學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)案2勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力和向心加速度［學(xué)習(xí)目標(biāo)定位]1.理解向心力的概念及其表達(dá)式的含義.2.知道向心力的大小與哪些因素有關(guān),并能用來進(jìn)行計(jì)算。3.知道向心加速度和線速度、角速度的關(guān)系，能夠用向心加速度公式求解有關(guān)問題．一、向心力1．定義：物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所受合力方向始終指向圓心，這個(gè)指向圓心的合力就叫做向心力．2．大小:F＝mω2r＝meq\f（v2，r）。3．方向：總是沿半徑指向圓心，方向時(shí)刻改變．二、向心加速度1．定義：做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度指向圓心，這個(gè)加速度稱為向心加速度．2．大小：a＝eq\f(v2，r）＝ω2r。3．方向:沿半徑指向圓心,方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直。一、什么是向心力[問題設(shè)計(jì)]分析圖1甲、乙中小球和地球的受力情況,合力的方向與線速度方向有什么關(guān)系?合外力的作用效果是什么？圖1答案甲圖中小球受繩的拉力、水平地面的支持力和重力的作用,合力等于繩對(duì)小球的拉力;乙圖中地球受太陽的引力作用．兩圖中合力的方向總沿半徑指向圓心且與線速度的方向垂直,合力的作用效果是改變線速度的方向．[要點(diǎn)提煉］1．向心力的方向：總是沿著半徑指向圓心，始終與線速度的方向垂直，方向時(shí)刻改變,所以向心力是變力．2．向心力的作用：只改變線速度的方向，不改變線速度的大?。?．向心力是效果力：向心力是根據(jù)力的作用效果命名的，不是性質(zhì)力,它可以是重力、彈力、摩擦力等各種性質(zhì)的力，也可以是它們的合力,或某個(gè)力的分力．注意在分析物體受力時(shí)，不能說物體還受一個(gè)向心力的作用,向心力可以是某一種性質(zhì)力，也可以是幾個(gè)性質(zhì)力的合力或某一性質(zhì)力的分力．二、向心力的大小[問題設(shè)計(jì)]如圖2所示,用手拉細(xì)繩使小球在光滑水平地面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),在半徑不變的的條件下，減小旋轉(zhuǎn)的角速度感覺手拉繩的力怎樣變化？在角速度不變的條件下增大旋轉(zhuǎn)半徑，手拉繩的力怎樣變化？在旋轉(zhuǎn)半徑、角速度相同的情況下，換用不同質(zhì)量的球，手拉繩的力有什么不同？圖2答案變小;變大；手對(duì)質(zhì)量大的球的拉力比對(duì)質(zhì)量小的球的拉力大．[要點(diǎn)提煉]1．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式為F＝meq\f（v2，r)＝mω2r＝mr(eq\f（2π,T))2。2．物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件：合力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，提供物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．三、向心加速度1．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度的方向指向圓心，這個(gè)加速度稱為向心加速度．2．向心加速度的大小的表達(dá)式:a＝eq\f（v2,r)＝rω2＝eq\f(4π2，T2)r＝ωv。3．向心加速度的作用:向心加速度的方向始終與線速度的方向垂直，只改變線速度的方向，不改變線速度的大?。?．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：向心加速度的方向始終指向圓心，方向時(shí)刻改變，是一個(gè)變加速度,所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng),而是變加速運(yùn)動(dòng)．［延伸思考]甲同學(xué)認(rèn)為由公式a＝eq\f(v2，r)知向心加速度a與運(yùn)動(dòng)半徑r成反比；而乙同學(xué)認(rèn)為由公式a＝ω2r知向心加速度a與運(yùn)動(dòng)半徑r成正比,他們兩人誰的觀點(diǎn)正確？說一說你的觀點(diǎn)．答案他們兩人的觀點(diǎn)都不正確．當(dāng)v一定時(shí)，a與r成反比；當(dāng)ω一定時(shí),a與r成正比．