōu)解(存在絕對(duì)最優(yōu)解時(shí)，上述方程組為一個(gè)點(diǎn)，)，即。則有記，解方程組得：

（2）α-方法：30取這組時(shí)，線性加權(quán)法的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)為，如圖23。對(duì)于一般情況：p≥2。

記單目標(biāo)問題的最優(yōu)解為，記過p個(gè)點(diǎn)做超平面，得方程組

當(dāng)(VP)不存在唯一解時(shí)，可確定唯一一組解(共p+1個(gè)變量，p+1個(gè)方程)。該解即為一組權(quán)系數(shù)。取這組時(shí)，線性加權(quán)法3110.有限方案多目標(biāo)決策問題簡(jiǎn)介前述的一些方法均是針對(duì)無限方案多目標(biāo)決策問題的模型進(jìn)行討論的。也是在這一領(lǐng)域中遇到較多的且要求基礎(chǔ)知識(shí)較深的一部分內(nèi)容。（1）有限方案多目標(biāo)決策問題的特征及基本思路：特征：僅含有限多個(gè)方案；決策情況的范圍只涉及分析-評(píng)價(jià)的內(nèi)容。基本解題思路：篩選→排序→集結(jié)→綜合①篩選：對(duì)有限個(gè)可能方案，按照某種(些)準(zhǔn)則，篩去顯著不滿意的方案，使下一步所考慮的方案盡可能的少；②排序：根據(jù)各屬性特征給各屬性賦權(quán)。然后，按照不同的方法，給各方案排序。③集結(jié)：常用三種技術(shù)，對(duì)上步得到的不同方法下各方案的排序進(jìn)行集結(jié)(按不同技術(shù)的綜合評(píng)價(jià))。有下列三種技術(shù)：10.有限方案多目標(biāo)決策問題簡(jiǎn)介32常用的集結(jié)方法：Δ平均值法：求各方案在不同方法下名次的平均值。按平均值的大小得到集結(jié)名次，若平均值相同時(shí)，則取方差較小的排在前。例8：有四個(gè)方案，用四種方法進(jìn)行排序，得到下表：對(duì)各方案兩兩比較(如xi與xj)，若認(rèn)為xi好于xj的方案多，記為勝(M)，否則記為敗(X)(不優(yōu)于)。ΔBorda法：找各方案“勝”的次數(shù)之和，進(jìn)行集結(jié)。常用的集結(jié)方法：33ΔCopaland法：找各方案“勝”(取正)與“敗”(取負(fù))次數(shù)的代數(shù)和，進(jìn)行集結(jié)。例9：同上例，結(jié)果如下。④綜合：上步得到三種技術(shù)下的排序，一般仍存在不可比的關(guān)系。構(gòu)造一排序集：當(dāng)xi優(yōu)于xj時(shí)，記為，否則認(rèn)為不可比。當(dāng)時(shí)，節(jié)點(diǎn)xi位于xj上，這樣得到一個(gè)偏序結(jié)構(gòu)圖：ΔCopaland法：找各方案“勝”(取正)與“敗”(取負(fù)34（2）決策矩陣和規(guī)范化決策矩陣：把各方案xi(i=1,2,…,m)及屬性集yj(j=1,…,n)、列表得到?jīng)Q策矩陣。其中(方案xi的第j個(gè)屬性值)。Δ向量規(guī)范化：(化為無量綱值)一般達(dá)不到0或1。x1x4x5x2x3--------第1等級(jí)--------第2等級(jí)--------第3等級(jí)一般達(dá)不到0或1。x1x4x5x2x3--------第135

