學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)此卷只裝訂不密封班級(jí)姓名準(zhǔn)考證號(hào)考場(chǎng)號(hào)座位號(hào)數(shù)學(xué)（A）注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分,共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（)A． B． C． D．2．已知集合，，若，則的可能取值組成的集合為（）A． B． C． D．3．為了評(píng)估某家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，某評(píng)估小組進(jìn)行了客戶滿意度調(diào)查，從該公司參與調(diào)查的客戶中隨機(jī)抽取名客戶的評(píng)分，評(píng)分均在區(qū)間上，分組為，,,，,其頻率分布直方圖如圖所示．規(guī)定評(píng)分在分以下表示對(duì)該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意，則這名客戶中對(duì)該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶的人數(shù)為(）A． B． C． D．4．已知定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，若，，，則,，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．已知四邊形中，，分別為，的中點(diǎn),，，若，則（）A． B． C． D．6．已知在正方體中，,分別為，上的點(diǎn)，且滿足，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的漸近線分別為,，點(diǎn)是軸上與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合的一點(diǎn)，以為直徑的圓交直線于點(diǎn)，，交直線于點(diǎn),，若,則該雙曲線的離心率是(）A．或 B． C．或 D．8．若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題，每小題5分,共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為,則（）A． B．C．展開式中存在常數(shù)項(xiàng) D．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為10．已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸為直線,為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．直線是圖象的一條對(duì)稱軸 B．的最小正周期為C．是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 D．的最大值為11．如圖，直接三棱柱，為等腰直角三角形,，且，，分別是,的中點(diǎn)，，分別是，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則（)A．與一定是異面直線B．三棱錐的體積為定值C．直線與所成角為D．若為的中點(diǎn),則四棱錐的外接球表面積為12．若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，,使,,均在函數(shù)的定義域內(nèi)，且滿足,則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)具有性質(zhì)的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題,每小題5分．13．《周髀算經(jīng)》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是由商高發(fā)現(xiàn),故又稱勾股定理為商高定理．我們把可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)稱為勾股數(shù)．現(xiàn)從，，,，這個(gè)正整數(shù)中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)，則恰好構(gòu)成勾股數(shù)的概率為．14．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)是橢圓上位于第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，若是腰長(zhǎng)為的等腰三角形，則的面積為．15．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且,，則;若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．(本題第一空2分，第二空3分)四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）在①，②,的周長(zhǎng)為，③，的外接圓半徑為這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充到下面的問題中，并加以解答．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，，?，求．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列中,．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，,求數(shù)列的前項(xiàng)和．19．(12分）在一場(chǎng)青年歌手比賽中,由名觀眾代表平均分成,兩個(gè)評(píng)分小組，給參賽選手評(píng)分,下面是兩個(gè)評(píng)分小組對(duì)同一名選手的評(píng)分情況:(1）分別計(jì)算這兩個(gè)小組評(píng)分的平均數(shù)和方差,并根據(jù)結(jié)果判斷哪個(gè)小組評(píng)分較集中;(2）在評(píng)分較集中的小組中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，從剩余的評(píng)分中任取名觀眾的評(píng)分，記為這個(gè)人評(píng)分之差的絕對(duì)值，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．(12分）如圖,在多面體中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，,，,點(diǎn)為的中點(diǎn),平面平面．(1)求證:平面;（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角為直二面角？若存在，試指出點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由．21．（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓和橢圓，其中，,，的離心率分別為,，且滿足，，分別是橢圓的右、下頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為,且．(1）求橢圓的方程；（2）與橢圓相切的直線交橢圓與點(diǎn)，,求的最大值．22．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）若在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍;(2）當(dāng)時(shí)，求證:對(duì)任意,恒有成立．（新高考)2020-2021學(xué)年上學(xué)期高三期中備考金卷數(shù)學(xué)(A）答案第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】D【解析】由為純虛數(shù)，可得，解得．2．【答案】A【解析】，，因?yàn)?，所以?．