高等代數(shù)September23, .本站的內(nèi)容，采用創(chuàng)作共用組織（CreativeCommons）的“公共領(lǐng)域”（Public）。即放棄一切權(quán)利，全歸公共領(lǐng)域。但涉及到其他人的摘錄、、投稿、翻譯等類內(nèi)容不在此列。本文的內(nèi)容學(xué)習(xí)參考之用,作者不對內(nèi)容的正確性作任何承諾,作者不對因使用本文而造成的一切承擔(dān)任何責(zé)任.住別人做是別人的，自己做才是自己的 確的.歡迎.本站純粹是出于個人創(chuàng)辦的,沒有任何之目的,而空間,都是需要money的,這都是掏腰包的.二百多元的錢倒還是付得起,這還不是主要的,主要的是時所以,如果你認(rèn)為本站內(nèi)容對你有用或喜歡本站,那就幫我點(diǎn)點(diǎn)那個美麗的風(fēng)景(廣告),或者幫我在你的,等地方推薦給你的同學(xué)等,給推廣一下吧.以便能夠幫助的同學(xué)1 1 高等代數(shù)問題解答1高等代數(shù)問題解答1.設(shè)實(shí)對稱矩陣A的階數(shù)為偶數(shù),且滿足A3+6A2+11A+6E=0.證明:A的伴隨矩Aα=λα,α?=故由α?=0

0=(A3+6A2+11A+6E)α=(λ3+6λ2+11λ+0=λ3+6λ2+11λ+6=(λ+1)(λ+2)(λ+即A的特征值只能為?1?2?3.由A的階數(shù)為偶數(shù)知|A|>0.(因?yàn)樾辛惺綖樗刑卣髦档某朔e).A?1的特征值只能為?1,1,1.而A?=1從而A?的特征值都是負(fù)的.易 知A?實(shí)對稱.所以A?是負(fù)定矩陣設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間,V=W1W2.A1,A2分別為W1,W2上的線性變換.定義法則A如下:A(α1+α2)=2A1(α1)?3A2(α2),?α1∈W1,α2∈求證A是V求證W1是A?若dimW1n1dimW2n2detA1d1detA2d2,求detA證明1,β1W1α2β2W2?kP,A[(α1+α2)+(β1+=A[(α1+β1)+(α2+=2A1(α1+β1)?3A2(α2+=2A1(α1)+2A1(β1)?3A2(α2)?=A(α1+α2)+A(β1+A[k(α1+α2)]=A(kα1+kα2)=2A1(kα1)?3α=k(2A1(α1)?3A2(α2))=2A(α1+?α1W1,于設(shè)

α1=α1+0,α1∈W1,0∈A(α1)=2A1(α1)?3A2(0)=2A1(α1)∈α1,···,與β1,···, 1高等代數(shù)問題解答分別為W1,W2的基,則它們合起來為VA1(α1,···,αn1)=(α1,···,αn1A1(β1,···,βn2)=(β1,···,βn2 A(α1,···,

,β1,···,βn)=(α1,···,

,β1,···,βn

于

detA

=|2A1||?3A2|=2n1d1(?3)n2設(shè)rank(A?E)=prank(BE)=q.求證:rank(AB?E)≤p(A?

→A? AB?

→A? AB?B? B? A? AB?故(A?

(A? AB?Bp+q=

=B?

A? AB?

≥rank(AB?設(shè)AB都是n階方陣,且rank(A)=rank(BA).證明:rank(A2)=證明:首先線性方程組Ax=0的解都是BAx=0的解,又rank(A)=rank(BA),故兩個方程組的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)相等,從而Ax=0與BAx=0同解.下證A2x=0與BA2x=0同解.顯然A2x=0的解是BA2x=0的解.設(shè)x0為BA2x=0的0=BA2x=即Ax是BAx=0的解,由Ax=0與BAx=0同解可得0=A(Ax)=A2x.這就證明了A2x=0與BA2x=0同解.從而其基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)相等,即n?rank(A2)=n?從而rank(A2)=設(shè)AB為可換的n階實(shí)對稱矩陣,且AB,AB都可逆,證明:(AB)?1?=A?1證明:由于A為實(shí)對稱矩陣,故存在正交陣PP?1AP 其中λ1······λt為A的互不相同的特征值.于是由AB=BAP?1APP?1BP=P?1BPP 1高等代數(shù)問題解答

P?1BP

而由B也是實(shí)對稱矩陣,從而也能夠?qū)腔?即Bri可對角化,故存在正交陣PriP?1BrPr

,i=1,···, 令

Q則Q,H

...

,H=PQH?1BH ,H?1AH 都是對角陣.由AB,AB都可逆知μiλiλμi都不等于01/(λ1+(A+B)?1=A?1+B?1=

1/λ1+

1/(λn+1/λn+

設(shè)APn×nW={BPn×n|AB=(1)求證:W是Pn×n(2)若A的全體次數(shù)非零的不變因子為λ,λ2(λ?1),求dim()首先,由于矩陣的秩不隨數(shù)域的擴(kuò)大而改變,故線性方程組是否有解,齊次線性方程組解空間的維數(shù)及齊次線性方程組是否有非零解等均與數(shù)域的擴(kuò)張無關(guān),從而矩陣方程AX=XA由條件知A的Jordan0J 00 高等代數(shù)問題解答即存在可逆矩陣P使得P?1AP=J.P?1APP?1BP=P?1BPP計(jì)算可得P?1BP從而可知dimW

P?1BP

b33 高等代數(shù)問題解答2高等代數(shù)問題解答令 ·· 10·· 0J(0,n)...·· . ·· ·· 為復(fù)數(shù)域C上的nn求J(0,n)2的最小多項(xiàng)式(2)計(jì)算特征矩陣λEJ(0n)2的行列式因子,不變因子,初等因子;(3)給出J(0n)2的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.J(0,n)為復(fù)數(shù)域C上的nn求J(0,n)2的最小多項(xiàng)式

·· ·· 010·· 0...·· . ·· ·· (2)計(jì)算特征矩陣λEJ(0n)2的行列式因子,不變因子,初等因子;(3)給出J(0n)2的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.解:首先,J(0,n)2是把J(0,n)中的1000··000000··000100··000J(0,n)2..··.. ·· ·· ·· 類似的,J(0,n)k就是把1平移k—1層,故J(0,n)n?1只有第n行第1列交叉處為1,其余元素都為0,J(0,n)n=0.從而J(0,n)的最小多項(xiàng)式為λn?1.易知J(0,n)2的特征多項(xiàng)式為λn,且第n?2個不變因子為dn?2(λ)=若n為偶數(shù)22(J(0,n)2)n=J(0,n)n=0,(J(0,n)2)n?1=J(0,n)n?2?=22 2高等代數(shù)問題解答 故Jn)的最小多項(xiàng)式為λ2, d1(λ)=···=dn?2(λ)=1,dn?1(λ)=λ2,dn(λ)=λ若n為奇數(shù),同(i)可得不變因子d1(λ)=···=dn?2(λ)=1,dn?1(λ)=

2,dn(λ)=

設(shè)n維線性空間V的線性變換σ的最小多項(xiàng)式與特征多項(xiàng)式相等.證明:存在α∈V使得α,σ(α),···,σn?1(α)為V的基.證明:設(shè)σdn(λ)=λn+bn?1λn?1+···+b1λ+則σ的不變因子為1,···,1,dn(λ),而矩 ·· F

