.PAGE.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分學(xué)習(xí)講義合川電大蘭冬生知識(shí)點(diǎn)一：5個(gè)基本函數(shù)1,常數(shù)函數(shù),〔是常數(shù)例如：,,這些函數(shù)可以看成是隱含,例如可看成。2,冪函數(shù),〔是一個(gè)數(shù)形如,,是冪函數(shù),注意：僅僅是這種形式是冪函數(shù),其他的任何一點(diǎn)形式變化都不是,是冪函數(shù),就不是冪函數(shù),只能是下面,上面〔指數(shù)是一個(gè)數(shù)！以下基本函數(shù)均如此3,指數(shù)函數(shù),,〔是一個(gè)數(shù)例如：,不是指數(shù)函數(shù)。4,對數(shù)函數(shù),這里要求必須大于零,我們的考試常常拿來考"求定義域"這里我們只認(rèn)識(shí)兩個(gè)特殊的對數(shù)函數(shù),一個(gè)是,他是的簡寫,是一個(gè)數(shù),,和我們知道的一樣,另一個(gè)是,他是的簡寫。5,三角函數(shù),,特別注意的是,,都不是三角函數(shù)。這5個(gè)基本函數(shù)是我們要學(xué)習(xí)的函數(shù)的主要構(gòu)成細(xì)胞。例如：,二次函數(shù),由冪函數(shù),常數(shù)函數(shù)構(gòu)成。知識(shí)點(diǎn)二：極限1,什么是數(shù)列？數(shù)列就是按照"一定規(guī)律排列的一組數(shù)",我們常見的是無限數(shù)列。數(shù)學(xué)符號記為：例如：數(shù)列：1,2,4,8,16,32,……,發(fā)展規(guī)律依變化,……1,,,,……,發(fā)展規(guī)律依變化,……2,極限學(xué)習(xí)極限,一個(gè)非常重要的認(rèn)識(shí)就是"分母越大,分?jǐn)?shù)越小"數(shù)列的極限,就是指數(shù)列的一個(gè)趨近值,〔即是指一串?dāng)?shù)的趨近值例如：1,,,,……,分母由1,2,3,4,……變化,當(dāng)分母無限大時(shí),,,……,最后,這個(gè)無限數(shù)列趨近于0,這里,我們簡單描述這個(gè)變化,分母越大,分?jǐn)?shù)越小是趨近,是無窮大的意思,無窮大是指非常非常大,無法計(jì)量。是指數(shù)軸的最遠(yuǎn)端。用極限式寫為：這個(gè)位置寫趨近值。分母無窮大,分?jǐn)?shù)趨近值為0說明趨向無窮大,這個(gè)位置寫趨近值。分母無窮大,分?jǐn)?shù)趨近值為0說明趨向無窮大例如：1,,,,……,這個(gè)數(shù)列由,取0,1,2,3,4,……得到,分母越大,分?jǐn)?shù)越小用極限式寫為分母無窮大,分?jǐn)?shù)趨近值為0這個(gè)位置寫趨近值。分母無窮大,分?jǐn)?shù)趨近值為0這個(gè)位置寫趨近值。例：求極限分析：所以,解為解：=1例：求極限分析：可變?yōu)?繼續(xù)分子是數(shù),分母是無窮大,一個(gè)固定數(shù)與無窮大相比,固定數(shù)顯得太小太小,忽略不計(jì),不是所有數(shù)列都有極限,極限存在是指數(shù)列趨近于一個(gè)固定數(shù),不趨近一個(gè)數(shù),說極限不存在。例如：時(shí),,所以不存在,極限存在,稱數(shù)列收斂,不存在,稱為發(fā)散。函數(shù)的極限,就是把前面的看成是可取任何數(shù)的就可以了。例如：求極限,分析：理解為時(shí),分母越大,分?jǐn)?shù)越小所以函數(shù)在某一點(diǎn)的極限如圖：函數(shù)函數(shù)在這一點(diǎn)不取值,的取值可無限靠近1,于是就有函數(shù)在一點(diǎn)的極限,這個(gè)極限的意思是：當(dāng)無限靠近1時(shí),也說趨近1趨近于多少從圖上看得出值趨近于1函數(shù)在一點(diǎn)的極值記為：,是函數(shù)在點(diǎn)處的極限值,是一個(gè)趨近值。例：求極限,這是一類直接帶入分母為0的極限,這類極限需要分解因式約去為0分母,然后直接帶入求值。分析：直接帶入,分母為0,于是對分子分解因式,此時(shí)帶1,式子有意義,直接算出,所以,==2此時(shí)帶1,式子有意義,直接算出考題分析：計(jì)算極限。解：計(jì)算極限。解：計(jì)算極限解===*：求函數(shù)在某一點(diǎn)的極限：1,帶入分母不為0,就直接帶入求值。2,帶入分母為0,先分解因式,約掉為0分母,然后帶入求值。關(guān)于求極限的一般方法比較分子和分母最高次項(xiàng)系數(shù),1,分子最高次項(xiàng)指數(shù)小于分母最高次項(xiàng)指數(shù),極限為02,分子最高次項(xiàng)指數(shù)等于分母最高次項(xiàng)指數(shù),極限為系數(shù)比3,分子最高次項(xiàng)指數(shù)大于分母最高次項(xiàng)指數(shù),極限不存在題目中次數(shù)最高的項(xiàng),稱為最高次項(xiàng),指數(shù)稱為次數(shù)。