10025#近世代數(shù)試題第3頁(共3頁)絕密★考試結(jié)束前浙江省2012年10月高等教育自學(xué)考試近世代數(shù)試題課程代碼：10025請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。選擇題部分注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的考試課程名稱、姓名、準(zhǔn)考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙規(guī)定的位置上。2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。不能答在試題卷上。一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的。錯選、多選或未選均無分。1.設(shè)集合A＝{a，b}，B＝{1，2}，則A與B的積集合A×B＝A.{a，b，1，2} B.{(a，1)，(b，1)，(a，2)，(b，2)}C.{(a，b)，(1，2)} D.{(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)}2.設(shè)A＝B＝Z(整數(shù)集)，如果A到B的映射??：n→|n|，?n∈Z，則??是從A到B的A.滿射而非單射 B.單射而非滿射C.既非單射也非滿射 D.一一映射3.設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，則S3中的所有2階元為A.(1)，(12)，(13)，(23) B.(12)，(13)，(23)C.(12)，(23)，(123)，(132) D.(1)，(123)，(132)4.整數(shù)加群Z的子群有______個。A.1 B.2C.6 D.無限5.設(shè)(R，＋，·)是一個環(huán)，則下列敘述是正確的為A.環(huán)R的理想一定是R的子環(huán)B.環(huán)R的子環(huán)一定是R的理想C.存在沒有理想的環(huán)D.環(huán)R關(guān)于乘法一定可以交換，即?a，b∈R，有ab＝ba非選擇題部分注意事項：用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。二、填空題（本大題共10小題，每空3分，共30分）6.設(shè)A＝{a，b，c}，則A的冪集合2A中含有______個元素。7.設(shè)(G，·)是一個群，對于?a∈G，有a－1∈G，那么，(a－1)－1＝______。8.設(shè)σ＝(123)(234)，τ＝(243)(135)∈S5，那么，στ＝______(表示成若干個沒有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。9.如果G是一個含有12個元素的群，H是G的一個子群，那么，根據(jù)Lagrange定理知，子群H中所含有的元素個數(shù)只可能是______。10.在3次對稱群S3中，設(shè)子群H＝{(1)，(12)}，則子群H關(guān)于元素(123)的左陪集(123)H＝______。11.設(shè)Z8＝{［0］，［1］，［2］，…，［7］}是以8為模的剩余類環(huán)，則Z8中的所有零因子是______。12.當(dāng)p為素數(shù)時，以p為模的剩余類環(huán)Zp是一個域，則Zp的特征是______。13.設(shè)R是偶數(shù)環(huán)，(4)是由整數(shù)4生成的主理想，則(4)＝______。14.設(shè)Z［x］是整系數(shù)多項式環(huán)，取f(x)＝x2＋2∈Z［x］，則f(x)在Z［x］中的所有因子共有______個。15.已知是有理數(shù)域Q上的一個代數(shù)元，則單擴域Q()的結(jié)構(gòu)為______。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）16.設(shè)Z8是以8為模的剩余類加群，即Z8＝{［0］，［1］，［2］，…，［7］}。找出Z8的全部生成元，并找出Z8的所有子群。17.設(shè)Z是整數(shù)環(huán)，且知整數(shù)環(huán)Z的任意一個理想都是主理想。那么，(4，6)和(4)∩(6)在Z中分別是由哪個元素生成的主理想？請說明你的理由。18.在高斯整數(shù)環(huán)Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}(其中i2＝－1)中，求Z［i］的所有單位，并給出元素5的一種不可約分解，從而說明5在Z［i］中有真因子。四、證明題（本大題共3小題，第19、20小題各10分，第21小題5分，共25分）19.設(shè)G＝{x|x∈Q，x≠－1}，在G中規(guī)定代數(shù)運算“”：xy＝x＋y＋xy，?x，y∈G，其中等式右邊為通常的有理數(shù)加法和乘法，證明：(G，)作成一個群。20.設(shè)P［x］是數(shù)域P上的一元多項式環(huán)，I＝{數(shù)域P上的所有常數(shù)項為0的多項式}，證明：I是P［x］的一個理想。21.設(shè)高斯整數(shù)環(huán)Z［i］＝{a＋bi