大學(xué)線性代數(shù)矩陣教學(xué)最全件第一頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§1矩陣的概念一、矩陣的定義定義:

由m×n個(gè)數(shù)aij

(i=1,2,???,m;j=1,2,???,n)排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列矩陣,簡(jiǎn)稱m×n矩陣.第二頁，共一百頁，2022年，8月28日為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作簡(jiǎn)記為:A

=

Amn=(aij)mn=(aij).這mn個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素,數(shù)aij稱為矩陣A的第i行第j列元素.第二章矩陣

§1矩陣的概念第三頁，共一百頁，2022年，8月28日元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,

元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.本書中的矩陣除特別說明者外，都指實(shí)矩陣。例如:是一個(gè)24實(shí)矩陣;是一個(gè)33復(fù)矩陣;是一個(gè)14(實(shí))矩陣;是一個(gè)31(實(shí))矩陣;是一個(gè)11(實(shí))矩陣.第二章矩陣

§1矩陣的概念第四頁，共一百頁，2022年，8月28日二、幾種特殊矩陣?yán)?是一個(gè)3階方陣.

(1)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A,稱為n階方陣.也可記作An,

(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).(3)只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).第二章矩陣

§1矩陣的概念第五頁，共一百頁，2022年，8月28日

(4)元素全為零的矩陣稱為零矩陣,記作O.例如注意：不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.的方陣,稱為單位矩陣，(5)形如其中主對(duì)角線上的元素都是1，其他元素都是0。記作:第二章矩陣

§1矩陣的概念第六頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§1矩陣的概念的方陣,稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷?,

(6)形如其中1,2,···,n不全為零.記作A=diag(1,2,···,n)(7)設(shè)A

=

(

aij)為n階方陣,對(duì)任意i,j,如果aij=

aji都成立,則稱A為對(duì)稱矩陣.例如:為對(duì)稱矩陣.第七頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§1矩陣的概念2.如果A

=

(

aij)與B

=

(

bij)為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即aij=bij(i

=1,2,···,m;j=1,2,···,n)則稱矩陣A與矩陣B相等,記作A=B.三、同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時(shí)，稱它們?yōu)橥途仃?例如:為同型矩陣.解:

由于矩陣A=B,則由矩陣相等的定義,得:例1:

設(shè)已知A=B,求x,y,z.x=2,y=3,z=2.第八頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§1矩陣的概念例2：見P36（自學(xué)）n個(gè)變量x1、x2、…xn與m個(gè)變量y1、y2、…ym之間的關(guān)系式表示一個(gè)從變量x1、x2、…xn到變量y1、y2、…ym的線性變換，其中aij為常數(shù)。四、矩陣應(yīng)用舉例例3：(線性變換)參考P44第九頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§1矩陣的概念系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.第十頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§1矩陣的概念線性變換稱之為恒等變換.再如：它對(duì)應(yīng)著單位矩陣第十一頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§1矩陣的概念注：行列式與矩陣的區(qū)別:1.一個(gè)是算式，一個(gè)是數(shù)表2.一個(gè)行列數(shù)相同,一個(gè)行列數(shù)可不同.3.對(duì)n階方陣可求它的行列式.記為:第十二頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法定義:設(shè)有兩個(gè)m×n矩陣A=(aij

)與B=(bij),那么矩陣A與B的和記作A+B,規(guī)定為注意:只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí),這兩個(gè)矩陣才能進(jìn)行加法運(yùn)算.第十三頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算例：第十四頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算矩陣加法滿足下列運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B、C都是m×n矩陣)：(1)交換律：A+B=B+A,(2)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C),(3)若記：-A=-(aij),稱為矩陣A的負(fù)矩陣，則有：

A+(-A)=O,

A-B=A+(-B).二、數(shù)與矩陣相乘定義:數(shù)λ與矩陣A的乘積記作λA或Aλ,規(guī)定為第十五頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算例：第十六頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算注意：矩陣數(shù)乘與行列式數(shù)乘的區(qū)別.矩陣數(shù)乘滿足下列運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A、B都是mn矩陣,

,

為數(shù))﹕矩陣相加與矩陣數(shù)乘合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.第十七頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算

定義:

