熱力學與統(tǒng)計物理課程教案PAGEPAGE16主講教師：熱力學與統(tǒng)計物理課程教案授課內(nèi)容(教學章節(jié)):第八章玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計主講教師：授課地點授課班級教材分析：本章探討了簡并氣體的性質(zhì)，由微觀粒子全同性原理帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)對簡并氣體的宏觀性質(zhì)產(chǎn)生決定性的影響，使玻色氣體和費米氣體的性質(zhì)迥然不同。討論了弱簡并理想玻色和費米氣體的性質(zhì)。玻色-愛因斯坦凝聚、金屬中的電子氣和光子氣體這三節(jié)內(nèi)容屬于統(tǒng)計物理學的基本理論，同時也是當前的前沿科學，因此，這部分內(nèi)容有助于增強學生的創(chuàng)新意識和實踐能力。教學目標:知道玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式；弱簡并下玻色氣體和費米氣體的差異；理解玻色-愛因斯坦凝聚的物理意義；能根據(jù)玻色分布討論平衡輻射問題；掌握費米動量、費米能量等概念，并會解釋白矮星等的成因。教學重點與教學難點:教學重點：玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式；玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象；費米能級，費米動量。教學難點：弱簡并玻色氣體和費米氣體的性質(zhì)；光子氣體、費米動量、費米能量。教學內(nèi)容8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式8.2弱簡并玻色氣體和費米氣體8.3玻色-愛因斯坦凝聚8.4光子氣體8.5金屬中的自由電子氣體8.6白矮星8.7二維電子氣體與量子霍爾效應(yīng)教學方法與手段以講授為主，結(jié)合多媒體教學，其中玻色-愛因斯坦凝聚和金屬中的電子氣體、光子氣體采用對比的方法進行教學，在課堂上展開討論。課后作業(yè)：P3288.18.28.38.48.88.108.128.168.198.208.23小論文1、玻色-愛因斯坦凝聚如何實現(xiàn)，絕對零度附近費米子系統(tǒng)有怎樣的性質(zhì)？2、討論白矮星簡并壓的形成原因？教材與參考資料教材：熱力學與統(tǒng)計物理汪志誠高等教育出版社第八表玻色統(tǒng)計和費來統(tǒng)計8.1熱力學量的統(tǒng)計表達式一、非簡并氣體和簡并氣體第七章根據(jù)玻耳茲曼分布討論了定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件（非簡并條件）的近獨立粒子系統(tǒng)的平衡性質(zhì)。非簡并條件可以表達為：或人們把滿足上述條件的氣體稱為非簡并氣體，不論是玻色子還是費米子構(gòu)成，都可以用玻耳茲曼處理；不滿足上述條件的氣體稱為簡并氣體，需要分別用玻色分布或費米分布處理。微觀粒子全同性原理帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)對簡并氣體的宏觀性質(zhì)將產(chǎn)生決定性的影響，使玻色氣體和費米氣體的性質(zhì)迥然不同。二、熱力學量的統(tǒng)計表達式（首先考慮玻色分布）本節(jié)推導(dǎo)玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)熱力學量的統(tǒng)計表達式。1、玻色系統(tǒng)首先考慮玻色系統(tǒng)。如果把和看作已知的參量，系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)可由下式給出：=1\*GB3①引出一個函數(shù)，名為巨配分函數(shù)，其定義為：=2\*GB3②取對數(shù)得：=3\*GB3③系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)可通過表示：=4\*GB3④內(nèi)能是系統(tǒng)中粒子無規(guī)則運動總能量的統(tǒng)計平均值：=5\*GB3⑤類似地可將通過表為：=6\*GB3⑥外界對系統(tǒng)的廣義作用力是的統(tǒng)計平均值：可將通過表為：=7\*GB3⑦上式的有一個重要特例是：=8\*GB3⑧由式=4\*GB3④-=7\*GB3⑦得：注意上面引入的是函數(shù)，其全微分為：故有：上式指出是的積分因子。在熱力學部分講過，有積分因子，使比較可知，所以：積分得：上式就是熟知的玻耳茲曼關(guān)系。它給出熵與微觀狀態(tài)數(shù)的關(guān)系。

