第6講應用二次函數解決幾何圖形最值問題專題探究考點一求線段的最值【知識點睛】如圖，在第一象限內拋物線上有一動點P.過點P作PD_Lx軸交AB于點D,當PD(或PH)最大時，求點P的坐標；方法：依拋物線解析式設點P坐標，因為PD〃y軸表示點D坐標，PD=yp-y?,得PD表達式為一新二次函數，根據頂點式求其最大值。(求PH最大值則可由△PHD-△AOB,將PH的長轉化為PD長，再參照上法求解PH最大值)【類題訓練】1.如圖，二次函數(aWO)的圖象交x軸于A,B兩點,交y軸于點Q,點8的坐標為(3,0),頂點C的坐標為(1,4).(1)求二次函數的解析式和直線8。的解析式；(2)點P是直線83上的一個動點，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點M,當點尸在第一象限時，求線段尸M長度的最大值；(3)在拋物線上是否存在點。，且點Q在第一象限，使△BO。中80邊上的高為a?若存在，求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.點式，由8點坐標可求得拋物線的解析式，則可求得。點坐標，利用待定系數法可求得宜線8。解析式；(2)設出P點坐標，從而可表示出PM的長度，利用二次函數的性質可求得其最大值；(3)過。作。G〃y軸，交BD于點G,過。和于”，可設出。點坐標，表示出QG的長度，由條件可證得△O//G為等腰直角三角形，則可得到關于Q點坐標的方程，可求得Q點坐標.【解答】解：(1)I?拋物線的頂點C的坐標為(1,4),可設拋物線解析式為y=a(x-1)2+4,；點、B(3,0)在該拋物線的圖象上，.'.0=?1(3-1)2+4,解得a=-1,拋物線解析式為y=-(x-1)2+4,即y=-/+2x+3,:點。在y軸上，令x=0可得y=3.工。點坐標為(0,3),可設直線BD解析式為y=￡t+3,把B點坐標代入可得3k+3=O,解得％=-1,??直線8。解析式為丁=-x+3；(2)設P點橫坐標為m(//z>0),則P(孫-w+3)>M("?,-/n2+2zn+3),:?PM=-/+2m+3-(-w+3)=-m2+3w=-(m--)2+—,2 4當〃?=3,PM有最大值且：2 4(3)如圖，過。作QG〃y軸交B￡)于點G,交x軸于點E,作于”,：.QG=\-?+2x+3-(-x+3)|=|-?+3x|,??△80。是等腰直角三角形，：.ZDBO=45°,:.NHGQ=NBGE=45°,當△BOQ中BD邊上的高為a時，即QH=HG=如,QG=>I(加產+(&)2=2,.?點。在第一象限，f+3x=2,解得x=1或x=2,：.Q(1,4)或(2,3),綜上可知存在滿足條件的點。，其坐標為(1,4)或(2,3).2.如圖，拋物線丫=0?+灰-6與x軸相交于4,B兩點,與y軸相交于點C,A(-2,0),B(4,0),在對稱軸右側的拋物線上有一動點。，連接BC,BC,CD.(I)求拋物線的函數表達式；(n)若點。在x軸的下方，設點。的橫坐標為f,過點。作垂直于X軸，交BC于點凡用含有，的式子表示OF的長，并寫出r的取值范圍；

(III)在(II)的條件下，當△CBO的面積是9時，點〃是x軸上一點，點N是拋物線上一動點,

2是否存在點N,使得以點8,D,M,N為頂點，以80為一邊的四邊形是平行四邊形，若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.0),B(4,0)代入拋物線丫=0?+加點N的坐標；若不存在，請說明理由.t-6)=t2+3t，其中l(wèi)VfV4；(H)先求出直線BC的函數表達式為：y得x-6,有D(t,-^t2-|t-6)t-6)=t2+3t，其中l(wèi)VfV4；(HI)由^_.(等t?+3t)X.得n=l(舍去)，Z2=3,得d(3,。)，①當(HI)由^_.(等t?+3t)X4a-2b-6=016a+4b-6=0MB=ND,@MN//BD,且MN=BD,根據平行的性質得點N4a-2b-6=016a+4b-6=0【解答】解：(I)將A(-2,0),B(4,0)代入-6得：得解得：a=|,b=-|，拋物線的函數表達式為：y拋物線的函數表達式為：y：x2親-&(n)拋物線的對稱軸為直線x=LC(0,-6),設直線BC的解析式為y=kx+in,把8(4,0),C(0,-6)代入可得:[4k+m=0,lm=-6解價m=-6,...