1.1.2空間向量的數(shù)量積運算目標導(dǎo)航課程標準課標解讀1.會進行空間向量的線性運算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運算.1.理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進行與向量的加、減運算、數(shù)量積的運算、夾角的相關(guān)運算及空間距離的求解.高頻考點'、知識梳理知識點1空間向量的夾角如圖，已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作。A=a,66=b,則NAOB叫做向量定義a,b的夾角，記作(a,b)范圍0—〈“，b)9向量垂直jr如果(a,b)=5，那么向量0,力互相垂直，記作見上力O拓展提升：(1)當兩個非零向量同向時，它們的夾角為多少度？反向時，它們的夾角為多少度？只有兩個非零空間向量才有夾角，當兩個非零空間向量共線同向時，央角為0,共線反向時，夾角為兒(2)〈a,b〉，〈一a,b〉，〈a,一b〉，〈一a,一b〉，它們有什么關(guān)系？對空間任意兩個非零向量明〃有：①〈*b)=〈瓦a>;②〈一％b)=(%—b);③〈一%—b)={a,b〉.【即學即練1】在正四面體48CD中，波與成的夾角等于()A.30°B.60°C.150°D.120°【解析】〈覺，cb>=180°-<C>,cb)=180。-60。=120。.故選口知識點2空間向量的數(shù)量積運算.(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量。，兒則團步|cosQ,b)叫做a,5的數(shù)量積，記作aS,即a心=|a|例pos(a,b).零向量與任意向量的數(shù)量積為0,即(2)運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律 qa)S=2(a?b),2GR交換律(rb=b?a分配律@?(b+c)=a協(xié)+a?c.投影向量及直線與平面所成的角(1)如圖①，在空間，向量a向向量〃投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面a內(nèi)，進而利用平面上向量的投影，得到與向量〃共線的向量c,c=|a|cos(a,h)卷，向量c稱為向量”在向量力上的投影向量.類似地，可以將向量。向直線/投影(如圖②).(2)如圖③，向量a向平面/?投影，就是分別由向量a的起點A和終點8作平面”的垂線，垂足分別為A，,B,,得到向量向量KF+稱為向量a在平面”上的投影向量.這時，向量a,T鏟的夾角就是向量a所在直線與平面P所成的角.① ② ③ 注意點：(1)向量a,b的數(shù)量積記為a-b,而不能表示為axb或者ab.(2)向量的數(shù)量積的結(jié)果為實數(shù)，而不是向量，它可以是正數(shù)、負數(shù)或零，其符號由夾角〃的范圍決定.①當，為銳角時，a6X)；但當時，，不一定為銳角，因為。也可能為0.②當〃為鈍角時，。出0;但當。?辰0時，0不一定為鈍角，因為〃也可能為兀(3)空間向量的數(shù)量積運算不滿足消去律和結(jié)合律.【即學即練2】在棱長為1的正方體ABCQ-A4G。中，設(shè)而="，而=6,麗'=5,貝曲(5+刃的值為【解析】（1）【解析】（1）在正方體中,AB!AAf>ABYAD【解析】a(b+c)=ab+ac=O.故選8.【即學即練3】如圖，正方體ABC/）—AB'C。的棱長為1,設(shè)AB=l,AD=b>AA!=c>求:(1)a(*+c)；(2)a(a+b+c).(3)(a+b\(b+c).（2）由（1）知,ACBM=AC-（2）由（1）知,ACBM=AC-=ACBA+AC-22改a?(b+c)=ab-hac=Oa(a+b+c)=a-a+a(b+c)=1(3)由⑴及AD_LA4'知,（2+氤1+1）=嬴1+1）+1+11=1【即學即練4】如圖，在三棱錐尸-ABC中,ARAB.AC兩兩垂直,AP=2,AB=AC=1,M為PC的中點，則ACSbM.的值為（【解析】由題意得麗=麗+褊=麗+:（而+祕）=麗+3而+;而，故故選：D.知識點3空間向量數(shù)量積的性質(zhì)（1）若a,b為非零向量，則a_Lb<=?6=0；（2）4口=l4F或n*h（3）若。，力為非零向量，則cos（a,b）=而而;（4）|。力區(qū)同網(wǎng)（當且僅當a,b共線時等號成立）.