... σ(α1,α2,···,αn)=(α1,α2,···,故令αα1,為V

α=α1,σ(α)=α2,···,σn?1(α)=設(shè)A,B都是mn矩陣,線性方程組AX=0與BX=0同解,則A與B與將AB

AX={Ax=Bx=(r(A)=rB. ..A ,B . 2高等代數(shù)問題解答則α1·,·αm的極大無關(guān)組是α1···αmβ1,··,βm的極大無關(guān)組,從而β1···βm由α1,···,αm線性表示,即B的行向量可由A的行向量線性表示,類似可得A的行向量可4.設(shè)σ為有理數(shù)域上的線性空間V的線性變換,g(x)=x(x2x1).證明:若g(σ)=0.則V=Imσ⊕kerσ.證明:記g1(xxg2(xx2x1.g(x)=g1(x)g2(x),(g1(x),g2(x))=于是存在u(x)v(x)Q[x]從

g1(x)u(x)+g2(x)v(x)=g1(σ)u(σ)+g2(σ)v(σ)=α=g1(σ)u(σ)α+g2(σ)v(σ)α∈kerg1(σ)=kerσ,g1(σ)u(σ)α=σ(u(σ)α)∈即VImσkerσ.而ImσkerσV是顯然的.從而VImσker2?αImσkerσ,則存在βV使得σ(βα,0σ(ασ(β)β=g1(σ)u(σ)β+可α=σ(β)=u(σ)σ2(β)+g(σ)v(σ)β=即Imσkerσ{0}.故VImσkern階矩陣AB都可對角化,且ABBA.則存在可逆矩陣PP?1AP,P證明:設(shè)λ1···λs為A的全部互異的特征值,其重?cái)?shù)分別為r1···rs.則存在可逆矩由AB=BA

Q?1AQ

Q?1AQQ?1BQ=故Q?1BQ 2高等代數(shù)問題解答其中Bi為ri階方陣.由于B可以對角化,故Bi也可對角化.設(shè)存在ri階可逆陣RiiR?1BiRi,i=1,···,iR則P=QR

推論:設(shè)AB都是nn矩陣,ABBA.證明:若AB都相似于對角陣,則AB也相似于設(shè)A是一個2n×2n矩陣,證明:如果對于任意的2n

2矩陣B,矩陣方程AX=B證明:設(shè)ei為2n維單位向量,令B=(eiej)則AX=B有解,設(shè)為Xij,則有A(X12X34···X(n?1)n)=(e1e2e3e4···en?1en)=其中(X12X34,···,X(n?1)n)為方陣,故A設(shè)V是歐幾里德空間,β,α1α2···αsV,β?0.設(shè)W1是由{α1α2···αs}生成的子空間,W2是由{β,α1α2···αs}生成的子空間.證明:若(β,αi0i1···s,則dimW1?=dimW2.證明:反證法.設(shè)dimW1dimW2,又W1W2,故W1=W2.β=k1α1+···+ksαs,ki∈R,i=1,···,由(β,αi)=0i=1···s,(β,β)=(k1α1+···+ksαs,β)=從而β= 設(shè)V是復(fù)數(shù)域上的n維線性空間,σ,τ為V上兩個可對角話的線性變換,且στ=τσ.明 的不變子空間;(2)存在一組基,使得σ,τ在此基下的矩陣都是對角陣.證設(shè)ABC分別為mmnn,mn(m>n).階矩陣,且AC=CBr(C)=r.明A,B至少有r證明:

PCQ

)由ACCB

PACQ= 2高等代數(shù)問題解答即PAP?1PCQ= 設(shè)PAP?1

,Q?1BQ

=B,PAP?1

,Q?1BQ

故

|λE?A|=|λE?A11||λE?|λE?B|=|λE?A11||λE?設(shè)P是一個數(shù)域,V是P上的n維線性空間,σ是V上的線性變換,r是正整數(shù).證明:如果(λ0E?σ)r的核不是{0},則λ0是σ的一個特征值.證明：由條件知存在0?=α∈ker(λ0Eσ)r(λ0E?σ)r(α)=若(λ0Eσ)(α)=0,否則,設(shè)s是使得(λ0E?σ)s(α)=0(λ0E?σ)s?1(α)?=0,(λ0E?σ)s(α)=則(λ0E?σ)s(α)=(λ0E?σ)[(λ0E?σ)s?1(α)]=即(λ0E?σ)s?1(α)為σ的屬于特征值λ0設(shè)AB是兩個n×n實(shí)對稱矩陣,B正定,x∈Rn.<Ax,xG(x)=<Bx,x>,x?=在LTAL的最大特征值與最小特征值之間,其中L是某個可逆矩陣,<·,·>表示Rn中的內(nèi)積 PTBP=而PTAP是實(shí)對稱矩陣,故存在正交陣T使T?1PTAPT 其中λ1≤···≤λn為矩陣LTAL(LPT)的特征值.而T?1PTBPT=令Q=(PT)?1,于

A= Q,B=QT<Ax,x xT

. 令Qxy,

G(x)=<Bx,x>=xTBx

(Qx)Ty

λ1≤G(x)yT

≤ 3高等代數(shù)問題解答設(shè)V是數(shù)域P上的n維線性空間,σ是V的線性變換.證明:如果σ5=3σ2?6σ,則VImσ⊕證明:記f(x)=x53x26x,f(x)=f1(x)f2(x),f1(x)=x,f2(x)=x4?3x+6,(f1(x),f2(x))=于是存在u(x),v(x)使f1(x)u(x)+f2(x)v(x)=故f1(σ)u(σ)+f2(σ)v(σ)=I,f(σ)=下證VImσkerσ.首先ImσkerσV,下證VImσkerσ.?αV,α=I(α)=f1(σ)u(σ)(α)+易知f2(σ)v(σ)(α∈kerσ,f1(σ)u(σ)(ασ(u(σ)(α∈Imσ.從而VImσ再證VImσ⊕kerσ.?α∈Imσkerσ,則存在β∈Vσ(β)=α,0=σ(α)=

β=I(β)=f1(σ)u(σ)(β)+α=σ(β)=σ2u(σ)(β)=u(σ)σ2(β)=設(shè)n階矩陣A,B滿A2+A=2E,B2=B,AB=證明:存在可逆矩陣Q使得Q?1AQ,Q?1BQn階矩陣AB都可對角化,且ABBA.則存在可逆矩陣PP?1AP,P證明如下:設(shè)λ1···λs為A的全部互異的特征值,其重?cái)?shù)分別為r1···rs.則存在可逆Q?1AQ 3高等代數(shù)問題解答由AB=BA故

Q?1AQQ?1BQ=Q?1BQQ?1AQQ?1BQ 其中Bi為ri階方陣.由于B可以對角化,故Bi也可對角化.設(shè)存在ri階可逆陣RiiR?1BiRi,i=1,···,iR

f(x)=x2+x?2,g(x)=x2?分別為A,B的零化多項(xiàng)式,而f(x),g(x)都無重根,從而A,B的最小多項(xiàng)式為重根.故A,B都3.計(jì)算n+1 ·· ·· ··

··

··

··

··

··

an?2

n+1 解:只考慮a1,···,an+1都不為0

··

n+1

i第i行除以an(i=1···n+1)i(浙大02)設(shè)σ為n維線性空間V的線性變換,σ在V的某組基下的矩陣為A,證明r(A2)=r(A)的充要條件為V=Imσker必要性.設(shè)α1···αn為Vσ(α1,···,αn)=(α1,···,則σ2(α1,···,αn)=(α1,···,Imσ=L(σ(α1),···,σ(αn))=L(β1,···,其中β1,···,βs為ImσImσ2=L(σ(β1),···, 3高等代數(shù)問題解答由于r(A2)=r(A),dimImσ2=dim于是σ(β1),···,σ(βs)為Imσ2的一組基?αImσkerσ,α=k1β1+···+由0=σ(α)=k1σ(β1)+···+以及σ(β1)···σ(βs)線性無關(guān),可得k1···ks=0,故α=0.Imσ∩kerσ=又dim(Imσ+kerσ)=dimImσ+dimkerσ?dim(Imσ∩kerσ)=n=dimImσ+kerσ?從而V=Imσker充分性.顯然Imσ2??σ(α)Imσ,αV,α=σ(β)+γ,σ(β)∈Imσ,γ∈ker于Imσ2Imσ,故r(A2