2、費米系統(tǒng)對于費米系統(tǒng)，只要將配分函數(shù)改寫為：其對數(shù)為：前面得到的熱力學量的表達式完全適用。8.2弱簡并玻色氣體和費米氣體1、弱簡并氣體：但不可忽略的玻色氣體和費米氣體。為簡單起見，不考慮分子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因此只有平動自由度。分子的能量為:。=1\*GB3①在體積內(nèi)，在到的能量范圍內(nèi)，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)為：=2\*GB3②其中是由于粒子可能具有自旋而引入的簡并度。系統(tǒng)的總分子數(shù)滿足：=3\*GB3③式=3\*GB3③確定拉氏乘子。系統(tǒng)的內(nèi)能為：引入變量，將上述兩式改寫為：兩式被積函數(shù)的分母可表為：=5\*GB3⑤在小的情形下，是一個小量，可將展開，只取頭兩項得：保留展開的第一項相當于將費米（玻色）分布近似為玻耳茲曼分布。在弱簡并的情形下，保留兩項。將式=5\*GB3⑤代入將積分求出，得：；兩式相除，得：由于小，可將上式第二項中的用零級近似結(jié)果：代入而得：上式第一項是根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能，第二項是由微觀粒子全同性原理引起的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的附加內(nèi)能。8.3玻色-愛因斯坦凝聚上節(jié)討論了弱簡并理想玻色（費米）氣體的性質(zhì)，初步看到了由微觀粒子全同性原理帶來的量子統(tǒng)計關(guān)聯(lián)對系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的影響。在弱簡并的情形下小，影響是微弱的。在本節(jié)中將會看到，當理想氣體的等于或大于的臨界值時將出現(xiàn)獨特的玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象?？紤]由個全同、近獨立的玻色子組成的系統(tǒng)，溫度為、體積為。假設(shè)粒子的自旋為零。根據(jù)玻色分布，處在能級的粒子數(shù)為：=1\*GB3①顯然，處在任一能級的粒子數(shù)都不能取負值。從式=1\*GB3①可看出，這要求對所有能級均有。以表粒子的最低能級，這個要求也可表達為：=2\*GB3②。這就是說，理想玻色氣體的化學勢必須低于粒子最低能級的能量。如果取最低能級為能量的零點即，則式=2\*GB3②可表為：=3\*GB3③。化學勢由公式=4\*GB3④確定為溫度及粒子數(shù)密度的函數(shù)。在粒子數(shù)密度給定的情形下，溫度愈低由式=4\*GB3④確定的值越高。將式=4\*GB3④的求和用積分代替，可將之表達為：=5\*GB3⑤化學勢隨溫度的降低而升高，當溫度降到某一臨界溫度時，將趨于。這時趨于1。臨界溫度由下式定出：因此對于給定的粒子數(shù)密度，臨界溫度為：溫度低于時會出現(xiàn)什么現(xiàn)象呢？前面的討論指出，溫度愈低時值愈高，但在任何溫度下必是負的。由此可知在時，仍趨于。但這時式=5\*GB3⑤左方將小于，與給定的條件矛盾。產(chǎn)生這個矛盾的原因是，我們用式=5\*GB3⑤的積分代替式=4\*GB3④的求和。由于狀態(tài)密度中含有因子，在將式=4\*GB3④改為式=5\*GB3⑤時，的項就被棄掉了。由=4\*GB3④可以看出，在以上為負的有限值時，處在能級的粒子數(shù)與總粒子數(shù)相比是一個小量，用積分代替求和引起的誤差是可以忽略的；但在以下趨于時，處在能級的粒子數(shù)將是很大的數(shù)值，不能忽略。因此，在時，應(yīng)將式=5\*GB3⑤改寫為：=6\*GB3⑥計算式=6\*GB3⑥的第二項。令，可得：將上式代入式=6\*GB3⑥可得，溫度為時處在最低能級的粒子數(shù)密度為：=7\*GB3⑦由此可知，在以下與具有相同的量級。