（a與r的關(guān)系圖像如圖所示)一、對(duì)向心力的理解例1關(guān)于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的向心力，下列說法正確的是()A．因向心力總是沿半徑指向圓心，且大小不變，故向心力是一個(gè)恒力B．因向心力指向圓心，且與線速度的方向垂直，所以它不能改變線速度的大小C．它是物體所受的合力D．向心力和向心加速度的方向都是不變的解析做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受的向心力是物體所受的合力，由于始終指向圓心，且與線速度垂直，故不能改變線速度的大小，只能改變線速度的方向,向心力雖大小不變,但方向時(shí)刻改變,不是恒力，由此產(chǎn)生的向心加速度也是變化的,所以A、D錯(cuò)誤,B、C正確．答案BC圖3例2如圖3所示,有一個(gè)水平大圓盤繞過圓心的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，小強(qiáng)站在距圓心為r處的P點(diǎn)相對(duì)圓盤靜止．關(guān)于小強(qiáng)的受力，下列說法正確的是（)A．小強(qiáng)在P點(diǎn)不動(dòng)，因此不受摩擦力作用B．若使圓盤以較小的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小強(qiáng)在P點(diǎn)受到的摩擦力為零C．小強(qiáng)隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng),圓盤對(duì)他的摩擦力充當(dāng)向心力D．如果小強(qiáng)隨圓盤一起做變速圓周運(yùn)動(dòng)，那么其所受摩擦力仍指向圓心解析由于小強(qiáng)隨圓盤做勻速圓周運(yùn)動(dòng),一定需要向心力,該力一定指向圓心方向，而重力和支持力在豎直方向上，它們不能充當(dāng)向心力，因此他會(huì)受到摩擦力作用,且充當(dāng)向心力，A、B錯(cuò)誤,C正確；當(dāng)小強(qiáng)隨圓盤一起做變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，合力不再指向圓心，則其所受的摩擦力不再指向圓心．D錯(cuò)．答案C二、對(duì)向心加速度的理解及計(jì)算圖4例3如圖4所示，一個(gè)大輪通過皮帶拉著小輪轉(zhuǎn)動(dòng)，皮帶和兩輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，大輪的半徑是小輪的2倍，大輪上的一點(diǎn)S到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離是大輪半徑的eq\f(1,3）.當(dāng)大輪邊緣上P點(diǎn)的向心加速度是12m/s2時(shí)，大輪上的S點(diǎn)和小輪邊緣上的Q點(diǎn)的向心加速度分別是多少？解析同一輪子上的S點(diǎn)和P點(diǎn)角速度相同：ωS＝ωP，由向心加速度公式a＝ω2r可得：eq\f（aS,aP）＝eq\f(rS,rP)，則aS＝aP·eq\f(rS，rP)＝12×eq\f(1,3)m/s2＝4m/s2.又因?yàn)槠Ш蛢奢喼g無相對(duì)滑動(dòng),所以傳動(dòng)皮帶的兩輪邊緣各點(diǎn)線速度大小相等:vP＝vQ.由向心加速度公式a＝eq\f（v2,r)可得：eq\f(aP，aQ）＝eq\f（rQ,rP)。則aQ＝aP·eq\f(rP,rQ)＝12×eq\f（2,1)m/s2＝24m/s2答案4m/s224m/s2三、圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)問題圖5例4如圖5所示，半徑為r的圓筒繞豎直中心軸OO′旋轉(zhuǎn)，小物塊a靠在圓筒的內(nèi)壁上，它與圓筒內(nèi)壁間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力．現(xiàn)要使a不下落，則圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω至少為（）A.eq\r(μgr)B。eq\r(μg）C.eq\r（\f(g,r)）D。eq\r（\f(g,μr)）解析對(duì)物塊a受力分析知f＝mg，F(xiàn)向＝N＝mω2r，又由于f≤μN(yùn)，所以解這三個(gè)方程得角速度ω至少為eq\r（\f（g，μr）),D選項(xiàng)正確．答案D1．（對(duì)向心力的理解）下列關(guān)于向心力的說法中正確的是（)A．物體受到向心力的作用才可能做圓周運(yùn)動(dòng)B．