σ(α)=σ2(β)∈設(shè)n維線性空間 的線性變換σ的特征多項(xiàng)式f(λ)=(λ?λ1)n1(λ?λ2)n2,λ1?=且α1?=0β1?=

σα1=λ1α1,(σ?λ1I)α2=α1,···,(σ?λ1I)αn1=αn1?1σβ1=λ2β1,(σ?λ2I)β2=β1,···,(σ?λ2I)βn2=αn2?1證明:α1···,αn1,β1,···,βn2為V的基,并求σ在此基下的矩證明:首先證明α1,···,αn1線性無k1α1+···kn1αn1=則0=(σ?λ1I)(k1α1+···kn1αn1)=k2α1+···+kn10=(σ?λ1I)2(k1α1+···kn1αn1)=k3α1+···+kn1αn ·····0=(σ?λ1I)n1?1(k1α1+···knαn)=kn 故可得kn1···k10.即α1···αn1類似可知β1···βn2令f1(λλλ1)n1f2(λλλ2)n2,f(λ)=f1(λ)f2(λ),(f1(λ),f2(λ))=由(f1(λ),f2(λ))=1,則存在u(λ),v(λ)f1(λ)u(λ)+f2(λ)v(λ)=故下證V=kerf1(σ)

f1(σ)u(σ)+f2(σ)v(σ)=顯然kerf1(σkerf2(σ)?V,下證V?kerf1(σkerf2(σ).?α∈V,α=f1(σ)u(σ)(α)+以及f(σ0可f1(σ)u(σ)(α)∈kerf2(σ),f2(σ)v(σ)(α)從而VVkerf1(σ?α∈kerf1(σ∩kerf2(σ),α=f1(σ)u(σ)(α)+可得α=故V=kerf1(σ)α1,···,α1n1∈kerf1(σ),β1,···,βn2故

≤n1,

≤n2,又n1+n2=n,dimkerf1(σ)+dimkerf2(σ)=n,故dimkerf1(σ)=n1,dimkerf2(σ)=n2.α1···α1n1與β1···分別為kerf1(σ)與kerf2(σ)的基,從而是Vσ在此基下的矩陣易求,省略 4高等代數(shù)問題解答例4.1設(shè)A是n×n 稱矩陣.證明:?A2半正定證明:首先?A2ATA,故?A2是實(shí)對稱矩陣.(法1?X∈Rn,有XT(?A2)X=XTATAX=(AX)T(AX)≥即?A2是半正定的 0,···,0,a1i,?a1i,···,asi,

0,···,0,a2,a2,···,a2, 例4.2設(shè)V是一個n維歐幾里得空間,g(x)=對于V的任意非零向量α,都有(α,g(σ)(α

—3x+7,σ是V的一個對稱變換.證明e1,e1,的矩陣為g(A)=A2—3A+7E.由A實(shí)對稱可知g(A)是實(shí)對稱矩陣.設(shè)λ是A的任一特征值,g(λ)=λ2?3λ+7=(λ?3)2+ ?αVα?0,設(shè)α在e1···en下的坐標(biāo)為X,則X?0,(α,g(σ)(α))=XTG(e1,···,en)g(A)X=XTg(A)X>4.3設(shè)APn×nn3,且r(An2,設(shè)W{BPn×2|AB證明:W關(guān)于矩陣通常的加與數(shù)量乘積是P求W證明:(1)(2)由于B的列是線性方程組Ax=0的解,設(shè)α1,α2是Ax=0(α1,0),(0,α1),(α2,0),(0,是W的一組基.從而dimW= 4高等代數(shù)問題解答例4.4設(shè)p(x),q(x)都是有理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式.證明:如果p(x),q(x)的最大公因式不是一個非零常數(shù),則存在一個非零常數(shù)c使得p(x)=cq(x).證明:設(shè)(p(x)q(x))=d(x),則d(x存在非零常數(shù)c1,c2使

由d(x)|(x)d(x)q|(x)以及p(x)q(x)不可約4.5

d(x)=c1p(x),d(x)=V=R[x]n= R,是實(shí)數(shù)域R上的n維線性空間.設(shè)σ是Vσ(g(x))=g(x)+g′(x),?g(x)∈V 試求σ在基{1x,2···(n1)!}在 中共有多少個σ的不變子空間？并證明你的結(jié)論 證明:(1)易知σ在基{1x,2···,(n1)!}下的矩11 11 ··001 ··0001··0...··. ··1 ··1V0={0},V1=L(1),V2=L(1,x),V3=L(1,是σ的不變子空

2),···,Vn=L(1,x,2,···,(n?1)!)=設(shè)W是σ的任一不變子空間,下證W必等于某個(1)若W{0}, (2)(法1)設(shè)W?={0},且f(x)···f(x)為W的基,設(shè)f(x)···f(x)由{1

x2,···

1

xi

(n? j(x)=kj01+kj1x+···+kjii!,kji?= 4高等代數(shù)問題解答則由W是σ 同

(σ?I)(fj(x))=fj(x)=kj11+kj2x+···+kji(i?1)!W (σ?I)(fj(x))=fj(x)=kj21+kj3x+···+kji(i?2)!fj(x)=kj01+kj1x+···+kjii! (σ?I)(fj(x))=fj(x)=kj11+kj2x+···+kji(i?1)!W (σ?I)(fj(x))=fj(x)=kj21+kj3x+···+kji(i?2)!····· (σ?I)i?1(fj(x))=f(i?1)(x)= j(σ?I)i(fj(x))=f(i)(x)=kji1j1,

x2,···,xiW. 于是i1≤r,又f1(x)···fr(x)由{1i+1.

2···i}線性表示,故ri1,從而dimWr W=L(1,x,2,···,i!4.6(蘇州大學(xué)02)設(shè)V為有理數(shù)域Q上的n維線性空間,σ,τ為V的線性變換,其中τ可對角化,且στ?τσ=σ.證明存在正整數(shù)m使得σm=0.證明:注:此題中的條件:有理數(shù)域以及τ可對角化好像無用.設(shè)σ,τ在V的某組基下的矩陣分別為A,B.首先,對正整數(shù)kkAk=AkB?當(dāng)k=1假設(shè)結(jié)論對k?1成立,下證結(jié)論對k(k?1)Ak?1=Ak?1B?BAk?1,AB=A+ 4高等代數(shù)問題解答故(k?1)Ak=A(Ak?1B?BAk?1)=AkB?ABAk?1=AkB?(A+BA)Ak?1=AkB?Ak即kAkAkB于tr(A)=tr(AB?BA)=tr(AB)?tr(BA)=tr(2A2)=tr(A2B?BA2)=tr(A2B)?tr(BA2)=·····tr(nAn)=tr(AnB?BAn)=tr(AnB)?tr(BAn)=故tr(A)=tr(A2)=···=tr(An)=0.于是由牛頓公式可知A的特征值都是0. 5高等代數(shù)問題解答5高等代數(shù)問題解答5.1(西南大學(xué)2009)設(shè)σ是n維線性空間V的可對角化的線性變換,W是σ的不變子存在σ的不變子空間W′使得V=WW設(shè)σ|W是σ在W上的限制線性變換,則σ|W證明:參看王品超--高等代數(shù)新方法(下)P444問題69.或丘維聲--高等代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)V=Vλ1⊕···⊕其中λ1,···,λs是σ的互不相同的特征值?αW,α=α1+···+αs,αi∈Vλi,i=1,···, 則α=α1+···+αsσ(α)=λ1α1+···+λsαsσ2(α)=λ2α1+···+λ2αs ·····

(α)=

+···+ 即(α,σ(α),σ2(α),···,σs?1(α))=(α1,···, 其 ·· λ22 ·· λ22A .