設(shè)A

=

(

aij)是一個(gè)ms矩陣,B

=

(

bij)是一個(gè)sn矩陣,定義矩陣A與矩陣B的乘積C

=

(

cij)是一個(gè)mn矩陣,其中三、矩陣與矩陣相乘(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘積記作C=AB.記號(hào)AB常讀作A左乘B或B右乘A。

注意:

只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才能相乘.第十八頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算例5：求矩陣的乘積AB及BA.解：由于矩陣A與矩陣B均為二階方陣，所以二者可以互乘。第十九頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算例5表明：矩陣乘法不滿足交換律,即:

AB

BA,另外，矩陣乘法滿足下列運(yùn)算規(guī)律：（其中為數(shù)）;定義:

如果兩矩陣相乘，有AB=

BA,則稱矩陣A與矩陣B可交換，簡(jiǎn)稱A與B可換。第二十頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算上節(jié)例3中的線性變換（1）利用矩陣的乘法，可記作其中，線性變換(1)把X變成Y，相當(dāng)于用矩陣A去左乘X得到Y(jié)。第二十一頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算并且滿足冪運(yùn)算律:AkAm=Ak+m,(Am)k=Amk,其中k,m為正整數(shù).注意:

由于矩陣乘法不滿足交換律,則:若A是n階方陣,則Ak為A的k次冪,即方陣的冪：第二十二頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義:把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣,叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT.例：矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下述運(yùn)算規(guī)律(假設(shè)運(yùn)算都是可行的):(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(A)T=AT;(4)(AB)T=BTAT;第二十三頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算解法1:因?yàn)槔?:

已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT第二十四頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算由矩陣轉(zhuǎn)置和對(duì)稱矩陣的定義可得:方陣A為對(duì)稱矩陣的充分必要條件是:A=AT.證明:自學(xué)（見P49）

例8:設(shè)列矩陣X

=

(x1

x2···xn)T,滿足XTX=1,E為n階單位矩陣,H

=

E

–

2XXT,證明:H為對(duì)稱矩陣,且HHT=

E.如果AT=-A，則稱A為反對(duì)稱矩陣。第二十五頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算五、方陣的行列式定義:由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變),稱為方陣A的行列式,記作|A|

或detA.例方陣的行列式滿足下列運(yùn)算規(guī)律：(1)|AT|=|A

|;(2)|A|=n|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.第二十六頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§2矩陣的運(yùn)算六、共軛矩陣

定義:

當(dāng)A

=

(aij)為復(fù)矩陣時(shí),用表示aij的共軛復(fù)數(shù),記,稱為A的共軛矩陣.共軛矩陣滿足下述運(yùn)算規(guī)律(設(shè)A,B為復(fù)矩陣,為復(fù)數(shù),且運(yùn)算都是可行的):作業(yè)：P49習(xí)題2-25.7.（用矩陣求解）第二十七頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣定義:對(duì)于n階矩陣A,如果有一個(gè)n階矩陣B,使

AB=BA=E則說矩陣A是可逆的,并把矩陣B稱為A的逆矩陣,簡(jiǎn)稱逆陣.記作：A-1=B唯一性：若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.證明：所以A的逆矩陣是唯一的。一、逆矩陣的定義和性質(zhì)第二十八頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣方陣的逆矩陣滿足下列運(yùn)算規(guī)律﹕(1)若矩陣A可逆,則A-1亦可逆,且(A-1)-1=

A.(2)若矩陣A可逆,且

0,則

A

亦可逆,且(3)若A,B為同階可逆方陣,則AB亦可逆,且(AB)-1=

B-1A-1.(4)若矩陣A可逆,則AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.(5)若矩陣A可逆,則有|

A-1|=|

A

|-1.第二十九頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣第三十頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣

定義:

行列式|

A

|的各個(gè)元素的代數(shù)余子式Aij所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣.性質(zhì):

AA*

=A*A=|

A

|E.證明:

自學(xué)二、伴隨矩陣的概念及其重要性質(zhì)第三十一頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣三、矩陣可逆的判別定理及求法例9

設(shè)求A的逆矩陣.解:

利用待定系數(shù)法.是A的逆矩陣,設(shè)即由解得,則解完否？第三十二頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣又因?yàn)樗约碅B

=BA

=E,如上求逆矩陣的方法對(duì)于方陣的階較高時(shí)顯然是不可行的,必須尋求可行而有效的方法.定理:矩陣A可逆的充要條件是|

A

|

0,且其中A*為矩陣A的伴隨矩陣.第三十三頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣證明：由伴隨矩陣的性質(zhì):AA*=

