2021-2022學(xué)年上海市外國語大學(xué)附屬大境中學(xué)高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．用列舉法表示集合__________．【答案】【分析】對整數(shù)取值，并使為正整數(shù)，這樣即可找到所有滿足條件的值，從而用列舉法表示出集合．【詳解】因為且所以可以取，2，3，4.所以故答案為：【點睛】考查描述法、列舉法表示集合的定義，清楚表示整數(shù)集，屬于基礎(chǔ)題.2．著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，用反證法研究該猜想，應(yīng)假設(shè)的內(nèi)容是_______．【答案】存在一個大于2的偶數(shù)不可以表示為兩個素數(shù)的和.【分析】從命題的否定入手可解.【詳解】反證法先否定命題，故答案為存在一個大于2的偶數(shù)不可以表示為兩個素數(shù)的和.【點睛】本題主要考查反證法的步驟，利用反證法證明命題時，先是否定命題，結(jié)合已知條件及定理得出矛盾，從而肯定命題.3．若恒成立，則的值______．【答案】5【解析】根據(jù)等式恒成立，對應(yīng)項的系數(shù)相等可求得結(jié)果.【詳解】因為，即恒成立，所以，所以.故答案為：5【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)等式恒成立，對應(yīng)項的系數(shù)相等求解是解題關(guān)鍵.4．已知，有四個推理：①；②；③；④，其中正確的序號是_____．【答案】③【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)或取特殊值依次討論各選項即可得答案.【詳解】對于①，當時，顯然不等式不成立，故①錯誤；對于②，當時，滿足，不滿足，故②錯誤；對于③，由，則，即，故③正確；對于④，由得同號，故當時，等價于，故，故④錯誤.故答案為：③5．不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】；【分析】由題意可得，不等式成立；當，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得，進而可得結(jié)果.【詳解】①當即時，不等式顯然成立；②當，欲使不等式對恒成立，則需滿足，解之；綜合①②，則實數(shù)的取值范圍為.故答案為：6．若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_____．【答案】【分析】根據(jù)不等式解集可知且方程的兩根為，，結(jié)合韋達定理可得，代入不等式求解即可.【詳解】由題，因為不等式的解集為，所以方程的兩根為，，所以且，解得，所以不等式為，即，解得，故答案為：7．已知一元二次方程的兩實根為、，且，則實數(shù)m的值為______．【答案】或【分析】應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系可得，結(jié)合已知及與、的關(guān)系列方程求m的值.【詳解】由的兩實根為、，∴，且∴，解得或．故答案為：或.8．“”是“不等式與同解”的__條件.【答案】既不充分又不必要【分析】取說明充分性不滿足；舉不等式與不等式說明必要性不滿足，從而即可得答案.【詳解】解：取，滿足，所以即為，即為，兩不等式的解集不同，故充分性不滿足；不等式與不等式的解集相同，均為，但不滿足，故必要性不滿足；所以“”是“不等式與同解”的既不充分又不必要條件.故答案為：既不充分又不必要9．不等式的解集是__．【答案】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解.【詳解】原不等式與不等式同解，故有；故答案為：.10．已知，同時滿足不等式和的的整數(shù)值只有2021個，則實數(shù)的取值范圍是__．【答案】【分析】解不等式得到的解集為或，的解集為，從而根據(jù)整數(shù)解得個數(shù)得到，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】解得：或，變形為，因為，所以不等式的解集為，其中之間有1個整數(shù)解-2，要想同時滿足兩不等式的的整數(shù)值只有2021個，則要滿足，解得：.故答案為：11．若三個非零且互不相等的實數(shù)滿足，則稱是調(diào)和的；若滿足，則稱是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是調(diào)和的，又是等差的，則稱集合為“大境集”．不同的“大境集”的個數(shù)為______．【答案】1010【分析】由為“大境集”的定義解方程，將全用代換，結(jié)合可求解.