計(jì)算Δ線性變換規(guī)范化：(使)若求最大時(shí)：(效益),求最小時(shí)：(成本),Δ其它規(guī)范化變換：(統(tǒng)一變換后的屬性)求最大時(shí)：求最小時(shí)：統(tǒng)一最優(yōu)時(shí)：；最劣時(shí)：。（3）權(quán)系數(shù)的確定：一般采用類似層次分析法中的兩兩比較判斷,構(gòu)造判斷矩陣，用特征根法,或和積法,方根法求特征向量的方法確定權(quán)系數(shù)。理想最優(yōu)時(shí)最劣時(shí)計(jì)算理想最優(yōu)時(shí)最劣時(shí)36（4）常用的篩選方案的方法：①優(yōu)選法：利用非劣性概念。兩方案比較，某一方案A的各屬性不劣于令一方案B的，其中至少有一個(gè)屬性是A優(yōu)于B，則淘汰方案B。②連接法(滿意法)：對(duì)每一屬性規(guī)定一“切除值”(可接受的最低值)，當(dāng)某個(gè)方案的相應(yīng)屬性低于該值時(shí)，即淘汰之。此法的關(guān)鍵是確定各屬性的“切除值”。缺點(diǎn)是目標(biāo)之間不能補(bǔ)償(如單科成績(jī)特優(yōu)異學(xué)生會(huì)被淘汰)。③分離法：對(duì)每一屬性規(guī)定一“切除值”，當(dāng)某個(gè)方案的相應(yīng)屬性高于該值時(shí)，則保留之。此法的“切除值”一般高于連接法的。利于選擇單屬性特優(yōu)方案。（5）排序方法：有多種常用方法。其中層次分析法是效果較好的方法。（4）常用的篩選方案的方法：37§3.3多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹一、約束法1.基本思想：在多個(gè)目標(biāo)函數(shù)中選擇一個(gè)主要目標(biāo)作為目標(biāo)函數(shù)，其它目標(biāo)處理為適當(dāng)?shù)募s束。無妨設(shè)為主要目標(biāo)，對(duì)其它各目標(biāo)可預(yù)先給定一個(gè)期望值，不妨記為，則有求解下列問題：§3.3多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹一、約束法38

容易證明，約束法求問題(P)的最優(yōu)解，其Kuhn-Tucker條件與(VP)有效解的K-T條件一致。因此，約束法求得的解是有效解。(P)問題中各目標(biāo)函數(shù)期望值的取得有多種方法，一種方法是取一點(diǎn)，而取得到下列問題：2.算法一般步驟：考慮上述(VP)問題，為主目標(biāo)。容易證明，約束法求問題(P)的最優(yōu)解，其39第一步：（1）對(duì)，求解單目標(biāo)問題：

得解；（2）計(jì)算對(duì)應(yīng)的各目標(biāo)函數(shù)值，并對(duì)每個(gè)函數(shù)，求其p個(gè)點(diǎn)值中的最大值Mj和最小值mj。得到下表：Mj與mj規(guī)定了在有效解集中的取值范圍。x(1)x(p)f1(x)f2(x)…fp(x)m1m2…mpf1(x(1))f2(x(1))…fp(x(1))f1(x(p))f2(x(p))…fp(x(p))M1M2…MpMjmj………第一步：x(1)x(p)f1(x)f2(x40第二步：選擇整數(shù)r>1，確定的r個(gè)不同閥值：第三步：對(duì)，分別求解問題：各目標(biāo)函數(shù)可對(duì)應(yīng)不同的（共有個(gè)約束問題）。求解后可得到(VP)的一有效解集合，是(VP)有效解集合的一個(gè)子集。第二步：選擇整數(shù)r>1，確定的r個(gè)不同閥值：41例6：用約束法求解。設(shè)為主目標(biāo)。第一步：分別求解