這個(gè)題目中最高次數(shù)是3,例：求極限題目中次數(shù)最高的項(xiàng),稱為最高次項(xiàng),指數(shù)稱為次數(shù)。這個(gè)題目中最高次數(shù)是3,分析：當(dāng)時(shí),遠(yuǎn)比大。比指數(shù)小的,都可以視為0,因此,這個(gè)極限分母遠(yuǎn)比分子大,極限值是0。也可以對分子分母同除以,得=,當(dāng)時(shí),,,。所以,此題極限是0.前面的2稱為最高次項(xiàng)系數(shù)前面的3稱為最高此項(xiàng)系數(shù)例：求極限,前面的2稱為最高次項(xiàng)系數(shù)前面的3稱為最高此項(xiàng)系數(shù)分析,比指數(shù)小的,都可以視為0,常數(shù)直接去掉。所以此題極限是最高次項(xiàng)系數(shù)比,也可以分子分母同除以。解：=例：求極限分析,顯然,分子最高次數(shù)為3,當(dāng)時(shí),分子遠(yuǎn)大于分母,次極限不存在。最高次項(xiàng)系數(shù)比歸納為如下：最高次項(xiàng)系數(shù)比此處也可說極限不存在此處也可說極限不存在解此類題只看最高次項(xiàng),直接寫答案?？碱}舉例：求極限解：=求極限解：兩個(gè)重要極限：〔這兩個(gè)是公式,直接使用！1,,或,考試常現(xiàn),希望注意,現(xiàn)以考題作講解。公式應(yīng)理解為,或,括號里面填任何變量都可以,但必須是相同的。特別要注意,這里是例：求極限,特別要注意,這里是分析：通過變形,達(dá)到內(nèi)相同,=,因?yàn)?時(shí),所以===5=5這就是我們要的,3個(gè)位置都一樣這就是我們要的,3個(gè)位置都一樣因?yàn)槭浅朔e,常數(shù)5可以直接拿出來因?yàn)槭浅朔e,常數(shù)5可以直接拿出來當(dāng)時(shí),1-1=0例,求極限 0 當(dāng)時(shí),1-1=0分析：=0也可以=加減法可以分開求,加減法可以分開求,例,〔形成性考核作業(yè)這里可以寫,也可以寫,是一個(gè)意思,所以,考試的時(shí)候,直接寫這里可以寫,也可以寫,是一個(gè)意思,所以,考試的時(shí)候,直接寫總結(jié)：極限的運(yùn)算遵循加法可分,常數(shù)可透原則,也遵循乘法可分原則2,或這個(gè)公式都要理解成,只要里一樣,極限值就是次類考得少,只舉一個(gè)簡例,例求極限分析：==此處此處與是一樣的。知識(shí)點(diǎn)：無窮大量與無窮小量,此考點(diǎn)經(jīng)常考,其實(shí)簡單,極限值是0的就是無窮小量,極限值是0的就是無窮小量。極限值是無窮大的就是無窮大量?？碱}舉例例：1,已知,當(dāng)時(shí),為無窮小量．2,已知,當(dāng)時(shí),為無窮小量．3,設(shè),當(dāng)〔 A 時(shí),f<x>為無窮小量．A．x→0 B．x→1 C．x→- D．x→+4,當(dāng)時(shí),下列變量為無窮小量的是〔DA．B．C．D．5,已知,當(dāng)〔A時(shí),為無窮小量.A.B.C.D.6,當(dāng)時(shí),變量〔D 為無窮小量。A． B．C． D．7,當(dāng)時(shí),變量〔D 是無窮小量。A． B．C． D．函數(shù)的連續(xù)可以再一段數(shù)上面都取得到,稱函數(shù)在這一段數(shù)上面連續(xù),例如,在這一段數(shù)上面連續(xù),但在這段數(shù)上面不連續(xù),因?yàn)槿〔坏?.以下用考題來分析,1,函數(shù)在x=0處連續(xù),則k=<B>．A．-2 B．-1 C．1D．22．函數(shù)在x=0處連續(xù),則k=< C >．A．-2 B．-1 C．1D．23.函數(shù)在x=0處連續(xù),則〔A．A.1B.0C.2D.4．函數(shù)在x=0處連續(xù),則k=< B >．5．若函數(shù),在處連續(xù),則<B>．A．B．C．D．6．已知,若f<x>在〔,+內(nèi)連續(xù),則a=2．7．已知,若在x=1處連續(xù),則2.此類題目就是對上面一個(gè)式子求當(dāng)不等于那個(gè)數(shù)時(shí)的極限。1,求2,求3,求=下面1時(shí)的值,4,求,5,求,6,求,7,求分析：要使得函數(shù)連續(xù),必須要上面的極限等于下面的,具體意義請參看教材中"函數(shù)的連續(xù)性"一節(jié)。另外補(bǔ)充,找函數(shù)不連續(xù)的點(diǎn),一般可以理解為找函數(shù)無意義的點(diǎn),比如間斷點(diǎn)〔就是不連續(xù)點(diǎn)是分母為0的點(diǎn)和求函數(shù)定義域：函數(shù)的定義域就是指使得式子有意義的的取值范圍。一些常見的式子有意義的條件：1,分母不等于0；2,開平方：根號里面大于等于0,如果根號在分母下面,一定不要使分母是0了。