·· λ.s ·· sλλ

·· λ是可逆矩陣,故α1,···,αs可由α,σ(α),···,σs?1(α)線性表示α=α1+···+αs,αi∈Vλi,i=1,···,可W?W∩Vλ1+···+W∩而W?W∩Vλ1+···+W∩

W=W∩Vλ1+···+W∩在(4)中令α0可得α1=···αs=0.W=W∩Vλ1⊕···+⊕W∩由于W∩Vλ(i=1,···,s)仍然是V的子空間,故存 空間W′,使 Vλi=W∩Vλi⊕Wi,′i=1,···, ?αi∈Wi,則αi∈Vλi, α′=0+ 從λiα′=σ(α′)=0+σ(α′)= 即Wi′是σ的不變子空間, W′=W

⊕···⊕W仍為σ的不變子空

V=W⊕W設(shè)m(λ)m1(λ)分別是σσ|W的最小多項(xiàng)式,由于σ能對角化,故m(λ)為互素的一次因式的乘積.又?α∈W,m(σ|W)(α)=m(σ)(α)=故m(σ|W)=0.從而m(λ)是σ|W的零化多項(xiàng)式,于是m1(λ)|m(λ).由m(λ)為互素的一次因式的乘積知m1(λ)為互素的一次因式的乘積,從而σ|W可對角化. 6高等代數(shù)問題解答6.1(中國礦業(yè)大學(xué)2009)設(shè)αβ是線性空間V中的任意兩個非零向量,則必有可逆的線性變換T使得T(α)=β.證明:只考慮V(1)若α,β線性相關(guān),不妨設(shè)α=kβ,則令T=1I即可.其中Ik(2)若α,β線性無關(guān),將α,β擴(kuò)充為Vα,β,α3,···,令T(α)=β,T(β)=α3,T(αi)=αi+1,i=4,···,n?1,T(αn)=則T6.2(中國礦業(yè)大學(xué)2007)設(shè)α,β是歐氏空間V中的任意兩個單位向量(長度為1),則必存在正交變換T使得T(α)=β.證明:只考慮V(1)若α=β,令T=I(2)若α?=β,γ=α?β則γ1

|α?則T

T(γ)=γ?2(γ1,T(α)=α?2(α?β,α)α?β=|α? |α?且將γ1擴(kuò)充為V的標(biāo)準(zhǔn)正交基γ1,γ2,···,γn后可得T在此基下的矩陣為diag(?1,1,···,1).從6.3(中國礦業(yè)大學(xué)2008V是域F上的所有n(≥合.Ei,j表示(ij)位置的元素為1,其余元素為0的n階方陣.證明:V求V

2)階嚴(yán)格上三角方陣的集3.令P=∑n Ei,n?i+1,定義V上的線性變換η:V→V,X→PXTP.證明它是V上的線 η的特征值只可能是1或 6高等代數(shù)問題解答證明:1P . .1故PTPPPTE,η2(x)=η(PTXP)=PT(PTXP)TP=PPTXPPT=即η2=I例6.4設(shè)n階方陣A的順序主子式均不為0,則有n階下三角矩陣B使得BA陣證明:設(shè)Aaij)n×n,對n當(dāng)n1時,Aa11),一階矩陣既是上三角又是下三角的,取B1),則BA陣假設(shè)結(jié)論對n?1階矩陣成立.下證結(jié)論對n將A分塊令

A E EB1 1?βA 1 BA

1 ann?1由歸納假設(shè)存在下三角陣P使得PA為上三角陣,令B

,則B=BB 2且BA

nn?βA1 6.5設(shè)Aaij)n×n,6.5設(shè)Aaij)n×n,··.····.證明存在n階下三角矩陣L與n階上三角矩陣U使得A=例6.6設(shè)A是數(shù)域P上的n階方陣,且在數(shù)域P中有r個不同的特征值λ1,···,λr,其重?cái)?shù)分別為n1,···,nr,且n1+···+nr=n.則A相似于對角陣的充要條件為r(λiE?A)=n?ni,i=1,···,r.證明:必要性.由條件,存在可逆矩陣P...iA=P i于(λi?

λiE?A=P 從而可得r(λiE?A)=n?ni,i= ,

(λi?充分性.由條件易知特征值λi的幾何重?cái)?shù)為n?而A相似于對角陣

A)=ni, 7高等代數(shù)問題解答例7.1 師范大學(xué)2010復(fù)試)設(shè)p是奇素?cái)?shù),證明:多項(xiàng)f(x)=(p?1)xp?2+(p?2)xp?3+···+2x+證明:(法1)xp— g(x)

x?

=x?1+x?2+···+x+xf(x)=(p?1)xp?1+(p?2)xp?2+···+故(1?x)f(x)=?(p?1)xp?1+xp?2+···+x+=?pxp?1+xp?1+xp?2+···+x+=?pxp?1+xp?x?從(x?1)(1?x)f(x)=(1?p)xp+pxp?1?令xy1, =(1?p)yp+[(1?p)C1+ ]yp?1+···+[(1?p)Cp?k+

ky+··+[(1?p)Cp?3+pCp?4]y3+[(1?p)Cp?2+pCp?3]y2+[(1?p)Cp?1+ +(1?p+p?=(1?p)yp+···+(p?1)(p?2)···(k+1)p(1?(p?k? p?+(p?1)···4?2py3+(p?1)···3?p(p?于

p? (p?

p?

p?k?f(y+1)=(1? +···+(1? +(?2)Cp?3y+ p(p?1)···(k+Cp?kp故

(p?

,(p,(p?k)!)=(p?k)!|p(p?1)···(k+ 高等代數(shù)問題解答于

ppff(x)=

—1)′=

p?1(x?1)?

–1)x?故

(x?g(y)=f(y+1)=p(y+1)p?1y?(y+1)p+ y2

1p

2 p[y?1+ y?2+···+C?2y+ y+Cy?+···+Cy+C= — =(p?1)yp?2+ —

1，中間各項(xiàng)系數(shù)均為p的倍數(shù),常數(shù)項(xiàng)為p(p?1).2 高等代數(shù)問題解答8高等代數(shù)問題解答8.1設(shè)AB為n階實(shí)對稱矩陣,且ABBA.則存在可逆矩陣PP?1AP,P證明:設(shè)λ1···λs為A的全部互異的特征值,其重?cái)?shù)分別為r1···rs.則存在正交矩由AB=BA

Q?1AQ

Q?1AQQ?1BQ=故Q?1BQ i其中Bi為ri階方陣.由于B是實(shí)對稱矩陣,故Bi也是實(shí)對稱矩陣,從而可對角化.設(shè)存i

R?1BiRi,i=1,···,R則P=QR

高等代數(shù)問題解答9高等代數(shù)問題解答例9.1如果M1M2是n 1|M1+且等號成立的充要條件為M1=

證明:首先,由附 題可知,存在可逆矩陣Q使M1=QTEQ,M2=其中λi0i1···n.