【即學即練5】已知在平行六面體A5CD—4/1G5中，AAi=AB=AD=l9且這三條棱彼此之間的夾角都是60。，則AG的長為（）A.6B.祈C.3D.由【解析】設(shè)息=a,Ab=b9W才i=c,則⑷=網(wǎng)=0=1,且(*b)=(瓦c)=(c,a)=60°因此a?b=b?c=c?a=；?得|A?iF=4己2=a2+b2+c2+2a?》+2Zrc+2c口=6.所以.故選B)A.60°【即學即練6】已知q?是夾角為60。的兩個單位向量，貝IJ]=q+R與方=g)A.60°B.1B.120°C.30°D.90°____ __, 1 3【解析】由題意得癡=(《+與)?(家-26)="；-e}-e2-2=l-lxlx--2=-^-\b=\f(e\I。l= =J("i+&)2=J"；+2點?&+?2=J1+1+1=^3*—2^2了=c；-4c\,62+4e；=Jl-2+4=>/3\b=\f(e\_3_-2=-\a\\b\ 3)=120°,ZOAC=45°,【即學即練7】在空間四邊形O4BC中，連接AC,OB,OA=8,AB=69AC=4fBC=5,ZOAC=45°,NO4B=60。，求向量次與心所成角的余弦值.UUUUUUUUU【解析】QBC=AC-ABfBUUUUUUUUU【解析】QBC=AC-ABfB..OABC=OAAC-OAAB=|a4||AC|cos<OA,AC>-|ft4||AB|cos<OA,AB>=8x4xcos1350-8x6xCOs120°=24-16V2,.cos<OABC>-OABC_24-16>/2_3-2立- '°阿憫-8x5F-gd3-2V2故答案為：75盛考點精析 考點一空間向■數(shù)■積的概念辨析解題方略:注意空間向量的夾角的定義及熟練掌握數(shù)量積的運算律【例1-1】對于空間任意兩個非零向量。，從"a〃，堤"〈a,b>=0"的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】顯然〈**>=0*〃〃，但a〃。包括向量“，〃同向共線和反向共線兩種情況，即當a〃力時，〈a,b）=0或”，因此a〃4*>〈a,b）=0.故“a〃?！笔?（a,b）=0”的必要不充分條件.故選B【例1-2】如圖，在正方體48C。一中，求向量讓分別與向量77鏟，下尸，R,B,1方的夾角.【解析】連接（圖略）,【解析】連接（圖略）,則在正方體 少中，AC±BD,ZBAC=4S°,AC=AD'=CD',所以〈友，亦以'>>=(At,Ab)=45°,(At,B'A'')=180°-(At,Ab>=135°,{At,A^')=ZD'AC=60°,(At,CD^)=180°-CD1)=180°-60°=120°,(At,下的〉=(At,應(yīng)?=90°.【例L3】設(shè)2、B為空間中的任意兩個非零向量，有下列各式：①/第2;②4=：；③（￡城=7.片；@^-b>）=a2-2a-h+b2.其中正確的個數(shù)為（）【解析】對于①，a2=|a|2cosO=|a|2,①正確；對于②，向量不能作比值，即4錯誤，②錯誤;對于③，設(shè)入B的夾角為6,則(a?町=。4卡際@LWcos?”③錯誤；對于④，由空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得僅-5丫=7-2￡4+尸，④正確.故選：B.考點二空間向■數(shù)■積的運算解題方略:求空間向量數(shù)量積的步驟(1)將待求數(shù)量積的兩向量的模長及它們的夾角理清；(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角余弦值的乘積；(3)代入a協(xié)=同例cos(a,b)求解.注：在幾何體中求空間向量的數(shù)量積，首先要充分利用向量所在的圖形，將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式;其次利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為巳知模和夾角的向量的數(shù)量積;最后利用數(shù)量積的定義求解即可.注意挖掘幾何體中的垂直關(guān)系或特殊角.TOC\o"1-5"\h\z【例2?1］已知a=3p—2q,b=p+q,p和q是相互垂直的單位向量，則a?b=( )A.1 B.2C.3D.4【解析】,:p工q且|p|=|q|=1,???a,b=(3p-2q)?(p+q)=3p2+p?q-2/=3+0-2=1.故選A【例2-2】已知四面體A-BCD的所有棱長都是2,點E,F分別是AD,DC的中點，則醞?麗=()A.1 B.-1 C.G D.Y【解析】由題意可得而= 所以麗?麗=g蔗?麗=；x2x2xcosl20o=-l.故選B.變式1:已知正四面體048c的棱長為1,如圖所示.求： 。d)'OA~dB；(2)(04'+~OBy(CA+~CB).【解析】在正四面體045c中，|萬才|=|次|=|碇|=1. ^4/Coa,~ob}=Coa,~oc)=Cob,~oc)=60°.(l(OA~OB=\OA\\OB\cosZAOB=lxlxcos60°=^.(2)(~OA+7)BY(CA+~CB)=(OA+~dB)(OA-~OC+7)B-~dc)=(OA+7)B)-CdA+~dB-2OC)