3,對數(shù)里面必須大于0,例如：,的位置必須大于0,中,位置必須大于0,若,,作分母,位置還不能取1考題舉例：1．函數(shù)的定義域是〔D．A． B． C． D．且2．函數(shù)的定義域是< A ．A． B．C． D．3．函數(shù)的定]義域是〔-1,,0〔0,3]．>4.函數(shù)的定義域是．5．函數(shù)的定義域是 [-5,2] .．6．函數(shù)的定義域是.7．函數(shù)的定義域是8．函數(shù)的定義域是〔0,3].9．函數(shù)的定義域是．10．函數(shù)的定義域是．詳細(xì)講解2,3題,解2,要使得有意義,根號里面,結(jié)合分母不能是0,有同時(shí)還要滿足,位置大于0,即,所以有并且,合起來就是是區(qū)間表示,=3,要使得有意義,根號里面大于等于0,,得,,位置要大于0,同時(shí)作分母,還必須不等于1,即且,得到,且,要是整個(gè)式子有意義,還得,所以,且,所以答案：〔-1,,0〔0,3],是合起來的意思,〔-1,,0〔0,3]意思是：且用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是等得到,方括號,等不到圓括號。用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是用區(qū)間表示就是請結(jié)合上兩個(gè)例子學(xué)習(xí)。關(guān)于指數(shù)是分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)僅以實(shí)例來學(xué)習(xí),指數(shù)是負(fù)數(shù)：只要是指數(shù)是負(fù)數(shù),去掉負(fù)數(shù)取倒數(shù),,,有時(shí)候經(jīng)常反過來用指數(shù)是分?jǐn)?shù)：,,,分母是開方,分子是次方。知識(shí)點(diǎn)三,導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)：求導(dǎo)是在5個(gè)基本函數(shù)上進(jìn)行！,,這種形如的導(dǎo)數(shù)是把指數(shù)放下來,指數(shù)減1,,5個(gè)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1,,例如,,,2,,例如,,3,,這是一個(gè)非常特殊的導(dǎo)數(shù),的導(dǎo)數(shù)等于他本身4,,5,,這是5個(gè)基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,以后的學(xué)習(xí)中,主要是由這5個(gè)結(jié)合構(gòu)造出復(fù)雜的函數(shù),但是我們都能分解成這5個(gè)基本函數(shù),來求導(dǎo),再后面的積分學(xué)習(xí)也是如此。例如：,求解：象這種由幾個(gè)基本函數(shù)加在一起的,可以分開求,我們稱為加法可分例如：,求解：象這種,基本函數(shù)前的系數(shù)〔常數(shù)可以直接拿出來,我們稱為常數(shù)可透兩個(gè)基本函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)：等于一個(gè)求導(dǎo)乘以另一個(gè),再加上這個(gè)乘以另一個(gè)求導(dǎo),,例如：,求分式的導(dǎo)數(shù)：例如,求至此,我們學(xué)習(xí)了由基本函數(shù)加減乘除構(gòu)造成的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,綜合舉例：例如,已知,求這里特別注意,求微分：由導(dǎo)數(shù)的意義,求微分就是求,所以,,我們主需要先求出,然后再寫成這種形式就可以了,例如：,求解：因?yàn)?所以復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),這是求導(dǎo)最難的,也是必考的,每題10分,其實(shí)也不難復(fù)合的意思就是一層套一層,我們可以分層從外到內(nèi)求出。例如：,,我們來求這3個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1,,主體是由構(gòu)成,把看成括號里面內(nèi)容,由于,所以,對主題按基本函數(shù)求導(dǎo),再乘以括號內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),這個(gè)函數(shù)可以看成是,復(fù)合而成。2,,主體是,由于,所以,3,,主體是,由,所以,又可以依求出,因?yàn)?