PekingUniversityPress第五章推廣一元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同多元函數(shù)微積分一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分PekingUniversityPress三、二重積分的性質(zhì)第四節(jié)一、引例二、二重積分的定義與可積性機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二重積分的概念

第五章PekingUniversityPress解法:

類似定積分解決問題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積

給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為n

個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress4)“取極限”令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress2.平面薄片的質(zhì)量

有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress兩個(gè)問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress二、二重積分的定義及可積性定義:將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃記作機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress二重積分存在定理:若函數(shù)定理2.(證明略)定理1.在D上可積.限個(gè)點(diǎn)或有限個(gè)光滑曲線外都連續(xù),積.在有界閉區(qū)域D上連續(xù),則若有界函數(shù)在有界閉區(qū)域D

上除去有例如,在D:上二重積分存在;在D上二重積分不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress三、二重積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))為D的面積,則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress特別,由于則5.若在D上6.設(shè)D的面積為,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress7.(二重積分的中值定理)證:

由性質(zhì)6可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在閉區(qū)域D上為D的面積,則至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因此機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress例1.

比較下列積分的大小:其中解:

積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress例2.判斷積分的正負(fù)號(hào).解:

分積分域?yàn)閯t原式=猜想結(jié)果為負(fù)

但不好估計(jì).舍去此項(xiàng)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress例3.估計(jì)下列積分之值解:

D

的面積為由于積分性質(zhì)5即:1.96I2D機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress8.設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí),仍在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對(duì)稱,則則有類似結(jié)果.在第一象限部分,則有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress內(nèi)容小結(jié)1.二重積分的定義2.二重積分的性質(zhì)(與定積分性質(zhì)相似)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress被積函數(shù)相同,且非負(fù),思考與練習(xí)解:

由它們的積分域范圍可知1.

比較下列積分值的大小關(guān)系:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress2.

設(shè)D

是第二象限的一個(gè)有界閉域,且0<y<1,則的大小順序?yàn)?)提示:因0<y<1,故故在D上有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress3.計(jì)算解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress4.證明:其中D為解:

利用題中x,y

位置的對(duì)稱性,有又D的面積為1,故結(jié)論成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束PekingUniversityPress備用題