【答案】A【解析】由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在區(qū)間上的頻率為，所以評(píng)分在區(qū)間上的客戶有(人）,即對(duì)該公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有人．4．【答案】A【解析】因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減且，所以，又,所以,而，所以，所以．5．【答案】A【解析】依題意，可知四邊形為直角梯形，，，且,，所以．6．【答案】A【解析】取線段上一點(diǎn)，使，連接，，如圖所示，因?yàn)?，，所以，所以，，又，所以易知為異面直線與所成的角．設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為，則,，所以在中，,所以．7．【答案】C【解析】由題意,不妨設(shè)，，設(shè)，則，設(shè)，由,得，由對(duì)稱性知，，且線段被平分．如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，則，連接，由于為直徑,所以，則，，由，得，，因?yàn)?，所以或，即或．?所以或．當(dāng)時(shí)，，則，離心率;當(dāng)時(shí)，，則，離心率．8．【答案】C【解析】由題意知，,當(dāng)時(shí),，函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，得，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；,，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，所以,得，所以的取值范圍為．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9．【答案】ABD【解析】令，得的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以，選項(xiàng)A正確；的展開式中第二項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，所以，，選項(xiàng)B正確；的展開式的通項(xiàng)公式為,令,則,所以展開式中不存在常數(shù)項(xiàng)，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；令，則，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，選項(xiàng)D正確．10．【答案】BD【解析】因?yàn)榈膱D象的一條對(duì)稱軸為直線，所以，,所以,,又，所以，所以，所以,所以，，且，所以的最大值為，最小正周期為,故A、C錯(cuò)誤，B、D正確．11．【答案】BCD【解析】A項(xiàng)，當(dāng)，重合時(shí)，（即）與是相交直線，故該說法錯(cuò)誤;B項(xiàng),由已知可得，又平面平面，所以平面，在矩形中，的面積，又，所以三棱錐的體積，所以該說法正確；C項(xiàng)，由平面，得，又，所以平面，所以,所以該說法正確;D項(xiàng)，由題意可得四邊形為矩形，連接，則矩形外接圓的圓心為的中點(diǎn)，且，過作與點(diǎn)，連接，，則，，，故，所以就是四棱錐的外接球的球心，所以外接球半徑，故外接球的表面積，故該說法正確．12．【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，，所以，由?所以恒成立，故A不具有性質(zhì);對(duì)于B,函數(shù)的定義域?yàn)?，?，則,所以，所以成立,故B具有性質(zhì);對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)，時(shí)，，由于，所以，易知在上單調(diào)遞增,所以恒成立，故C不具有性質(zhì)；對(duì)于D，函數(shù)的定義域?yàn)?，易知為奇函?shù)，取，則，所以,,所以成立，故D具有性質(zhì)．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．【答案】【解析】從，，,，這個(gè)正整數(shù)中隨機(jī)抽取個(gè)數(shù)，可能的情況有，，，，，，，，,共種，其中恰好構(gòu)成勾股數(shù)的情況有種，為,所以所求概率為．14．【答案】【解析】由題意知，則，又，∴,由橢圓的定義得，又是腰長(zhǎng)為的等腰三角形,且點(diǎn)在第二象限，∴，，過作于點(diǎn)，則,，∴的面積為．15．【答案】【解析】由，得，故（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為．16．【答案】，【解析】由，,得，,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，所以,，．又，所以恒成立，即，恒成立．令，則，所以是遞減數(shù)列，所以，，即，實(shí)數(shù)的取值范圍為．四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．【答案】見解析．【解析】若選條件①，由正弦定理可化為,又，所以，，，,因?yàn)椋?所以，，，則,又，所以，,．若選條件②,由正弦定理,可化為，又，所以，，，，因?yàn)?，，所以?,所以，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，，所以，由余弦定理可得，所以．若選條件③，由正弦定理，可化為，又,所以，,,，因?yàn)?，所以，,，所以，又，所以，因?yàn)榈耐饨訄A半徑為,所以，所以．18．【答案】（1）；（2)139．【解析】（1）由①,可得②，①②，所以,又，,所以，所以，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．（2）由題意得，，所以，則,,…,,，所以，所以，所以，所以，易得也適合上式，所以的前項(xiàng)和為．19．【答案】（1），；，;組的評(píng)分更集中一些;（2)分布列見解析；．【解析】（1）；．;．根據(jù)方差的概念及實(shí)際含義可知，組的評(píng)分的幾種程度更高一些．(2）從組評(píng)分中去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分,易知的所有可能取值為,，，,．從人的評(píng)分中任取人的評(píng)分,共有種等可能的結(jié)果，把組成績(jī)按照從大到小排成一列為，，，，，，，,則，，,,，所以的分布列是的數(shù)學(xué)期望．20．【答案】(1)證明見解析；（2）當(dāng)為線段上靠近點(diǎn)的八等分點(diǎn)時(shí)，二面角為直二面角．【解析】(1）因?yàn)?是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，所以，所以是等腰直角三角形,．又點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面，所以平面．因?yàn)椋?所以,,所以,，又，所以平面,所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?2)存在滿足題意的，連接，以為原點(diǎn),，，所在直線分別為,，軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)存在,使得二面角為直二面角，易知，設(shè)平面的法向量為,則由,，得，令,得，,故；設(shè)平面的法向量為,則由，，由，令，得，，故，由，得，故，所以當(dāng)為線段上靠近點(diǎn)的八等分點(diǎn)時(shí),二面角為直二面角．21．【答案】(1);（2)．【解析】（1）由題意知，，因?yàn)?，所以?將等號(hào)兩邊同時(shí)平方，得，即,所以，又,所以，，所以，,所以直線的方程為，與橢圓聯(lián)立并消去,得，整理得,,所以,因?yàn)?，所以，?所以，橢圓的方程為．(2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立并消去，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，整理得（*),將直線與橢圓方程聯(lián)立并消去，得,由（＊)式可得．設(shè)，，則，，所以，設(shè),則，,，所以當(dāng)，即時(shí)，最大，且最大值為