所以,所以,繼續(xù)求下去1,2,做復(fù)合函數(shù)的題,一定要對基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)熟悉,特別是那5個(gè)基本函數(shù),第一步就要認(rèn)清這個(gè)主體是由哪個(gè)基本函數(shù)構(gòu)成,對主題按基本函數(shù)求導(dǎo),再乘以括號內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),考題舉例,1．設(shè),求．解：所以2．已知y=,求dy．解因?yàn)?=所以3．設(shè)y,求dy．解因?yàn)閥所以dy=<>dx4．設(shè),求。解：5．已知,求．解：6．已知,求解：．7．已知,求；解：8．已知,求dy．解：dy=9．設(shè)y,求dy．解：10．設(shè),求．解：11．已知,求．解：12．設(shè),求．解：13．設(shè)y,求．解因?yàn)閥所以14．設(shè),求．解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得15．已知,求．解：因?yàn)樗?16．設(shè),求.解：因?yàn)樗?7．已知y=,求dy．解因?yàn)?=所以18．設(shè),求．19．設(shè),求。20．已知,求。21．設(shè),求．22．設(shè),求．23.設(shè),求．解：由微分四則運(yùn)算法則和微分基本公式得24．設(shè),求．解：因?yàn)樗?5.已知,求．解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得26.設(shè),求．解：由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得27．設(shè),求．解：因?yàn)樗?8．設(shè)求解：===dy=隱函數(shù)求導(dǎo)：隱函數(shù)求導(dǎo)就是對求導(dǎo),然后再乘以。隱函數(shù)求導(dǎo),是因?yàn)榻獠怀?具體步驟,1,方程兩邊對求導(dǎo),把里面的當(dāng)成操作求導(dǎo),但若把當(dāng)成求導(dǎo)后,要對這個(gè)式子乘以,有但不求導(dǎo)的地方不乘,2,解出。例如：,求,解：所以,,解出得考題舉例：1．由方程確定是的隱函數(shù),求．解在方程等號兩邊對x求導(dǎo),得故2．由方程確定是的隱函數(shù),求．解在方程等號兩邊對x求導(dǎo),得故3．設(shè)函數(shù)由方程確定,求．解方程兩邊對x求導(dǎo),得當(dāng)時(shí),所以,函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)：此類題目是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),就是先求出函數(shù)導(dǎo)數(shù),然后再帶入計(jì)算,第一步,求出導(dǎo)數(shù),第二步帶入求值。括號里面是的值。1．設(shè),求.解：因?yàn)?所以==02．已知,求．解：,所以3．已知,求；解=求積分：積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算.例：已知,求導(dǎo)運(yùn)算,。已知,求求導(dǎo)前的函數(shù)〔稱原函數(shù)這一運(yùn)算的數(shù)學(xué)符號,讀作積分記：,其中是任意常數(shù)求導(dǎo)前的函數(shù),求導(dǎo)過程求導(dǎo)后,求導(dǎo)前的函數(shù),求導(dǎo)過程求導(dǎo)后,添加一個(gè),是因?yàn)?,,為了邏輯上的相等,求導(dǎo),所以,,注意五個(gè)基本函數(shù)的積分：以后直接利用公式求積分！注：后面都加上,加的結(jié)果表示所有原函數(shù)。求積分遵循：加法可分,常數(shù)可透原則。例：求積分,解：===例：求積分,=湊微分：湊微分遵循：若,則,這里,是指的導(dǎo)數(shù),只需滿足括號內(nèi)相同即可。例：求積分,解：==1,利用基本函數(shù),公式為,要把公式中的看成。2,中的可理解為對求導(dǎo),。3,湊,是反過來運(yùn)用,湊成有用的,然后用,求出積分。4,湊微分要求對5個(gè)基本公式要熟悉。例如：求積分,解：=====例如：求積分,解：===不是所有的積分都可以用湊微分作出來,湊微分只是一種手段,能求的積分是很少的一部分,接下來學(xué)習(xí)分步積分,分部積分公式：,公式特點(diǎn)：是含有的兩個(gè)因式的乘積,若見是乘積的形式,可考慮套用公式。分部積分的重點(diǎn)在于確定哪個(gè)是,哪個(gè)是,確定原則是找出來的求導(dǎo)后與的乘積可消,使得簡單,可積?！部蓞⒄绽}作考題舉例,1,求積分,=寫成公式的形式=====2,求積分,解：====3,計(jì)算不定積分.解：===4,計(jì)算不定積分.解：由分部積分法===定積分：定積分就是在前面學(xué)的不定積分上加上限和下限,具體算法是先算出不定積分,然后上限〔帶入減下限〔帶入上限,也就是積分號上標(biāo)那個(gè)