我們知道，在絕對零度下粒子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，對于玻色粒子，一個量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)目不受限制，因此，絕對零度下玻色粒子將全部處在的最低能級。式=7\*GB3⑦表明，在時就有宏觀量級的粒子在能級凝聚。這一現(xiàn)象稱為玻色-愛因斯坦凝聚，簡稱玻色凝聚。稱為凝聚溫度。8.4光子氣體1、推導(dǎo)普朗克公式前面兩節(jié)討論了弱簡并理想玻色氣體的特性和時理想玻色氣體出現(xiàn)的凝聚現(xiàn)象，所討論的系統(tǒng)具有確定的粒子數(shù)。本節(jié)從粒子的觀點根據(jù)玻色分布討論平衡輻射問題。在平衡輻射中光子數(shù)是不守恒的根據(jù)粒子的觀點，可以把空窖內(nèi)的輻射場看作光子氣體。如§7.4講過，空窖內(nèi)的輻射場可以分解為無窮多個單色平面波的疊加。根據(jù)§6.2，具有一定的波矢和圓頻率的單色平面波與具有一定的動量和能量的光子相應(yīng)。動量與波矢，能量與圓頻率之間遵從德布羅意關(guān)系：=1\*GB3①考慮到，得：=2\*GB3②這是光子的能量動量關(guān)系。光子是玻色子，達到平衡后遵從玻色分布。由于窖壁不斷發(fā)射和吸收光子，光子氣體中光子數(shù)是不守恒的。在導(dǎo)出玻色分布時只存在是常數(shù)的條件而不存在是常數(shù)的條件，因而只應(yīng)引進一個拉氏乘子。這樣光子氣體的統(tǒng)計分布為：因為意味著平衡狀態(tài)下光子氣體的化學勢為零。光子的自旋量子數(shù)為1。自旋在動量方向的投影可取兩個可能值，相當于左、右圓偏振。考慮到光子自旋有兩個投影，可知在體積為的空窖內(nèi)，在到的動量范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)為將=1\*GB3①和=2\*GB3②二式代入上式可得，在體積為的空窖內(nèi)，在到的圓頻率范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)為：平均光子數(shù)為：輻射場的內(nèi)能則為：上式所給出的輻射場內(nèi)能按頻率的分布與實驗結(jié)果完全符合。2、討論：（1）、在的低頻范圍內(nèi)，上式可近似為：此即為瑞利－金斯公式（2）在的高頻范圍內(nèi)，上式可近似為：此即為維恩公式3、光子氣體的統(tǒng)計分布光子氣體的內(nèi)能為：8.5金屬中的自由電子氣體一、電子氣體的性質(zhì)前面討論了玻色氣體，現(xiàn)在轉(zhuǎn)而討論費米氣體的性質(zhì)。如前所述，當氣體滿足非簡并條件或時，不論由玻色子還是費米子組成的氣體，都同樣遵從玻耳茲曼分布。弱簡并的情形初步顯示了二者的差異。本節(jié)金屬中的自由電子氣體為例，討論強簡并或情形下費米氣體的特性。原子結(jié)合成金屬后，價電子脫離原子可在整個金屬內(nèi)運動，形成公有電子。失去價電子后的原子成為離子，在空間形成規(guī)則的點陣。在初步的近似中人們把公有電子看作在金屬內(nèi)部作自由運動的近獨立子。實驗發(fā)現(xiàn)，除在極低溫度下，金屬中自由電子的熱容量與離子振動的熱容量相比較，可以忽略。這是經(jīng)典統(tǒng)計理論遇到的困難。另外，金屬中的自由電子形成強簡并的費米氣體。根據(jù)費米分布，溫度為時處在能量為的一個量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：=1\*GB3①考慮到電子自旋在其動量的方向的投影有兩個可能值，在體積內(nèi)，能量到的范圍內(nèi)，電子的量子態(tài)數(shù)為：。所以在體積內(nèi)，能量到的范圍內(nèi)，平均電子數(shù)為：在給定電子數(shù)，溫度和體積時，化學勢由下式確定：由上式可知，是溫度和電子密度的函數(shù)?，F(xiàn)在討論時電子的分布。以表示時電子氣體的化學勢，由=1\*GB3①式知，時，上式的物理意義是，在時，在的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)為1，在的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)為0。