A*A

=

|

A

|

E,知當(dāng)|

A

|

0時(shí),由逆矩陣的定義得,第三十四頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣當(dāng)|

A

|

=

0

時(shí),稱A為奇異矩陣,否則稱A為非奇異矩陣.由此可得,A是可逆矩陣的充分必要條件是A為非奇異矩陣.推論:

若AB=E(或BA=E),則B=A-1.證明:

由AB

=

E得,|

A

|

|

B

|

=

|

E

|

=

1,故|

A

|

0.因而,A-1存在,于是B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.故結(jié)論成立.例10求方陣的逆矩陣.第三十五頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣解同理可得第三十六頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣所以例11

設(shè)求矩陣X使其滿足AXB=C.解:

由于所以,A-1,B-1都存在.且第三十七頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣又由AXB

=

C,得A-1AXBB-1=

A-1CB-1,則X

=

A-1CB-1.于是X

=

A-1CB-1第三十八頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§3逆矩陣注意：解矩陣方程時(shí)，要注意已知矩陣與X的位置關(guān)系，例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解此矩陣方程，在方程兩邊同時(shí)左乘A的逆，而不能右乘，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律。矩陣方程解第三十九頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§4分塊矩陣引言:對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣A，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，常采用分塊法,使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.定義:將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣,每一個(gè)小矩陣稱為A的子塊,以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.一、分塊矩陣的定義例如:第四十頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§4分塊矩陣第四十一頁，共一百頁，2022年，8月28日二、分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則(1)分塊矩陣的加法:設(shè)矩陣A與B是同型的,且采用相同的分塊法,有其中子塊Aij與Bij是同型的(i=1,2,···,s;j=1,2,···,r),則第二章矩陣

§4分塊矩陣第四十二頁，共一百頁，2022年，8月28日(2)分塊矩陣的數(shù)乘:第二章矩陣

§4分塊矩陣第四十三頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§4分塊矩陣

(3)分塊矩陣的乘法:設(shè)A為ml矩陣,B為l

n矩陣,分塊為其中Ai1,Ai2,···,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,···,Btj的行數(shù),則其中(i=1,2,···,s;j=1,2,···,r).第四十四頁，共一百頁，2022年，8月28日例12

設(shè)求AB.解:把A,B分塊成則第二章矩陣

§4分塊矩陣第四十五頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§4分塊矩陣而于是第四十六頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§4分塊矩陣(4)設(shè)則(5)設(shè)A為n階方陣,若A的分塊矩陣除在對(duì)角線上有非零子塊外,其余子塊均為零矩陣,且對(duì)角線上的子塊都是方陣，即其中Ai

(i=1,2,???,s)都是方陣,則稱A為分塊對(duì)角矩陣.第四十七頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§4分塊矩陣1.|

A

|

=

|

A1|

|

A2|

···

|

As|.2.設(shè)分塊對(duì)角矩陣A,若|

Ai|

0(i=1,2,···,s),則|A

|

0,且3.分塊對(duì)角矩陣具有下述性質(zhì):第四十八頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§4分塊矩陣其中則所以解:將A分塊例13

設(shè)求A-1.形成分塊對(duì)角矩陣.第四十九頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§4分塊矩陣對(duì)于線性方程組記三、分塊矩陣的應(yīng)用：線性方程組的表示(2)第五十頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§4分塊矩陣其中A稱為系數(shù)矩陣,x稱為未知數(shù)向量,b稱為常數(shù)項(xiàng)向量,B稱為增廣矩陣.按分塊矩陣的記法,可記B=(Ab)或B=(A,b)=(a1,a2,???,an,b).利用矩陣的乘法,方程組(2)可記作

Ax=b作業(yè)：P56習(xí)題2-31.(2)2.(3)P63習(xí)題2-45.第五十一頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換分析:用消元法解下列方程組的過程.引例:

求解線性方程組一、消元法解線性方程組解:①②③2第五十二頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換②③③2①④3①②2第五十三頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換③+5②④–3②③2④③④第五十四頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換用“回代”的方法求出解:其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程組的解可記作:其中c為任意常數(shù).(2)或第五十五頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換1.始終把方程組看作一個(gè)整體變形,用到如下三種變換:歸納以上過程:(3)一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍;(2)以不等于0的數(shù)k乘某個(gè)方程;(1)交換方程次序;2.上述三種變換都是可逆的.第五十六頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換由于三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.故這三種變換是同解變換.在上述變換過程中,只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,未知量并未參與本質(zhì)性運(yùn)算.因此，若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上，就得到矩陣的三種初等變換。第五十七頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換二、矩陣的初等變換定義1:

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1)對(duì)調(diào)兩行(對(duì)調(diào)i,j兩行,記作rirj);(2)以非零數(shù)k乘以某一行的所有元素(第i行乘k,記作

rik

);(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上去(第j行的k倍加到第i行上去,記作ri+krj).把定義中的“行”換成“列”,即得矩陣的初等列變換的定義(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．定義2:

矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.對(duì)換變換倍乘變換倍加變換第五十八頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換說明:三種初等變換都是可逆的,且其逆變換是同一類型的初等變換:rirj的逆變換為ri

rj;rik的逆變換為ri(1/k),或rik;ri+krj的逆變換為ri+(–k)rj,或ri–krj.

定義3:

如果矩陣A可經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與矩陣B等價(jià).記作AB.矩陣之間的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：(1)反身性:AA;(2)對(duì)稱性:若AB,則BA;(3)傳遞性:若AB,且BC,則AC.第五十九頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換用矩陣的初等行變換解方程組(1)，其過程可與方程組(1)的消元過程一一對(duì)照.r1r2r32①②③2第六十頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換r2–r3r3–2r1r4–3r1②③③2①④3①r22②2第六十一頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換r3+5r2r4–3r2③+5②④–3②r3–2r4r4r3③2④③④第六十二頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換r2–r3r1–r2B6對(duì)應(yīng)的方程組為:或令x3=c(c為任意常數(shù)),方程組的解可記作:第六十三頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換定義4:矩陣B5和B6都稱為行階梯形矩陣,其特點(diǎn)是:(1)可畫出一條階梯線,線的下方全為0;(2)每個(gè)臺(tái)階只有一行,階梯線的豎線(每段豎線的長(zhǎng)度為一行)后面的第一個(gè)元素為非零元,也就是非零行的第一個(gè)非零元.行階梯形矩陣B6還稱為行最簡(jiǎn)形矩陣,其特點(diǎn)是：非零行的第一個(gè)非零元為1,且這些非零元所在的列的其它元素都為0.第六十四頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換(2)利用初等行變換,解線性方程組只需把增廣矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣.(3)一個(gè)矩陣的行最簡(jiǎn)形矩陣是唯一確定的,而其行階梯形矩陣卻不是唯一的，但是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)是唯一確定的.行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過若干次初等列變換可化成標(biāo)準(zhǔn)形.說明:(1)對(duì)于任何矩陣Am×n,總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣；行最簡(jiǎn)形矩陣一定是行階梯形矩陣，但行階梯形矩陣不一定是行最簡(jiǎn)形矩陣。第六十五頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換c5–4c1–3c2+3c3矩陣F稱為矩陣B的標(biāo)準(zhǔn)形.

特點(diǎn):標(biāo)準(zhǔn)形F的左上角是一個(gè)單位矩陣,其余元素全為零.B6c3c4c4+c1+c2第六十六頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§5矩陣的初等變換任一個(gè)矩陣Amn總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形此標(biāo)準(zhǔn)形由m,n,r三個(gè)數(shù)唯一確定,其中r

就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).第六十七頁，共一百頁，2022年，8月28日三、矩陣的初等變換的性質(zhì)第二章矩陣

§5矩陣的初等變換定理1

設(shè)A與B為m×n矩陣，那么：的充分必要條件是：存在m階可逆矩陣P，使PA=B.（3）A~B的充分必要條件是：存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣Q,使PAQ=B.的充分必要條件是：存在n階可逆矩陣Q，使AQ=B.推論

方陣A可逆的充分必要條件是.第六十八頁，共一百頁，2022年，8月28日當(dāng)|

A

|

0時(shí),則由定理1及推論可知，存在可逆矩陣P，使得(i)式表明A經(jīng)一系列初等行變換可變成E，(ii)式表明E經(jīng)同樣的初等行變換即變成A-1，利用分塊矩陣的形式，(i)、(ii)兩式可合并為：四、矩陣的初等變換的應(yīng)用及(ⅰ)(ⅱ)即,對(duì)n2n矩陣(A|E)施行初等行變換,當(dāng)把A變成E的同時(shí),原來的E就變成了A-1.1.利用初等變換求可逆矩陣的逆陣

