學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精習(xí)題課2動能定理的應(yīng)用[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.進(jìn)一步理解動能定理，領(lǐng)會應(yīng)用動能定理解題的優(yōu)越性。2.會利用動能定理分析變力做功、曲線運(yùn)動以及多過程問題。一、利用動能定理求變力的功1.動能定理不僅適用于求恒力做功,也適用于求變力做功，同時因?yàn)椴簧婕白兞ψ饔玫倪^程分析，應(yīng)用非常方便.2.利用動能定理求變力的功是最常用的方法,當(dāng)物體受到一個變力和幾個恒力作用時，可以用動能定理間接求變力做的功,即W變＋W其他＝ΔEk.例1如圖1所示,質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))自由下落d后，沿豎直面內(nèi)的固定軌道ABC運(yùn)動，AB是半徑為d的eq\f(1,4）光滑圓弧，BC是直徑為d的粗糙半圓?。˙是軌道的最低點(diǎn)）.小球恰能通過圓弧軌道的最高點(diǎn)C。重力加速度為g,求：圖1(1）小球運(yùn)動到B處時對軌道的壓力大??；（2)小球從B到C運(yùn)動的過程中，摩擦力對小球做的功。答案(1)5mg(2)－eq\f（3,4）mgd解析(1)小球下落到B點(diǎn)的過程由動能定理得2mgd＝eq\f(1，2)mv2，在B點(diǎn)：N－mg＝meq\f（v2，d)，得:N＝5mg,根據(jù)牛頓第三定律:N′＝N＝5mg。(2）在C點(diǎn)，mg＝meq\f(v\o\al（

