相交線與平行線復(fù)習(xí)及練習(xí)題知識(shí)點(diǎn)梳理一、知識(shí)定義鄰補(bǔ)角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)且有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角。對(duì)頂角：一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)叫的兩邊的反向延長(zhǎng)線，像這樣的兩個(gè)角互為對(duì)頂角。垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角：同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角。內(nèi)錯(cuò)角：∠2與∠6像這樣的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。同旁內(nèi)角：∠2與∠5像這樣的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角。命題：判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題。平移：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移平移變換，簡(jiǎn)稱平移。對(duì)應(yīng)點(diǎn)：平移后得到的新圖形中每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這樣的兩個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)點(diǎn)。三、定理與性質(zhì)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等。垂線的性質(zhì)：性質(zhì)1：過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。平行線的性質(zhì)：性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。平行線的判定：判定1：同位角相等，兩直線平行。判定2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。判定3：同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。三、經(jīng)典例題題型一互余與互補(bǔ)例1一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的少20°.則這個(gè)角為（）A.30°B.40°C.60°D.75°分析若設(shè)這個(gè)角為x，則這個(gè)角的余角是90°－x，補(bǔ)角是180°－x，于是構(gòu)造出方程即可求解.解設(shè)這個(gè)角為x，則這個(gè)角的余角是90°－x，補(bǔ)角是180°－x.則根據(jù)題意，得(180°－x)－(90°－x)＝20°.解得：x＝40°.故應(yīng)選B.說(shuō)明處理有關(guān)互為余角與互為補(bǔ)角的問(wèn)題，除了要弄清楚它們的概念，通常情況下不要引進(jìn)未知數(shù)，構(gòu)造方程求解.題型二平行線的性質(zhì)與判定例2判斷題：1)不相交的兩條直線叫做平行線。()2)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。()3)兩直線平行，同旁內(nèi)角相等。()4)兩條直線被第三條直線所截，同位角相等。()答案：(1)錯(cuò)，應(yīng)為“在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”。(2)錯(cuò)，應(yīng)為“過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”。(3)錯(cuò)，應(yīng)為“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”。(4)錯(cuò)，應(yīng)為“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等”。例3已知：如圖1，l1∥l2，∠1＝50°，則∠2的度數(shù)是（）A.135°B.130°C.50°D.40°分析要求∠2的度數(shù)，由l1∥l2可知∠1+∠2＝180°，于是由∠1＝50°，即可求解.解因?yàn)閘1∥l2，所以∠1+∠2＝180°，又因?yàn)椤?＝50°，所以∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°.故應(yīng)選B.說(shuō)明本題是運(yùn)用兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求解.例4如圖2，已知直線l1∥l2，∠1＝40°，那么∠2＝度.分析如圖2，要求∠2的大小，只要能求出∠3，此時(shí)由直線l1∥l2，得∠3＝∠1即可求解.解因?yàn)閘1∥l2，∠1＝40°，所以∠1＝∠3＝40°.又因?yàn)椤?＝∠3，所以∠2＝40°.故應(yīng)填上40°.說(shuō)明本題在求解過(guò)程中運(yùn)用了兩條直線平行，同位角相等求解.