第二章矩陣

§5矩陣的初等變換第六十九頁，共一百頁，2022年，8月28日2.利用初等變換求矩陣A-1B同樣，對(duì)矩陣方程AX

=

B,其中A為n階方陣,B為ns階矩陣,如果A可逆,則X

=A-1B.考慮分塊矩陣(A

|

B),可得即,當(dāng)一系列初等行變換將A化為E

的同時(shí)也將B化為了A-1B.第二章矩陣

§5矩陣的初等變換第七十頁，共一百頁，2022年，8月28日解:r2–2r1r3–3r1r1+r2r3–r2r1–2r3r2–5r3例1:

設(shè)A=求A-1.第二章矩陣

§5矩陣的初等變換第七十一頁，共一百頁，2022年，8月28日例2:

求矩陣X,使AX=B,其中解:

若A可逆,則X=A-1B.r2–2r1r3–3r1r2(–2)r3(–1)所以第二章矩陣

§5矩陣的初等變換第七十二頁，共一百頁，2022年，8月28日r2(–2)r3(–1)所以作業(yè)：P71習(xí)題2-53.(3)

4.(3)(4)5.(2)（提示見下頁）r1+r2r3–r2r1–2r3r2–5r3第二章矩陣

§5矩陣的初等變換第七十三頁，共一百頁，2022年，8月28日如果要求X=BA-1,則可對(duì)矩陣作初等列變換.列變換即可求得X=BA-1.通常更習(xí)慣作初等行變換，此時(shí)應(yīng)對(duì)(AT|BT)作初等行變換.行變換即可求得XT=(AT)-1BT=(A-1)TBT=(BA-1)T,從而求得X=BA-1.第二章矩陣

§5矩陣的初等變換習(xí)題2-5：5（2）提示：第七十四頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩一、矩陣秩的概念

定義:在mn矩陣A中任取k行k列(km,kn),位于這k行k列交叉處的k2個(gè)元素,不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得到的k階行列式,被稱為矩陣A的k階子式.說明：mn矩陣A的k階子式共有定義:設(shè)在矩陣A中有一個(gè)不等于0的r階子式D，且所有r+1階子式(如果存在的話)全等于0，那么D稱為矩陣A的一個(gè)最高階非零子式，數(shù)r稱為矩陣A的秩,記作R(A).規(guī)定:零矩陣的秩等于0.說明:

mn矩陣A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高階數(shù).第七十五頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩例3:

求矩陣A和B的秩，其中A的3階子式只有|A|,且經(jīng)計(jì)算可知|A|=0.所以,R(A)=2.B=解:

在矩陣A中，容易看出一個(gè)2階子式而矩陣B是一個(gè)行階梯形矩陣,其非零行有3行,所以B的所有4階子式全為零.而以三個(gè)非零行的第一個(gè)非零元為對(duì)角元的3階行列式所以,R(B)=3.第七十六頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩二、矩陣秩的求法定理2:若A

B,則R(A)=R(B).證明不作要求

利用初等變換求矩陣秩的方法:

用初等行變換把矩陣變成為行階梯形矩陣,行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4:

求矩陣A=的秩.并求A的一個(gè)最高階非零子式.解:

用初等行變換將A化為行階梯矩陣:第七十七頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩r1r4r2r4r32r1r43r1r33r2r44r2r4r3由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知:R(A)=3.以下求A的一個(gè)最高階非零子式.第七十八頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩將矩陣A按列分塊,A=(a1

a2

a3

a4

a5),則矩陣B=(a1

a3

a5)的行階梯形矩陣為由于R(A)=3，可知A的最高階非零子式為3階。矩陣A的3階考察A的行階梯形矩陣.子式共有所以R(B)=3,故B中必有3階非零子式,B的3階子式共有4個(gè).計(jì)算B的前三行構(gòu)成的子式第七十九頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩則這個(gè)子式便是A的一個(gè)最高階非零子式.對(duì)于n階可逆方陣A，因?yàn)閨A|0,所以A的最高階非零子式為|A|,則R(A)=n.即可逆矩陣的秩等于階數(shù).故又稱可逆(非奇異)矩陣為滿秩矩陣,奇異矩陣又稱為降秩矩陣.第八十頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩例5:設(shè)求矩陣A和矩陣B=(A

