統(tǒng)計(jì)物理學(xué)第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布統(tǒng)計(jì)物理學(xué)第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布1統(tǒng)計(jì)物理學(xué)要解決的問題1、建立物質(zhì)宏觀量的行為定律

toestablishthebehaviorlawsformacroscopicquantitiesofasubstance.2、基于原子和分子的思想，驗(yàn)證熱力學(xué)定律toofferatheoreticalsubstantiation(證實(shí))ofthermodynamiclawsonthebasisofatomicandmolecularideas統(tǒng)計(jì)物理學(xué)要解決的問題1、建立物質(zhì)宏觀量的行為定律2粒子的能級(jí)化描述方式熱力學(xué)默認(rèn)了每個(gè)粒子都是相同的：能量相同、質(zhì)量相同等等。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)認(rèn)為粒子是有差別的。如何處理這種差別是重點(diǎn)。粒子的能級(jí)化描述方式熱力學(xué)默認(rèn)了每個(gè)粒子都是相同的：能量相同3舉例對(duì)于大量粒子的系統(tǒng)，能量應(yīng)該是連續(xù)的。為了分析的方便，將能量按等間距劃分出區(qū)間，在區(qū)間內(nèi)的近似認(rèn)為在某個(gè)能級(jí)上，如右圖：舉例對(duì)于大量粒子的系統(tǒng)，能量應(yīng)該是連續(xù)的。4系統(tǒng)的特征與描述粒子不是靜止的，每個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)速度不是完全相同的，而是不斷運(yùn)動(dòng)的?？梢杂靡环N速率的分布描述（右圖只是舉例）在很小的能量間隔中，粒子的數(shù)目為n(l)。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的目的就是找出n(l)

！以此為出發(fā)點(diǎn)，可以解決各種問題系統(tǒng)的特征與描述粒子不是靜止的，每個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)速度不是完全相5統(tǒng)計(jì)物理解決問題舉例一個(gè)三能級(jí)系統(tǒng)，0,20,30中，每個(gè)能級(jí)有6個(gè)坐位，共有6個(gè)完全相同的粒子，總能量為120,每個(gè)坐位只能放一個(gè)，粒子如何分布？粒子可以采取的分布方式為：上圖為粒子可能填充的形式，下圖為分布函數(shù)，四種可能填充出現(xiàn)的數(shù)目分別是1，6×15×6,153,202。統(tǒng)計(jì)物理解決問題舉例一個(gè)三能級(jí)系統(tǒng)，0,20,306粒子的性質(zhì)與描述雖然統(tǒng)計(jì)物理學(xué)不考慮粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但考慮粒子的性質(zhì)：經(jīng)典的還是量子的。如果是量子的，那么是費(fèi)米的還是玻色的。不同的性質(zhì)，分布n(l)會(huì)不一樣。如果粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)粒子的描述稱為經(jīng)典描述；如果粒子遵從量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)粒子的描述稱為量子描述。下面根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律先分別描述。粒子的性質(zhì)與描述雖然統(tǒng)計(jì)物理學(xué)不考慮粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但考慮粒7§6.1粒子運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典描述經(jīng)典粒子：氣體分子、金屬離子。。。如果用快速照像機(jī)對(duì)經(jīng)典粒子拍照，可以得到不同時(shí)刻粒子的照片，比較兩張，就可以對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述。1、描述位置的變化2、描述速率的大小設(shè)粒子的坐標(biāo)與勢(shì)能相關(guān)，而速度與動(dòng)能相關(guān)，則有：什么是近獨(dú)立？獨(dú)立是不相互影響，無(wú)作用，即勢(shì)能為0§6.1粒子運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典描述經(jīng)典粒子：氣體分子、金屬離子。。8Newton’sclassicalmechanics

(經(jīng)典力學(xué)的解決方法)忽略分子內(nèi)的結(jié)構(gòu)，看成一個(gè)點(diǎn).TheequationofNewton’smotionforeachoftheNparticles.（牛頓方程）Fih：i’th與h’th分子的作用力；vi:velocity.求和存在的問題：1)要知道作用力或空間相關(guān)的作用勢(shì)；2)要知道6N個(gè)初始條件：每個(gè)分子的三維坐標(biāo)與動(dòng)量。3)假設(shè)上述條件已知，求和計(jì)算分子的路徑。Newton’sclassicalmechanics

(9困難與解決方法數(shù)學(xué)計(jì)算上的求和的難度，使其幾乎不可能。因?yàn)橄到y(tǒng)的粒子數(shù)達(dá)到1025m-3。即使知道了粒子的路徑和運(yùn)動(dòng)方程，也未必能提供以系統(tǒng)作為一個(gè)整體有用的信息。在一個(gè)大量粒子的系統(tǒng)中，