這分布可以這樣理解：在時電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，但泡利不相容原理限制每一量子態(tài)最多只能容納一個電子，因此電子從的狀態(tài)起依次填充至為止。是電子時的最大能量，由下式確定：將上式積分，可解得為：也常稱為費米能級，以表示。令，可得：是電子氣體的最大動量，稱為費米動量。相應(yīng)速率稱為費米速率。現(xiàn)在對的數(shù)值作一估計。除質(zhì)量外，取決于電子氣體的數(shù)密度。根據(jù)前面給出的數(shù)據(jù)，可以算得銅的或。定義費米溫度：得到銅的為，遠高于通?？紤]的溫度，說明的數(shù)值是很大的。電子氣體的內(nèi)能為：由此可知，時電子的平均能量為。時電子氣體的壓強為：根據(jù)前面的數(shù)據(jù)，可得時銅的電子氣體的壓強為。這是一個極大的數(shù)值。它是泡利不相容原理和電子氣體具有高密度的結(jié)果，常稱為電子氣體的簡并壓?，F(xiàn)在討論時金屬中自由電子的分布。由=1\*GB3①式可知：，，，上式表明，在時，在的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)大于，在的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)等于，的每一量子態(tài)上平均電子數(shù)小于。費米氣體的強簡并條件也往往表達為。由此可知，只有能量在附近，量級為范圍內(nèi)的電子對熱容量有貢獻。根據(jù)這一考慮，可以粗略估計電子氣體的熱容量。以表示能量在附近范圍內(nèi)對熱容量有貢獻的有效電子數(shù)：。將能量均分定理用于有效電子，每一有效電子對熱容量的貢獻為，則金屬中自由電子對熱容量的貢獻為：現(xiàn)在對自由電子氣體的熱容量進行定量計算。電子數(shù)滿足：上式確定自由電子氣體的化學勢。電子氣體的內(nèi)能為：

以上兩式的積分都可寫成下述形式：其中分別為和，常數(shù)。分步積分可得：作相應(yīng)的近似可得：積分可得電子氣體的定容熱容量為：這結(jié)果與前面粗略分析的結(jié)果只有系數(shù)的差異。如前所述，在常溫范圍電子的熱容量遠小于離子振動的熱容量。但在低溫范圍，離子振動的熱容量按隨溫度而減少；電子容量與成正比，減少比較緩慢。所以，在足夠低的溫度下電子熱容量將大于離子振動的熱容量而成為對金屬熱容量的主要貢獻。前面的理論將金屬的公有電子近似看作在金屬內(nèi)部作自由運動的近獨立粒子。我們知道，由于粒子在空間排列的周期性，粒子在金屬中產(chǎn)生一個周期性勢場，實際上電子在這周期場中運動，離子的熱振動對電子的運動也產(chǎn)生影響，電子之間又存在庫侖相互作用，更深入地描述金屬中電子的運動相當復(fù)雜。8.6白矮星一、白矮星恒星的能源來自星體上發(fā)生的熱核反應(yīng)。白矮星是比較老的一種恒星，星體上熱核反應(yīng)的燃料-氦已經(jīng)基本耗盡，星體物質(zhì)基本上是核聚變的產(chǎn)物-氦。中年時期的恒星，其內(nèi)部進行著氫聚變?yōu)楹さ臒岷朔磻?yīng)，熱核反應(yīng)所產(chǎn)生的向外輻射壓與內(nèi)向引力相抗衡。使恒星處于一個相對穩(wěn)定的階段。核心的氫燃燒形成氦的核心，氦核不斷擴大。但當氦核達到整個恒星質(zhì)量的時，靠氫核聚變產(chǎn)生的輻射壓力抵擋不住引力時，氦核開始坍塌。結(jié)果原子越來越密，引力越大，坍塌愈厲害。在巨大的壓力下，原子核擠得很密，恒星溫度急劇上升。恒星溫度很高，其粒子的平均熱能為，遠大于其電離能量。實際上氦以完全電離狀態(tài)存在（原子已壓碎）。由于密度極高，雖然在很高的溫度下，電子氣仍然高度簡并、電子費米能量很大，于是這種高度簡并電子氣的壓力與引力相平衡。形成一個新的穩(wěn)定狀態(tài)-白矮星。以天狼星伴星（白矮星）為例：每個粒子的平均熱能，比氦原子的電離能大得多，因此白矮星中的氦原子全部電離成自由電子和氦核，氦原子由兩個電子和兩個氦核組成，氦核由兩個中子和兩個質(zhì)子組成，則白矮星總質(zhì)量為：1、白矮星內(nèi)電子氣體是相對論性高度簡并氣體說明電子由于熱運動只有極少數(shù)（費米面附近）電子可被激發(fā)到高能級參與熱運動。所以白矮星電子氣的費米球是較光滑的。與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量：因此，相對論效應(yīng)