=OA2+2OA?OB-2OA-OC+OB2~2OB-OC=l2+2xlxlxcos60°—Zxlxlxcos60°+l2—2xlxlxcos60°=14-1-1+1-1=1.變式2：已知正四面體045c的棱長為1,若E,尸分別是04,OC的中點，求值：o(DEFAO；(2)EFAC；(3)EFCB.［解析］⑴司?而就?而B=||4<||7o|cos<^4C,To>=1cos60°=1.TOC\o"1-5"\h\z2 4 ? ?1 > ?1 ?1EFAC=^AC-AC=芋ACF=7(3)~EF~CB=^AC~CB=^\AC\\CB\cos<7c,~CB>=|cos1200=-1.變式3：已知棱長為1的正方體ABCD-AiBtCtDt的上底面AiBiGDi的中心為小，則行?就的值為()A.—1 B.0C.1 D.2【解析】而=禍+^^7=引+417^1+1^)=引+“弁+而)，7c=Afi+AD,則標?前=1(|^4SP+|AD|2)=1,故選C.【例2-3］已知空間向量a,兒c滿足a+b+c=O,|a|=3,網(wǎng)=1,|c|=4,則a-b+b-c+c-a的值為.【解析】Va4-ft+c=0,；?(a+8+c)2=0,.*?a2+b2+c2+2(a9b+b*c+c*a)=0932+M+42??a9b+b*c+c9a=-i=-13.考點三利用空間向■的數(shù)■積求夾角解題方略：1、求兩個向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾角的定義來求，但要注意向量夾角的范圍;a?ba?b②先求aS,再利用公式cos(a,b>=廠而求出\a\\b\cos(a,b)的值，最后確定(。，b)的值.2、利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角.注：求兩向量夾角，必須特別關(guān)注兩向量方向，應(yīng)用向量2、利用數(shù)量積求夾角或其余弦值的步驟夾角定義確定夾角是銳角、直角還是鈍角.【例3-1】如圖，在正方體ABC0-4出iGOi中，求反t與就夾角的大小.【解析】不妨設(shè)正方體的棱長為1,則8G?AC=(BC+CCi)(AB+BC)=(AD+AAt【解析】不妨設(shè)正方體的棱長為1,則8G?AC=^D~AB+而2+引.弁+高.同=0+AD2+0+0=AD1=1,又?.」麗^|=g,|就|=由，? /nJ4/\BC1?4C] 1..cos<BCt,AC>=————=S72=2-|BCi||AC|V<BG,"AC>6[0,n], AC>=J.即BC'i與AC夾角的大小為g.變式1:已知空間四邊形。48c中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=^,則cos{OX,fit)的值為( )A.|B.C.—1D.0【解析】o\Bt=oA(ot-db)=dAdt-dAdh=\oA\\dt\cosZAOC-\dA\\dli\cosZAOB=|loA||ot|-||oA||o^l=o,所以南_1_就；所以cos(oA,祀)=0.故選D變式2：在邊長及對角線都為1的空間四邊形ABC。中，E,尸分別是BC,A￡）的中點，則直線AE和CF夾角的余弦值為()A.-|【解析】如圖，連接對角線BC,AD,則可構(gòu)成棱長均為1的正四面體A-8C。uuni由￡,尸分別是BC,AO的中點，夾角的余弦值為()A.-|【解析】如圖，連接對角線BC,AD,則可構(gòu)成棱長均為1的正四面體A-8C。uuni由￡,尸分別是BC,AO的中點，.?.AE=5(A3+ACUlUIHH),CF=1(G4+CD)A￡CF=^-(AB+AC)(C4+CD)=^(ABCA+ACCA+ABCD+ACCD)=-|---1+ABCD--=^(-2+ABCD)=-^+^-ABCDXABCD=AB(AD-AC)=ABAD-ABAC= =0,:.AECF=--\ae-cf\所以直線AE和C產(chǎn)夾角的余弦值為1.故選：B在平行六面體ABC。-ABiGO中，以頂點A為端點的三條棱長度都為(1)AC1的長;1,且兩兩夾角為60.求:5' B(2)西與正夾角的余弦值.【解析】(1)記麗=￡,AD=bfA4,=c9則忖=W=W=1,<ayb>=<b,c>=<a9c>=60,=(a+b+c"寸+用+用+2(=(a+b+c"寸+用+用+2(ab+bc+ac_3=3+2x—=692.??I宿卜迷，即AG的長為卡;(2),/BDX=h+c-a9AC=a-^-h9

/.\BD^=|5|2+|a|2 +2(bc-ab-ac)=3-l=2,阿=|彳+|邛+2比/=3,西卜&，同卜石，又西./=,+"-孫(￡+可=|邛-@+“+￡工=1,E7KBD'-AC1 76 、反?..C°S＜叫檢＞=肅祠=反耳=工,即呵與正夾角的余弦值為浮【例3-2】已知入B是空間兩向量，若向=3,同=2,|￡-'=夕，則—與B的夾角為【解析】設(shè)之與B的夾角為，,所以根據(jù)卜-耳=忖+|耳-2kH年cos"7=9+4-2x3x2xcos^,即cos^=~,27T又04"兀，故答案為：y變式1：已知[是兩個空間單位向量，它們的夾角為60,設(shè)向量二=2蔡+：，b=-3m+2n-求:⑴標(2)向量；與了的夾角.【解析】(1)因為:是兩個空間單位向量，它們的夾角為60,cos60=—2t|2tt|2—3m+2n=—6〃z+tn-n+2\n\=4+4x-+1=72(2)cos60=—2t|2tt|2—3m+2n=—6〃z+tn-n+2\n\=4+4x-+1=72(2)因為，=9-12x3+4=7所以,=五,因為?工,[0,司，所以。工)=笄，即向量消了的夾角為與.【例3-3】已知空間向量d、6滿足同=2,慟=1,他分=60。，若向量G+亦與陽-涕的夾角為鈍角,