|M1+M2|=|Q|2(1+λ1)···(1+λn),|M1|=|Q|2,|M2|=|Q|2(λ1···1(1+λ1)···(1+λn)≤1+1由√

···

1+λi≥2λi,i=1,···, ≤1 令y=λ1···λn,則y>0,

λ1···

λ1···

√y≤1+y)2y≤(1+y)4y2≤(1+4y≤(1+ 高等代數(shù)問題解答附命題:若A,B均為n階實(shí)對稱矩陣,且A正定,則存在可逆矩陣TA=TTT,B=TTdiag(λ1,···,或TTAT=E,TTBT=diag(λ1,···,其中λ1···λn為|λAB|=0的n個實(shí)根.并且若Bλi>0,i=1,···,證明:由A正定,故存在可逆矩陣PA=PT而由于B為實(shí)對稱矩陣,故PTBP為實(shí)對稱矩陣,從而存在正交矩陣QPTBP=QTdiag(λ1,···,于而

B=(QP?1)Tdiag(λ1,···,λn)QP|λA?B|=|λPTP?PTdiag(λ1,···,λn)P|=|P|2(λ?λ1)···(λ?故λ1···λn為|λA?B|=0的n易知B正定時,PTBP也正定,故B正定時,λi0i1··· 高等代數(shù)問題解答10高等代數(shù)問題解答例10.1( 入學(xué)考試)設(shè)F是數(shù)域,GL(n,F)是F上的n階矩陣的全體.對任意A,B∈GL(n,F),定義:[A,B]=AB?證明:對任意的A1A2A3GL(n,F),[[A1,A2],A3]+[[A2,A3],A1]+[[A3,A1],A2]=設(shè)SL(n,F)

{AGL(n,F|Tr(A)=0},證明:SL(n,F)是GL(n,F)設(shè)Dn是GL(n,F)中的數(shù)量矩陣組成的子空間,證明:GL(n,F)=SL(n,F)∑SL(n,F) [Ai,Bi]Ai,Bi∈GL(n,F 證明:(1)[[A1,A2],A3]=[A1A2?A2A1,=A1A2A3?A2A1A3?A3A1A2+[[A2,A3],A1]=[A2A3?A3A2,=A2A3A1?A3A2A1?A1A2A3+A1A3A2;[[A3,A1],A2]=[A3A1?A1A3,A2]=A3A1A2?A1A3A2?A2A3A1+

[[A1,A2],A3]+[[A2,A3],A1]+[[A3,A1],A2]=首先,0SL(n,F),故SL(n,F)?=?.ABSL(n,F)kF,由Tr(A)=Tr(BTr(A+B)=Tr(A)+Tr(B),Tr(kA)=可得ABkASL(n,F).故SL(n,F)是GL(n,F)易得Eij(第i行第j列交叉處元素為1,其余元素全為0的n階矩陣i,j=12···nij)E11Eii(i=2···n)是SL(n,F)的一組基?ASL(n,FDn,設(shè)AkE(kF),由ASL(n,F)可得0Tr(Ak,故A=0.即SL(n,F)∩Dn={0}.顯然SL(n,FDnGL(n,F),且dimSL(n,F)=n21dimDn=1,dim(SL(n,F)+Dn)=dimSL(n,F)+dimDn?dim(SL(n,F)∩=n2?1+1+0=n2=dimSL(n,F從而GL(nFSL(n,F)+Dn.由前已證SL(n,F)∩Dn{0},故GL(n,FSL(n,F 高等代數(shù)問題解答11高等代數(shù)問題解答例11.1 理工00)A,B為正定矩陣,則AB正定的充要條件為AB=必要性.由于AB正定,故AB是實(shí)對稱矩陣,從而ABAB)TBTAT充分性.易知AB為實(shí)對稱矩陣,又A=C2,CC?1ABC=C?1C2BC=CBC=CT即AB與CTBC相似,而B正定,故CTBC正定,即CTBC的特征值都大于0,例11.2設(shè)AB為半正定矩陣,則AB半正定的充要條件為AB=證明:必要性.由AB為實(shí)對稱矩陣,故ABAB)TBTAT(法1)由于存在S使得A=S2,其中SAB=S2B=由于PQ與QP有相同的非零特征值,故AB=SSB與SBS=STBS而STBS(法2)設(shè)λ是AB的一個非零特征值,對應(yīng)的特征向量為X,則ABXλX于是XTBABXλXTBX.又XT

≥0,令BPTP,若XTBX0可得PX0,進(jìn)而BX0.從而λXABX=0,故λ= .從而XTBX>0.而≤XTBABX=λXTBX0.于是λ

0.故XTBABX> 高等代數(shù)問題解答12高等代數(shù)問題解答例12.1 科技大學(xué)2009)設(shè)ai,1≤i≤n,是n個非負(fù)整數(shù),試求多項(xiàng)式 xai被x+1解:設(shè)α是x2x+=0的任一復(fù)根,若x2x

xai,αa1+αa2+···+αan=若ai被3整除,則αai1,若ai被3除余1,則αaiα,若ai被3除余2,則αaiα2,αa1+αa2+···+αan=k+lα+∑從而k=l=m.即x2+x+1| xai的充要條件為a1,···,an中被3除余數(shù)為0,1,2的個數(shù)必要性.由于α2=?α?1,于是0=k+lα+mα2=(k?m)+(l?

l?m=0,k?m= 高等代數(shù)問題解答13高等代數(shù)問題解答例13.1(江西師范大學(xué)2009)設(shè)A為×r矩陣,證明:A是列滿秩的充要條件為存在rm矩陣B使得BA證明:充分性.(法1)故r(Ar,即A是列滿秩的.

r=r(Er)=r(BA)≤r(A)≤A=(α1,···,于

x1α1+···+xrαr=AX=0,X= X=ErX=BAX=必要性.由于存在m階可逆矩陣P1與r階可逆矩陣Q1使

)( 0)

Q1=

=

=P 令

B=(Er,0)P例13.2 陣B使得AB

高等代數(shù)問題解答14高等代數(shù)問題解答例14.1一.( 理工大學(xué)20??)已知三階矩陣A與三維列向量X,使得X,AX,A2X線A3X=3AX?1.令PXAXA2X),求三階矩陣B,使APBP求A求可逆矩陣C使C?1AC4.求|A

AP=A(X,AX,A2X)=(X,AX, 1 011012由1.知A與B相似,從而求B的特征值即可,求得特征值為:?3,1, 0Q?1BQ ,Q 故C=PQ?14.由于A+E的特征值為?221,故|A+E|=14.2設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的特征值λ11λ22λ3?2α1(1?11)T是A的屬于λ1的特征向量.記B=A5?4A3+E.求B解:由于A為實(shí)對稱矩陣,故存在正交陣PP?1AP=PTAP=diag(1,2, 3將α1單位化,得β1=(√3,√3,√) 則β1可作為P的第一列,由于P的第2,3列都與第3 β2=(√,√,0),β3=(√,0,√ 高等代數(shù)問題解答15高等代數(shù)問題解答例15.1若 矩陣A的每行 和為a,則A?1的每行 和必為 解:

.= . 則a?=0,否則在上式兩邊左乘A?1可 .從而在上式兩邊左乘A?1,

= 即

和為1.