得得f1f2x(1)x(2)Mjmj-3063-1536-30-15例6：得得f1f2x(1)x(2)Mjmj-3063-15342選定r=4:求解于是可得四組解，如圖15所示。j=2只有一個(gè)tf02t0123-15-8-16選定r=4:j=2只有一個(gè)tf02t043多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹課件44二、分層序列法：基本步驟：把(VP)中的p個(gè)目標(biāo)按其重要程度排一次序。依次求單目標(biāo)規(guī)劃的最優(yōu)解。2.過程：無妨設(shè)其次序?yàn)橄惹蠼獾米顑?yōu)值，記再解得最優(yōu)值，依次進(jìn)行，直到得最優(yōu)值則是在分層序列意義下的最優(yōu)解集合。二、分層序列法：453.性質(zhì)：，即在分層序列意義下的最優(yōu)解是有效解。證明：反證。設(shè)，但，則必存在使即至少有一個(gè)j0，使,由于，即，矛盾。得證。4.進(jìn)一步討論：上述方法過程中，當(dāng)某個(gè)問題(Pj)的解唯一時(shí)，則問題的求解無意義，因?yàn)榻舛际俏ㄒ坏摹?shí)際求解時(shí)，有較寬容意義下的分層序列法：取為預(yù)先給定的寬容值，整個(gè)解法同原方法類似，只是取各約束集合時(shí)，分別取為：3.性質(zhì)：，即在分層序列意46三、功效系數(shù)法：設(shè)目標(biāo)為：其中：要求min；要求max。由于量綱問題，處理目標(biāo)之間的關(guān)系時(shí)往往帶來困難。1.功效系數(shù)法：針對(duì)各目標(biāo)函數(shù)，用功效系數(shù)表示（俗稱“打分”）：滿足：或使最滿意時(shí)，最不滿意時(shí)（即最差時(shí)）。2.常用的兩種產(chǎn)生功效系數(shù)的方法：（1）線性型：設(shè)三、功效系數(shù)法：47由于時(shí)求，令故取又時(shí)求，令故取（2）指數(shù)型：先討論求最大的函數(shù)，?？紤]：顯然，有如下性質(zhì)：10.當(dāng)充分大時(shí)，；20.是的嚴(yán)格遞增函數(shù)。（△）由于時(shí)求48為了便于確定b0、b1，選取兩個(gè)估計(jì)值：取為合格值（勉強(qiáng)合格，即可接受）；為不合格值（不合格，即不可接受）。令并取得解得：代入式(△)，得到功效系數(shù)：同理可得當(dāng)時(shí)的功效系數(shù)：為了便于確定b0、b1，選取兩個(gè)估計(jì)值49多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹課件503.利用功效系數(shù)求解問題(VP)：設(shè)(VP)的功效系數(shù)為令構(gòu)造問題：可以證明：上述問題(P)的最優(yōu)解，即原問題(VP)的有效解。四、評(píng)價(jià)函數(shù)法：1.理想點(diǎn)法：設(shè)，即各單目標(biāo)問題的最優(yōu)值。令評(píng)價(jià)函數(shù)，做為目標(biāo)函數(shù)。更一般地，取3.利用功效系數(shù)求解問題(VP)：51從不同角度出發(fā)，構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)h(F)，求問題,得到(VP)的有效解。下面介紹一些評(píng)價(jià)函數(shù)的構(gòu)造(即不同的方法)。2.平方和加權(quán)法：求出各單目標(biāo)問題最優(yōu)值的下界(期望的最好值)。令評(píng)價(jià)函數(shù)其中為預(yù)先確定的一組權(quán)數(shù)，且滿足的值為各目標(biāo)函數(shù)的權(quán)數(shù)，較重要的取值較大。從不同角度出發(fā)，構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)h(F)，求523.范數(shù)和加權(quán)法：

同上面類似，先求出各單目標(biāo)問題的最優(yōu)值下界，取，構(gòu)造評(píng)價(jià)函數(shù)：其中為權(quán)系數(shù)，且。把此方法與分層序列法結(jié)合，取，用于線性多目標(biāo)規(guī)劃，即得到目標(biāo)規(guī)劃方法（運(yùn)籌學(xué)課中所學(xué)的）。4.虛擬目標(biāo)法：