|

b)的秩.分析:設(shè)矩陣B的行階梯形矩陣為B=(A|

b),則A就是A的行階梯形矩陣.因此可以從B=(A|b)中同時(shí)考察出R(A)及R(B).解:r2–2r1r3+2r1r4–3r1第八十一頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩所以,R(A)=2,R(B)=3.r22r3–r2r4+3r2r35r4–r3=B1說明：此例中的矩陣B為矩陣A和向量b所對(duì)應(yīng)的線性方程組Ax=b的增廣矩陣.B1為與Ax=b等價(jià)的線性方程組A1x=b1的增廣矩陣.A1x=b1的第三個(gè)方程為0=1,即矛盾方程,由此可知:方程組A1x=b1無解,故方程組Ax=b也無解.第八十二頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩三、矩陣秩的性質(zhì)性質(zhì)1:0R(Amn)min{m,n};性質(zhì)2:

R(AT)

=

R(A);性質(zhì)3:若AB,則R(A)

=

R(B);性質(zhì)4:若P,Q可逆,則R(PAQ)

=

R(A);性質(zhì)5:max{R(A),R(B)}R(A

|

B)

R(A)

+

R(B)；性質(zhì)6:

R(A

+

B)

R(A)

+

R(B).性質(zhì)7:

R(AB)min{R(A),

R(B)}.性質(zhì)8:若AmnBnl=O,則R(A)+R(B)n.第八十三頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

§6矩陣的秩例6:

設(shè)n階方陣A滿足A2=A,E為n階單位矩陣，

證明：R(A)+R(A–E)

=n.所以,由矩陣秩的性質(zhì)8可知:R(A)+R(A–E)n.證明:由條件A2=A得,A(A–E)=O,再由矩陣秩的性質(zhì)6結(jié)論得:R(A)+R(A–E)

=

R(A)+R(E–A)

R(A+(E–A))=

R(E)

=

n.因此,有R(A)+R(A–E)=n.作業(yè)：P77習(xí)題2-6

6.(3)第八十四頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

本章小結(jié)1.內(nèi)容提要名稱要點(diǎn)矩陣的概念(1)矩陣的定義以及七種特殊矩陣(2)同型矩陣及矩陣相等的概念矩陣的運(yùn)算(1)矩陣的各種運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)律逆矩陣（重點(diǎn)）(1)可逆矩陣的定義及性質(zhì)(2)伴隨矩陣的性質(zhì)(3)矩陣可逆的判別定理及可逆矩陣的求法分塊矩陣(1)分塊矩陣的運(yùn)算規(guī)則(2)利用分塊矩陣求逆矩陣第八十五頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

本章小結(jié)名稱要點(diǎn)矩陣的初等變換(1)三種初等變換(2)矩陣的行階梯形、行最簡(jiǎn)形及標(biāo)準(zhǔn)形（牢記）(3)矩陣初等變換的應(yīng)用(重點(diǎn))矩陣的秩(1)矩陣秩的定義及性質(zhì)(2)矩陣秩的求法(重點(diǎn))第八十六頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

本章小結(jié)(4)初等變換法.2.求逆矩陣的方法:牢記(2)伴隨矩陣法:(3)分塊矩陣法；(1)待定系數(shù)法;第八十七頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

本章小結(jié)3.求矩陣秩的方法(1)利用定義(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));(2)初等變換法(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).4.對(duì)n階方陣A，下列說法等價(jià)是可逆矩陣是非奇異矩陣是滿秩矩陣A~E第八十八頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

習(xí)題課例1設(shè)方陣A滿足方程(1)證：(2)第八十九頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

習(xí)題課例2

設(shè)三階方陣A,B滿足關(guān)系式:A-1BA=6A+BA,且求B.解:

由于|A|=1/560,所以A可逆,且由A-1BA=6A+BA,得A-1BA–BA=6A,則(A-1–E)BA=6A,第九十頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

習(xí)題課由A和(A-1–E)均可逆可得:由于所以(A-1–E)可逆,且第九十一頁，共一百頁，2022年，8月28日第二章矩陣

習(xí)題課例3設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*,證明:(1)若|A|=0,則|A*|=0;(2)|A*|=