求實數(shù)4的取值范圍.【解析】因為向量M+肪與義Q-25的夾角為鈍角,所以R+孫八萬-26）＜0,且M+4與辦一陽不共線,所以Aa' -2ja-b—2Ab~<0,HP22+22—2<0?解得-1-如＜義v-l+石①;當1+45與2G-29平行時，則存在實數(shù)A,使得&+45=左（4萬一2b）,即（左4—1））=（4+2々）5,因為2、5不平行,所以k所以k2—1=0,共21即筋7,則北。②?線AB,線AB,與BC,所成角的余弦值為由①@得，實數(shù)義的取值范圍是卜1-行,T+百了【例3-4】如圖，三棱柱A8C-A4G中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，N&L4,=NOU,=60°,則異面直【解析】三棱柱A5C-4區(qū)G中，底面邊長和側(cè)棱長都相等,ZBM=ZCAA,=60°,設(shè)棱長為1,則AB-AC=lxlxcos60--,AB-AA-1x1xcos60=—,2 2AC'AA}=lxlxcos60=-^.又AB】=AB+AAj9BC]=AA（+AC—AB,

所以而.南=（而+麗）?（而+/一而）=ABA^+ABAC-AB+A4,+A4,?AC-aAB=2+二1+1+=1而22 22阿卜嫂+研=府+阿卜嫂+研=府+2ABAA^+AA^2=百，國=羽+AC-AB^=V1+1+1-1-1+1=V2，所以cos所以cos<ABy-Bq>=麗畫] #|麗H房「&xV^_6,故答案為：6考點四利用空間向■的數(shù)■積證明垂直解題方略：利用空間向量解決垂直問題的方法(1)證明線線垂直的方法：證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量，看方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直.(2)證明與空間向量a,b,c有關(guān)的向量機，〃垂直的方法：先用向量a,b,c表示向量機，n,再求解向量,"，〃的數(shù)量積并判斷是否為().【例4-1】已知空間四邊形ABCD中，ABLCD,ACJ.BD,求證：AD±BC.【證明】；48_LC。，ACA.BD,：.~AB~CD=0,~AC~BD=0.：.^D~BC=(AB+~BD)-CaC)rAC+~BDrAC :BD=~AB:AC-~AB2-^BHiD=~AB(AC~~AB)=^B^DC：.~ADLBC,從而AD上BC.變式1：如圖，四面體。48c各棱的棱長都是1,D,E分別是OC,A8的中點，記d=〉OB=b>OC=c'/ \(1)用向量白,瓦c表不向量OE；(2)求證￡>E_LAB.【解析】(1)根據(jù)題意,—>【解析】(1)根據(jù)題意,—> 1—>—>1—> 1—>—?DE=OO+QA+AE=一一OC+OA+-AB=——OC+OA+-2 2 2 2OB-OA^OA+OB-dc(2)根據(jù)題意，相互之間的夾角為且模均為L由(1)DE-AB==—Ia+ cI-IZ>-?I=—I-a+b—h-c+a-c=—|-l+l-lxlx—+lxlx—1=0,2( 2 2)所以DE_LA8.變式2：如圖所示,三棱柱ABC-AB?中，CA=a，CB=b，CC；=c,CA=CB=CC,=1,(a,^=(a,c)=y,(1)用(1)用￡，b?2表示向量而;(2)在線段C冉上是否存在點M,使AA/J.AN?若存在，求出M的位置，若不存在，說明理由.【解析】(l)~\N=\A+AN=qC+^AB=-CCx+-(CB-CA)=--a+-b-cx(2)假設(shè)存在點例，使4M_LAN,設(shè)G祈=2泵,(/le[0,l]),AM=^+^+€^=c-a+Ab,因為am_lan,所以加,於口血.病二。，_-1-1--Bp(c—a4-Ab)?(—a+—b—c)=0,1—— 1— ——2 1—2 1— ——— 1 —— 1 -2 ————ca+—cb—c+—?！猘b+ca——b+— —Ab-c=092 2 2 2 2 2因為。=C8=C6=1, =等，=g

1一—一21-211--1-2所以有：-ca-c+—a-(一十—儲a?b+—入b=0,2 2 22 2即一x1x1x(—)—1"+—x1~—(一+—A)x1x1x(—)+—A?I2=092 2 2 22 22解得/t=g,所以當冉時，AMLA.N.【例4-2］如圖所示，在正方體A8CD-A歷G"i中，。為AC與BD的交點,G為CG的中點，求證：平面GBD.證明：設(shè)彳屈=”,A\D\=b,AtA=c,則”仍=0,b-c=O,a-c=0,|a|=|&|=|c|.VAiO=A744-^W=a74+|(7b+AD)=c+1a+1z>,=c-b~c-a+^b-^a2+^b2-^a=1(*2-a2)=|(|*|2—|a|2)=0.于是彳/_1_而，AtOlBD.同理可證即4iO_LOG.又BDr\OG=O,于是有AiO_L平面GBD.考點五利用空間向■的數(shù)?積求距離（即線段長度）解題方略:求兩點間的距離或線段長的方法（1）將相應(yīng)線段用向量表示，通過向量運算來求對應(yīng)向量的模.（2）用其他已知夾角和模的向量表示該向量；（3）因為0a=|aF，所以團=疝￡,這是利用向量解決距離問題的基本公式.另外，該公式還可以推廣為|a功尸J(a土6丫=>Ja2+2ab+b2.