圖2圖1F圖2圖1F圖3E 圖3例5如圖3，已知AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，則∠3等于（）A.60° B.50°C.40°D.30°分析要求∠3的大小，為了能充分運(yùn)用已知條件，可以過(guò)∠2的頂點(diǎn)作EF∥AB，由有∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，再由∠1＝30°，∠2＝90°求解.解如圖3，過(guò)∠2的頂點(diǎn)作EF∥AB.所以∠1＝∠AEF，又因?yàn)锳B∥CD，所以EF∥CD，所以∠3＝∠CEF，而∠1＝30°，∠2＝90°，所以∠3＝90°－30°＝60°.故應(yīng)選A.說(shuō)明本題在求解時(shí)連續(xù)兩次運(yùn)用了兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求解.例6如圖4，AB∥CD

，直線EF分別交AB，CD于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∠BEF的平分線交CD于點(diǎn)G，若∠EFG＝72°，則∠EGF等于（）A.36°B.54°C.72°D.108°分析要求∠EGF的大小，由于AB∥CD

，則有∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，而EG平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以可以求得∠EGF＝54°.解因?yàn)锳B∥CD

，所以∠BEF+∠EFG＝180°，∠EGF＝∠BEG，又因?yàn)镋G平分∠BEF，∠EFG＝72°，所以∠BEG＝∠FEG＝54°.故應(yīng)選B.圖4B圖4BDGFCAE課堂作業(yè)：如圖，已知，于D，為上一點(diǎn)，于F，交CA于G.求證.例7已知：如圖，AB∥CD，求證：∠B+∠D=∠BED。分析：可以考慮把∠BED變成兩個(gè)角的和。如圖5，過(guò)E點(diǎn)引一條直線EF∥AB，則有∠B=∠1，再設(shè)法證明∠D=∠2，需證EF∥CD，這可通過(guò)已知AB∥CD和EF∥AB得到。證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠B=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）?！逜B∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）?！唷螪=∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D（等量代換）。變式1已知：如圖6，AB∥CD，求證：∠BED=360°-（∠B+∠D）。分析：此題與例1的區(qū)別在于E點(diǎn)的位置及結(jié)論。我們通常所說(shuō)的∠BED都是指小于平角的角，如果把∠BED看成是大于平角的角，可以認(rèn)為此題的結(jié)論與例1的結(jié)論是一致的。因此，我們模仿例1作輔助線，不難解決此題。證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠B+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）?！唷螪+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）?！唷螧+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性質(zhì)）。又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代換）?！唷螧ED==360°-（∠B+∠D）（等式的性質(zhì)）。變式2已知：如圖7，AB∥CD，求證：∠BED=∠D-∠B。分析：此題與例1的區(qū)別在于E點(diǎn)的位置不同，從而結(jié)論也不同。模仿例1與變式1作輔助線的方法，可以解決此題。證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠FEB=∠B（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）?！唷螰ED=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）?！摺螧ED=∠FED-∠FEB，∴∠BED=∠D-∠B（等量代換）。變式3已知：如圖8，AB∥CD，求證：∠BED=∠B-∠D。分析：此題與變式2類似，只是∠B、∠D的大小發(fā)生了變化。證明：過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，則∠1+∠B=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）?！逜B∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）?！唷螰ED+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）?！唷?+∠2+∠D=180°。∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性質(zhì)）?！唷?=∠B-∠D（等式的性質(zhì)）。即∠BED=∠B-∠D。例8已知：如圖9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。