statisticalorprobabilitylawstakeeffectthatareforeignto(不適合于)asystemcontainingasmallnumberofparticles（少數(shù)粒子的系統(tǒng)）.困難與解決方法數(shù)學(xué)計(jì)算上的求和的難度，使其幾乎不10經(jīng)典描述(概念)每個(gè)粒子均用r個(gè)坐標(biāo)和r個(gè)動(dòng)量描述。即一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用2r個(gè)參量描述。2r個(gè)參量構(gòu)成了粒子的一個(gè)空間“μ空間”?！拔覀兂？吹降囊粋€(gè)粒子在3維空間的運(yùn)動(dòng)”變成了一個(gè)粒子在“6維空間內(nèi)一個(gè)代表點(diǎn)的移動(dòng)”經(jīng)典描述(概念)每個(gè)粒子均用r個(gè)坐標(biāo)和r個(gè)動(dòng)量描述。11(一)自由粒子粒子坐標(biāo)可以在0-L的范圍內(nèi)取值?？紤]一個(gè)方向的坐標(biāo)變化與動(dòng)量變化，可以：“6維空間分解為3個(gè)2維的子空間”，每個(gè)方向1個(gè)子空間。(一)自由粒子粒子坐標(biāo)可以在0-L的范圍內(nèi)取值。12(二)線性諧振子基本運(yùn)動(dòng)方程：這樣的運(yùn)動(dòng)可以用橢園表示：含義：一個(gè)方向可以確定一個(gè)子空間。(二)線性諧振子基本運(yùn)動(dòng)方程：這樣的運(yùn)動(dòng)可以用橢園表示：13§6.2粒子運(yùn)動(dòng)的量子描述在微觀世界，粒子的運(yùn)動(dòng)要用量子的方法描述，什么是量子的方法？“波”波有什么好處？不能確定粒子的確切位置，也就是說(shuō)可以不考慮粒子的位置。能量動(dòng)量公式(略)“測(cè)不準(zhǔn)原理”：§6.2粒子運(yùn)動(dòng)的量子描述在微觀世界，粒子的運(yùn)動(dòng)要用量子的14量子態(tài)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：“量子態(tài)”對(duì)于微觀粒子，這是最小的能量狀態(tài)。對(duì)于電子，其狀態(tài)除了能級(jí)還包含了自旋的因素。量子態(tài)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：“量子態(tài)”15(一)自旋粒子含自旋，在磁場(chǎng)下的最小能量。自旋磁矩與角動(dòng)量之比：其中，自旋角動(dòng)量量子數(shù)為mS=1/2：(一)自旋粒子含自旋，在磁場(chǎng)下的最小能量。其中，自旋角動(dòng)量量16(二)線性諧振子量子化的振動(dòng)：能量是等間距的。(二)線性諧振子量子化的振動(dòng)：能量是等間距的。17(三)量子化的自由粒子在勢(shì)壘高度無(wú)窮，長(zhǎng)度L內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)的粒子，粒子以駐波的形式運(yùn)動(dòng)，由此可以導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。(三)量子化的自由粒子在勢(shì)壘高度無(wú)窮，長(zhǎng)度L內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)的粒子18能量分析三維能量公式：n表示量子態(tài)數(shù),具有分立能級(jí)的特性，可能的能量狀態(tài)數(shù)目。由公式可以看出，其值與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。能量簡(jiǎn)并：當(dāng)粒子的能量為時(shí)，可能的量子態(tài)有6個(gè)。因此，能級(jí)是簡(jiǎn)并的，簡(jiǎn)并度為6。能量分析三維能量公式：n表示量子態(tài)數(shù),具有分立能級(jí)的特性19量子數(shù)h的理解量子態(tài)n的取值為整數(shù)，平均一個(gè)量子態(tài)的體積是1(右圖為示意性的二維圖)在體積V內(nèi)，動(dòng)量在px-px+dpx范圍內(nèi)的dnx取值為：測(cè)不準(zhǔn)原理：h是μ空間的最小相的邊長(zhǎng)，h3是相空間的最小體積，一個(gè)量子態(tài)占據(jù)一個(gè)最小體積。量子數(shù)h的理解量子態(tài)n的取值為整數(shù)，平均一個(gè)量子態(tài)的體積是120態(tài)密度動(dòng)量從p~p+dp范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)：換算成能量密度：態(tài)密度：?jiǎn)挝荒芰糠秶鷥?nèi)的量子態(tài)數(shù)：態(tài)密度動(dòng)量從p~p+dp范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)：換算成能量密度：態(tài)21§6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述在全同和近獨(dú)立系統(tǒng)的條件下，系統(tǒng)的普遍性質(zhì)全同性近獨(dú)立性§6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述在全同和近獨(dú)立系統(tǒng)的條件下，22微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即“力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”以一維為例解釋：μ空間的一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。系統(tǒng)在μ空間的N個(gè)點(diǎn)表示系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。多維μ空間的N個(gè)點(diǎn)表示系統(tǒng)的一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即“力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”以一維為例解釋：μ23微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的差異經(jīng)典描述：粒子的軌道是可以跟蹤的，每個(gè)粒子均可以識(shí)別。經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為：任意交換兩個(gè)粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量時(shí)，系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同。(可識(shí)別，考慮了坐標(biāo))微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的差異經(jīng)典描述：粒子的軌道是可以跟蹤的，每個(gè)粒子24系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子描述：量子性的粒子不可跟蹤其運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用的是測(cè)不準(zhǔn)原理和幾率分布。量子力學(xué)認(rèn)為，任意交換兩個(gè)粒子，系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同。(不可識(shí)別，不考慮坐標(biāo))量子的粒子在什么情況下可以近似為經(jīng)典的？系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子描述：量子性的粒子不可跟蹤其運(yùn)動(dòng)25粒子的量子性Fermionsfollow:(費(fèi)米子遵從不相容原理)