直線BC的函數表達式為：y得x-6勺D(t，t-6),勺D(t，t-6),則F(t,-1-1-6), DF=(-yt-6)-t-6)=t2+3f其中l(wèi)<r<4；(IIDy-(-^t2+3t)X化簡得①如圖2當MB//ND,ND時四邊形BDNM即為平行四邊形由對稱性可知N點橫坐標為解得此時n（-i四邊形BDNM即為平行四邊形②如圖3當MN//BD化簡得①如圖2當MB//ND,ND時四邊形BDNM即為平行四邊形由對稱性可知N點橫坐標為解得此時n（-i四邊形BDNM即為平行四邊形②如圖3當MN//BD過點N做NP_L此時N點縱坐標為?代入:.此時n(1-V14，)^N(1+Vl4.四邊形為平行四邊形N(l-Vl4.N(1+714.過點。做。尸，x軸，由題意可得NP8。時，四邊形8QWV為平行四邊形此時例3=NO=4,點M與點O重合，四邊形3ONM即為平行四邊形解得八=1（舍去），段=3一不二用兀5■回依KI取但【知識點睛】?如圖，在第一象限內，拋物線上有一動點P.當Saabp最大時，求點P的坐標；方法：①設動點P的坐標；②過點P作丫軸平行線交對邊AB與一點，并表示出該交點坐標；③利用水平寬X鉛垂高+2,將S“bp表示為一新二次函數，利用頂點式求其最大值?！绢愵}訓練】3.如圖已知直線尸乎_1■與拋物線產加+灰+。相交于A（-1,0）,8（4,加）兩點，拋物線產0?+法+?交y軸于點C（0,-S）,交x軸正半軸于。點，拋物線的頂點為2（1）求拋物線的解析式；（2）設點P為直線AB下方的拋物線上一動點，當△出8的面積最大時，求△附8的面積及點P的坐標；備用圖求出 將點A備用圖求出 將點A(-1,0),B(4,§),C(0,■2 2(2)設P(〃，An2-n-旦)，則經過點P且與直線、2 2【分析】（1）將點B（4,團）代入y=A.r+A,22-3）代入y=ad+W+c,即可求函數解析式；2。=1+工■垂直的直線解析式為y=-2x+—ir+n22 2-3,直線），=1+▲與其垂線的交點G（L』+Zl1,工2+L+Jq,可求g?=近J-/+3"+4）,2 22 5 5 510 510 5當”=3■時，GP最大，此時△以8的面積最大，所以尸（3,2立），△以8的面積=JlX至近_X至返2 28 2 2 4=125.一,16【解答】解：(1)將點B(4,m)代入y=_lw+2，-222TOC\o"1-5"\h\z將點A(-I,0),B(4,?)，C(0,-W)RAy=ajr+bx+c,2 2解得a=_L,b=-1,c=-—.\o"CurrentDocument"2 2...函數解析式為尸L2-x-1；\o"CurrentDocument"2 2(2)設P(n.A/?2-n--),\o"CurrentDocument"2 2\o"CurrentDocument"則經過點P且與直線y=L+工垂直的直線解析式為丫=-2x+X?2+n-S,22 2 2直線與其垂線的交點G（Xn2+2ji-A,-Xn2+An+_1_）, GP=^~（-M+3"+4）,\o"CurrentDocument"22 5 5 510 510 5當"=3時，GP最大,此時△印8的面積最大，2\o"CurrentDocument":.p（3,-!§.）,2 8\o"CurrentDocument"2 4 _/.△BAB的面積=_lx至近_X封￡=255；\o"CurrentDocument"2 2 4 16【總結反思二次函數中斜三角形面積最大值求法】：?如圖，利用5= （a為水平寬，h為鉛垂高）列出函數關系式,2根據函數的性質求出最大值.如圖2,可將三角形的面積轉化為求在第一象限內拋物線上的點到直線AB距離的最大值.根據直線與拋物線只有一個交點，通過根的判別式來求出最大值?？键c三求周長的最值【知識點睛】如圖，矩形ABCD的邊AB在x軸上，定點C、D在拋物線上，當矩形ABCD周長最大時，求點A的坐標；方法：①設點A坐標，表示點B、C、D坐標；②表示AB、CD的長；③將C矩形ABCD表示為一新二次函數，利用頂點式求其最大值。