求證：∠BFE=∠FEC。證法一：過(guò)F點(diǎn)作FG∥AB，則∠ABF=∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。過(guò)E點(diǎn)作EH∥CD，則∠DCE=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）?！逨G∥AB（已作），AB∥CD（已知），∴FG∥CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）。又∵EH∥CD（已知），∴FG∥EH（平行于同一直線的兩條直線互相平行）?！唷?=∠3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性質(zhì)）即∠BFE=∠FEC。證法二：如圖10，延長(zhǎng)BF、DC相交于G點(diǎn)?！逜B∥CD（已知），∴∠1=∠ABF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠1=∠DCE（等量代換）?！郆G∥EC（同位角相等，兩直線平行）。∴∠BFE=∠FEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。如果延長(zhǎng)CE、AB相交于H點(diǎn)（如圖11），也可用同樣的方法證明（過(guò)程略）。證法三：（如圖12）連結(jié)BC?！逜B∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠ABC-∠ABF=∠BCD-∠DCE（等式的性質(zhì)）。即∠FBC=∠BCE?！郆F∥EC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）?！唷螧FE=∠FEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。題型三尺規(guī)作圖例9已知角α和線段c如圖5所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰長(zhǎng)AB＝c，要求僅用直尺和圓規(guī)作圖，寫(xiě)出作法，并保留作圖痕跡.圖5c圖5cαA圖6cαcBCP分析要作等腰三角形ABC，使其底角∠B＝α，腰長(zhǎng)AB＝c，可以先作出底角∠B＝α，再在底角的一邊截取BA＝c，然后以點(diǎn)A為圓心，線段c為半徑作弧交BP于點(diǎn)C，即得.作法（1）作射線BP，再作∠PBQ＝∠α；（2）在射線BQ上截取BA＝c；（3）以點(diǎn)A為圓心，線段c為半徑作弧交BP于點(diǎn)C；（4）連接AC.則△ABC為所求.如圖6.AOBB′O′圖7A′D′C′DC例10AOBB′O′圖7A′D′C′DC分析只要再過(guò)點(diǎn)O′作一條射線O′A′，使得∠A′O′B′＝∠AOB即可.作法（1）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑，畫(huà)弧，交OA、OB于點(diǎn)C、D；（2）以O(shè)′為圓心，同樣長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O′B′于點(diǎn)D′；（3）以D′為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與前弧交于點(diǎn)C′；（4）過(guò)點(diǎn)O′C′作一條射線O′A′.如圖7中的∠A′O′B′即為所求作.說(shuō)明在實(shí)際答題時(shí)，根據(jù)題目的要求只要保留作圖的痕跡即可了.課后作業(yè):選擇題1．下列說(shuō)法中，正確的是（）A．一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線;B．P是直線L外一點(diǎn)，A、B、C分別是L上的三點(diǎn)，已知PA=1，PB=2，PC=3，則點(diǎn)P到L的距離一定是1;C．相等的角是對(duì)頂角;D．鈍角的補(bǔ)角一定是銳角.2．如圖1，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作射線OE，則圖中的鄰補(bǔ)角一共有（）A．3對(duì)B．4對(duì)C．5對(duì)D．6對(duì)(1)(2)(3)3．若∠1與∠2的關(guān)系為內(nèi)錯(cuò)角，∠1=40°，則∠2等于（）A．40°B．140°C．40°或140°D．不確定4．如圖，哪一個(gè)選項(xiàng)的右邊圖形可由左邊圖形平移得到（）5．a(chǎn)，b，c為平面內(nèi)不同的三條直線，若要a∥b，條件不符合的是（）A．a(chǎn)∥b，b∥c;B．a(chǎn)⊥b，b⊥c;C．a(chǎn)⊥c，b∥c;D．c截a，b所得的內(nèi)錯(cuò)角的鄰補(bǔ)角相等6．如圖2，直線a、b被直線c所截，現(xiàn)給出下列四個(gè)條件：（1）∠1=∠5；（2）∠1=∠7；（3）∠2+∠3=180°；（4）∠4=∠7，其中能判定a∥b的條件的序號(hào)是（）A．（1）、（2）B．（1）、（3）C．（1）、（4）D．（3）、（4）7．如圖3，若AB∥CD，則圖中相等的內(nèi)錯(cuò)角是（）A．∠1與∠5，∠2與∠6;B．∠3與∠7，∠4與∠8;C．∠2與∠6，∠3與∠7;D．∠1與∠5，∠4與∠88．如圖4，AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，ED平分∠BEF．