2,C），\f(d,2）)。小球從B運(yùn)動到C的過程：eq\f(1，2)mveq\o\al（

2，C)－eq\f(1，2)mv2＝－mgd＋Wf,得Wf＝－eq\f（3,4)mgd。針對訓(xùn)練如圖2所示，某人利用跨過定滑輪的輕繩拉質(zhì)量為10kg的物體.定滑輪的位置比A點(diǎn)高3m.若此人緩慢地將繩從A點(diǎn)拉到B點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)處繩與水平方向的夾角分別為37°和30°，則此人拉繩的力做了多少功？（g取10m/s2，sin37°＝0。6,cos37°＝0.8，不計(jì)滑輪的摩擦）圖2答案100J解析取物體為研究對象,設(shè)繩的拉力對物體做的功為W.根據(jù)題意有h＝3m.物體升高的高度Δh＝eq\f(h,sin30°)－eq\f(h，sin37°）。 ①對全過程應(yīng)用動能定理W－mgΔh＝0。 ②由①②兩式聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得W＝100J。則人拉繩的力所做的功W人＝W＝100J.二、利用動能定理分析多過程問題一個物體的運(yùn)動如果包含多個運(yùn)動階段,可以選擇分段或全程應(yīng)用動能定理。（1）分段應(yīng)用動能定理時，將復(fù)雜的過程分割成一個個子過程,對每個子過程的做功情況和初、末動能進(jìn)行分析,然后針對每個子過程應(yīng)用動能定理列式,然后聯(lián)立求解.(2)全程應(yīng)用動能定理時，分析整個過程中出現(xiàn)過的各力的做功情況，分析每個力做的功，確定整個過程中合外力做的總功，然后確定整個過程的初、末動能，針對整個過程利用動能定理列式求解.當(dāng)題目不涉及中間量時，選擇全程應(yīng)用動能定理更簡單,更方便。注意當(dāng)物體運(yùn)動過程中涉及多個力做功時，各力對應(yīng)的位移可能不相同，計(jì)算各力做功時，應(yīng)注意各力對應(yīng)的位移。計(jì)算總功時,應(yīng)計(jì)算整個過程中出現(xiàn)過的各力做功的代數(shù)和。例2如圖3所示，右端連有一個光滑弧形槽的水平桌面AB長L＝1.5m，一個質(zhì)量為m＝0。5kg的木塊在F＝1.5N的水平拉力作用下，從桌面上的A端由靜止開始向右運(yùn)動，木塊到達(dá)B端時撤去拉力F,木塊與水平桌面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，取g＝10m/s2。求：圖3（1）木塊沿弧形槽上升的最大高度（木塊未離開弧形槽);(2)木塊沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑動的最大距離.答案(1)0。15m（2）0.75m解析（1）設(shè)木塊沿弧形槽上升的最大高度為h,木塊在最高點(diǎn)時的速度為零。從木塊開始運(yùn)動到沿弧形槽上升到最大高度處，由動能定理得：FL－fL－mgh＝0其中f＝μN(yùn)＝μmg＝0.2×0。5×10N＝1.0N所以h＝eq\f（FL－fL，mg)＝eq\f(1。5－1.0×1。5,0.5×10)m＝0。15m(2)設(shè)木塊滑回B端后沿桌面滑動的最大距離為x.由動能定理得：mgh－fx＝0所以：x＝eq\f(mgh,f)＝eq\f(0.5×10×0。15，1.0）m＝0。75m。三、動能定理在平拋、圓周運(yùn)動中的應(yīng)用動能定理常與平拋運(yùn)動、圓周運(yùn)動相結(jié)合，解決這類問題要特別注意：(1)與平拋運(yùn)動相結(jié)合時,要注意應(yīng)用運(yùn)動的合成與分解的方法，如分解位移或分解速度求平拋運(yùn)動的有關(guān)物理量。（2）與豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動相結(jié)合時，應(yīng)特別注意隱藏的臨界條件：①有支撐效果的豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動，物體能通過最高點(diǎn)的臨界條件為vmin＝0。②沒有支撐效果的豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動，物體能通過最高點(diǎn)的臨界條件為vmin＝eq\r(gR)。例3如圖4所示，一可以看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m＝2kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飛出后，恰好從A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入圓弧軌道，其中B為軌道的最低點(diǎn)，C為最高點(diǎn)且與水平桌面等高，B、C在同一條豎直線上，圓弧AB對應(yīng)的圓心角θ＝53°,軌道半徑R＝0。5m。已知sin53°＝0.8,cos53°＝0。6，不計(jì)空氣阻力,g取10m/s2.圖4(1）求小球的初速度v0的大?。?2)若小球恰好能通過最高點(diǎn)C，求在圓弧軌道上摩擦力對小球做的功。答案（1）3m/s（2)－4J解析(1)在A點(diǎn)由平拋運(yùn)動規(guī)律得:vA＝eq\f（v0，cos53°)＝eq\f(5,3）v0。 ①小球由桌面到A點(diǎn)的過程中，由動能定理得mg（R＋Rcosθ)＝eq\f(1，2）mveq\o\al(