(4)可用kre|=3|cos4(e為單位向量，，為a,e的夾角)來求一個向量在另一個向量所在直線上的投影.【例5-1】已知空間向量〃向:兩兩夾角均為60,其模均為1,^\a+b-2c\=()C.2［解析］\a+b-2c\=癡+5-2切2=^a2+b2+4c2+2a-b-4a-c-4b-c111l+l+4+2xlxlx—4xlxlx一一4xlxlx-故選：B【例5-2】如圖所示，在。48。中，40=4,CD=3,ZADC=60°,以，平面ABC。，PA=6,求線段PC【解析】vTc=^4-AD【解析】vTc=^4-AD+DC,：.(PC^=CpA+~AD+~DC)2=|-eTF+1AD\2+\DCF+2鉗-'AD+2'AD~DC+2DC'7vT=62+42+32+2|AD\\DC|cos120°=61-12=49..\|PC|=7,即PC=7.變式1：如圖，平行六面體 -中，AB=AD=AA,=],NBA。==120。,Z.DA\=60°，則AG=( )B.2B.2c.V3D.y/2【解析】-AQ=AB+AD+X\,? ■■2 -2 ?一AQ=AB+AD+AAl+2ABAD+2ABAA］+2ADAAi=l+l+l+2xlxlxf-^-j+2xlxlxf-^j+2xlxlx^=2,.-,AC、=近.故選：D變式2：如圖，已知一個60。的二面角的棱上有兩點4,B,AC,80分別是在這兩個面內(nèi)且垂直于A3的線段.又知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的長./饃 【解析】VCA±AB,BDLAB,：.<cA,Bb>=120°.'：cb=c\+Ah+Bb,且次Rr=o,麗?盛=0,，［劭―①①=@+牯+曲?◎+通+防=|函+防2+醐2+2^4勵+2戊就+2牯勵=|CA|2+|A>|2+|Bb|2+2|C^||Bb|cos(cA,Bb)=62+42+82+2x6x8x(—￡)=68,：.\Cb\=2-417,故CD的長為2折.變式3：如圖，在平行四邊形4"。中，40=4,CD=3,N54O=120。，A4_L平面A5CD,且E4=6.求PC的長.I……|pc|2=(PA+Ab+DC)2^\p^+\AD^+\DC^+2PAAD+2PADC+2ADDC=62+42+32+2x4x3xcos120°=49,所以圖=7.故PC的長為7.變式4：如圖，三棱錐O-ABC各棱的棱長都是1,點。是棱48的中點，點E在棱OC上，且應(yīng)=2反,記況=1，OB=B，OC=c-⑴用向量。，5,⑴用向量。，5,表示向量力后;⑵求IDEI的最小值.【解析】(1)根據(jù)題意，連接o。，CD,點。是棱48的中點，點E在棱OC上，如下圖:由題意可得，OE=AOC>記麗=G，OB=b^OC=c>_.___[__, 1i-DE=OE-OD=^OC--(OA+OB)= ?(2)根據(jù)題意，點。是棱A8的中點，三棱錐O-A5C的各個面是邊長為1,在△OOC中，由余弦定理可得，cosZDOC=cosZDOE=在△OOC中，由余弦定理可得，cosZDOC=cosZDOE=|OD|2+|OC|2-|CD|2V32|OO110cl—? —> —> ->2 —>—>->2 3 1 1|D￡|2=|OE-OD|2=OE-2OE-OD+OD=22-2xlx2x—cosZD<9￡'4--=(2--)2+-,當2=(時，|/汨2取得最小值9則loZl的最小值為4.變式5：已知正方形ABCD,A8E尸的邊長均為1,且平面A8CD_L平面ABEF,點M在AC上移動,點N在8尸上移動，若|CM=|8N|=a(0V4Vg).4(1)求線段MN的長；⑵當a為何值時，線段MN最短？【解析】(1)由已知得I前尸血,I國尸1=啦,：.~NM=~NF+~FA+~AM—BA+BC)=0一匐近+b金)宿7色匍就-比利21214("一3即MN的長度為|2+|(0<a<V2).(2)由(1)知當a=半，即M,N分別是AC,8尸的中點時，MN的長度最小，最小值為孚.考點六利用空間向■的數(shù)?積求投影解題方略：向量a在向量入上的投影數(shù)量lalcos(a,b〉=粵bab向量a在向量〃上的投影向量|a|cos(a,b)由=175傳「【例6-1】如圖，在長方體ABC￡>-A8'C'D中，已知|4卻=1,|A￡)|=2,|aA|=3,分別求向量而在通、而、翁方向上的投影數(shù)量.