向心力是指向圓心方向的合力，是根據(jù)力的作用效果來命名的，但受力分析時(shí)應(yīng)該畫出C．向心力可以是重力、彈力、摩擦力等各種力的合力，也可以是其中某一種力或某幾種力的合力D．向心力只改變物體運(yùn)動(dòng)的方向,不改變物體運(yùn)動(dòng)的快慢答案CD解析向心力是一種效果力，實(shí)際上是由某種或某幾種性質(zhì)力提供，受力分析時(shí)不分析向心力，A、B錯(cuò)，C對(duì)．向心力只改變物體線速度的方向，不改變線速度的大小，D對(duì)．2．（向心力來源分析)在馬戲團(tuán)表演的場(chǎng)地里，表演者騎在大象背上,大象繞著場(chǎng)地走動(dòng)，若大象是沿著半徑為R的圓周勻速走動(dòng),則關(guān)于大象和表演者的受力情況，下面說法正確的是（）A．表演者騎在大象背上不動(dòng)，他受到的力是平衡力B．表演者的向心力是地面摩擦力通過大象作用于他的C．大象和表演者所受向心力大小與兩者的質(zhì)量成正比D．大象與表演者一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是地面摩擦力提供的答案CD圖63．(對(duì)向心加速度的理解及計(jì)算）如圖6所示為A、B兩物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度隨半徑變化的圖像，其中A為雙曲線的一個(gè)分支,由圖可知(）A．A物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變B．A物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變C．B物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變D．B物體運(yùn)動(dòng)的角速度與半徑成正比答案AC解析因?yàn)锳為雙曲線的一個(gè)分支,說明a與r成反比，由a＝eq\f(v2，r）可知,A物體運(yùn)動(dòng)的線速度大小不變，故A對(duì)，B錯(cuò)；而OB為過原點(diǎn)的直線,說明a與r成正比，由a＝ω2r可知,B物體運(yùn)動(dòng)的角速度大小不變，故C對(duì)，D錯(cuò)．圖74．(圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)問題）如圖7所示，質(zhì)量為1kg的小球用細(xì)繩懸掛于O點(diǎn)，將小球拉離豎直位置釋放后，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度為2m/s，已知球心到懸點(diǎn)的距離為1m,重力加速度g＝10m/s2,求小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩的拉力的大?。鸢?4N解析小球在最低點(diǎn)時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由重力mg和繩的拉力T提供（如圖所示),即T－mg＝eq\f（mv2,r)所以T＝mg＋eq\f(mv2，r)＝（1×10＋eq\f（1×22,1))N＝14N小球?qū)K的拉力與繩對(duì)小球的拉力是一對(duì)作用力和反作用力，所以小球在最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩的拉力大小為14N。題組一對(duì)向心力的理解及其來源分析1．下列關(guān)于向心力的說法中正確的是（)A．物體由于做圓周運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生了一個(gè)向心力B．向心力會(huì)改變做圓周運(yùn)動(dòng)物體的速度大小C．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體其向心力即為其所受的合力D．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體其向心力是不變的答案C解析當(dāng)物體所受外力的合力始終有一分力垂直于速度方向時(shí)，物體就將做圓周運(yùn)動(dòng)，該分力即為向心力，故先有向心力然后才使物體做圓周運(yùn)動(dòng)．因向心力始終垂直于速度方向，所以它不改變速度的大小、只改變速度的方向，當(dāng)合力完全提供向心力時(shí)，物體就做勻速圓周運(yùn)動(dòng),該合力大小不變、方向時(shí)刻改變，故向心力是變化的．圖12．如圖1所示,物體A、B隨水平圓盤繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，物體B在水平方向所受的作用力有（）A．