2，A)－eq\f(1，2)mveq\o\al（

2,0） ②由①②得：v0＝3m/s.(2）在最高點(diǎn)C處有mg＝eq\f（mv\o\al(

2,C),R），小球從桌面到C點(diǎn),由動能定理得Wf＝eq\f(1，2)mveq\o\al（

2,C）－eq\f(1，2）mveq\o\al(

2,0)，代入數(shù)據(jù)解得Wf＝－4J。1。（用動能定理求變力的功)如圖5所示，質(zhì)量為m的物體與水平轉(zhuǎn)臺間的動摩擦因數(shù)為μ,物體與轉(zhuǎn)軸相距R，物體隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始轉(zhuǎn)動.當(dāng)轉(zhuǎn)速增至某一值時，物體即將在轉(zhuǎn)臺上滑動，此時轉(zhuǎn)臺開始勻速轉(zhuǎn)動。設(shè)物體的最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力，則在整個過程中摩擦力對物體做的功是(）圖5A。0 B。2μmgRC。2πμmgR D。eq\f（μmgR,2)答案D解析物體即將在轉(zhuǎn)臺上滑動但還未滑動時，轉(zhuǎn)臺對物體的最大靜摩擦力恰好提供向心力，設(shè)此時物體做圓周運(yùn)動的線速度為v，則有μmg＝eq\f(mv2，R） ①在物體由靜止到獲得速度v的過程中，物體受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力對物體做功,由動能定理得：W＝eq\f（1，2)mv2－0 ②聯(lián)立①②解得W＝eq\f(1，2)μmgR.2.（利用動能定理分析多過程問題)滑板運(yùn)動是極限運(yùn)動的鼻祖，許多極限運(yùn)動項(xiàng)目均由滑板項(xiàng)目延伸而來。如圖6是滑板運(yùn)動的軌道，BC和DE是兩段光滑圓弧形軌道，BC段的圓心為O點(diǎn),圓心角為60°，半徑OC與水平軌道CD垂直，水平軌道CD段粗糙且長8m.某運(yùn)動員從軌道上的A點(diǎn)以3m/s的速度水平滑出,在B點(diǎn)剛好沿軌道的切線方向滑入圓弧形軌道BC，經(jīng)CD軌道后沖上DE軌道，到達(dá)E點(diǎn)時速度減為零，然后返回。已知運(yùn)動員和滑板的總質(zhì)量為60kg，B、E兩點(diǎn)到水平軌道CD的豎直高度分別為h和H,且h＝2m,H＝2。8m，g取10m/s2。求:圖6（1）運(yùn)動員從A點(diǎn)運(yùn)動到達(dá)B點(diǎn)時的速度大小vB；(2)滑板與軌道CD段間的動摩擦因數(shù)μ;（3)通過計(jì)算說明，第一次返回時,運(yùn)動員能否回到B點(diǎn)？如能,請求出回到B點(diǎn)時速度的大?。蝗绮荒?，則最后停在何處?答案(1）6m/s（2）0。125(3)不能回到B處,最后停在D點(diǎn)左側(cè)6。4m處解析(1)由題意可知:vB＝eq\f（v0,cos60°）解得：vB＝6m/s。(2）從B點(diǎn)到E點(diǎn)，由動能定理可得:mgh－μmgxCD－mgH＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(

2,B）代入數(shù)據(jù)可得：μ＝0。125。(3）設(shè)運(yùn)動員能到達(dá)左側(cè)的最大高度為h′,從B到第一次返回左側(cè)最高處，根據(jù)動能定理得:mgh－mgh′－μmg·2xCD＝0－eq\f(1，2）mveq\o\al(

2,B)解得h′＝1。8m<h＝2m所以第一次返回時，運(yùn)動員不能回到B點(diǎn)設(shè)運(yùn)動員從B點(diǎn)運(yùn)動到停止,在CD段的總路程為s，由動能定理可得：mgh－μmgs＝0－eq\f(1，2）mveq\o\al(

2，B） ④解得：s＝30。4m因?yàn)閟＝3xCD＋6.4m，所以運(yùn)動員最后停在D點(diǎn)左側(cè)6。4m處或C點(diǎn)右側(cè)1.6m處.3.（動能定理在平拋、圓周運(yùn)動中的應(yīng)用)如圖7所示,將一個質(zhì)量為m＝0.6kg的小球以初速度v0＝2m/s從P點(diǎn)水平拋出，小球從粗糙圓弧ABC的A點(diǎn)沿切線方向進(jìn)入（不計(jì)空氣阻力，進(jìn)入圓弧時無動能損失)且恰好沿圓弧通過最高點(diǎn)C，已知圓弧的圓心為O，半徑R＝0。3m，θ＝60°，g＝10m/s2.求：圖7(1)小球到達(dá)A點(diǎn)的速度vA的大小；（2)P點(diǎn)到A點(diǎn)的豎直高度H;（3）小球從圓弧A點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)C的過程中克服摩擦力所做的功W.答案（1)4m/s（2）0.6m(3)1.2J解析(1）在A點(diǎn)由速度的合成得vA＝eq\f(v0,cosθ)，代入數(shù)據(jù)解得vA＝4m/s（2)從P點(diǎn)到A點(diǎn)小球做平拋運(yùn)動，豎直分速度vy＝v0tanθ ①由運(yùn)動學(xué)規(guī)律有veq\o\al(