thePauliexclusionprincipleinasystemofNidenticalfermionsonecellinthe-spacecancontainnomorethanonerepresentativepoint.(一個(gè)位置最多放一個(gè)粒子)inasystemofNidenticalbosonsonecellinthe-spacecancontainanynumberrepresentativepointsfromzerotoN.(一個(gè)位置可以放任意個(gè)粒子)粒子的量子性Fermionsfollow:(費(fèi)米子遵從26費(fèi)米子經(jīng)典玻色子2個(gè)粒子放在三個(gè)格子的放法？費(fèi)米子經(jīng)典玻色子2個(gè)粒子放在三個(gè)格子的放法？27§6.4等概率原理熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)與粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是否有聯(lián)系？熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)用熱力學(xué)參數(shù)表征：體積V、粒子數(shù)N、壓強(qiáng)P、能量E等。系統(tǒng)處在平衡態(tài)，宏觀物理量有確定值，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)會(huì)如何？是否有確定值？答案是“否”。原因：微觀粒子不停地運(yùn)動(dòng)，狀態(tài)不斷地改變。固體、液體、玻璃均如此?！?.4等概率原理熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)與粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)28原因宏觀物理量有確定值，即體積V、粒子數(shù)N、壓強(qiáng)P、能量E等有確定值。以理想氣體為例：限定體積V、N個(gè)粒子的總能量E，氣體分子不停在碰撞器壁，維持壓強(qiáng)為P。下圖為動(dòng)量空間的例子。在體積和壓強(qiáng)不變的情況下，確定的宏觀條件對(duì)應(yīng)的四種情形，其總的微觀狀態(tài)數(shù)為四種情況的微觀狀態(tài)數(shù)之和。原因宏觀物理量有確定值，即體積V、粒子數(shù)N、壓強(qiáng)P、能量E29等概率原理(equiprobable)上例共有1+6×15×6+153+202種可能實(shí)現(xiàn)的微觀狀態(tài)數(shù)，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)不會(huì)追隨系統(tǒng)微觀狀態(tài)的變化，只是在理論上考慮其出現(xiàn)的可能性，并用概率進(jìn)行描述。對(duì)于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。------“等概率原理”，一種假設(shè)。即對(duì)微觀狀態(tài)的平均加權(quán)等概率原理(equiprobable)上例共有1+6×15×30附加內(nèi)容“系綜”系統(tǒng)在固定的一個(gè)宏觀狀態(tài)下，微觀狀態(tài)是不斷變化的。在t=0時(shí)刻，給系統(tǒng)拍照，其微觀狀態(tài)為S0在t=1時(shí)刻，給系統(tǒng)拍照，其微觀狀態(tài)為S1在t=2時(shí)刻，給系統(tǒng)拍照，其微觀狀態(tài)為S2直到t∞，給系統(tǒng)拍照，可觀測(cè)到最后一個(gè)沒有重復(fù)的微觀狀態(tài)。定義：{S0,S1,S2,…}為“系綜”，即系統(tǒng)所有可能的微觀狀態(tài)組成一個(gè)集合。用“空間”換“時(shí)間”。附加內(nèi)容“系綜”系統(tǒng)在固定的一個(gè)宏觀狀態(tài)下，微觀狀態(tài)是不斷變31各種系綜孤立系統(tǒng)的系綜---微正則系綜閉合系統(tǒng)的系綜---正則系綜開放系統(tǒng)的系綜---巨正則系綜(第九章為其數(shù)學(xué)內(nèi)容，略)當(dāng)系統(tǒng)在無(wú)窮長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)可能經(jīng)歷所有的微觀狀態(tài)，則該系統(tǒng)為“各態(tài)歷經(jīng)”的，“ergodic”。各種系綜孤立系統(tǒng)的系綜---微正則系綜32§6.5分布和微觀狀態(tài)系統(tǒng)的約束條件：在宏觀上：確定的粒子數(shù)N、總能量E、總體積V在微觀上：能級(jí)εl(l=1,2,3,…),簡(jiǎn)并度ωl(l=1,2,3,…),粒子數(shù)al(l=1,2,3,…),§6.5分布和微觀狀態(tài)系統(tǒng)的約束條件：33分布能級(jí)εl上有al個(gè)粒子，形成了一個(gè)序列{al},稱為一個(gè)分布。如上例中的分布分別是：{0,6,0},{1,4,1},{2,2,2},{3,0,3},分布滿足的條件是：已經(jīng)算出過(guò)其微觀狀態(tài)數(shù)分別是：1，6×15×6，153，202，下面根據(jù)粒子的性質(zhì)導(dǎo)出其公式。分布能級(jí)εl上有al個(gè)粒子，形成了一個(gè)序列{al},稱34微觀狀態(tài)數(shù)在能級(jí)εl(l=1,2,3,…),簡(jiǎn)并度ωl(l=1,2,3,…),粒子數(shù)al(l=1,2,3,…)確定的條件下，經(jīng)典粒子的占據(jù)能級(jí)方式：在εl能級(jí)上有ωl個(gè)位置供al個(gè)粒子占據(jù)，粒子的占據(jù)不受任何約束，即每個(gè)粒子可以等概率地占據(jù)ωl個(gè)位置中的任何一個(gè)。每個(gè)粒子都有個(gè)占據(jù)ωl方法，al個(gè)粒子共有種排列方法。微觀狀態(tài)數(shù)在能級(jí)εl(l=1,2,3,…),簡(jiǎn)并度ωl35經(jīng)典的微觀狀態(tài)數(shù)考慮整個(gè)分布函數(shù)時(shí)的微觀狀態(tài)數(shù)如果任何兩個(gè)粒子交換都能產(chǎn)生不同的微觀狀態(tài)，則N個(gè)粒子兩兩交換后的微觀狀態(tài)數(shù)是包含了al個(gè)粒子相互交換粒子，總的微觀狀態(tài)數(shù)是前例分析經(jīng)典的微觀狀態(tài)數(shù)考慮整個(gè)分布函數(shù)時(shí)的微觀狀態(tài)數(shù)如果任何兩個(gè)粒36玻色子的微觀狀態(tài)數(shù)玻色子容納的粒子數(shù)不受限制，設(shè)某個(gè)能級(jí)有8個(gè)簡(jiǎn)并度如圖，存在7個(gè)檔板：不同的排列方式可以分為兩種交換：(1)粒子和隔離物；(2)粒子和粒子。玻色子的微觀狀態(tài)數(shù)玻色子容納的粒子數(shù)不受限制，設(shè)某個(gè)能級(jí)有837等效圖分析：粒子和隔離物排列在一條線上，任意交換導(dǎo)致總的排列方式：(al+wl-1)!，但包含了全同粒子在等效位置的交換al!和隔離物的交換(wl-1)!