例15.2若非奇異n階矩陣A的每行 a?=對任意的自然數(shù)m,Am的每行 A?1的每行 和為a?1(a?=(4)a為A的一個特征值,ξ=(11···1)T為對應(yīng)的特征向量;例15.3 大學(xué)04)設(shè)n階可逆矩陣A中每一行之和為a(a?=0).證 Aji=a?|A|(i=1, ,如果aij(i,j=1, ,n)都是整數(shù),則a整除例15.4設(shè)A是數(shù)域P上的nN(A)={x∈Pn|Ax=0},C(A)={Ax|x∈P證明:Pn=N(A)⊕C(A)的充要條件為r(A)=證明:將AA=(α1,α2,···,不妨設(shè)α1α2···αr(rn)是A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組,則r(Ar,且C(A)=L(α1,α2,···,αn)=L(α1,α2,αr),dimC(A)=r(A)=r. 15高等代數(shù)問題解答必要性.只需證明C(A)=C(A2).顯然C(A2)?C(A).下證C(A)?C(A2).forallyC(A),則存在xPn使得y=Ax,由:Pn=N(A)C(A)x=xN+xC,xn∈N(A),xC∈于y=Ax=A(xN+xC)=AxC∈從而C(A)?C(A2).于是C(A)=C(A2),r(A)=dimC(A)=dimC(A2)=充分性.易知N(AC(A)={0}.N(A)+C(A)?Pdim(N(A)+C(A))=dimN(A)+dimC(A)?dim(N(A)∩C(A))=n?r(A)+r(A)=n=dimP故Pn=N(AC(A).又N(AC(A{0},從而Pn=N(A15.5證明:n維線性空間V的任何一個不等于V的真子空間W都是V的若干個n1維子空間的交證明:設(shè)W將其擴(kuò)充為V若r=n?1,結(jié)論成若r<n1,

α1,α2,···,αr(0≤r≤α1,α2,···,αr,αr+1,···,V1=L(α1,α2,···,αr,αr+2,···,V2=L(α1,α2,···,αr,αr+1,αr+3,···,······Vn?r=L(α1,α2,···,αr,αr+2,···,則dimVi=n?1,i=1,2,···,n?r, Vi=W=L(α1,α2,···, 事實(shí)上,由于α1α2···αr∩n?rVi,故W∩n?ri∩n?rVi,由 α=k1α1+k2α2+···+krαr+kr+2αr+2+···+同樣,由αV2,α=l1α1+l2α2+···+lrαr+lr+3αr+3+···+于是由上兩式以及α1α2···αrαr+1···αn線性無關(guān)可得kr+2=類似的,由αV3···vn,可得kr+3=···=kn=0.于α=α=k1α1+k2α2+···+krαr∈ 高等代數(shù)問題解答例15.6設(shè)A是一個n階方陣,l0是A的一個單特征根,X0是A的屬于特征根l0的特征向量,證明:n元線性方程組(l0E?A)X=X0無解.證明:反證法.設(shè)(l0E?A)X=X0有解Y0,由于X0?=0,所以Y0?=0.AY0=l0Y0?故0A2Y0=A(l0Y0?X0)=l2Y0?0用數(shù)學(xué)歸納法可證明,對任意的自然數(shù)m AmY0=lmY0? 設(shè)A的特征多項(xiàng)式為f(x)=xn+an?1xn?1···a1x+a0,則由f(A)=0可得0=f(A)Y0=(An+an?1An?1+···+a1A+a0E)Y0=f(l0)Y0?f再由f(l0)=0可得f′(l0)X0=0,但由題設(shè)l0是f(x)的單根,從而f′(l0)?=0,于是X0= 高等代數(shù)問題解答16高等代數(shù)問題解答例16.1 大學(xué)2008)設(shè)E為n級單位矩陣,a,b為給定的n維列向量并有aTb>0.明 H=E?bTb+aT證明:首先,易知H是對稱矩陣.其次,由aTb知a?=0b?=0,且?x∈Rnx?=0利用柯西xTHx且xTHx=0

(aTb)(bTb·xTx?(bTx)2)+bTb·(aTaTb·bT ≥bTb·xTx(bTx)20且aTx而bTb·xTx(bTx)20的充要條件是x,b線性相關(guān),即xkb(k

0),此時aTxkaTb0.例16.2( 大學(xué)2009)設(shè)α,β為n維歐氏空間Rn中的兩個非零列向量.則αTβ>0的充要條件是存在正定矩陣A使得β=Aα. A=E?αTα+βT例16.3 大學(xué)2010)設(shè)α,β是實(shí)數(shù)域上的n維列向量,并且α(1)Aα=(2)對于方程αTX0的任意一個解X都有AX A=E?αTα+αT

例16.4設(shè)A是n階正定矩陣,XY是n維實(shí)列向量且滿足XTY>0.

M=A+XTY

YTAY 證明:易知Y?0,從而YTAY>0.?ZRnZ?0,ZT=ZTAZ

ZTXXTZXTY

YTAY=XTY[(ZTAZ)(YTAY)—(ZTAY)2]+(XTZ)2(YTAY(XTY)(YTAY在內(nèi)積(X,Y)=XTAY下,Rn(ZTAZ)(YTAY)?(ZTAY)2=(Z,Z)(Y,Y)?(Z,Y)2≥

ZTMZ≥下證ZTMZ>0.否則易知ZTMZ=0(ZZ)(YY(ZY)2=0且XTZ=而(ZZ)(YY(ZY)2=0的充要條件為YZ線性相關(guān),設(shè)為Z=kY(k∈Rk?=0),XTZ=XT(kY)=kXTY>從而?ZRnZ?0,有ZTMZ> 17高等代數(shù)問題解答17.1(大連理工大學(xué)2003)設(shè)V是一個n維歐氏空間,σ是V的正交變換,在V的標(biāo)準(zhǔn)(1)若u+vi是A的一個虛特征值,則有α,β∈Vσ(α)=uα+vβ,σ(β)=uβ?證明:設(shè)σ在V的標(biāo)準(zhǔn)正交基e1e2···en下的矩陣為A,σ(e1,e2,···,en)=(e1,e2,···,設(shè)X+Yi是A的對應(yīng)于特征值u+viA(X+Yi)=(u+vi)(X+YAX=uX?vY,AY=uY+(1)令αe1e2···en)Xβ?(e1e2···en)Y,σ(α)=σ(e1,e2,···,=(e1,e2,···,=(e1,e2,···,en)(uX?vY=u(e1,e2,···,en)X?v(e1,e2,···,=uα+ =σ(e1,e2,···,=(e1,e2,···,=(e1,e2,···,en)(uX?vY=u(e1,e2,···,en)X?v(e1,e2,···,=uα+σ(β)=?σ(e1,e2,···,=?(e1,e2,···,=?(e1,e2,···,en)(uY+=?u(e1,e2,···,en)Y?v(e1,e2,···,=uβ?當(dāng)n=1時,結(jié)論成立. 17高等代數(shù)問題解答假設(shè)結(jié)論對維數(shù)<n成立.由A的特征值都是實(shí)數(shù),則σ的特征值都是實(shí)數(shù),設(shè)α1是σ的對應(yīng)特征值λ1一個單位特征向量,令W=L(α1),則V=W⊕W設(shè)α2···αn是W⊥的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基,則α1α2,···,αn是V的一組正交基,且σ

B=

0) 由B是正交矩陣,可知A1為正交矩陣且特征值都是實(shí)數(shù).而σ|⊥在α2,···,αn下的矩是A1,故由歸納假設(shè),W⊥可以分解為一些兩兩正交的一維不變子空間的直和.從而結(jié)論成