由空間向量的平行六面體法則可得AC而、翁方向上的投影數(shù)量.由空間向量的平行六面體法則可得AC=AB+AD+AA.在長方體ABC￡)-A'B'C7y中，ABAD=ABA^=ADA^=O,因此，向量淚在而因此，向量淚在而方向上的投影數(shù)量為AC'AB_(福+而+正)?通=|-1=1向量Z在正方向上的投影數(shù)量為向量Z在正方向上的投影數(shù)量為AC'AD(AB+AD+AA')AD一 =\AD\=2,AD\AD\AB+Ab+AA!]AA!..4「7.AB+Ab+AA!]AA!..向量南在京方向上的投影數(shù)量為牛與變式1：如圖，已知正方體ABCD-AB|G。的棱長為1,E為BC的中點.求,函，晌,〈班7；.C4的大小;（2）求向量電在向量配方向上的投影的數(shù)量.【解析】（1）在正方體ABCO-A4GR中，因為。。_L8C,所以（西，配）=90。,因為AG〃oc,所以（函，5）=（反，5）=135。；（2）連接EC,因為。CL平面BCG4，所以。CJ_CE,又因為AD_LDC,所以無g在向量近方向上的投影為覺，因為0c=1,所以向量A於在向量反方向上的投影的數(shù)量為1【例6-2】已知正方體ABCC-A4CQ的棱長為1，E為棱4G上的動

點.求向量正在向量正方向上投影的數(shù)量的取值范圍.ULUII11LUUUUUUUUUUUUULILILB1LILUUUUUULU【解析】由已知E為棱4G上的動點，設(shè)B1E=/iSG（04/i41）.UUUUUUUUUUUULILILB1LILUUUUUULU因為AE=AB[+BE=ABi+ABtC,=AB+BBX+2.B.C,LU.WLlUliUUUUUUIHJUUULMIULUIIUUUUUUUUUUUULU.M1所以AEAC=(AB+8B1+4與C)AC=A8-AC+8B「AC+4B|C「AC_1+4=lx&xcos45°+/lxlx&xcos45°=l+/l所以向量正在向量正方向上投影的數(shù)量為言,又0—W1,.741+442, —，丘.2V2，丘.所以向量A左在向量正方向上投影的數(shù)量的取值范圍為題組A基礎(chǔ)過關(guān)練.在正方體ABC3-A4GA中，有下列命題：①（羽+而+而）2=3|而匕②而（A瓦一不）=o；③珂與彳片的夾角為6tf.其中正確的命題有（）.A.1個 B.2個 C.3個 D.0個【解析】對于①，（和+而+通）2=（麗）2+（而）2+（通）2+2麗?而+2麗?麗+2而?麗=3通2,所以①正確:對于②，AyC-{AyBx—AyAt）=（AB+AD—AA］）?（AB—A1A）=AB— =0?所以②正確；UUU 對于③，因為48〃0。,4。，4仁?！斗謩e為面的對角線， ULIU -所以NA0C=60。,所以物與48的夾角為120。，所以③錯誤故選：B

D,Cl2.四邊形ABC。為矩形，SA_L平面ABC。，連接AC,BD,SB,SC,SD,D,Cl下列各組運算中，不一定為零的是（）A.SCBD B.DASB C.SDAB D.SACD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A：若SC與80垂直，又SA與BD垂直，則平面SAC與BZ）垂直，則AC與垂直，與AC與30不一定垂直矛盾，所以SC與不一定垂直，即向量攵、8萬不一定垂直，則向量無、8萬的數(shù)量積不一定為0;對于B：根據(jù)題意，有SAJ?平面ABCD,則8_L4。，又由ADYAB,則有4）JL平面SAB,進而有A。，S3,即向量次、器一定垂直，則向量方、弱的數(shù)量積一定為0;對于C：根據(jù)題意，有SAJL平面A8C0,則以_LA3,又由則有AB_L平面&W,進而有ABLSD,即向量而、而一定垂直，則向量而、麗的數(shù)量積一定為0;C對于D：根據(jù)題意，有SAJ?平面A3CO,則SA_LC￡）,即向量交、也一定垂直，則向量立、麗的數(shù)量積一定為0.C二二~2百V.已知正三棱錐P-ABC的底面ABC的邊長為2,M是空間中任意一點,則MA（MB+MC）的最小值為（ ）【解析】設(shè)BC中點為O.連接MO,設(shè)中點為〃，則= =TMA\MB+MC)=MA?(2M0=2(MH+HA^MH+HO)2[MH+HA^MFi-HA)=(而?_次)=獷—()，