?如圖，頂點A,B,C在拋物線上，在對稱軸上找點P,使APBC周長最小時，點P的坐標；方法：將軍飲馬對稱連接【類題訓練】4.如圖，拋物線y=o?+bx+3(a,&是常數，且。#0)與x軸交于4,8兩點，與y軸交于點C.并且A,B兩點的坐標分別是A(1,0),B(-3,0),拋物線頂點為D(1)①求出拋物線的解析式；②頂點D的坐標為；③直線BD的解析式為；(2)若E為線段8D上的一個動點，其橫坐標為m,過點E作EFLx軸于點凡求當皿為何值時,四邊形EFOC的面積最大？(3)若點P在拋物線的對稱軸上，若線段抬繞點P逆時針旋轉90°后，點A的對應點次恰好也落在此拋物線上，請直接寫出點P的坐標.)①把A(1,0),8(-3,0)代入y="+fer+3,即可求解;②由y=-/-2x+3=-(x+l)?+4,可求頂點坐標：③設直線8￡)的解析式為y=h+b,將點8、。的坐標代入即可求解：(2)求出點EC",2/n+6),C(0,3),則S=2X(OC+EF)XOE=-(，”+旦)2+.^l.當，"=-2 4 163時，s最大值嚕；(3)拋物線的對稱軸為x=-1,當P點在x軸上方時，過點A作A'Mlx=-1交于點M,證明△MPC^/XQAP{AAS),則PQ=1,求得戶(-1,1)；當P點在x軸下方時，△ART為等腰直角三角形，求得4Q=2,則P(-1,-2).【解答】解：(1)①把A(1,0),8(-3,0)代入y=o?+bx+3,得［a+b+3=0,19a-3b+3=0解得卜=T,lb=-2；.y=-j2-2jc+3；②；y=-X2-2x+3=-(x+1)2+4,；.￡＞的坐標為(-1,4),故答案為：(-1，4)；

③設直線BD的解析式為y=kx^h,將點3、。的坐標代入得：f-3k+b=0I-k+b=4解得卜=2,[b=6直線BD的表達式為y=2x+6.故答案為：y=2x+6；(2)?.,點￡的橫坐標為則點E的縱坐標為2"?+6,當x=0時，y=O+O+3=3,：.C(0,3),由題意可知：0c=3,OF=-m,EF=2m+6,.\S=Ax(OC+EF)XOE=_Lx(2m+6+3)X(-WI)=-(/n+9)2+H,2 2 4 16.?.當“一3時'S最大值嚕;(3)拋物線的對稱軸為x=-1,當尸點在x軸上方時，如圖1,過點4作A'MLx=-1交于點M,VZAM'=90°,/M*+/MCP=90°,ZMPC+ZAPQ=90°,:.ZMCP=ZAPQ,"：AP^A'P,:.XMPgXQAP(/L4S),:.PQ=MC,???尸。=1,：.P(-1,1)；當P點在x軸下方時，如圖2,'：AP^A'P,ZAB4-90°,...△ARV為等腰直角三角形，J.AQ^PQ,：.PQ=AQ=2,：.P(-I,-2)；綜上所述：P點坐標為（-1,1）或（-1,-2）.

5.如圖，已知拋物線y=ar2+bx+3與x軸交于A,B兩點,過點A的直線，"與拋物線交于點C,其中點A的坐標是(1,0),點C的坐標是(4,3).(1)求拋物線的解析式:(2)在(1)中拋物線的對稱軸上是否存在點。，使△8CO的周長最??？若存在，求出點。的坐標;若不存在，請說明理由；利用待定系數法求二次函數關系式，即可求解；(2)先求直線4C的解析式，然后根據軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點(3)過點E作F￡〃y軸，交宜線AC于點尸，交x軸于點尸，作的高CQ,設點E坐標為(小M-4w+3),則點F的坐標為(n,n-1),EF=\n-1-(n2-4n+3)|=-n2+5n-4,再表示出S“ce,利用二次函數配方求最大值.【解答】解：(1)將點A(1,0),點C(4,3)代入y=o?+〃x+3,得，［a+b+3=0 ,I16a+4b+c=3解得，卜=1,Ib=-4二拋物線解析式為：y=f-4x+3；(2)設直線4c的函數關系式為：y=H+m,把4、C兩點坐標代入，得jk+m=0I4kH=3解得，k=T,m=-1,,?直線AC的關系式為：y=x-1,.>=^-4x+3=(x-I)(x-3),??點8坐標為(3,0)拋物線對稱軸為：直線%=2,?,BC是定值，???當8O+CQ最小時，△BCD的周長最小，TA、8是關于拋物線對稱軸對稱的兩點，，當。是直線x=2與AC的交點時，8D+CO最小時，△8。。的周長最小，當x=2時，y=x-1=1?即當。點坐標為(2,1)時，△BCO的周長最小，(3)過點E作FE〃丁軸，交直線AC于點尸，交x軸于點P,作△EFC的高CQ,設點E坐標為(小n2-4/?+3),則點F的坐標為(小h-1),.