等效圖分析：粒子和隔離物排列在一條線上，任意交換導(dǎo)致總的排列38費(fèi)米子的微觀狀態(tài)數(shù)一個(gè)量子態(tài)最多能夠容納一個(gè)粒子。ωl個(gè)量子態(tài)共容納了al個(gè)粒子。共有種排列方式N個(gè)粒子的排列方式是：費(fèi)米子的微觀狀態(tài)數(shù)一個(gè)量子態(tài)最多能夠容納一個(gè)粒子。ωl個(gè)量39結(jié)論比較經(jīng)典玻色子費(fèi)米子當(dāng)al<<ωl時(shí)結(jié)論比較經(jīng)典玻色子費(fèi)米子當(dāng)al<<ωl時(shí)40簡(jiǎn)并度的討論在能量為εl,簡(jiǎn)并度ωl的條件下，設(shè)能量范圍所占的相空間(μ空間)體積為Δω，而一個(gè)量子態(tài)所占的相空間體積為hr，則有：

ωl=Δω/hr,r是維數(shù)。ωl=D(εl)Δε簡(jiǎn)并度的討論在能量為εl,簡(jiǎn)并度ωl的條件下，設(shè)能量范41§6.6玻耳茲曼分布上一節(jié)所學(xué)的是：已知分布{al}，求其微觀狀態(tài)數(shù)。根據(jù)前面的內(nèi)容可以知道，分布不同，微觀狀態(tài)數(shù)不同，那么如何求微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布？定義：微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布為“最概然分布”，宏觀系統(tǒng)中最概然分布出現(xiàn)的概率最大。玻耳茲曼系統(tǒng)粒子的最概然分布稱為玻耳茲曼分布。對(duì)上節(jié)導(dǎo)出的分布函數(shù)求解?！?.6玻耳茲曼分布上一節(jié)所學(xué)的是：已知分布{al}，求其42玻耳茲曼分布利用Stirling公式(近似等式)：經(jīng)典公式可以化為玻耳茲曼分布利用Stirling公式(近似等式)：經(jīng)典公式可43最概然分布最概然分布是使微觀狀態(tài)數(shù)極大的分布。同時(shí)微觀狀態(tài)數(shù)的對(duì)數(shù)也應(yīng)該是最大。最大時(shí)的一階微分為0：上式表示能級(jí)間交換粒子要保持微觀狀態(tài)數(shù)不變，但還要受到2個(gè)約束作用：最概然分布最概然分布是使微觀狀態(tài)數(shù)極大的分布。同時(shí)微觀狀態(tài)數(shù)44最概然分布運(yùn)用拉格朗日未定乘子的變分原理，定義2個(gè)乘子α-1和β分別乘上2式，得到根據(jù)乘子法原理，上式中的每個(gè)系數(shù)都應(yīng)為0得到玻耳茲曼分布函數(shù)：最概然分布運(yùn)用拉格朗日未定乘子的變分原理，定義2個(gè)乘子α-145玻耳茲曼分布平均每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)：上式稱為‘玻耳茲曼分布’函數(shù)。量子態(tài)下的粒子數(shù)與能級(jí)：玻耳茲曼分布平均每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)：上式稱為‘玻耳茲曼分布46幾點(diǎn)說(shuō)明1、極大值處會(huì)有2階微分為負(fù)。2、N很大時(shí)，微小的偏離幾乎是不可能的。幾點(diǎn)說(shuō)明1、極大值處會(huì)有2階微分為負(fù)。47§6.7玻色分布和費(fèi)米分布同理，玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：§6.7玻色分布和費(fèi)米分布同理，玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：48玻色分布運(yùn)用拉格朗日未定乘子的變分原理，定義2個(gè)乘子α和β，考慮粒子數(shù)玻色分布運(yùn)用拉格朗日未定乘子的變分原理，定義2個(gè)乘子α和β，49玻色分布平均每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)：上式稱為”玻色分布“函數(shù)。玻色分布平均每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)：上式稱為”玻色分布“函數(shù)。50費(fèi)米分布費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：費(fèi)米分布費(fèi)米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：51費(fèi)米分布運(yùn)用拉格朗日未定乘子的變分原理，定義2個(gè)乘子α和β，考慮粒子數(shù)費(fèi)米分布運(yùn)用拉格朗日未定乘子的變分原理，定義2個(gè)乘子α和β，52費(fèi)米分布平均每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)：上式稱為”費(fèi)米分布“函數(shù)。費(fèi)米分布平均每個(gè)量子態(tài)上的粒子數(shù)：上式稱為”費(fèi)米分布“函數(shù)。53三種分布的比較麥、玻分布函數(shù)：玻、愛分布函數(shù)：費(fèi)、狄分布函數(shù)：三種分布函數(shù)：三種分布的比較麥、玻分布函數(shù)：玻、愛分布函數(shù)：費(fèi)、狄分布函數(shù)54三種分布的討論當(dāng)al/ωl<<1時(shí):合并后有：三種分布的討論當(dāng)al/ωl<<1時(shí):合并后有：55物理意義在數(shù)學(xué)是的相同表示對(duì)應(yīng)物理上的可分辨量子的粒子可分辨：粒子間距離較遠(yuǎn)，密度較低，或者活動(dòng)范圍受到限制。