仍如“2、3”得到，設(shè)取評(píng)價(jià)函數(shù)：3.范數(shù)和加權(quán)法：535.線性加權(quán)法：

預(yù)先給出每一目標(biāo)函數(shù)的權(quán)系數(shù)，滿足。取評(píng)價(jià)函數(shù)：線性加權(quán)法是最常用的方法之一。此法可直接解釋(VP)有效解的Kuhn-Tucker條件。△幾何意義：

設(shè)n=2,p=2。線性加權(quán)法解問題：5.線性加權(quán)法：54在像空間，(P)等價(jià)為問題：記，則。及分別對(duì)應(yīng)單目標(biāo)問題(P1)及(P2)。當(dāng)正數(shù)確定后，可得問題(PF)的最優(yōu)值，如圖18，可知對(duì)應(yīng)的原像。、。在像空間，(P)等價(jià)為問題：55可以利用線性加權(quán)法來逼近有效解的集合，但不是一種準(zhǔn)確尋找所有有效解的有效方法。當(dāng)μ從0→-∞時(shí)，可得到非劣解的一個(gè)子集。如上圖19所示。A、B為相應(yīng)集合的端點(diǎn)。當(dāng)或時(shí)，可能是弱有效解，如下圖20。只有，由A到B的其余點(diǎn)為弱有效點(diǎn)。它們對(duì)應(yīng)的原像為弱有效解。例7：可以利用線性加權(quán)法來逼近有效解的集合，但不是一56其中：，F(xiàn)映射是由x1ox2到f1of2空間的一個(gè)線性變換?？尚杏蚴嵌喟蜨(A,B,C,D,E,F)。其A(0,0)T、B(6,0)T、C(6,2)T、D(4,4)T、E(1,4)T、F(0,3)T是每?jī)蓷l直線的交點(diǎn)。F(A)=MA=(0,0)T，F(xiàn)(B)=MB=(-30,6)T，F(xiàn)(C)=MC=(-26,-2)T，F(xiàn)(D)=MD=(-12,-12)T，F(xiàn)(E)=ME=(3,-15)T，F(xiàn)(F)=MF=(6,-12)T。F(S)是由F(A)、F(B)、F(C)、F(D)、F(E)、F(F)構(gòu)成的多胞形。如圖21。其中：，57圖21：圖21：58

當(dāng),即時(shí),即(P2)的解:E(1,4)T,對(duì)應(yīng)F(E)=(3,-15)T；當(dāng),即時(shí),即(P1)的解:B(6,0)T,對(duì)應(yīng)F(B)=(-30,6)T；

取μ=-1,即時(shí),問題為：最優(yōu)解為:C(6,2)T,對(duì)應(yīng)F(C)=(-26,-2)T；取μ=-1/2,即時(shí),問題為：最優(yōu)解為:D(4,4)T,對(duì)應(yīng)F(D)=(-12,-12)T；

取μ=-1/3,即時(shí),問題為:最優(yōu)解為:D(4,4)T,對(duì)應(yīng)F(D)=(-12,-12)T。當(dāng),即596.“min-max”法（極小-極大法）

對(duì)策論中常遇到“在最不利情況下找出最有利策略”的問題，即“min-max”問題。取評(píng)價(jià)函數(shù)然后求解設(shè)得解,是x的函數(shù)。如右圖。實(shí)用中，可以使用下列加權(quán)形式，取，令6.“min-max”法（極小-極大法）60為了求解方便，可把問題(PMm)等價(jià)化為下列數(shù)學(xué)規(guī)劃問題:定理：設(shè)是的最優(yōu)解，那么為(PMm)的最優(yōu)解；反之，若是(PMm)的最優(yōu)解,且那么是的最優(yōu)解。證：設(shè)是問題的最優(yōu)解，明顯地，有由第一組約束知：由目標(biāo)mint知取得滿足上式的最小值。對(duì)(PMm)的任意可行解x，令那么。于是即是問題(PMm)的最優(yōu)解。為了求解方便，可把問題(PMm)等價(jià)化為下列數(shù)學(xué)規(guī)劃61反之，考慮是的任意可行解，則（第一組約束）是(PMm)的最優(yōu)解，可得，對(duì)(PMm)的任意可行解x，有于是。即為的最優(yōu)解。7.乘除法：設(shè)(VP)中，對(duì)，均有再設(shè)求min；求max。取評(píng)價(jià)函數(shù)

