第19頁/共19頁2021-2022學(xué)年呼和浩特市高一年級質(zhì)量數(shù)據(jù)監(jiān)測數(shù)學(xué)一?選擇題（本大題共12小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把正確選項的代號填在答題卡上.）1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先進(jìn)行并集運算，然后進(jìn)行補集運算即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2.已知函數(shù)，則的值是（）A.8 B.4 C.-8 D.-4【答案】A【解析】【分析】分段函數(shù)求函數(shù)值.【詳解】由題意可得，，所以.故選：A3.如圖，用斜二測畫法作水平放置的正三角形的直觀圖，則正確的圖形是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由斜二側(cè)畫法的規(guī)則分析判斷即可【詳解】先作出一個正三角形，然后以所在直線為軸，以邊上的高所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，畫對應(yīng)的軸，使夾角為，畫直觀圖時與軸平行的直線的線段長度保持不變，與軸平行的線段長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫降膱D形如圖，然后去掉輔助線即可得到正三角形的直觀圖如圖，故選：A4.已知集合，，則B中所含元素的個數(shù)為（）A.3 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的形式，逐個驗證的值，從而可求出集合中的元素.【詳解】因為，所以時，；時，或；時，，或.所以，所以B中所含元素的個數(shù)為.故選：B.5.用二分法求方程的近似解，求得函數(shù)的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下：，，，，則方程的一個近似根x所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點存在性定理可判斷出函數(shù)零點所在的區(qū)間，從而可得到方程近似根x所在的區(qū)間.【詳解】由題意，知，所以函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，即方程的一個近似根x所在區(qū)間為.故選：B.6.如果且，那么直線不通過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)且，得，則直線方程可化為斜截式，再根據(jù)的符號，即可得出結(jié)論.【詳解】因為，所以，所以直線方程可化為．因為且，所以同號，異號，從而有，所以直線的斜率為負(fù)，且在y軸上的截距為正，所以直線不經(jīng)過第三象限．故選：C．7.已知，則函數(shù)的圖像必定不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象結(jié)合圖象的平移可得正確的選項.【詳解】因為，故的圖象經(jīng)過第一象限和第二象限，且當(dāng)越來越大時，圖象與軸無限接近.因為，故的圖象向下平移超過一個單位，故的圖象不過第一象限.故選：A．8.如圖，在三棱錐中，不能證明的條件是（）A.平面 B.，C.，平面平面 D.，【答案】D【解析】【分析】A選項利用線面垂直（平面）可推出線線垂直（），B選項利用兩組線線垂直（，）推出線面垂直（平面），再推出線垂直（），C選項利用面面垂直的性質(zhì)定理可推出，D選項不能證明出.【詳解】平面，平面，，故A選項可以證明，因此不選.，，平面，平面，平面，.故B選項可以證明，因此不選.平面平面，平面平面，，由面面垂直的性質(zhì)定理知平面.平面，，故C選項可以證明，因此不選.由D選項，并不能推出.故選：D.9.下列函數(shù)圖象中，函數(shù)的圖象不可能的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時，驗證正確.當(dāng)時，驗證正確.當(dāng)時，驗證正確.【詳解】當(dāng)時，，定義域為關(guān)于原點對稱.，則為偶函數(shù).當(dāng)時，.則即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時函數(shù)的圖象可能為選項.當(dāng)時，，定義為且關(guān)于原點對稱.，則為偶函數(shù).當(dāng)時，.則當(dāng)時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時，即則函數(shù)在上單調(diào)遞增.根據(jù)對稱性可知，此時函數(shù)的圖象可能為選項.當(dāng)時，，定義為關(guān)于原點對稱.，則為奇函數(shù).當(dāng)時，.則令，則即并且在上單調(diào)遞增，并且在上單調(diào)遞增.根據(jù)對稱性可知，此時函數(shù)的圖象可能為選項.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難的題.10.