作業(yè)：P247:6.4,6.5物理意義在數(shù)學(xué)是的相同表示對(duì)應(yīng)物理上的可分辨作業(yè)：P247:56演講完畢，謝謝觀看！演講完畢，謝謝觀看！57統(tǒng)計(jì)物理學(xué)第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布統(tǒng)計(jì)物理學(xué)第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布58統(tǒng)計(jì)物理學(xué)要解決的問題1、建立物質(zhì)宏觀量的行為定律

toestablishthebehaviorlawsformacroscopicquantitiesofasubstance.2、基于原子和分子的思想，驗(yàn)證熱力學(xué)定律toofferatheoreticalsubstantiation(證實(shí))ofthermodynamiclawsonthebasisofatomicandmolecularideas統(tǒng)計(jì)物理學(xué)要解決的問題1、建立物質(zhì)宏觀量的行為定律59粒子的能級(jí)化描述方式熱力學(xué)默認(rèn)了每個(gè)粒子都是相同的：能量相同、質(zhì)量相同等等。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)認(rèn)為粒子是有差別的。如何處理這種差別是重點(diǎn)。粒子的能級(jí)化描述方式熱力學(xué)默認(rèn)了每個(gè)粒子都是相同的：能量相同60舉例對(duì)于大量粒子的系統(tǒng)，能量應(yīng)該是連續(xù)的。為了分析的方便，將能量按等間距劃分出區(qū)間，在區(qū)間內(nèi)的近似認(rèn)為在某個(gè)能級(jí)上，如右圖：舉例對(duì)于大量粒子的系統(tǒng)，能量應(yīng)該是連續(xù)的。61系統(tǒng)的特征與描述粒子不是靜止的，每個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)速度不是完全相同的，而是不斷運(yùn)動(dòng)的?？梢杂靡环N速率的分布描述（右圖只是舉例）在很小的能量間隔中，粒子的數(shù)目為n(l)。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的目的就是找出n(l)

！以此為出發(fā)點(diǎn)，可以解決各種問題系統(tǒng)的特征與描述粒子不是靜止的，每個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)速度不是完全相62統(tǒng)計(jì)物理解決問題舉例一個(gè)三能級(jí)系統(tǒng)，0,20,30中，每個(gè)能級(jí)有6個(gè)坐位，共有6個(gè)完全相同的粒子，總能量為120,每個(gè)坐位只能放一個(gè)，粒子如何分布？粒子可以采取的分布方式為：上圖為粒子可能填充的形式，下圖為分布函數(shù)，四種可能填充出現(xiàn)的數(shù)目分別是1，6×15×6,153,202。統(tǒng)計(jì)物理解決問題舉例一個(gè)三能級(jí)系統(tǒng)，0,20,3063粒子的性質(zhì)與描述雖然統(tǒng)計(jì)物理學(xué)不考慮粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但考慮粒子的性質(zhì)：經(jīng)典的還是量子的。如果是量子的，那么是費(fèi)米的還是玻色的。不同的性質(zhì)，分布n(l)會(huì)不一樣。如果粒子遵從經(jīng)典力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)粒子的描述稱為經(jīng)典描述；如果粒子遵從量子力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)粒子的描述稱為量子描述。下面根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律先分別描述。粒子的性質(zhì)與描述雖然統(tǒng)計(jì)物理學(xué)不考慮粒子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但考慮粒64§6.1粒子運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典描述經(jīng)典粒子：氣體分子、金屬離子。。。如果用快速照像機(jī)對(duì)經(jīng)典粒子拍照，可以得到不同時(shí)刻粒子的照片，比較兩張，就可以對(duì)粒子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行描述。1、描述位置的變化2、描述速率的大小設(shè)粒子的坐標(biāo)與勢(shì)能相關(guān)，而速度與動(dòng)能相關(guān)，則有：什么是近獨(dú)立？獨(dú)立是不相互影響，無(wú)作用，即勢(shì)能為0§6.1粒子運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典描述經(jīng)典粒子：氣體分子、金屬離子。。65Newton’sclassicalmechanics