\EF=\n-1-(w2-4〃+3)|=-/+5〃-4,*'?Smce=S^efa+S^efc=^pxjyD+AxEFXCQ=/EFX(AP4€Q)=/x3X(-n2+5n-4)=-J.(x-A)2+空TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 8；.當_￥=立時，△ACE的面積最大，最大面積=2工，\o"CurrentDocument"2 8當x=5時，y=^-4x+3=-—,\o"CurrentDocument"2 4此時點E的坐標為($,-1).\o"CurrentDocument"2 41.如圖，直線y=fcr+m與拋物線丫=-/+fer+c交于A(-1,0),B(3,-2)兩點，A3與y軸交于點C,尸為直線A3上方拋物線上的動點，POLx軸交直線A8于Q, 軸交直線43于￡

(1)求直線A8與拋物線的解析式;解方程組即可;將A(-1,解方程組即可;將A(-1,0),1,0).B(3,-2)代入得到方程組,B(3,-2)代入y=-』+6x+c得到方程組，解方程組即可.(2)設P(m,則D(.m,典-工)，由點E(2)設P(m,則D(.m,22分別表達尸。和PE的長度，進而可表達PD+PE的長，利用二次函數的性質可求出最值;【解答】解：(1)將A(-1,0),B(3.-2)代入得，f-k+m=013k+m=_22解得：， ],m=^2直線AB的解析式為y=-/-將4(-1,0),8(3,-2)代入y=-/+bx+c得，f-l-b+c=0l-9+3b+c=-2(bJ-2解得：:，5,c"2二拋物線的解析式為y=-7+當+且22(2)設P(m,-m2+^-m+—'),則。(m,----i),設E(a,-m2+^-in+—'),TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2 22 2 2E在直線y=-工r-A_h, -w2+.5jn+—=-Aa-A,\o"CurrentDocument"2 2 2 2 2 2.?.a=2團2-3團-6,:,PE=m-a=m-(2nr-3m-6)=-2nr+4m+6,PD=-m-(-Ajn--L)=-m2+2//j+3,\o"CurrentDocument"22 2 2

PE+PD=-2m2+4m+6-m2+2/n+3=-3m2+6w+9=-3Cm2-2m+\)+3+9=-3(m-1)2+12,/-3<0,...當加=1時，PE+P。有最大值，最大值為12,.?.PE+PO的最大值為12；2.拋物線y=-，+6x+c經過點A(-1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C.(1)求該拋物線的函數表達式;(2)如圖1,點M是第一象限內拋物線上一動點，過點M作軸于點F,作MELy軸于點E,當矩形ME。/當矩形ME。/周長最大時，求M點坐標.B(3,0)代入y=-，+bx+c解方程組即可得到結論;【分析】(1)把點A(-1,0)和點-l-b+c=0-9+3b+c=0解得-l-b+c=0-9+3b+c=0解得b=2c=3->n2+2m+3),根據矩形的性質得到EM=O/(2)設M(m,-m2->n2+2m+3),根據矩形的性質得到EM=O/=m,OE=MF=-m2+2m+?>,求得矩形MEOF的周長=-2(m-J.)2+^l,當m=^i,矩形MEOF2 2 2周長最大，于是得到結論:【解答】解解：(1)把點a(-I,0)和點8(3,0)代入y=-f+fcv+c得,???該拋物線的函數表達式為y=-/+2r+3：?.?點例是第一象限內拋物線上一動點,設MCm,-m2+2m+3),MFLx軸于點F,作MELy軸于點E,：.F(m,0),E(0,-m2+2m+3),?.,四邊形MEOF是矩形，：.EM=OF=m,OE=MF=-m2+2m+3.矩形MEO尸的周長=2，"+2(-m2+2m+3)=-2m2+6m+6=-2(m-3)2+21,2 2.?.當■時，矩形MEO尸周長最大,2點坐標為(區(qū)，至)：243.如圖，拋物線y=o?+6x+c經過點C(0,3),與x軸交于點A(-1,0)和點B(點B在點A的右(2)點￡＞、E在直線x=l上的兩個動點，且OE=1,點。在點E的上方，求四邊形ACCE的周長的最小值.