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文檔簡介

第三節(jié)極限應用的一個例子——連續(xù)函數(shù)主要內(nèi)容：一、連續(xù)函數(shù)的概念二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)

連續(xù)函數(shù)是微積分研究的主要對象.增量的定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域是X,當自變量從定點x0變化到新的點x時,它們的差稱為自變量的增量(或叫做改變量).記做

注意:Δx可能是正的,也可能

是負的.比如：下面的問題幫助我們理解連續(xù)的定義：連續(xù)函數(shù)的定義

連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.

這個定義可以幫助理解函數(shù)在一點連續(xù)的本質(zhì)：自變量變化很小時，函數(shù)值的變化也很小.

在考慮函數(shù)的連續(xù)性時，我們一般分三步考慮：例1證明y=sinx在定義域內(nèi)連續(xù).由于于是證因此y=sinx在定義域內(nèi)連續(xù).于是f(x)函數(shù)的間斷點從圖形中可以看出x=1是分段點,代入法:

利用連續(xù)函數(shù)的定義,求函數(shù)極限的方法.例4由求極限四則運算法則由連續(xù)函數(shù)的定義二、初等函數(shù)的連續(xù)性例如,四則運算的連續(xù)性反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性定理

嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).推論反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).該定理表明極限符號可以與函數(shù)符號互換.

初等函數(shù)的連續(xù)性

★

基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.★一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指定義域內(nèi)的子區(qū)間.例5例6解解1）最大值和最小值定理三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)注意:定理中的兩個條件缺一不可.

若區(qū)間是開區(qū)間，定理不一定成立;

若區(qū)間內(nèi)有間斷點，定理不一定成立.例如:f（x）無最大值和最小值.ηf(b)abf(a)例7證由推論,例7四、極限和連續(xù)的應用即本利和將按照指數(shù)規(guī)

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