2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題1.已知，點(diǎn)/（10,0）B（6,8）,點(diǎn)尸為線段04上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4、點(diǎn)。重合），以R1為半徑的。P與線段48的另一個(gè)交點(diǎn)為C,作CDLOB于O（如圖1）（1）求證：8是。尸的切線；（2）求當(dāng)。尸與08相切時(shí)。尸的半徑：（3）在（2）的情況下，設(shè)（2）中。尸與08的切點(diǎn)為E,連接尸8交CO于點(diǎn)尸（如圖2）①求CF的長(zhǎng)；②在線段OE上是否存在點(diǎn)G使NGPF=45°?若存在，求出EG的長(zhǎng)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）連接PC,過(guò)8作8MLx軸于點(diǎn)N.'：PC=PA（。尸的半徑），/.Z1=Z2（等邊對(duì)等角）.'：A（10,0）,B（6,8）,：.OA=\0,BN=8,0N=6,...在Rt^OBN中，OB="、2+8中2=1。（勾股定理），：.OA=OB,:.NOBA=N1（等邊對(duì)等角），；.NOBA=N2（等量代換），J.PC//OB（同位角相等，兩直線平行）."：CDLOB,：.CDLPC,.?.CO為。。的切線；(2)如圖2,過(guò)8作軸于點(diǎn)N,設(shè)圓尸的半徑為八?：G)P與OB相切于點(diǎn)E,則OBLPE,04=10,, . PFr...在RtZXOPE中,sinZEOP=-^=^,在RtAOBN中，sinN8ON=嗯=梟=鼻,UD1U5r410-r=5*(3)①如圖3,?.?由(2)知片等...在RtZXOPE中，0E=70P2-PE?=J(10—9)2—(等)2=學(xué)(勾股定理),VNPCD=NCDE=NPED=9G°,...四邊形尸COE是矩形.又,：PE=PC(0O的半徑)，二矩形PCOE是正方形，40：.DE=DC=r=拳:.BD=OB-OE-DE=10-學(xué)一等=等■:NBFD=NPFC,NPEO=NPCF=90°,:.△BDFsXPCF,20 40s吧=竺即亙=三竺PC。尸’竺CF9解得，b=招，即CF的長(zhǎng)度是震;乙/ 27②假設(shè)在線段DE上是否存在點(diǎn)G使NGP/=45°如圖4所示，在線段E尸上截取EQ=EG.?：OBLPE,：.ZGQE=45°,???NGQP=135°.

??,四邊形尸CDE是正方形,l4072：.PD=>/2PC=NEPD=NPDC=45°,，N2+N3=450.VZFPG=45°,，N1+N2=45°AZ1=Z3:/BDP=NBDC+/PDC=900+45°=135°:?/GQP=/BDP:.XGQPsXBDP.GQPQ?麗=PD???！?=學(xué)，OE=等，08=10,20：.BD=OB-ED-OE=學(xué)設(shè)EG=a,則GQ=y/2a,PQ=PE-EQ=等-a,V2a2040V29V