已知直線平面，直線平面，給出下列命題：①；②；③；④.其中正確命題的序號是（）A.①②③ B.①③ C.②③ D.①③④【答案】B【解析】【分析】利用面面平行、線面垂直的性質(zhì)可判斷①；直接根據(jù)已知條件判斷線線位置關(guān)系，可判斷②；利用線面平行、垂直的性質(zhì)可判斷③；根據(jù)已知條件直接判斷面面位置關(guān)系，可判斷④.【詳解】因為直線平面，直線平面.對于①，若，則，從而，①對；對于②，若，則或，則與的位置關(guān)系不確定，②錯；對于③，若，則，因為，則，③對；對于④，因為，，則或，則或、相交、重合，④錯.故選：B.11.設(shè)為定義在R上的函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù).對于下列四個結(jié)論：①；②；③函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】令，①：根據(jù)求解出的值并判斷；②：根據(jù)為奇函數(shù)可知，化簡此式并進(jìn)行判斷；根據(jù)與的圖象關(guān)系確定出關(guān)于點對稱的情況，由此判斷出③④是否正確.【詳解】令，①因為為上的奇函數(shù)，所以，所以，故正確；②因為為上的奇函數(shù)，所以，所以，即，故正確；因為的圖象由的圖象向左平移一個單位得到的，又的圖象關(guān)于原點對稱，所以的圖象關(guān)于點對稱，故③錯誤④正確，所以正確的有：①②④，故選：C.【點睛】結(jié)論點睛：通過奇偶性判斷函數(shù)對稱性的常見情況：（1）若為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；（2）若為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱.12.已知一種放射性元素最初的質(zhì)量是，按每年10%衰減.（已知，），則可求得這種元素的半衰期（質(zhì)量變到原有質(zhì)量一半所需的時間）為（）（結(jié)果精確到0.1）A.7.6年 B.7.8年 C.6.2年 D.6.6年【答案】D【解析】【分析】列出指數(shù)方程，兩邊取對數(shù)，進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)這種元素的半衰期為t，則，兩邊取常用對數(shù)得：.故選：D二?填空題（共8小題，毎小題4分，共32分，本題要求把正確結(jié)果填在答題卡規(guī)定的橫線上，不需要解答過程.）13.已知直線l經(jīng)過，兩點，則l的斜率為___________.【答案】【解析】【分析】利用兩點斜率公式進(jìn)行求解.【詳解】利用斜率公式：故答案為：14.如果且，則___________.【答案】1【解析】【分析】利用對數(shù)運算公式進(jìn)行計算.【詳解】.故答案為：115.函數(shù)的定義域為___________.【答案】【解析】【分析】真數(shù)大于0，根號下要非負(fù)，列出不等式組，求出解集，進(jìn)而求出定義域.【詳解】函數(shù)要滿足：，解得：，故定義域：故答案為：16.已知，那么___________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，利用換元法可求得的表達(dá)式，即可得解.【詳解】設(shè)，則，所以，，則.故答案為：.17.經(jīng)過兩條直線、交點，且與直線平行的直線方程為___________.【答案】【解析】【分析】求出直線、的交點坐標(biāo)，設(shè)所求直線方程為，將交點坐標(biāo)代入直線方程，求出的值，即可得解.【詳解】聯(lián)立，解得，故直線、交點坐標(biāo)為，設(shè)所求直線方程為，則，解得.故所求直線的方程為.故答案為：.18.已知一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為的正三角形，俯視圖是一個圓，那么這個幾何體的側(cè)面積為___________.【答案】##【解析】【分析】分析可知，該幾何體為圓錐，確定該圓錐的母線長與半徑，可求得該圓錐的側(cè)面積.【詳解】由題意可知，該幾何體是圓錐，且該圓錐的母線長為，底面半徑長為，因此，該圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.19.設(shè)函數(shù)，如果，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】通過分和兩種情況進(jìn)行討論，從而可求出的取值范圍.【詳解】因為，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：.20.一個正方體內(nèi)接于一個球（即正方體的8個頂點都在球面上），過球心作一截面，則截面的圖形可能是_______.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根據(jù)截面平行于側(cè)面；截面過體對角線；截面不平行于側(cè)面不過體對角線；三種情況得到答案.