V=L(α1)⊕···⊕其中L(α1),··L(αn)是兩兩正交的不變子空間,則α1,,·αn是V的正交基,不妨設(shè)它們是單位正交基.則σ在此基下的矩陣為實(shí)對角陣,從而A相似于對角元為實(shí)數(shù)的對角陣,從而A是對稱矩例17.2設(shè)A為nA的復(fù)特征值的模為1,從而A的實(shí)特征值只能為1或?1,(2)若λ=abi(a,b∈R,b?=0)是A的特征值,ξ=α+βi(αβ∈Rn)是A的屬于特征值λ的特征向量,則β?=0,α,β長度相等且正交.證明:(1)設(shè)λC是A的任一復(fù)特征值,αa1b1,··anbni)(ajbj∈R)為A的屬于特征值λ的特征向量,即Aα=λα,則(ˉλ)ˉˉA(α+βi)=(a+bi)(α+可Aα=aα?bβ,Aβ=aβ+ 若β=0,則由Aβ=aβ+bα可得bα=0,而b?=0,故α=0.這樣ξ= 下面證明α,β長度相等且正交.(法1)由(4)左乘AT可得α=aATα?bATβ,β=aATβ+bAT于aα=a2ATα?abATβ,bβ=abATβ+b2AT 17高等代數(shù)問題解答兩式相加,由a2b21可得于

aα+bβ=ATα,aαT+bβT=αTaαTα+bβTα=αTAα=αT(aα?bβ)=aαTα?bαT由于βTααTβ,故由上式可得αTβ0.即α,βaαTβ+bβTβ=αTAβ=αT(aβ+bα)=aαTβ+bαT所以αTαβTβ.即α,β長度相等.αTα=αTATAα=(aα?bβ)T(aα?bβ)=a2αTα?2abαTβ+b2βTβ,βTβ=βTATAβ=(aβ+bα)T(aβ+bα)=b2αTα+2abαTβ+a2βT

(a2?b2?1)(αTα?βTβ)?4abαTβ=αTβ=αTATAβ=(aα?bβ)T(aβ+bα)=(a2?b2)αTβ+ab(αTα?βT{(a2?b2?1)(αTα?βTβ)?4abαTβ=ab(αTα?βTβ)+(a2?b2?1)αTβ=將其視為關(guān)于(αTα—βTβ),αTβ的方程組,其系數(shù)行列式不為0,所以方程組只有零解,故αTβ=0,αTα=βTβ.例17.3設(shè)σ為n歐氏空間V的正交變換,σ在V的標(biāo)準(zhǔn)正交基e1···en下的矩陣為則A為正交陣,若復(fù)數(shù)a+bi為A的特征值,α+βi(α,β∈Rn)Aα=aα?bβ,Aβ=bα+aβσ(?)a?σ()b?其?|?, 可以分解為1維或2維彼此正交的σ的不變子空間的直 高等代數(shù)問題解答當(dāng)n=1時,結(jié)論成立.假設(shè)結(jié)論對n1設(shè)復(fù)數(shù)abi為A的特征值,αβi(αβRn)當(dāng)A有特征值1或?1

L(?,1V=V1⊕V1 高等代數(shù)問題解答18高等代數(shù)問題解答(1)AJ=JA的充要條件是A=a11Ea21Ja31J2···1J1000·· 0 00·· 0 ·· J ......000·· 0000·· (2)令C(J)={A|AJ=JA},求C(J)證明:(1)用ei表示第i個分量為1,其余分量為0的n維列向J=(e2,e3,···,en,其中e11···11)T.10Je1=(e2,e3,···,en, =e2,Je2=e3,···,Jen?1=en,Jen=0于

Je1=J2e1=JJe1=Je2=e3,J3e1=JJ2e1=Je3=e4,J4e1=JJ3e1=Je4=Jie1=ei+1,1≤i≤n?(e1,Je1,J2e1,···,Jn?1e1)=(e1,e2,e3,···,en)=由條件AJ=JAAJi=JiA,i=1,2,···于A=AE=A(e1,Je1,J2e1,···,=(Ae1,AJe1,AJ2e1,···,=(Ae1,JAe1,J2Ae1,···, 18高等代數(shù)問題解答而0 ·· 0Ae1

·· ·· ..

=ae+ae+···+a11 21 n1=a11e1+a21Je1+···+=故

A=(Ae1,JAe1,J2Ae1,···,==

ai1Ji?1(e1,Je1,J2e1,···,Jn?1e1)(2)首先,易知E,J,J2,···Jn?1∈C(J),且由(1)知C(J)中的每一元素都可由E,J,J2,···Jn?1線性表示,下證E,J,J2,···,Jn?1線性無關(guān).Ji=(α1,α2,···,αn),1≤i≤n?

α1=Jie1=ei+1,1≤i≤n?x0E+x1J+x2J2+···+xn?1Jn?1=x0e1+x1e2+x2e3+···+xn?1en=從而x0x1x2···xn?10.即E,J,J2···Jn?1線性無關(guān).從而dimC(J18.2設(shè)n階方陣F是某個多項(xiàng)式的友陣.求證與F可交換的方陣只能是F 18高等代數(shù)問題解答

·· F

... 稱為多項(xiàng)式f(xxna1xn?1···an?1xan證明:(法1)用e1···en表示nF=(e2,e3,···,en,其中β?an···?a1)T.

Fei=ei+1,1≤i≤n?(e1,Fe1,F2e1,···,Fn?1e1)=設(shè)C=(cij)與F可換,即CF=FC.C= =C(e1,Fe1,F2e1,···,F=(Ce1,CFe1,CF2e1,···,CF=(Ce1,FCe1,F2Ce1,···,F而 =c11e1+c21e2+···+n1n 故

ci1F∑= C∑=

==

ci1Fi?1(e1,Fe1,F2e1,ci1Fi?1

···,F(法2)設(shè)σ在V的一組基α1,···,αn下的矩陣為Fσ(α1,···,αn)=(α1,···,由Fσα1=α2,σα2=α3,···,σαn?1= 18高等代數(shù)問題解答為V

α1,σα1,σ2α1,···,設(shè)n階方陣C滿足CFFC.設(shè)V的線性變換τα1,σα1,σ2α1,···,下的矩陣為C,τ(α1,σα1,σ2α1,···,σn?1α1)=(α1,σα1,σ2α1,···,由CF=FC,則τσ=設(shè)τα1=a0α1+a1σα1+a2σ2α1+···+an?1σn?1α1=f其中f(xa0a1xa2x2···?αV,α=(α1,σα1,σ2α1,···,則τα=τ(α1,σα1,σ2α1,···,=(τα1,στα1,σ2τα1,···,=(f(σ)α,σf(σ)α,σ2f(σ)α,···,σn?1f=f(σ)(α1,σα1,σ2α1,···,=f由α的任意性知τ=f(σ),從而C=f(F例18.3(2009年大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽賽區(qū)賽)設(shè)Cn×n是n×n000·· ·· 0 0·· 0所構(gòu)成的復(fù)數(shù)域C上的線性空間,F

.... 000·· 000·· (1)假設(shè)Aaij)n×nAF=FA.A=an1Fn?1+an?1,1Fn?2+···+a21F+(2)求Cn×n的子空間C(F)={XCnF=XF} (1)證明:記A=(α1,α2,···,αn),M=an1Fn?1+an?1,1Fn?2+···+a21F+a11E.要證明M=A,只需證明A與M的各個列向量對應(yīng)相等即可.若以ei記第i個基本單位列向量.于是,只需證明:對每個i,Mei=Aei=αi.若記β?an?an?1···?a1)T,則Fe2e3···enβ).Fe1=e2,F2e1=Fe2=e3,···,Fn?1e1=F(Fn?2e1)=Fen?1= 由有所以M