(經(jīng)典力學(xué)的解決方法)忽略分子內(nèi)的結(jié)構(gòu)，看成一個(gè)點(diǎn).TheequationofNewton’smotionforeachoftheNparticles.（牛頓方程）Fih：i’th與h’th分子的作用力；vi:velocity.求和存在的問題：1)要知道作用力或空間相關(guān)的作用勢(shì)；2)要知道6N個(gè)初始條件：每個(gè)分子的三維坐標(biāo)與動(dòng)量。3)假設(shè)上述條件已知，求和計(jì)算分子的路徑。Newton’sclassicalmechanics

(66困難與解決方法數(shù)學(xué)計(jì)算上的求和的難度，使其幾乎不可能。因?yàn)橄到y(tǒng)的粒子數(shù)達(dá)到1025m-3。即使知道了粒子的路徑和運(yùn)動(dòng)方程，也未必能提供以系統(tǒng)作為一個(gè)整體有用的信息。在一個(gè)大量粒子的系統(tǒng)中，

statisticalorprobabilitylawstakeeffectthatareforeignto(不適合于)asystemcontainingasmallnumberofparticles（少數(shù)粒子的系統(tǒng)）.困難與解決方法數(shù)學(xué)計(jì)算上的求和的難度，使其幾乎不67經(jīng)典描述(概念)每個(gè)粒子均用r個(gè)坐標(biāo)和r個(gè)動(dòng)量描述。即一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用2r個(gè)參量描述。2r個(gè)參量構(gòu)成了粒子的一個(gè)空間“μ空間”?！拔覀兂？吹降囊粋€(gè)粒子在3維空間的運(yùn)動(dòng)”變成了一個(gè)粒子在“6維空間內(nèi)一個(gè)代表點(diǎn)的移動(dòng)”經(jīng)典描述(概念)每個(gè)粒子均用r個(gè)坐標(biāo)和r個(gè)動(dòng)量描述。68(一)自由粒子粒子坐標(biāo)可以在0-L的范圍內(nèi)取值?？紤]一個(gè)方向的坐標(biāo)變化與動(dòng)量變化，可以：“6維空間分解為3個(gè)2維的子空間”，每個(gè)方向1個(gè)子空間。(一)自由粒子粒子坐標(biāo)可以在0-L的范圍內(nèi)取值。69(二)線性諧振子基本運(yùn)動(dòng)方程：這樣的運(yùn)動(dòng)可以用橢園表示：含義：一個(gè)方向可以確定一個(gè)子空間。(二)線性諧振子基本運(yùn)動(dòng)方程：這樣的運(yùn)動(dòng)可以用橢園表示：70§6.2粒子運(yùn)動(dòng)的量子描述在微觀世界，粒子的運(yùn)動(dòng)要用量子的方法描述，什么是量子的方法？“波”波有什么好處？不能確定粒子的確切位置，也就是說(shuō)可以不考慮粒子的位置。能量動(dòng)量公式(略)“測(cè)不準(zhǔn)原理”：§6.2粒子運(yùn)動(dòng)的量子描述在微觀世界，粒子的運(yùn)動(dòng)要用量子的71量子態(tài)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：“量子態(tài)”對(duì)于微觀粒子，這是最小的能量狀態(tài)。對(duì)于電子，其狀態(tài)除了能級(jí)還包含了自旋的因素。量子態(tài)微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：“量子態(tài)”72(一)自旋粒子含自旋，在磁場(chǎng)下的最小能量。自旋磁矩與角動(dòng)量之比：其中，自旋角動(dòng)量量子數(shù)為mS=1/2：(一)自旋粒子含自旋，在磁場(chǎng)下的最小能量。其中，自旋角動(dòng)量量73(二)線性諧振子量子化的振動(dòng)：能量是等間距的。(二)線性諧振子量子化的振動(dòng)：能量是等間距的。74(三)量子化的自由粒子在勢(shì)壘高度無(wú)窮，長(zhǎng)度L內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)的粒子，粒子以駐波的形式運(yùn)動(dòng)，由此可以導(dǎo)出其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。(三)量子化的自由粒子在勢(shì)壘高度無(wú)窮，長(zhǎng)度L內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)的粒子75能量分析三維能量公式：n表示量子態(tài)數(shù),具有分立能級(jí)的特性，可能的能量狀態(tài)數(shù)目。由公式可以看出，其值與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。能量簡(jiǎn)并：當(dāng)粒子的能量為時(shí)，可能的量子態(tài)有6個(gè)。因此，能級(jí)是簡(jiǎn)并的，簡(jiǎn)并度為6。能量分析三維能量公式：n表示量子態(tài)數(shù),具有分立能級(jí)的特性76量子數(shù)h的理解量子態(tài)n的取值為整數(shù)，平均一個(gè)量子態(tài)的體積是1(右圖為示意性的二維圖)在體積V內(nèi)，動(dòng)量在px-px+dpx范圍內(nèi)的dnx取值為：測(cè)不準(zhǔn)原理：h是μ空間的最小相的邊長(zhǎng)，h3是相空間的最小體積，一個(gè)量子態(tài)占據(jù)一個(gè)最小體積。量子數(shù)h的理解量子態(tài)n的取值為整數(shù)，平均一個(gè)量子態(tài)的體積是177態(tài)密度動(dòng)量從p~p+dp范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)：換算成能量密度：態(tài)密度：?jiǎn)挝荒芰糠秶鷥?nèi)的量子態(tài)數(shù)：態(tài)密度動(dòng)量從p~p+dp范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)：換算成能量密度：態(tài)78§6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述在全同和近獨(dú)立系統(tǒng)的條件下，系統(tǒng)的普遍性質(zhì)全同性近獨(dú)立性§6.3系統(tǒng)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述在全同和近獨(dú)立系統(tǒng)的條件下，79微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即“力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”以一維為例解釋：μ空間的一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。系統(tǒng)在μ空間的N個(gè)點(diǎn)表示系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。多維μ空間的N個(gè)點(diǎn)表示系統(tǒng)的一個(gè)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)即“力學(xué)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)”以一維為例解釋：μ80微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的差異經(jīng)典描述：粒子的軌道是可以跟蹤的，每個(gè)粒子均可以識(shí)別。經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為：任意交換兩個(gè)粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量時(shí)，系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同。(可識(shí)別，考慮了坐標(biāo))微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的差異經(jīng)典描述：粒子的軌道是可以跟蹤的，每個(gè)粒子81系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子描述：量子性的粒子不可跟蹤其運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用的是測(cè)不準(zhǔn)原理和幾率分布。量子力學(xué)認(rèn)為，任意交換兩個(gè)粒子，系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同。(不可識(shí)別，不考慮坐標(biāo))量子的粒子在什么情況下可以近似為經(jīng)典的？系統(tǒng)的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)量子描述：量子性的粒子不可跟蹤其運(yùn)動(dòng)82粒子的量子性Fermionsfollow:(費(fèi)米子遵從不相容原理)