若∠1=72°，則∠2的度數(shù)為（）A．36°B．54°C．45°D．68°(4)(5)(6)9．已知線段AB的長(zhǎng)為10cm，點(diǎn)A、B到直線L的距離分別為6cm和4cm，則符合條件的直線L的條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．410．如圖5，四邊形ABCD中，∠B=65°，∠C=115°，∠D=100°，則∠A的度數(shù)為（）A．65°B．80°C．100°D．115°11．如圖6，AB⊥EF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么與∠FCD相等的角有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)12．若∠A和∠B的兩邊分別平行，且∠A比∠B的2倍少30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30°B．70°C．30°或70°D．100°二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．把答案填在題中橫線上）13．如圖，一個(gè)合格的彎形管道，經(jīng)過(guò)兩次拐彎后保持平行（即AB∥DC）．如果∠C=60°，那么∠B的度數(shù)是________．14．已知，如圖，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°．將下列推理過(guò)程補(bǔ)充完整：（1）∵∠1=∠ABC（已知），∴AD∥______（2）∵∠3=∠5（已知），∴AB∥______,（_______________________________）（3）∵∠ABC+∠BCD=180°（已知），∴_______∥________,（________________________________）16．已知直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC-∠BOC=50°，則∠AOC=_____度，∠BOC=___度．17．如圖7，已知B、C、E在同一直線上，且CD∥AB，若∠A=105°，∠B=40°，則∠ACE為_(kāi)________．(7)(8)(9)18．如圖8，已知∠1=∠2，∠D=78°，則∠BCD=______度．19．如圖9，直線L1∥L2，AB⊥L1，垂足為O，BC與L2相交于點(diǎn)E，若∠1=43°，則∠2=_______度．20．如圖，∠ABD=∠CBD，DF∥AB，DE∥BC，則∠1與∠2的大小關(guān)系是________．三、解答題（本大題共6小題，共40分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）22．（7分）如圖，AB∥A′B′，BC∥B′C′，BC交A′B′于點(diǎn)D，∠B與∠B′有什么關(guān)系？為什么？23．（6分）如圖，已知AB∥CD，試再添上一個(gè)條件，使∠1=∠2成立（要求給出兩個(gè)答案）．24．（6分）如圖，AB∥CD，∠1：∠2：∠3=1：2：3，說(shuō)明BA平分∠EBF的道理．25．（7分）如圖，CD⊥AB于D，點(diǎn)F是BC上任意一點(diǎn)，F(xiàn)E⊥AB于E，且∠1=∠2，∠3=80°．求∠BCA的度數(shù)．26．（8分）如圖，EF⊥GF于F．∠AEF=150°，∠DGF=60°，試判斷AB和CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．課堂作業(yè)答案：22.∠A＝∠F.∵∠1＝∠DGF（對(duì)頂角相等）又∠1＝∠2∴∠DGF＝∠2∴DB∥EC（同位角相等，兩直線平行）∴∠DBA＝∠C（兩直線平行，同位角相等）又∵∠C＝∠D∴∠DBA＝∠D∴DF∥AC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）∴∠A＝∠F(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).課后作業(yè)答案:1．D2．D點(diǎn)撥：圖中的鄰補(bǔ)角分別是：∠AOC與∠BOC，∠AOC與∠AOD，∠COE與∠DOE，∠BOE與∠AOE，∠BOD與∠BOC，∠AOD與∠BOD，共6對(duì)，故選D．3．D4．C5．C6．A7．C點(diǎn)撥：本題的題設(shè)是AB∥CD，解答過(guò)程中不能誤用AD∥BC這個(gè)條件．8．B點(diǎn)撥：∵AB∥CD，∠1=72°，∴∠BEF=180°-∠1=108°．∵ED平分∠BEF，∴∠BED=∠BEF=54°．∵AB∥CD，∴∠2=∠BED=54°．故選B．9．C點(diǎn)撥：如答圖，L1，L2兩種情況容易考慮到，但受習(xí)慣性思維的影響，L3這種情況容易被忽略．10．B11．D點(diǎn)撥：∠FCD=∠F=∠A=∠1=∠ABG=45°．故選D．12．C點(diǎn)撥：由題意，知或解之得∠B=30°或70°．故選C．13．120°14．（1）BC；同位角相等，兩直線平行（2）CD；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行（3）AB；CD；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行15．（2），（3），（5）16．115；65點(diǎn)撥：設(shè)∠BOC=x°，則∠AOC=x°+50°．∵∠A