第1講數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列(小題)熱點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算1．等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1.等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d；等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))2．等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q；(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列；(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關(guān)計算．例1(1)(2019·福建省永春一中、培元中學(xué)、季延中學(xué)、石光中學(xué)四校聯(lián)考)已知{an}為等差數(shù)列，a1＋a3＋a5＝156，a2＋a4＋a6＝147，{an}的前n項和為Sn，則使得Sn達到最大值時n的值為________．(2)(2019·咸陽模擬)正項等比數(shù)列{an}中，存在兩項am，an，使得eq\r(am·an)＝2a1，且a6＝a5＋2a4，則eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)的最小值是________．跟蹤演練1(1)(2019·長春模擬)等差數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，若a2＋a3＝10，S6＝54，則該數(shù)列的公差d為()(2)(2019·呂梁模擬)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a2＝1，aeq\o\al(2,5)＝2a7，則S6等于()A．31B.eq\f(63,2)C．63D.eq\f(31,2)(3)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝9，a5＝1，則使得Sn>0成立的n的最大值為________．熱點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)1．通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數(shù)列有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n項和的性質(zhì)：(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外)．(2)對于等差數(shù)列，有S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.例2(1)(2019·濰坊模擬)在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a5＋a8＝42，則數(shù)列{an}的前9項和S9等于()A．126B．130C．147D．210(2)(2019·西安陜師大附中、西安高級中學(xué)等八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,1＋x2)(x∈R)，若等比數(shù)列{an}滿足a1a2019＝1，則f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2019)等于()A．2019B.eq\f(2019,2)C．2D.eq\f(1,2)(3)已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，對任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，則log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.跟蹤演練2(1)(2019·鞍山模擬)等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn與Tn，若對一切自然數(shù)n，都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n,3n＋1)，則eq\f(a6,b6)等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(9,14)C.eq\f(20,31)D.eq\f(11,17)(2)已知等比數(shù)列{an}中，a5＝2，a6a8＝8，則eq\f(a2018－a2016,a2014－a2012)等于()A．2B．4C．6D．8(3)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝10，S30＝130，則S40等于()A．－510 B．400C．400或－510 D．30或40熱點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題解決數(shù)列的綜合問題的失分點(1)公式an＝Sn－Sn－1適用于所有數(shù)列，但易忽略n≥2這個前提；(2)對含有字母的等比數(shù)列求和時要注意q＝1或q≠1的情況，公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)只適用于q≠1的情況．例3(1)已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a3＋S5＝18，a5＝7.若a3，a6，am成等比數(shù)列，則m＝________.(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Tn，a3＝4，T6＝27，數(shù)列{bn}滿足bn＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，b1＝b2＝1，設(shè)cn＝an＋bn，則數(shù)列{cn}的前11項和S11等于()A．1062B．2124C．1101D．1100跟蹤演練3(1)(2019·黃岡、華師附中等八校聯(lián)考)已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1＝3，且a2，a4，a7成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項和Sn滿足Sn＝2n(n∈N*)，數(shù)列{cn}滿足cn＝anbn(n∈N*)，則數(shù)列{cn}的前3項和為()A．31B．34C．62D．59(2)(2019·北京房山區(qū)期末)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，其中an表示正整數(shù)n的所有因數(shù)中最大的奇數(shù)，例如：6的因數(shù)有1,2,3,6，則a6＝3；15的因數(shù)有1,3,5,15，則a15＝15.那么S30等于()A．240B．309C．310D．345熱點四數(shù)列的遞推關(guān)系由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式常用的方法(1)求出數(shù)列的前幾項，再歸納猜想出數(shù)列的一個通項公式(注意驗證)；(2)將已知遞推關(guān)系式整理、變形得到等差或等比數(shù)列的通項公式，或用累加法(適用于an＋1＝an＋f(n)型)、累乘法(適用于an＋1＝an·f(n)型)、待定系數(shù)法(適用于an＋1＝pan＋q型)求通項公式．