Me1=(an1Fn?1+an?1,1Fn?2+···+a21F+=an1Fn?1e1+an?1,1Fn?2e1+···+a21Fe1+=an1en+an?1,1en?1+···+a21e2+=α1=Me2=MFe1=FMe1=FAe1=AFe1=Ae2,Me3=MF2e1=F2Me1=F2Ae1=AF2e1=Ae3,············Men=MFn?1e1=Fn?1Me1=Fn?1Ae1=AFn?1e1=(2)由(1),C(Fspan{E,FF2···Fn?1}.x0E+x1F+x2F2+···+xn?1Fn?1=兩邊同時右乘e1,利用(*)0=0e1=(x0E+x1F+x2F2+···+xn?1F=x0Ee1+x1Fe1+x2F2e1+···+xn?1F=x0e1+x1e2+x2e3+···+因?yàn)閑1e2e3,···en線性無關(guān),所以x0x1x2···xn?10,故E,F,F性無關(guān),從而是C(F)的基,故dimC(F

···Fn?118.4(西南大學(xué)2013)設(shè)V=Pn×n是數(shù)域P上n階矩陣關(guān)于矩陣加法及數(shù)與矩陣的(1)寫出V00·· 0 0·· 0(2)令A(yù) 0 ·· 0 ∈V,求由E,A,A2,···,Am生成的V的子空間W的........00·· 數(shù)及一個基,其中m為正整數(shù) 19高等代數(shù)問題解答例19.1( 工業(yè)大學(xué)2012)將n(自然數(shù)n≥2)階實(shí)矩陣A的第一行的?1倍加到其余行,第一列刪掉,得到矩陣A3.記f(x1x2···xnXTA?X(其中,行向量XTx1x2···xn),A?是伴隨矩陣).證明:當(dāng)xi=1(i=12···n)時,f(11···1)=|A3|.(提示:可考慮AJ及其行列式|A+J其中,J表示所有元素都是1的n階方陣). ··· ·· A

f(1,1,···,1)i=1

a11+a12+a11+a12+··a1n+a21+a22+··a2n+....an1+an2+··ann+ a12+ ·· a1n+ a12+ ·· a1n+= a22+ ·· a2n+1 a22+ ·· a2n+··

·· ·· ··

··

·· ·· ··

··

··

a12+ ·· a1n+ ·· = a22+ ·· a2n+1 ·· ··

·· ·· ··

··

·· ·· ··

··

··

a12+ ·· a1n+ a22+ ·· a2+1 ·· ·· ·· ·· an2+1·· ann+

==····a············

Aji=|A|

高等代數(shù)問題解答令 0·· P ·· .而

PAPTP(A+J)PT

. 0·· A a12?a11 ··· a1n?a11a21?a11A an1? a11+ a12? a1n?Aa21?A an1? a11+1 a12?a11 ···a1n?a11a21?a11|A+J| an1? a12?a11·· a1n? a21?

a21? an1?=|A|+

an1?

|A+J|=|A|

∑

i=1i=1

Aij= 高等代數(shù)問題解答20高等代數(shù)問題解答 大學(xué)2010)設(shè)A為n階矩陣,證明下述命題相互等價(jià)(1)rank(A)=

P證明:(1)?(2):設(shè)rank(Ar≤n,則存在n階可逆矩陣P1Q1, A=

Q 將Q1P1分塊

QP

其中B1為r階方陣,

1 A2=

Q1=

由rank(A)=rank(A2)知rank(B1)=r,即B A=

=

QPP?1=

P由B1可逆,

11 (A=

)1 B1

)

1B P1B1 ?1令P=

BB1

()()?(3):令C=

P?1(1) 高等代數(shù)問題解答21高等代數(shù)問題解答例21.1(華中師范大學(xué)2011)設(shè)多項(xiàng)式(f(x),g(x))=1,則f2(x)+g2(x)的重根為fg′(x)2的根證明:設(shè)x0是f2(x)+g2(x){

f2(x0)+g2(x0)=f(x0)f′(x0)+g(x0)g′(x0)=所f(x0)2f′(x0)2= 因?yàn)閒(x)g(x)互素,所以f(x0?=0g(x0)?=0.將g2(x0)=?f2(x0)代入式(5f(x0)2f′(x0)2=?f消去f2(x0)

f′(x0)2+g′(x0)2=21.2(華中師范大學(xué)2009)設(shè)A為n階實(shí)矩陣,λ=rsi(rs∈R)是A的特征值,令

≤···

是1(A+AT)

≤r≤

理工00,河北工業(yè)01,華南理工05)設(shè)f(x1x2···xnXTAX為一實(shí)二次型,λ1λ2···A的特征值λ1λ2≤···λn.證明對任一XRn均有λ1XTX≤XTAX≤λnXT二次型f(x1x2···xn)=XTAX可以經(jīng)過正交線性替換X=PYf(X)=XTAX=f(Y)=λ1y2+···+ 故λ1XTX=λ1YTY=λ1(y2+···+y2)≤λ1y2+···+

=

AX≤λn(y2+···+y2)=λnYTY=λnXT

(法一)設(shè)αβi(α,β∈Rn)是A的屬于特征值λrsiA(α+βi)=(r+si)(α+故Aα=rα?sβ,Aβ=rβ+sα,α,β?= 21高等代數(shù)問題解答可

T) T)2

2(A?ArαTα?sαTβ=αT(rα?sβ)=αTAα=1αT(A+AT)α≥μαT rβTβ+sβTα=βT(rβ+sα)=βTAβ=1βT(A+AT)β≥μβT 故rμ1.同理可證r

r(αTα+βTβ)≥μ1(αTα+βT21.3設(shè)H為n階Hermite矩陣(HT

1≤···≤λn是H的n個特征值,證明對意的n維列向量X,

λ1XX≤XHX≤λnX證明:由于存在酉矩陣U于是對任意的X

H=

XHX=從 T T

. Tλ1XX=λ1UXUX≤XHX≤ UX=λnX例21.4設(shè)A為n階矩陣,λ1≤···≤λn是1(A+AT)的特征值,設(shè)λ是A的特征值21證明:首先

(A+

)是Hermite矩陣,由例21.3知對任意的X2 T1 T Tλ1XX≤

(A+2

)X≤λnX 高等代數(shù)問題解答設(shè)Y是A的屬于特征值λ的特征向量,則YTAY T T

T1 T T

Y≤

AY=

λY=

Y=

(A+2

)Y≤λnY從而λ1Reλ T21.5設(shè)A為n階矩陣,λ1≤···≤λn是?(A?A)的特征值,設(shè)λ是A2明:λ1Imλλn.其中Imλ表示λ證明:記B=?iA,則?iλ是B

T(B+2

)=2(?iA+

)=?2(A?Aλ1≤Re(?iλ)=Imλ≤

f′(x0)2+g′(x0)2= 高等代數(shù)問題解答22高等代數(shù)問題解答22.1(浙江大學(xué)2012)設(shè)A是n(1)A=A1+···+(2)r(A)=r(A1)+···+證明:所有的Ai都相似于一個對角陣,Ai的特征值之和等于矩陣Ai的秩證明:只需證明Ai是冪等矩陣.利用n階矩陣C是冪等矩陣的充要條件為r(C)+r(CEn,只需證明r(Ai?E)=n?r(Ai).|r(A)?r(B)|≤r(A±B)≤r(A)+n?r(Ai)≤r(Ai?E)=r(A?E?(A1+···+Ai?1+Ai+1+···+≤r(A?E)+r(A1+···+Ai?1+Ai+1+···+≤r(A?E)+r(A1)+···+r(Ai?1)+r(Ai+1)+···+=n?r(A)+r(A)?=n?從而r(Ai?En? 高等代數(shù)問題解答23高等代數(shù)問題解答例23.1(極分解)設(shè)A是可逆的n階實(shí)方陣。求證:存在正交陣U和正定陣T使得AUT證明:由A可逆,則ATA是正定矩陣,從而由附錄可知,存在正定矩陣CATA=從A=(AT令UAT)?1CTC,則AUT,其中T正定,下證UCT=C,CCT=C2=AT則即U

UUT=(AT)?1