3當M與H重合時,mh2取最小值"此時MA-(MB+MC)有最小值-1,故選：A.棱長為1的正四面體45C。中，點E,尸分別是線段8C,40上的點，且滿足BE=：BC,AF=^AD,貝！I通?不=()【解析】由已知福?/=麗?而=*?而=lxlxcos60°=一,因為麗=gm，AF=^AD,所以通=A^+B￡=AB+-BC=4月+§(AC-AB)=—A豆+§而，CF=AF-AC^-AD-AC,22]1 1 2 ] i->AECF=(-AB+-AC)(-Ab-AC)=-ABAD——ABAC+-ACAD一一AC3 3 2 3 3 6 3BD-1BD-15.如圖，P為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，圓錐P0的軸截面R1E是邊長為2的等邊三角形，4ABe是底面圓的內(nèi)接正三角形.則礪.兄=()5B.-2【解析】由題得PO=J22-F=6,ZBOC=\20,PBPC=PO+OB-PO+OCPBPC=PO+OB-PO+OC\=PO+OBOC=3+\x\xAEB故選：BAEB6.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱.在塹堵中，ab=ac=m=2,尸為8c的中點，則猬?麗=().A.6 B.-6 C.2 D.-2【解析】根據(jù)塹堵的幾何性質(zhì)知：AB1AC,AA^IAB,AA,1AC.所以AG8+；國一到因為鵬=衣+隨，BP=BB,+^B^=A^+所以AG8+；國一到='ACAAt+-AC--ACAB+X\+-ACAAl--AAlABi2 2 r2i21=2+4=6.故選：A.7.已知平行六面體ABCD-AB'C。中，AB=4,AD=3,A4'=5,ZBAD=90°,ZBAA=ZDAA=tA)°.則AC'的長為()A.785B.A.785B.質(zhì)C.12D.2國【解析】通2【解析】通2=]6，而2=9，AA2=25>ABAD=4x3xcos90°=0,AB-A4;=4x5xcos60°=10,AD-/VV=3x5xcos60o=y.AC=AB+AD+AA,???AC2=AB+AD+AS'+2ABAD+2AB-AV+2AD-AA=16+9+25+2x0+2x10+2x^=85,\AC\=4S5,即AC的長為盤.故選：A.8.已知正方體ABC。-ABC。的棱長為a,對角線47與8〃相交于點O,則有( ).AB.ABAC=>/2a2C. =BC...AB-WC=a2D^=(rA：AB//ABS.AB=AB,則而?初=初?和=|初||和IcosZBWC'=/,正確;B：AB-AC1AB\\AC\cosZBAC'=a2,錯誤：C：AB-AO=]AB\\AO\cosZBAO=^a2,錯誤；D：BC〃A￡>且8c=A￡>,則而?麗=而.而=|而||而|cos(〃-Z4OA')=-/,錯誤.故選：A.9.空間四邊形ABC。中若48,8。,8_18￡>,47=2,8￡>=1,則/.麗=( )A.j B.1 C.73 D.0【解析】因為念.而=(AB+BC).BD^(AB+Bb+DC)BD=ABBD+BD+DCBD-因為AB_L8。,DC_L8。,所以W8方=O,DCBD=0,所以而■屈=0+『+0=l,故選:B10.已知均為空間單位向量，它們的夾角為60。，那么r+3目等于（）A.V7 B.yJio C.V13 D.4【解析】|a+3h|=^（a+3b）2=\la+9b2+6ab=>/13.故選：C.n.若麗、礪、玩為空間三個單位向量，C4_LO月，且反與方、麗所成的角均為60，則W+而+沅|=（ ）A.5B.6 C.>/5 D.>/6\f）A+OB+O^=OA+OB+OC+2（OAOB+OBbC+OAOC]=3+2[Q+^+^=5,^t\OA+OB+OC\=^5,故選：C12.已知向量4，e2,&是兩兩垂直的單位向量，且）=34+2弓-￡，3=4+藥則（6萬）（；5卜（ ）.A.15 B.3 C.-3 D.5【解析】：向量身，司’。'是兩兩垂直的單位向量，且d=3R+2瓦-瓦，h=e}+2e,>（65）1^―Z>=3fl-=3x（34+2乙一瓦）（4+2瓦）=9同「一6|4-=3.故選：B13.如圖所示，在平行六面體ABCO-A'UC'。中，各棱長均為2,ZBAD=90°,NB/W=ND4A=60。，則向量前的長度為（）|。