2,y）＝2gH ②聯(lián)立①②解得H＝0。6m（3）小球恰好過C點(diǎn)滿足mg＝eq\f（mv\o\al(

2,C)，R)由A點(diǎn)到C點(diǎn)由動能定理得－mgR(1＋cosθ）－W＝eq\f(1，2)mveq\o\al(

2，C)－eq\f(1，2）mveq\o\al(

2，A)代入數(shù)據(jù)解得W＝1.2J。課時作業(yè)一、選擇題（1~7為單選題，8~9為多選題)1。在離地面高為h處豎直上拋一質(zhì)量為m的物塊,拋出時的速度為v0，當(dāng)它落到地面時速度為v，用g表示重力加速度，則在此過程中物塊克服空氣阻力所做的功等于(）A.mgh－eq\f(1，2）mv2－eq\f（1,2)mveq\o\al（

2,0）B.eq\f(1，2)mv2－eq\f（1,2)mveq\o\al（

2,0）－mghC.mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al（

2，0）－eq\f（1，2)mv2D.mgh＋eq\f(1,2)mv2－eq\f（1，2）mveq\o\al（

2，0)答案C解析對物塊從剛拋出到正好落地時的過程，由動能定理可得：mgh－Wf克＝eq\f(1,2)mv2－eq\f（1,2)mveq\o\al(

2，0)解得：Wf克＝mgh＋eq\f(1,2)mveq\o\al(

2，0)－eq\f（1,2)mv2.2。如圖1所示，AB為eq\f（1,4）圓弧軌道，BC為水平直軌道，圓弧的半徑為R,BC的長度也是R，一質(zhì)量為m的物體，與兩個軌道間的動摩擦因數(shù)都為μ，當(dāng)它由軌道頂端A從靜止開始下滑，且恰好運(yùn)動到C處停止，那么物體在AB段克服摩擦力所做的功為（)圖1A。eq\f(1,2)μmgR B。eq\f(1,2)mgRC。－mgR D.(1－μ）mgR答案D解析設(shè)物體在AB段克服摩擦力所做的功為WAB，物體從A運(yùn)動到C的全過程，根據(jù)動能定理，有mgR－WAB－μmgR＝0.所以有WAB＝mgR－μmgR＝（1－μ)mgR。3。一質(zhì)量為m的小球，用長為l的輕繩懸掛于O點(diǎn)，小球在水平拉力F作用下，從平衡位置P點(diǎn)很緩慢地移動到Q點(diǎn),如圖2所示，則拉力F所做的功為(）圖2A。mglcosθ B.mgl（1－cosθ）C。Flcosθ D。Flsinθ答案B解析由于物體緩慢移動，動能保持不變，由動能定理得：－mgl(1－cosθ）＋W＝0，所以W＝mgl（1－cosθ)。4.質(zhì)量為m的物體(可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v0沿水平面向左開始運(yùn)動，起始點(diǎn)A與一自然伸長的輕彈簧最右端O相距s,如圖3所示.已知物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ，物體與彈簧相碰后,彈簧的最大壓縮量為x，則從開始碰撞到彈簧被壓縮至最短，物體克服彈簧彈力所做的功為(不計(jì)空氣阻力）（)圖3A。eq\f（1，2)mveq\o\al（

