-.z第三講同角三角函數(shù)根本關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助單位圓，理解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式:，掌握一個(gè)角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法；2．會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角式或證明三角恒等式?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：(2)商數(shù)關(guān)系：(3)倒數(shù)關(guān)系：，，要點(diǎn)詮釋：(1)這里“同角〞有兩層含義，一是“角一樣〞，二是對(duì)“任意〞一個(gè)角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立；(2)是的簡(jiǎn)寫(xiě)；(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意“〞的選取。要點(diǎn)二：同角三角函數(shù)根本關(guān)系式的變形1．平方關(guān)系式的變形：，2．商數(shù)關(guān)系式的變形?！镜湫屠}】類型一：*個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值例1．假設(shè)，且是第三象限角，求cos，tan的值?！究偨Y(jié)升華】解答此類題目的關(guān)鍵在于充分借助角的三角函數(shù)值，縮小角的圍。在解答過(guò)程中如果角所在象限，則另兩個(gè)三角函數(shù)值結(jié)果唯一；假設(shè)角所在象限不確定，則應(yīng)分類討論，有兩種結(jié)果，需特別注意：假設(shè)三角函數(shù)值以字母a給出，應(yīng)就所在象限討論。舉一反三：【變式1】，求cos，tan的值。類型二：利用同角關(guān)系求值例2．：求：〔1〕的值；〔2〕的值；〔3〕的值；〔4〕及的值【總結(jié)升華】此題給出了及三者之間的關(guān)系，三者知一求二，在求解的過(guò)程中關(guān)鍵是利用了這個(gè)隱含條件。舉一反三：【變式1】，求以下各式的值：〔1〕tan+cot；〔2〕sin3－cos3。例3．：，求：〔1〕；〔2〕；〔3〕?！究偨Y(jié)升華】tan的值，求關(guān)于sin、cos的齊次式的值問(wèn)題①如〔1〕、〔2〕題，∵cos≠0，所以可用cosn〔n∈N*〕除之，將被求式轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的表示式，可整體代入tan=m的值，從而完成被求式的求值；②在〔3〕題中，求形如asin2+bsincos+ccos2的值，注意將分母的1化為1=sin2+cos2代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的表達(dá)式后再求值。舉一反三：【變式1】，求以下各式的值.(1)(2)類型三：利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例4．化簡(jiǎn)：〔1〕；〔2〕假設(shè)，化簡(jiǎn)?！究偨Y(jié)升華】解答此題目常用的方法有：〔1〕化切為弦，即把非正弦、余弦的函數(shù)都化成正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，到達(dá)化簡(jiǎn)的目的?！?〕對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)下的式子化成完全平方式，然后去根號(hào)到達(dá)化簡(jiǎn)的目的?！?〕對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2+cos2=1，以降低函數(shù)次數(shù)，到達(dá)化簡(jiǎn)的目的。舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)〔1〕；〔2〕；類型四：利用同角關(guān)系證明三角恒等式例5．求證：〔1〕；〔2〕?！究偨Y(jié)升華】〔1〕在三角式的化簡(jiǎn)中，常?！盎袨橄舀?，以減少函數(shù)種類?！?〕三角恒等式的證明方法靈活多變，因題而異，要細(xì)心觀察兩邊的差異，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，此題也可從右到左證明。舉一反三：【變式】求證：.【解析】證法一：由題意知，所以.∴左邊=右邊.∴原式成立.證法二：由題意知，所以.又∵，∴.證法三：由題意知，所以.，∴.【穩(wěn)固練習(xí)】1.下面四個(gè)命題中可能成立的一個(gè)是〔〕 A. B.sinα=0且cosα=－1C.tanα=1且cosα=－1 D.α在第二象限時(shí)，tanα=2．假設(shè)，，則m的值為〔〕A．0B．8C．0或8D．3＜m＜93．假設(shè)，則使成立的的取值圍是()A、B、C、D、4．假設(shè)，且是第二象限角，則tan的值等于〔〕A．B．C．D．5．假設(shè)tan=2，則的值為〔〕A．0B．C．1D．6．sinαcosα=,則cosα－sinα的值等于〔〕A．±eq\f(3,4)B．±C．D．－7．假設(shè)，則的值是〔〕A．B．C．2D．－28．假設(shè)是方程的兩根，則的值為〔〕A． B． C． D．9．假設(shè)，則；．10．化簡(jiǎn)：________．11．化簡(jiǎn)：sin6+cos6+3sin2+cos2=________．12．假設(shè)，tan＞0，則cos=________．13．，∈〔0，π〕，求的值．14．，求和的值.第四講三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．借助單位圓中的三角函數(shù)線導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(的正弦、余弦、正切)；2．