例4(1)(2019·榆林模擬)已知正項數(shù)列{xn}滿足xn＋2＝eq\f(xn＋1,xn)，n＝1,2,3，…，若x1＝1，x2＝2，則x2019＝________.(2)(2019·永州模擬)設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且an＋1＝an(an＋1)，若eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a1,a1＋1)＋\f(a2,a2＋1)＋…＋\f(an,an＋1)))＝100，則整數(shù)n等于()A．99B．100C．101D．102跟蹤演練4(1)數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝(－1)n·n，則數(shù)列{an}的前20項和為()A．－100B．100C．－110D．110(2)(2019·漳州模擬)已知數(shù)列{an}和{bn}首項均為1，且an－1≥an(n≥2)，an＋1≥an，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且滿足2SnSn＋1＋anbn＋1＝0，則S2019等于()A．2019B.eq\f(1,2019)C．4037D.eq\f(1,4037)真題體驗1．(2015·全國Ⅰ，文，7)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，若S8＝4S4，則a10等于()A.eq\f(17,2)B.eq\f(19,2)C．10D．122．(2015·全國Ⅱ，文，9)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,4)，a3a5＝4(a4－1)，則a2等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)3．(2019·全國Ⅰ，文，14)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝1，S3＝eq\f(3,4)，則S4＝________.押題預(yù)測1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2019，則m＝________.2．在等差數(shù)列{an}中，a8＝eq\f(1,2)a10＋1，則數(shù)列{an}的前11項和S11＝________.3．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3－a1＝8，當a4取最小值時，數(shù)列{naeq\o\al(2,n)}的前n項和Sn＝________.A組專題通關(guān)1．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＋a3＝6，S10＝100，則a5等于()A．8B．9C．10D．112．(2019·沈陽模擬)在等比數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝8，則a4等于()A．4B．5C．±4D．±53．(2019·安徽江淮十校聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－eq\f(1,2)，該數(shù)列前9項的乘積為1，則a1等于()A．8B．16C．32D．644．(2019·荊門調(diào)研)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若2S1，S3，S2成等差數(shù)列，則數(shù)列{an}的公比為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C．2D．35．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的各項都是正數(shù)，且a1＝b1，a11＝b11.那么一定有()A．a(chǎn)6≤b6B．a(chǎn)6≥b6C．a(chǎn)12≤b12D．a(chǎn)12≥b126．(2019·濟南外國語學(xué)校模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋(－1)n，則a2018的值為()A．2017×1008 B．2017×1009C．2018×1008 D．2018×10097．(2019·衡水中學(xué)摸擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx－2017，x≥2019，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m,2018)＋1))x－2020，x<2019，))數(shù)列{an}滿足：an＝f(n)，n∈N*，且{an}是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(1,2] B．(1,2)C．(2，＋∞) D．(1，＋∞)8．(2019·合肥一中、馬鞍山二中等六校聯(lián)考)《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對我國民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識起到了很大的作用，是東方古代數(shù)學(xué)的名著．在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個問題中，記這位公公的第n個兒子的年齡為an，則a1等于()A．23B．32C．35D．389．(2019·柳州模擬)已知數(shù)列{an}的首項為1，第2項為3，前n項和為Sn，當整數(shù)n>1時，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)恒成立，則S15等于()A．210B．211C．224D．22510．(2019·荊門調(diào)研)正項等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2a6＋a3a5＝128，則下列結(jié)論正確的是()A．?n∈N*，Sn>an＋1B．?n∈N*，anan＋1≥an＋2C．?n∈N*，an＋an＋2＝2an＋1D．?n∈N*，an＋an＋3>an＋1＋an＋211．(2019·哈爾濱模擬)已知x2＋y2＝4，在這兩個實數(shù)x，y之間插入三個實數(shù)，使這五個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，那么這個等差數(shù)列后三項和的最大值為()A．2eq\r(10)B.eq\f(1,2)eq\r(10)C.eq\r(10)D.eq\f(3,2)eq\r(10)12．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝9，a2為整數(shù)，且Sn≤S5，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an·an＋1)))的前n項和的最大值為()A.eq\f(4,9)B．1C.eq\f(41,81)D.eq\f(151,315)13．已知數(shù)列{an}與eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(a\o\al(2,n),n)))(n∈N*)均為等差數(shù)列，且a1＝2，則a1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,3)))3＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,n)))n＝________.14．意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(xiàn)(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被3整