圓盤對(duì)B及A對(duì)B的摩擦力，兩力都指向圓心B．圓盤對(duì)B的摩擦力指向圓心，A對(duì)B的摩擦力背離圓心C．圓盤對(duì)B及A對(duì)B的摩擦力和向心力D．圓盤對(duì)B的摩擦力和向心力答案B解析以A、B整體為研究對(duì)象，受重力、圓盤的支持力及圓盤對(duì)B的摩擦力，重力與支持力平衡，摩擦力提供向心力，即摩擦力指向圓心．以A為研究對(duì)象，受重力、B的支持力及B對(duì)A的摩擦力，重力與支持力平衡，B對(duì)A的摩擦力提供A做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，即方向指向圓心，由牛頓第三定律，A對(duì)B的摩擦力背離圓心，所以物體B在水平方向受圓盤指向圓心的摩擦力和A對(duì)B背離圓心的摩擦力，故B正確．3．在水平面上，小猴拉著小滑塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng),O點(diǎn)為圓心,能正確表示小滑塊受到的牽引力F及摩擦力f的圖是()答案A解析滑動(dòng)摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反，故滑動(dòng)摩擦力的方向沿圓周的切線方向，B、D錯(cuò)誤；小滑塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其合力提供向心力，故A正確，C錯(cuò)誤．圖24．如圖2所示,一小球用細(xì)繩懸掛于O點(diǎn)，將其拉離豎直位置一個(gè)角度后釋放，則小球以O(shè)點(diǎn)為圓心做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中小球所需的向心力是()A．繩的拉力B．重力和繩的拉力的合力C．重力和繩拉力的合力沿繩方向的分力D．繩的拉力和重力沿繩方向的分力的合力答案CD解析小球僅受重力和繩子拉力作用，向心力是指向圓心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿繩方向的分力，也可以是各力沿繩方向的分力的合力，故C、D正確．圖35．一個(gè)小物塊從內(nèi)壁粗糙的半球形碗邊下滑，在下滑過程中由于摩擦力的作用，物塊的速率恰好保持不變，如圖3所示,下列說法中正確的是(）A．物塊所受合外力為零B．物塊所受合外力越來越大C．物塊所受合外力大小保持不變，但方向時(shí)刻改變D．物塊所受摩擦力大小變化答案CD解析由于物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故合外力只改變物體的速度方向，故合外力時(shí)刻指向圓心，且大小保持不變，A、B錯(cuò)誤，C正確；對(duì)物塊受力分析知物塊所受摩擦力總是與重力沿切線方向的分力G1相等，因隨物塊下滑G1逐漸減小，故物塊所受摩擦力也逐漸減小，D正確．題組二對(duì)向心力加速度的理解及其計(jì)算6．關(guān)于向心加速度，下列說法中正確的是()A．向心加速度越大,物體速率變化得越快B．向心加速度的大小與軌道半徑成反比C．向心加速度的方向始終與線速度方向垂直D．在勻速圓周運(yùn)動(dòng)中向心加速度是恒量答案C解析向心加速度只改變速度方向，故A錯(cuò)誤．向心加速度可用a＝eq\f（v2,r）或a＝ω2r表示，不知線速度和角速度的變化情況,無法確定向心加速度的大小與軌道半徑的關(guān)系，故B錯(cuò)誤．向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，在圓周運(yùn)動(dòng)中始終指向圓心，方向在不斷變化，不是恒量，故勻速圓周運(yùn)動(dòng)不是勻變速運(yùn)動(dòng),而是變加速運(yùn)動(dòng),故C正確,D錯(cuò)誤．圖47．如圖4所示，一圓環(huán)以直徑AB為軸做勻速轉(zhuǎn)動(dòng),P、Q、R是環(huán)上的三點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．向心加速度的大小aP＝aQ＝aRB．任意時(shí)刻P、Q、R三點(diǎn)向心加速度的方向不同C．線速度vP＞vQ＞vRD．任意時(shí)刻P、Q、R三點(diǎn)的線速度方向均不同答案C解析圓環(huán)各處的角速度相等,由a＝ω2r知aP＞aQ＞aR，故A錯(cuò)誤;由v＝ωr知vP＞vQ＞vR,故C正確．由于向心加速度總是指向圓心，所以P、R、Q處的向心加速度的方向都垂直于AB軸且指向AB軸,即P、Q、R三點(diǎn)向心加速度的方向相同,B錯(cuò)誤；線速度方向都垂直于半徑，故P、Q、R三點(diǎn)的線速度方向相同，D錯(cuò)誤．圖58．