thePauliexclusionprincipleinasystemofNidenticalfermionsonecellinthe-spacecancontainnomorethanonerepresentativepoint.(一個(gè)位置最多放一個(gè)粒子)inasystemofNidenticalbosonsonecellinthe-spacecancontainanynumberrepresentativepointsfromzerotoN.(一個(gè)位置可以放任意個(gè)粒子)粒子的量子性Fermionsfollow:(費(fèi)米子遵從83費(fèi)米子經(jīng)典玻色子2個(gè)粒子放在三個(gè)格子的放法？費(fèi)米子經(jīng)典玻色子2個(gè)粒子放在三個(gè)格子的放法？84§6.4等概率原理熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)與粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是否有聯(lián)系？熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)用熱力學(xué)參數(shù)表征：體積V、粒子數(shù)N、壓強(qiáng)P、能量E等。系統(tǒng)處在平衡態(tài)，宏觀物理量有確定值，系統(tǒng)的微觀狀態(tài)會(huì)如何？是否有確定值？答案是“否”。原因：微觀粒子不停地運(yùn)動(dòng)，狀態(tài)不斷地改變。固體、液體、玻璃均如此?！?.4等概率原理熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)與粒子的微觀運(yùn)動(dòng)狀態(tài)85原因宏觀物理量有確定值，即體積V、粒子數(shù)N、壓強(qiáng)P、能量E等有確定值。以理想氣體為例：限定體積V、N個(gè)粒子的總能量E，氣體分子不停在碰撞器壁，維持壓強(qiáng)為P。下圖為動(dòng)量空間的例子。在體積和壓強(qiáng)不變的情況下，確定的宏觀條件對(duì)應(yīng)的四種情形，其總的微觀狀態(tài)數(shù)為四種情況的微觀狀態(tài)數(shù)之和。原因宏觀物理量有確定值，即體積V、粒子數(shù)N、壓強(qiáng)P、能量E86等概率原理(equiprobable)上例共有1+6×15×6+153+202種可能實(shí)現(xiàn)的微觀狀態(tài)數(shù)，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)不會(huì)追隨系統(tǒng)微觀狀態(tài)的變化，只是在理論上考慮其出現(xiàn)的可能性，并用概率進(jìn)行描述。對(duì)于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。------“等概率原理”，一種假設(shè)。即對(duì)微觀狀態(tài)的平均加權(quán)等概率原理(equiprobable)上例共有1+6×15×87附加內(nèi)容“系綜”系統(tǒng)在固定的一個(gè)宏觀狀態(tài)下，微觀狀態(tài)是不斷變化的。在t=0時(shí)刻，給系統(tǒng)拍照，其微觀狀態(tài)為S0在t=1時(shí)刻，給系統(tǒng)拍照，其微觀狀態(tài)為S1在t=2時(shí)刻，給系統(tǒng)拍照，其微觀狀態(tài)為S2直到t∞，給系統(tǒng)拍照，可觀測(cè)到最后一個(gè)沒有重復(fù)的微觀狀態(tài)。定義：{S0,S1,S2,…}為“系綜”，即系統(tǒng)所有可能的微觀狀態(tài)組成一個(gè)集合。用“空間”換“時(shí)間”。