【詳解】聯(lián)立得，即，，展開得，解得或（根據(jù)集合的互異性，舍去），代入得，則，所以為4的整數(shù)倍，且不為0，則共有個不同的“大境集”的個數(shù).故答案為：101012．設(shè)，若時，均有成立，則實數(shù)的取值集合為_________.【答案】【分析】可得時，不等式不恒成立，當，必定是方程的一個正根，由此可求出.【詳解】若，，則，由于的圖象開口向上，則不恒成立，，由可解得，而方程的兩個實數(shù)根異號，必定是方程的一個正根，則，，則可解得，故實數(shù)的取值集合為.故答案為：.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是先判斷，再得出當，必定是方程的一個正根.二、單選題13．是成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】充分性顯然成立，通過反例可得必要性不成立.【詳解】充分性顯然成立，必要性可以舉反例：，，顯然必要性不成立.故選：A14．若，則下列命題正確的是A．和均不成立 B．和均不成立C．和均不成立 D．和均不成立【答案】B【分析】由不等式的性質(zhì)依次檢驗選項即可得解.【詳解】因為，所以，，所以，A不正確；因為，所以，所以，又，，所以，B正確；因為，，，所以，所以,C不正確；因為與的大小關(guān)系不確定，故與的大小關(guān)系不確定，D不正確．綜上，可知B選項正確，故選B．【點睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.15．在關(guān)于的方程和中，已知至少有一個方程有實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】可以采用補集思想．三個判別式均小于0的條件下取交集后再取補集即可．【詳解】若方程和都沒有實數(shù)根.則，解得：.則方程和中，已知至少有一個方程有實數(shù)根.所以或故選：C【點睛】本題考查了命題與命題的否定，考查補集的方法解題，屬于基礎(chǔ)題．16．設(shè)，關(guān)于的方程組.對于命題：①存在a，使得該方程組有無數(shù)組解；②對任意a，該方程組均有一組解，下列判斷正確的是（）A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題【答案】D【分析】通過解方程組的知識求得正確答案.【詳解】由得，則，，所以，則，解得，所以關(guān)于的方程組有唯一解.所以①為假命題，②為真命題.故選：D三、解答題17．已知，且，，且或(1)若，，求實數(shù)a的值.(2)若p是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)2(2)【分析】（1）由題意結(jié)合數(shù)軸法易得，得到后再檢驗一下，進而確定；（2）利用充要條件與集合之間的關(guān)系得到，結(jié)合數(shù)軸可得或，從而得到a的取值范圍.【詳解】（1）因為，，所以由數(shù)軸法可得，解得，此時，或，滿足，，故.（2）因為p是q的充分條件，所以，又因為，所以結(jié)合數(shù)軸可得，或，得或，所以滿足p是q的充分條件的實數(shù)的取值范圍為.18．設(shè)關(guān)于的不等式的解集為M．(1)求M；(2)若且，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案不唯一，具體見解析(2)a∈【分析】（1）對進行分類討論，結(jié)合一元一次不等式的解法求得.（2）根據(jù)已知條件列不等式組，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）依題意，即，當時，不等式轉(zhuǎn)化為，解集為空集.當時，不等式轉(zhuǎn)化為，即不等式的解集為.當時，不等式轉(zhuǎn)化為，即不等式的解集為.（2）由于且，所以，解得.19．某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？【答案】40元【分析】每件定價為元，由題意可得，整理得，求解即可.【詳解】解：設(shè)每件定價為元，則提高價格后的銷售量為萬件，由銷售的總收入不低于原收入，得，整理得，解得．故要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元．20．已知，，且，求證：與中至少有一個小于2．【答案】證明見解析.【分析】假設(shè)與都大于或等于2，即，兩式相加得出與已知矛盾，可證得原命題成立．【詳解】證明：假設(shè)與都大于或等于2，即，因為，，故可化為，兩式相加，得，與已知矛盾．所以假設(shè)不成立，即原命