2,0）－μmg（s＋x) B.eq\f（1,2)mveq\o\al(

2,0）－μmgxC.μmgs D.μmgx答案A解析設(shè)物體克服彈簧彈力所做的功為W，則物體向左壓縮彈簧過程中，彈簧彈力對物體做功為－W，摩擦力對物體做功為－μmg(s＋x），根據(jù)動能定理有－W－μmg（s＋x)＝0－eq\f(1,2）mveq\o\al(

2,0），所以W＝eq\f（1,2）mveq\o\al(

2,0)－μmg（s＋x）。5。質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端,在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動，如圖4所示，運(yùn)動過程中小球受到空氣阻力的作用.設(shè)某一時刻小球通過軌道的最低點(diǎn)，此時繩子的張力為7mg,在此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動，經(jīng)過半個圓周恰好能通過最高點(diǎn),則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功是（）圖4A.eq\f(1,4)mgR B.eq\f(1，3）mgRC.eq\f（1,2)mgR D.mgR答案C解析小球通過最低點(diǎn)時，設(shè)繩的張力為T，則T－mg＝meq\f(v\o\al(

2，1），R），即6mg＝meq\f(v\o\al（

2,1）,R） ①小球恰好過最高點(diǎn)，繩子拉力為零，這時mg＝meq\f（v\o\al(

2，2）,R） ②小球從最低點(diǎn)運(yùn)動到最高點(diǎn)的過程中，由動能定理得－mg·2R－Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al（

2，2）－eq\f（1，2）mveq\o\al(

2,1） ③聯(lián)立①②③式解得Wf＝eq\f（1，2）mgR,選C。6。如圖5所示,假設(shè)在某次比賽中運(yùn)動員從10m高處的跳臺跳下，設(shè)水的平均阻力約為其體重的3倍，在粗略估算中,把運(yùn)動員當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理,為了保證運(yùn)動員的人身安全，池水深度至少為（不計(jì)空氣阻力)()圖5A.5m B.3mC。7m D.1m答案A解析設(shè)水深為h，對運(yùn)動員從起跳到運(yùn)動至最低點(diǎn)運(yùn)用動能定理可得:mg（H＋h)－fh＝0，mg（H＋h）＝3mgh.所以h＝5m.7。如圖6所示，小球以初速度v0從A點(diǎn)沿粗糙的軌道運(yùn)動到高為h的B點(diǎn)后自動返回，其返回途中仍經(jīng)過A點(diǎn)，則返回途中小球經(jīng)過A點(diǎn)的速度大小為(）圖6A.eq\r（v\o\al（

2,0）－4gh） B。eq\r（4gh－v\o\al(

2,0））C.eq\r(v\o\al(

2，0)－2gh) D。eq\r（2gh－v\o\al(

2，0）)答案B解析從A到B運(yùn)動過程中，重力和摩擦力都做負(fù)功，根據(jù)動能定理可得mgh＋Wf＝eq\f(1,2）mveq\o\al(

2,0),從B到A過程中，重力做正功，摩擦力做負(fù)功(因?yàn)槭茄卦贩祷兀詢煞N情況摩擦力做功大小相等)，根據(jù)動能定理可得mgh－Wf＝eq\f(1,2）mv2，兩式聯(lián)立得再次經(jīng)過A點(diǎn)的速度為eq\r（4gh－v\o\al（

2,0)），故B正確。8。在平直公路上，汽車由靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，當(dāng)速度達(dá)到vmax后,立即關(guān)閉發(fā)動機(jī)直至靜止,v－t圖像如圖7所示，設(shè)汽車的牽引力為F，受到的摩擦力為f，全程中牽引力做功為W1，汽車克服摩擦力做功為W2，則(）圖7A。F∶f＝1∶3 B。W1∶W2＝1∶1C.F∶f＝4∶1 D。W1∶W2＝1∶3答案BC解析對汽車運(yùn)動的全過程，由動能定理得：W1－W2＝ΔEk＝0,所以W1＝W2，選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D錯誤；由動能定理得Fx1－fx＝0，由圖像知x1∶x＝1∶4.所以F∶f＝4∶1，選項(xiàng)A錯誤，選項(xiàng)C正確.9。如圖8所示,一個小環(huán)沿豎直放置的光滑圓環(huán)形軌道做圓周運(yùn)動。小環(huán)從最高點(diǎn)A滑到最低點(diǎn)B的過程中,線速度大小的平方v2隨下落高度h的變化圖像可能是圖中的()圖8答案AB解析對小環(huán)由動能定理得mgh＝eq\f(1，2）mv2－eq\f(1，2)mveq\o\al（