(3)點尸為拋物線上一點，連接CP,直線CP把四邊形CB出的面積分為3：5兩部分，求點P的坐標.【分析】(1)先根據已知條件求得8點坐標，再用待定系數法求出拋物線的解析式，再把解析式化成頂點式，便可求得頂點坐標；(2)把C向下移1個單位得點C',再作C'關于拋物線的對稱軸的對稱點C",連接AC",與對稱軸交于點E,再在對稱軸上E點上方取點。，使得?！?1,連接CC,此時四邊形ACQE的周長最小，求出此時的最小值便可：S^pcb：S^pca=—EBX(yc-VP)：Aa￡X(yc-yp)=BE：AE,即可求解.2 2【解答】解：(1)?.?點C(0,3),OB=OC,：.B(3.0),把A、8、C三點坐標代入yud+bx+c,得a~b+c=0,9a+3b+c=0?c=3a=-l解得，,b=2?,c=3拋物線的解析式為：y=-/+2x+3,Vy=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,二頂點坐標為(1,4)；(2)把C向下移1個單位得點C',再作C'關于拋物線的對稱軸的對稱點C",連接AC",與對稱軸交于點E,再在對稱軸上E點上方取點。，使得OE=1,連接CC,則C￡)=C'E=C"E,VC(0,3),：.C'(0,2),,對稱軸是宜線x=l,：.C"(2,2),VA(-1,0),AC=yJl2+32=V10，AC=V(2+1)2+22=713,AE+DE+CD+AC=AE+\+C"E+y[lQ=l+410+AE+C"E=1+JI3+AC"= +71^的值最小,...四邊形ACOE的周長的最小值為1+V10+V13：2 2則BE：AE=3：5或5：3,則AE=2.5或1.5,即點E的坐標為(1.5,0)或(0.5,0),將點E的坐標代入直線C尸的表達式：y=kx+3,解得：斤=-6或-2,故直線CP的表達式為：y=-2x+3或y=-6x+3,門口一—切切fy="2x+3 fy=-6x+3聯立方程組; 或; ，y=-x+2x+3y=-x+2x+3解得：x=4或8(不合題意值已舍去)，故點尸的坐標為(4,-5)或(8,-45).4.如圖，已知拋物線y=-7+bx+c與一直線相交于A(-1,0),C(2,3)兩點，與y軸交于點N.其頂點為￡).(1)拋物線及直線AC的函數關系式；(2)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點3,七為直線AC上的任意一點，過點上作E/〃8。交拋

物線于點尸，以8,D,E,尸為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由;(3)若尸是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求的面積的最大值.(4)設點用的坐標為(3,w),直接寫出使MN+M。的和最小時機的值.【分析】(1)由拋物線丫=-/+fer+c過點A(-1,0)及C(2,3)得,r-l-b+c=0,解得(b=2,得拋物線為y=-7+2r+3；又設直線為過點A(-I,0)及CI-4+2b+c=3Ic=3(2.3),得［-k+n=0,解得(k=l,得直線ac為y=x+i：12k+n=3In=l(2)由y=-f+2x+3=-(x-1)2+4,得0(1,4),當x=l時，y=x+l=2.得8(1,2),求出BD=2,設E(x,x+1),當E尸=80=2時，以8,D,E,尸為頂點的四邊形為平行四邊形，分兩種情形討論：①如圖2,當點E在線段AC上時，點尸在點E上方，得x+3=-*+2x+3,即可求解；②當點￡在線段AC(或CA)延長線上時，點尸在點E下方，則尸(x,x-1),得x-1=-/+級+3,即可求解;(3)如圖2,過點尸作軸交AC于點。，交x軸干點”；過點C作CGLr軸于點G,設。(x,x+1),則P(x,-/+2x+3),表示出尸。=(-/+2x+3)-(x+l)=-/+*+2,又S"pc=S1i尸q+S^cpq——PQ*AG=—(-f+x+2)X3=-—(x--)2+2Z_,&APC的最大值為空■:2 2 2 2 8 8(4)作直線x=3,作點。關于直線x=3的對稱點O',得O'坐標為(5,4),連結NO'交直線x=3于點M,此時MM.D'三點共線時，NM+MD'最小，即NM+MC最小，利用點N(0,3)