角（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；借助三角尺畫一些特殊角，掌握角大小的比較方法；會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：角397364角的概念】要點(diǎn)一、角的概念角的定義：1O，邊是射線OA、OB．圖1 圖2一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．要點(diǎn)詮釋：1OAO旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA2OA角．角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋：小寫希臘字母．角的畫法30°、4560°、90°等特殊角．用量角器可以畫出任意給定度數(shù)的角．利用尺規(guī)作圖可以畫一個(gè)角等于已知角．要點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°1 1的60為11′′的60為1的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要點(diǎn)詮釋：的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀?0角的比較：角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．角的和、差關(guān)系12AOB2記作：∠1＝∠AOB-∠2．要點(diǎn)詮釋：利用三角板除了可以做出3045609015°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，1∠AOC＝∠BOC=2∠AOB．要點(diǎn)詮釋：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．要點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90角是另一個(gè)角的余角．180°另一個(gè)角的補(bǔ)角．2（）同角（等角）（2）同角（等角）的補(bǔ)角相等．要點(diǎn)詮釋：的位置無(wú)關(guān)．一般地，銳角α的余角可以表示為(90°-α)，一個(gè)角α的補(bǔ)角可以表示為(180°-α)．顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90°。要點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要點(diǎn)詮釋：463在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫出表示方向的“十字線確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；圖中的點(diǎn)OO要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題121230130°，10.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．【典型例題】類型一、角的概念及表示1.下列語(yǔ)句正確的是 ( )．A．兩條直線相交，組成的圖形叫做角．B．兩條具有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形叫做角C．兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角D．過(guò)同一點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角．【答案】C【解析】根據(jù)角的定義判斷重要區(qū)別．舉一反三：【變式】判斷下列說(shuō)法是否正確兩條射線組成的圖形叫做角 ((2)平角是一條直線 ()周角是一條射線 ()【答案】(1)×(2)×(3)×2.(1(2)以B(3180°).【答案與解析】解：(1)能用一個(gè)字母表示的角∠A、∠C．B、∠ABC、∠CBE．7【總結(jié)升華】(1)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，才可以用一個(gè)字母表示；(2)一般數(shù)角時(shí)不包括平角和大于平角的角．類型二、角度制的換算3.(125.7°用度、分、秒表示；(24°130″化成度（精確到百分位．(1)題中25.7225°和0.720.72(2)題中，45°12′3045°，12′30″，451230″化成度即可．【答案與解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″．3030

1

0. 12.12.51≈0.21°(2)

60 ，

60 所以45°12′30″≈45.21°．化單位容易出錯(cuò)．舉一反三：【變式】(1)把26.29°轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″轉(zhuǎn)化成度表示的形式．【答案】解：(1)26.29°＝26°+0.29°＝26°+0.29×60′＝26°+17.4′＝26°+17′+0.4×60″＝26°17′+24″＝26°17′24″1(2)33°24′36″＝33°+24′+36×60＝33°+24′+0.6′ 60＝33+24.′3°+24.×160 提示：在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進(jìn)行計(jì)算。類型三、角的比較與運(yùn)算4.12【思路點(diǎn)撥】圖1中兩角∠α、∠β均為銳角，因此，在不能測(cè)量的情形下，我們可以將圖中的∠α向∠β平移，讓∠α與∠β始邊重合，觀察終邊的位置來(lái)比較角的大?。畧D2中的三個(gè)角按角的分類，∠1為銳角，∠2為直角，∠3為鈍角，因此按照各自的范圍就可以將它們的大小比較出來(lái)．【答案與解析】解：(1)如圖所示，將∠α平移使∠α的始邊與∠β的始邊重合，發(fā)現(xiàn)∠α落在∠β內(nèi)部，因此∠β＞∠α．(2)由圖可知∠1是銳角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是鈍角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【總結(jié)升華】本例給出的兩題是在不用量角器測(cè)量角的情況下比較角的大小，一種方法是疊合比較法，另外一種方法則是根據(jù)角的分類，由圖形觀察角的不同分類，按照常見的銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角來(lái)比較大?。e一反三：【變式】已知∠AOB(如圖所示)，畫一個(gè)角等于這個(gè)角．【答案】作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D；(2)畫一條射線O′A′，以點(diǎn)O′為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫弧l，交O′A′于點(diǎn)C′；(3)以點(diǎn)C′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交弧l于點(diǎn)D′；過(guò)點(diǎn)D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′＝∠AOB．5.如圖所示，已知OCBOD，且∠BOC＝20°，OBAOD的度數(shù)．【答案與解析】解：因?yàn)镺C平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又OB是∠AOD的平分線，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線的定義時(shí)根據(jù)兩點(diǎn)：若OB是∠AOC的平分線，則①∠AOB＝∠1BOC＝2∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用．【高清課堂：角397364角的有關(guān)計(jì)算例3】舉一反三：【變式】已知：如圖，OM是∠AOB的平分線，ON是∠BOC的平分線，∠AOC=80，求：∠MON.【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，1 1∴∠MOB=2∠AOB，∠BON=2∠BOC.∴∠MON=∠MOB+∠BON1 1 1=2∠AOB+2∠BOC=2(∠AOB+∠BOC)1 1=2∠AOC=2×80=40.即∠MON=40.類型四、余角和補(bǔ)角6.（2016?曹縣校級(jí)月考）一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的240°，個(gè)角的度數(shù)．根據(jù)題意寫出等量關(guān)系，解之即可得到這個(gè)角的度數(shù)．【答案與解析】解：設(shè)這個(gè)角為x°，則其余角為（90﹣x）°，補(bǔ)角為（180﹣x）°，依題意有180﹣x=2（90﹣x）+40，解得x=40．答：這個(gè)角的度數(shù)是40°．【總結(jié)升華】本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，列出方程是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式（2015?金華）已知∠α=35°，則∠α的補(bǔ)角的度數(shù)是（ ）A．55°【答案】C．類型五、方位角

B．65° C．145° D．165°7.A看B的方向是北偏東30°，那么B看A的方向( )．A．南偏東60° 南偏西C．南偏東30° 南偏西【答案】D【解析】依題意畫出示意圖．由圖可知，圖中∠1即表示從A看B的北偏東30°，∠2是從BABA30°．A看BBA其方向是一種“相反”的對(duì)應(yīng)關(guān)系．方位角的確定首先以什么點(diǎn)為基點(diǎn)（即人站在此處觀察）要弄清楚，再由正南或正北到視線夾角測(cè)量出來(lái)．舉一反三：【變式小王從家出發(fā)向南偏東30°的方向走了1000米到達(dá)小軍家此時(shí)小王家在小軍的 方向．【答案】北偏西30°類型六、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題8.（2015丹東模擬）如圖是一個(gè)時(shí)鐘的鐘面，下午1點(diǎn)30分，時(shí)鐘的分針與時(shí)所夾的角等于 ．【答案】1