40V292.直角坐標(biāo)系中，正方形0/18C的邊0C、0/分別在x軸、y軸上，力點(diǎn)的坐標(biāo)為(。，4).(1)如圖1,將正方形。48c繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得正方形。。EF,邊DE交BC于G,求G點(diǎn)坐標(biāo).(2)如圖2,。。1與正方形力8C。四邊都相切，直線切。。1于P,分別交歹軸、x軸、線段8c于V、N、Q.求證：OiN平分NMOi。.(3)如圖3,點(diǎn)，與點(diǎn)8關(guān)于y軸對(duì)稱，T為C4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，燈為過(guò)7、〃、4的。。2直徑，對(duì)于結(jié)論：@AT+AS,②AT-AS.其中只有一個(gè)正確，請(qǐng)作出判斷并證明你的結(jié)論，求出其值.（1）解：連接OG,如圖①，?,正方形OABC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得正方形ODEF,：.ZAOD=30°,OD=AB9：.ZDOC=60°,：OD=OC,NO=NOCG,OG公共，RtAODG^RtAOCG,:.4DOG=/COG,??NCOG=30°,?Z點(diǎn)的坐標(biāo)為（O,4）,四邊形CM8C為正方形，：.OC=OA=4f,rr—行4右??CCj-3 ――~,4V3.??G點(diǎn)坐標(biāo)為（4,—）；（2）證明：?:BQ//AM,:.NBQM+N4MQ=180°,根據(jù)切線長(zhǎng)定理，ZOiQM+ZOiMQ=180°x|=90°,/.ZA/Oi0=18O°-90°=90°,由切線長(zhǎng)定理/NOi0=45°,；.O1M平分NMO10:(3)解：4T-/S的值是定值為4VL在47上取點(diǎn)匕使7V=4S,即47-4S=4匕:.NTHS=NTAS=90",'：H（-4、4）,A（0、4）,:.AHUO：又?.?NO/C=45°,AZ7^/7=45",?：NTHS=NTAS=90",AZ75/7=45",：.HT=HS；又NHTV=NHSA,TV=AS,：.4HTV學(xué)AHSA,.?.△"4/為等腰直角三角形,:.AT-AS=4V=4&..如圖，在RtZXZBC中，ZJC5=90°,以斜邊48上的中線8為直徑作。。，與BC交于點(diǎn)M,與48的另一個(gè)交點(diǎn)為E,過(guò)M作垂足為M(1)求證：A/N是。。的切線；(2)若OO的直徑為5,sin8=百，求瓦)的長(zhǎng).□【解答】（1）證明：連接OM,如圖1,"：OC=OM,：.乙OCM=ZOMC,在RtZ\Z8C中，8是斜邊上的中線,：.CD=^AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.ZOMC=NDBC,J.OM//BD,:MNLBD,：.OMLMN,：0知過(guò)O,...MN是。。的切線；（2）解：連接。M,CE, 圖2,rc。是。。的直徑，；.NCED=90°,ZDMC=90°,即￡>A/J_8C,CEkAB,由（1）知：BD=CD=5,為8c的中點(diǎn)，3VsinB=g,cosB=弓，在RtZ\5A/Q中，BM=BD?cgsB=4,：.BC=2BM=S,在RtACEB中，BE=BC?cgsB=停3? 7：.ED=BE-8。=』-5=可..已知/MPN的兩邊分別與OO相切于點(diǎn)兒B,。。的半徑為八（1）如圖1,點(diǎn)C在點(diǎn)力，8之間的優(yōu)弧上，NMPN=80°,求N/C8的度數(shù);（2）如圖2,點(diǎn)C在圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PC最大時(shí)，要使四邊形4pBe為菱形，N/P8的度數(shù)應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若尸C交。。于點(diǎn)。，求第（2）問(wèn)中對(duì)應(yīng)的陰影部分的周長(zhǎng)（用含r的式子表示）.A/BNPBNP bN圖1 圖2 （備用圖）【解答】解：（1）如圖1,連接CM,OB,MBN圖1;以，尸8為。。的切線，:?NPAO=NPBO=90°,VZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360°,???N/P8+N/O8=180°,VZJP5=80°,AZAOB=\00°,/.ZACB=50°；(2)如圖2,當(dāng)N”8=60°時(shí)，四邊形ZP6C是菱形,連接ON,OB,M圖2由(1)可知，/4O8+N4P8=180°,VZAPB=60°,/.ZAOB=\20°,/.ZACB=60°=NAPB,??,點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到PC距離最大，:.PC經(jīng)過(guò)圓心，???Rh尸8為OO的切線，：.PA=PB,NAPC=/BPC=30°,又*：PC=PC,:AAPgABPC(SAS),；?NACP=NBCP=30°,AC=BCf：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC.:?AP=AC=PB=BC,??四邊形ZPBC是菱形；(3)???。。的半徑為八：?OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,ZJOP=90°-ZAPO=60°,，前的長(zhǎng)度=6：.丁=^r,lowo??陰影部分的周長(zhǎng)=%+尸。+而=8什〃+*=(V3+1+^)r..如圖，以為。。的切線，尸8c為。。的割線，451.0尸于點(diǎn)。，△4JC的外接圓與8c的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：NBAE=NACB.【解答】證明：連接CM,OB,OC,BD.,：OAVAP,AD1.OP,二由射影定理可得：P42=PD,PO,AD1=PD-OD.???（5^-）又由切割線定理可得PA1=PB-PC,:.PB?PC=PD,PO,:.D、B、C、。四點(diǎn)共圓，…（10分）二ZPDB=4PC0=NOBC=NODC,NPBD=乙COD,:.MBDsACOD,PDBD：.—=—,…（15分）CD0D：.BD*CD=PD-OD^AD2,.BDAD"-AD=CD'又NBDA=NBDP+90°=ZODC+90°=ZADC,:.ABDAsAADC,：.ZBAD=ZACD,：.AB是△4DC的外接圓的切線,；.NBAE=NACB.

7.如圖，點(diǎn)4為y軸正半軸上一點(diǎn),4,8兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)力任作直線交拋物線y=^x2于尸，。兩點(diǎn).(1)求證：NABP=N4BQ（2）若點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,1）,且NP8°=60°,試求所有滿足條件的直線尸°的函數(shù)。作y。作y軸的垂線，垂足分別為C,D.設(shè)點(diǎn)力的坐標(biāo)為（0,1）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,-Z）.設(shè)直線尸。的函數(shù)解析式為y=h+f,并設(shè)尸，。的坐標(biāo)分別為（xp,yp）,（X0,y0）.由y=kx+ty=1x2工日 3,Hn,2JJ^XpXQ=—即t=-XpXq.29I4， 2n2 2, 、yp+t+t -Xpz-XpXQ -Xp(%p-Xq)yp+t-2 -2 2 —2%+, /q2+￡ -XQ2-XpXQ -XQ(XQ-Xp)— xp”…BCPC又因 ="-，所以，7；=右XqBDQD因?yàn)镹BCP=/BDQ=90°,所以ABCPsABDQ,故NABP=NABQ；(2)解：設(shè)尸C=a,DQ=b,不妨設(shè)。26>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=Wb,所以4c=8q—2,AD=2一6b.因?yàn)槭！ā?,所以.口PCACnay/3a—2于