掌握并運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)式.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：，，，其中誘導(dǎo)公式二：，，，其中誘導(dǎo)公式三：，，，其中誘導(dǎo)公式四：，。，，其中要點(diǎn)詮釋：(1)要化的角的形式為(為常整數(shù))；(2)記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限〞；(3)必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見(jiàn)角知值，見(jiàn)值知角〞；(4)；.要點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式的記憶誘導(dǎo)公式一～三可用口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限〞記憶，其中“函數(shù)名不變〞是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號(hào)〞是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，“看象限〞是指把α看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限〞記憶，“函數(shù)名改變〞是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù)．“符號(hào)看象限〞同上．因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為k·90°+α〔|α|<45°〕的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣〞：“奇變偶不變，符號(hào)看象限〞，意思是說(shuō)角(為常整數(shù))的三角函數(shù)值：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).要點(diǎn)三：三角函數(shù)的三類基此題型(1)求值題型：一個(gè)角的*個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值.①一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值及這個(gè)角所在象限，此類情況只有一組解；②一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值但該角所在象限沒(méi)有給出，解題時(shí)首先要根據(jù)的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限，然后分不同情況求解；③一個(gè)角的*一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，這時(shí)一般有兩組解.求值時(shí)要注意公式的選取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒〞的順序很容易求解，但要注意開(kāi)方時(shí)符號(hào)的選取.(2)化簡(jiǎn)題型：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的一般要：能求出值的要求出值；函數(shù)種類要盡可能少；化簡(jiǎn)后的式子項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低，盡可能不含根號(hào).(3)證明題型：證明三角恒等式和條件等式的實(shí)質(zhì)是消除式子兩端的差異，就是有目標(biāo)的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)、證明時(shí)要注意觀察題目特征，靈活、恰中選取公式.【典型例題】類型一：利用誘導(dǎo)公式求值例1．求以下各三角函數(shù)的值：〔1〕；〔2〕；〔3〕tan〔－855°〕．舉一反三：【變式1】求sin(―1200°)·cos1290°+cos(―1020°)·sin(―1050°)+tan945°的值．例2．〔1〕，求的值．〔2〕，且為第四象限角，求sin(105°+)的值．【總結(jié)升華】注意觀察角，假設(shè)角的絕對(duì)值大于2π，可先利用2kπ+轉(zhuǎn)化為0～2π之間的角，然后利用π±、2π－等形式轉(zhuǎn)化為銳角求值，這是利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的一般步驟．舉一反三：【變式1】，其中為第三象限角，求cos(105°―)+sin(―105°)的值．【總結(jié)升華】解答這類給值求值的問(wèn)題，關(guān)鍵在于找到角與待求角之間的相互關(guān)系，從而利用誘導(dǎo)公式去溝通兩個(gè)角之間的三角函數(shù)關(guān)系，如：75°+=180°－(105°－)或105°－=180°－(75°+)等．類型二：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)例3．化簡(jiǎn)(1)；(2).舉一反三：【變式1】〔1〕；〔2〕；類型三：利用誘導(dǎo)公式進(jìn)展證明例4．求證：．【穩(wěn)固練習(xí)】1．對(duì)于誘導(dǎo)公式中的角α，以下說(shuō)確的是〔〕A．α一定是銳角B．0≤α＜2πC．α一定是正角D．α是使公式有意義的任意角2．，，則以下不等式關(guān)系中必定成立的是〔〕A．sin＜0，cos＞0B．sin＞0，cos＜0C．sin＞0，cos＞0D．sin＜0，cos＜03．的值為〔〕A．B．C．D．4．假設(shè)，則的值為〔〕A．B．C．D．5．假設(shè)，則cos的值為〔〕A．B．C．D．6．在直角坐標(biāo)系，假設(shè)與的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則以下等式恒成立的是〔〕A．B．C．D．7．sin·cos·tan的值是〔〕 A．－ B． C．－ D．8．等于