求解，。反之，考慮是的任意可行解628.評(píng)價(jià)函數(shù)法的收斂性：考慮(VP)，h(F(x))為評(píng)價(jià)函數(shù)。定義：設(shè)，10.若滿足時(shí)，均有，則稱h(F)是F的嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)；20.若滿足：當(dāng)時(shí)，均有，則稱h(F)是F的單調(diào)增函數(shù)。定理：若，10.若h(F)是嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)，則數(shù)學(xué)規(guī)劃的最優(yōu)解；20.若h(F)是單調(diào)增函數(shù)，則數(shù)學(xué)規(guī)劃的最優(yōu)解。8.評(píng)價(jià)函數(shù)法的收斂性：63證明：10.反證。設(shè)，由定義，使由h(F)的單調(diào)增性質(zhì)，得到與是(P1)的最優(yōu)解矛盾。20.反證。設(shè)，由定義，使由h(F)的單調(diào)增性質(zhì)，得到與是(P2)的最優(yōu)解矛盾。證畢。

可以證明，上述各評(píng)價(jià)函數(shù)：1.理想點(diǎn)法、2.平方和加權(quán)法、范數(shù)和加權(quán)法、4.虛擬目標(biāo)法、5.線性加權(quán)法()、7.乘除法均為嚴(yán)格單調(diào)增函數(shù)；而5.線性加權(quán)法()、6.min-max方法為單調(diào)增函數(shù)。由此，根據(jù)定理可得，方法5(線性加權(quán)法())方法6(min-max法)得到的解；其它各方法得到的解。證明：649.確定權(quán)系數(shù)的方法：(VP)問題的評(píng)價(jià)函數(shù)h(F(x))中所需預(yù)先給出的權(quán)系數(shù)：（1）“老手法”基本過程：邀請(qǐng)一批“老手”（專家，有經(jīng)驗(yàn)的人員等），汲取他們對(duì)權(quán)系數(shù)的意見，加以綜合得到權(quán)系數(shù)。設(shè)有k位“老手”，為了便于其獨(dú)立發(fā)表意見，將事先準(zhǔn)備好的調(diào)查表送給他們分別填寫。設(shè)第i位“老手”對(duì)第j個(gè)目標(biāo)給出的權(quán)系數(shù)為。針對(duì)每個(gè)目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算平均權(quán)系數(shù)：得到下表：9.確定權(quán)系數(shù)的方法：65計(jì)算每一位老手i(i=1,2,…,k)關(guān)于平均權(quán)系數(shù)評(píng)價(jià)的偏差：。第二輪討論，請(qǐng)最大偏差的老手首先發(fā)表意見，經(jīng)充分討論以達(dá)到對(duì)目標(biāo)重要度的正確認(rèn)識(shí)，消除參數(shù)估計(jì)中的誤解。然后重新評(píng)價(jià)。如此反復(fù)進(jìn)行，最后達(dá)到較為一致的認(rèn)識(shí)。多目標(biāo)規(guī)劃求解方法介紹課件66（2）α-方法：對(duì)p=2的情形敘述：求的最優(yōu)解。記，像空間的圖形如下（圖23）。在像空間中，點(diǎn)確定一條直線L1，記其方程為。把上面兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得到：。若問題(VP)不存在絕對(duì)最優(yōu)解(存在絕對(duì)最優(yōu)解時(shí)，上述方程組為一個(gè)點(diǎn)，)，即。則有記，解方程組得：

（2）α-方法：67取這組時(shí)，線性加權(quán)法的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)為