【詳解】當(dāng)截面平行于正方體的一個側(cè)面時得（3）；當(dāng)截面過正方體的體對角線時得（2）；當(dāng)截面既不平行于任何側(cè)面也不過體對角線時得（1）；但無論如何都不能截出（4）.答案：（1）（2）（3）.【點睛】本題考查了截面圖形，漏解是容易發(fā)生的錯誤.三?解答題（本大題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）21.已知點，點，求線段AB的垂直平分線的方程.【答案】【解析】【分析】法一：利用垂直得到線段AB的垂直平分線的斜率，結(jié)合AB的中點為，利用點斜式求出直線方程；法二：設(shè)線段AB的垂直平分線上任意一點，利用，建立方程，求出線段AB的垂直平分線的方程.【詳解】：（法一）設(shè)線段AB的垂直平分線為，因為，所以，所以.又AB的中點為.線段AB的垂直平分線所在直線的方程為即.（法二）設(shè)是線段AB的垂直平分線上的任意一點，則，即化簡得：線段AB的垂直平分線的方程為.22.如圖，已知矩形ABCD所在平面，M，N分別為AB，PC的中點.（1）求證：平面PAD；（2）若，，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取PD的中點E，連接EN，EA，只需證明四邊形AMNE為平行四邊形，從而根據(jù)線面平行的判定定理即可證明平面PAD；（2）根據(jù)，從而只需求即可.【小問1詳解】取PD的中點E，連接EN，EA，因為分別為的中點，所以，又因為M為AB的中點，所以，所以，所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以，又因為平面PAD，平面PAD，所以平面PAD.【小問2詳解】因為矩形ABCD所在平面，，，所以，所以，又因為N為PC的中點，所以.23.已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）解不等式.【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到，即可解出的集合.【詳解】解：（1）設(shè)任意的且，則，且，，，即，即，即對任意的，當(dāng)時，都有，在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）由（1）知：在區(qū)間上是增函數(shù)；又，，即，即，解得：，即的解集為：.【點睛】方法點睛：定義法判定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的一般步驟：1.取值：任取，，規(guī)定，2.作差：計算，3.定號：確定的正負(fù)，4.得出結(jié)論：根據(jù)同增異減得出結(jié)論.24.已知一條動直線，（1）求證：直線l恒過定點，并求出定點的坐標(biāo)；（2）若直線l與、軸的正半軸分別交于、兩點，為坐標(biāo)原點，是否存在直線l同時滿足下列條件：①的周長為；②的面積為.若存在，求出方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析，定點；（2）存在，且直線方程為.【解析】【分析】（1）將直線方程變形為，解方程組，可得定點的坐標(biāo)；（2）設(shè)點A的坐標(biāo)為，根據(jù)求出的值，可得出點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，可求出該直線與軸的交點的坐標(biāo)，即可求得的周長，即可得解.小問1詳解】證明：將直線方程變形為，由，可得，因此，直線恒過定點.【小問2詳解】解：設(shè)點A的坐標(biāo)為，若，則，則、，直線的斜率為，故直線的方程為，即，此時直線與軸的交點為，則，，，此時的周長為.所以，存在直線滿足題意.25.如下圖所示，已知棱長為1正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱AB，中點.（1）求證：三條直線DA，CE，交于一點；（2）求三棱臺的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)兩條相交直線確定一個平面，三條直線共點，可以通過三點共線得到；(2)運用臺體的體積公式求解.【小問1詳解】證明：延長CE交DA的延長線于點O，易得.在與中,∴∴∴O?F?三點共線.∴三條直線DA?CE?交于一點O.【小問2詳解】26.“菊花”型煙花是最壯觀的煙花之一，制造時一般是期望在它達(dá)到最高時爆裂，通過研究，發(fā)現(xiàn)該型煙花爆裂時距地面的高度h（單位：米）與時間t（單位：秒）存在函數(shù)關(guān)系，并得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表：時間t12高度h1923.519（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，請你從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)，較準(zhǔn)確地描述該型煙花爆裂時距地面的高度h與時間t的變化關(guān)系：，，，確定此函數(shù)解析式并簡單說明你選取該函數(shù)模型