附加內(nèi)容“系綜”系統(tǒng)在固定的一個(gè)宏觀狀態(tài)下，微觀狀態(tài)是不斷變88各種系綜孤立系統(tǒng)的系綜---微正則系綜閉合系統(tǒng)的系綜---正則系綜開放系統(tǒng)的系綜---巨正則系綜(第九章為其數(shù)學(xué)內(nèi)容，略)當(dāng)系統(tǒng)在無(wú)窮長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)可能經(jīng)歷所有的微觀狀態(tài)，則該系統(tǒng)為“各態(tài)歷經(jīng)”的，“ergodic”。各種系綜孤立系統(tǒng)的系綜---微正則系綜89§6.5分布和微觀狀態(tài)系統(tǒng)的約束條件：在宏觀上：確定的粒子數(shù)N、總能量E、總體積V在微觀上：能級(jí)εl(l=1,2,3,…),簡(jiǎn)并度ωl(l=1,2,3,…),粒子數(shù)al(l=1,2,3,…),§6.5分布和微觀狀態(tài)系統(tǒng)的約束條件：90分布能級(jí)εl上有al個(gè)粒子，形成了一個(gè)序列{al},稱為一個(gè)分布。如上例中的分布分別是：{0,6,0},{1,4,1},{2,2,2},{3,0,3},分布滿足的條件是：已經(jīng)算出過(guò)其微觀狀態(tài)數(shù)分別是：1，6×15×6，153，202，下面根據(jù)粒子的性質(zhì)導(dǎo)出其公式。分布能級(jí)εl上有al個(gè)粒子，形成了一個(gè)序列{al},稱91微觀狀態(tài)數(shù)在能級(jí)εl(l=1,2,3,…),簡(jiǎn)并度ωl(l=1,2,3,…),粒子數(shù)al(l=1,2,3,…)確定的條件下，經(jīng)典粒子的占據(jù)能級(jí)方式：在εl能級(jí)上有ωl個(gè)位置供al個(gè)粒子占據(jù)，粒子的占據(jù)不受任何約束，即每個(gè)粒子可以等概率地占據(jù)ωl個(gè)位置中的任何一個(gè)。每個(gè)粒子都有個(gè)占據(jù)ωl方法，al個(gè)粒子共有種排列方法。微觀狀態(tài)數(shù)在能級(jí)εl(l=1,2,3,…),簡(jiǎn)并度ωl92經(jīng)典的微觀狀態(tài)數(shù)考慮整個(gè)分布函數(shù)時(shí)的微觀狀態(tài)數(shù)如果任何兩個(gè)粒子交換都能產(chǎn)生不同的微觀狀態(tài)，則N個(gè)粒子兩兩交換后的微觀狀態(tài)數(shù)是包含了al個(gè)粒子相互交換粒子，總的微觀狀態(tài)數(shù)是前例分析經(jīng)典的微觀狀態(tài)數(shù)考慮整個(gè)分布函數(shù)時(shí)的微觀狀態(tài)數(shù)如果任何兩個(gè)粒93玻色子的微觀狀態(tài)數(shù)玻色子容納的粒子數(shù)不受限制，設(shè)某個(gè)能級(jí)有8個(gè)簡(jiǎn)并度如圖，存在7個(gè)檔板：不同的排列方式可以分為兩種交換：(1)粒子和隔離物；(2)粒子和粒子。玻色子的微觀狀態(tài)數(shù)玻色子容納的粒子數(shù)不受限制，設(shè)某個(gè)能級(jí)有894等效圖分析：粒子和隔離物排列在一條線上，任意交換導(dǎo)致總的排列方式：(al+wl-1)!，但包含了全同粒子在等效位置的交換al!和隔離物的交換(wl-1)!

等效圖分析：粒子和隔離物排列在一條線上，任意交換導(dǎo)致總的排列95費(fèi)米子的微觀狀態(tài)數(shù)一個(gè)量子態(tài)最多能夠容納一個(gè)粒子。ωl個(gè)量子態(tài)共容納了al個(gè)粒子。共有種排列方式N個(gè)粒子的排列方式是：費(fèi)米子的微觀狀態(tài)數(shù)一個(gè)量子態(tài)最多能夠容納一個(gè)粒子。ωl個(gè)量96結(jié)論比較經(jīng)典玻色子費(fèi)米子當(dāng)al<<ωl時(shí)結(jié)論比