2，0)，則v2＝2gh＋veq\o\al(

2，0).當(dāng)v0＝0時，B正確.當(dāng)v0≠0時，A正確。二、非選擇題10.如圖9所示，光滑水平面AB與一半圓形軌道在B點(diǎn)相連,半圓形軌道位于豎直面內(nèi)，其半徑為R，一個質(zhì)量為m的物塊靜止在水平面上，現(xiàn)向左推物塊使其壓緊彈簧，然后放手，物塊在彈力作用下由靜止獲得一速度，當(dāng)它經(jīng)B點(diǎn)進(jìn)入半圓形軌道瞬間，對軌道的壓力為其重力的7倍，之后向上運(yùn)動恰能完成半圓周運(yùn)動到達(dá)C點(diǎn)，重力加速度為g。求：圖9(1）彈簧彈力對物塊做的功；（2)物塊從B到C克服阻力所做的功;（3）物塊離開C點(diǎn)后,再落回到水平面上時的動能。答案（1)3mgR（2)eq\f(1，2)mgR(3）eq\f(5，2)mgR解析(1)由動能定理得W＝eq\f(1，2）mveq\o\al（

2,B）在B點(diǎn)由牛頓第二定律得7mg－mg＝meq\f(v\o\al(

2，B),R）解得W＝3mgR（2)物塊從B到C由動能定理得eq\f（1，2)mveq\o\al（

2，C）－eq\f(1，2）mveq\o\al(

2，B)＝－2mgR＋W′物塊在C點(diǎn)時mg＝meq\f（v\o\al(

2，C），R)解得W′＝－eq\f（1,2)mgR，即物塊從B到C克服阻力做功為eq\f(1，2）mgR.(3)物塊從C點(diǎn)平拋到水平面的過程中，由動能定理得2mgR＝Ek－eq\f(1,2）mveq\o\al(

2，C）,解得Ek＝eq\f(5,2)mgR.11.如圖10所示，繃緊的傳送帶在電動機(jī)帶動下，始終保持v0＝2m/s的速度順時針勻速運(yùn)行，傳送帶與水平地面的夾角θ＝30°，現(xiàn)把一質(zhì)量m＝10kg的工件輕輕地放在傳送帶底端,由傳送帶傳送至h＝2m的高處.已知工件與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ＝eq\f(\r(3），2），g取10m/s2。圖10(1）通過計(jì)算分析工件在傳送帶上做怎樣的運(yùn)動？(2)工件從傳送帶底端運(yùn)動至h＝2m高處的過程中摩擦力對工件做了多少功？答案（1)工件先以2.5m/s2的加速度做勻加速直線運(yùn)動,運(yùn)動0.8m與傳送帶達(dá)到共同速度2m/s后做勻速直線運(yùn)動（2）220J解析(1)工件剛放在傳送帶時受滑動摩擦力：f＝μmgcosθ，工件開始做勻加速直線運(yùn)動，由牛頓運(yùn)動定律:f－mgsinθ＝ma可得：a＝eq\f（f，m）－gsinθ＝g(μcosθ－sinθ)＝10×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(\r（3），2）cos30°－sin30°）)m/s2＝2。5m/s2.設(shè)工件經(jīng)過位移x與傳送帶達(dá)到共同速度，由勻變速直線運(yùn)動規(guī)律可得:x＝eq\f(v\o\al（

2,0)，