阿=|—AA——AD+—AB|=1(-AA-；AD+^AB)2=JaA2+-AD+-AB2+AAAD-AAAB--AD-AB=J4+-x4+-x44-2x2x-1-2x2x1-0=遍故選：V4 4 2 V4 4 2 2A14.如圖，在平行六面體ABC。-44CQ中，M為AC與80的交點，若|兒聞=|4哥=|不|=1, =90,NA4,g=/4AR=60,則冏⑼的值為()干「：\ A.1 B.73 c.1D.￥ML-…:快Al By【解析】因為四邊形A8CO為平行四邊形，S.ACQBD=M,則M為80的中點，^?=庭+麗=曬+3麗=職+；(亞_砌=符_；麗+3^|',則忸M=5?2AA-A4+AA)=-J4AA+AA~+A"~'A+ .AR—24區(qū).A“=—>/6—4xl2xcos60—2xl2xcos60=——.2” 2 2故選：D.題組B能力提升練.如圖，空間四邊形ABC。的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,。。的中點，則行?布=()三角形ABC是等邊三角形，且邊長為1.所以用.通=；而.而=/碼J畫-cos600=；.故選：B.若非零向量￡,B滿足口=M，（21-力力=0，貝?與B的夾角為（）A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】設(shè)￡與加的夾角為仇因為（21辦5=0,所以27%凡所以羽忸即6明2,因為非零向量入B滿足口=例，所以cos。=g,,jr因為。40,㈤，所以。=：,即6=60。，故選：B77r.已知同=4,空間向量＜；為單位向量，包,,=胃，則空間向量1在向量G方向上的投影的數(shù)量為（）TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.—2 C. D.；2 2【解析】由題意，同=4,同=1,伍希會則空間向量乙在向量？方向上的投影為必0」葉同c°SH （同-同-12尸故選：B.18.在平行六面體ABC。-A4G。中，其中AB=BC=BB1=1,ZABB、=ZABC=NB、BC=y,AE=2西，則忸閩=（）A.25 B.5 C.14 D.而l解析］BtE=B,B+BA+AE^B.B+BA+2^BA+BB；+/?C）=3BA+BB,+2BC,|UUH|2/mrixiriilkx2lUirplUurpiiimpnruuruuiruud ultuun所以4目=（38A+期+25C）=3?倒+做+22叫+6BA?BB、+4BB\?BC+12BA?BC=32+l2+22+6xlxlxl+4xlxlxl+12xlxlxi=25,2 2 2所以忸閩所以忸閩=5,B..在正方體48。。-486。中，P為A4上任意一點，則。尸與8c的位置關(guān)系是【解析】由題意，得而不=（函+可P）不=（函+守）?印=印不+4》印=0,所以加,印,即。P"BC-故答案為：垂直..如圖，已知線段A8J■平面a,BCua,CD_LBC,OE_L平面a,且/OCF=30°,。與A在a的同側(cè)，若AB=BC=CD=2,求A,。兩點間的距離.因為AB_L平面a,DF_L平面a,所以AB//DF,ZDCF=30°,所以麗與麗的夾角為120°,1MUUUUUULUIUUU因為AB=BC=CD=2,AD=AB+BC+CD,所以|而『=(而+元+樂尸=| |2+1BC|2+1CD|2+2ABBC+2ABCD+2BC-CD=12+2x(2x2xcos90°+2x2xcosl20°+2x2xcos90°)=8,所以|而|=2及，即4,￡>兩點間的距離為2夜..如圖所示，在四棱錐P-ABC。中，PAJ_底面ABC。，AB±AD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.證明：

Al/\\n⑴CDLAE；少B(2)/>￡)，平面ABE.【解析】證明：⑴因為PA_L底面ABC。，所以叫_LC。，所以麗.力=0,又AC_LC￡>,所以死.麗=0，5LAE=-(AP+AC),所以通.麗=1(而+衣)?麗=■!?麗?前+1/.函=0,所以C0_LAE.2 2 2 2(2)設(shè)尸A=AB=BC=1,因為ZABC=60°,AB=BC=1,所以AC=1.又ACJ_CO,所以CDAC=(AD-AC)AC^0,得/.而=1.因為質(zhì).荏=(而_硝.；用+衣)=g(彷而+而.正一而-而.對=gx(0+l-l-0)=0,