如圖5所示為摩擦傳動(dòng)裝置，B輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)帶動(dòng)A輪跟著轉(zhuǎn)動(dòng)，已知轉(zhuǎn)動(dòng)過程中輪緣間無打滑現(xiàn)象，下列說法中正確的是()A．A、B兩輪轉(zhuǎn)動(dòng)的方向相同B．A與B轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反C．A、B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度之比為1∶3D．A、B輪緣上點(diǎn)的向心加速度之比為3∶1答案BC解析A、B兩輪屬齒輪傳動(dòng),A、B兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反,A錯(cuò)，B對(duì)．A、B兩輪邊緣的線速度大小相等，由ω＝eq\f(v,r)知，eq\f(ω1，ω2）＝eq\f(r2，r1)＝eq\f（1，3），C對(duì)．根據(jù)a＝eq\f（v2,r）得,eq\f（a1,a2)＝eq\f（r2,r1）＝eq\f（1，3）,D錯(cuò)．圖69．如圖6所示，質(zhì)量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點(diǎn)的過程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變,那么（)A．加速度為零B．加速度恒定C．加速度大小不變，方向時(shí)刻改變，但不一定指向圓心D．加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心答案D解析由題意知，木塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，木塊的加速度大小不變，方向時(shí)刻指向圓心，D正確，A、B、C錯(cuò)誤．圖710．一小球質(zhì)量為m，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的懸繩(不可伸長(zhǎng)，質(zhì)量不計(jì)）固定于O點(diǎn)，在O點(diǎn)正下方eq\f（L，2)處釘有一顆光滑釘子．如圖7所示，將懸線沿水平方向拉直無初速度釋放后,當(dāng)懸線碰到釘子后的瞬間，則(）A．小球的角速度突然增大B．小球的線速度突然減小到零C．小球的向心加速度突然增大為原來的兩倍D．細(xì)線對(duì)小球的拉力突然增大為原來的兩倍答案AC解析由于小球的線速度不能發(fā)生突變，由于做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?由v＝ωr知，角速度變?yōu)樵瓉淼膬杀叮珹正確,B錯(cuò)誤；由a＝eq\f（v2,r)知，小球的向心加速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，C正確;由F－mg＝meq\f(v2，r）知，懸線對(duì)小球的拉力突然增大，但不是原來的兩倍，所以D錯(cuò)誤．題組三圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)問題11．在光滑的水平面上，用長(zhǎng)為l的細(xì)線拴一質(zhì)量為m的小球，使小球以角速度ω做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．下列說法中正確的是（）A．l、ω不變,m越大線越易被拉斷B．m、ω不變，l越小線越易被拉斷C．m、l不變，ω越大線越易被拉斷D．m不變，l減半且角速度加倍時(shí)，線的拉力不變答案AC圖812．如圖8所示,在光滑桿上穿著兩個(gè)小球m1、m2，有m1＝2m2,用細(xì)線把兩球連起來，當(dāng)盤架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),兩小球剛好能與桿保持無相對(duì)滑動(dòng),此時(shí)兩小球到轉(zhuǎn)軸的距離r1與r2之比為(）A．1∶1B．1∶eq\r（2)C．2∶1D．1∶2答案D解析設(shè)兩球受繩子的拉力分別為F1、F2.對(duì)m1:F1＝m1ωeq\o\al（2，1)r1對(duì)m2:F2＝m2ωeq\o\al(2,2）r2因?yàn)镕1＝F2，ω1＝ω2解得eq\f（r1，r2）＝eq\f（m2，m1)＝eq\f(1，2).圖913．如圖9所示，在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放一個(gè)質(zhì)量M＝2kg的木塊，它與轉(zhuǎn)臺(tái)間最大靜摩擦力fmax＝6.0N，繩的一端系在木塊上，穿