2022-2023學年安徽省馬鞍山市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(50題)1.

2.

3.下列反常積分收斂的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

4.

5.()A.A.(-∞，-3)和(3，＋∞)

B.(-3，3)

C.(-∞，O)和(0，＋∞)

D.(-3，0)和(0，3)

6.設y=2-x，則y'等于()。A.2-xx

B.-2-x

C.2-xln2

D.-2-xln2

7.

A.-e

B.-e-1

C.e-1

D.e

8.A.A.

B.

C.

D.

9.A.A.-(1/2)B.1/2C.-1D.2

10.設f(x)為連續(xù)函數(shù)，則(∫f5x)dx)'等于()A.A.

B.5f(x)

C.f(5x)

D.5f(5x)

11.設函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內可導f(x)>0，則在(0，1)內f(x)（）．

A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

12.A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關

13.設函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1)內可導，f'(x)＞0，則在(0，1)內f(x)()．A.單調增加B.單調減少C.為常量D.既非單調，也非常量

14.若級數(shù)在x=-1處收斂，則此級數(shù)在x=2處

A.發(fā)散B.條件收斂C.絕對收斂D.不能確定

15.

16.∫1+∞e-xdx=()

A.-eB.-e-1

C.e-1

D.e

17.由曲線y=1/X,直線y=x,x=2所圍面積為

A.A.

B.B.

C.C.

D.D.

18.

19.函數(shù)等于()．

A.0B.1C.2D.不存在

20.A.0B.1C.∞D.不存在但不是∞

21.A.A.

B.

C.

D.不能確定

22.函數(shù)y=x3-3x的單調遞減區(qū)間為()A.A.(-∞,-1]

B.[-1，1]

C.[1，＋∞)

D.(-∞，＋∞)

23.A.A.

B.

C.

D.

24.

25.A.A.條件收斂B.絕對收斂C.收斂性與k有關D.發(fā)散

26.設z=x2+y2，dz=()。

A.2ex2+y2(xdx+ydy)

B.2ex2+y2(zdy+ydx)

C.ex2+y2(xdx+ydy)

D.2ex2+y2(dx2+dy2)

27.對于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系數(shù)法求其特解y*時，下列特解設法正確的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

28.極限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1

29.

30.一端固定，一端為彈性支撐的壓桿，如圖所示，其長度系數(shù)的范圍為()。

A.μ<0.7B.μ>2C.0.7<μ<2D.不能確定

31.A.A.

B.

C.

D.

32.

33.A.A.2B.1C.1/2D.0

34.

A.-1/2

B.0

C.1/2

D.1

35.設()．A.A.必定收斂B.必定發(fā)散C.收斂性與a有關D.上述三個結論都不正確

36.若函數(shù)f(x)=5x，則f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

37.A.A.

B.0

C.

D.1

38.

39.A.A.-3/2B.3/2C.-2/3D.2/3

40.級數(shù)()。A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關

41.

42.

43.已知y=ksin2x的一個原函數(shù)為y=cos2x，則k等于（）．A.A.2B.1C.－lD.－2

44.

45.

46.微分方程y"-4y=0的特征根為A.A.0，4B.-2，2C.-2，4D.2，4

47.

48.

49.設函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，則曲線y=f(x)與直線x=a，x=b，y=0所圍成的平面圖形的面積等于（）。A.

B.

C.

D.

50.平衡物體發(fā)生自鎖現(xiàn)象的條件為()。

A.0≤α≤φ

B.0≤φ≤α

C.0<α<90。

D.0<φ<90。

二、填空題(20題)51.

52.過原點且與直線垂直的平面方程為______．

53.

54.

55.微分方程y"=y的通解為______．56.57.

58.設y=lnx，則y'=_________。

59.函數(shù)f(x)=2x2-x+1，在區(qū)間[-1，2]上滿足拉格朗日中值定理的ξ=_________。

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.68.

69.

70.

三、計算題(20題)71.求微分方程的通解．72.73.74.

75.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

76.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則77.求函數(shù)一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．78.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．

79.

80.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．81.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

82.求函數(shù)y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．83.求曲線在點(1，3)處的切線方程．84.

85.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．86.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．

87.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

88.證明：

89.

90.四、解答題(10題)91.92.93.

94.95.96.

97.

98.99.在曲線y=x2(x≥0)上某點A(a，a2)處作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的圖形的面積為1/12．試求：(1)切點A的坐標((a，a2)．(2)過切點A的切線方程．

100.五、高等數(shù)學(0題)101.設某產品需求函數(shù)為

求p=6時的需求彈性，若價格上漲1％，總收入增加還是減少?

六、解答題(0題)102.計算∫xcosx2dx．

參考答案

1.B

2.C

3.DA，∫1+∞xdx==∞發(fā)散；

4.D解析：

5.D

6.D本題考查的知識點為復合函數(shù)求導數(shù)的鏈式法則。由于y=2-xY'=2-x·ln2·(-x)'=-2-xln2．考生易錯誤選C，這是求復合函數(shù)的導數(shù)時丟掉項而造成的!因此考生應熟記：若y=f(u)，u=u(x)，則

不要丟項。

7.C所給問題為反常積分問題，由定義可知

因此選C．

8.D本題考查的知識點為偏導數(shù)的計算．

9.A

10.C本題考查的知識點為不定積分的性質．

(∫f5x)dx)'為將f(5x)先對x積分，后對x求導．若設g(x)=f(5x)，則(∫f5x)dx)'=(∫g(x)dx)'表示先將g(x)對x積分，后對x求導，因此(∫f(5x)dx)'=(∫g(x)dx)'=g(x)=f(5x)．

可知應選C．

11.A本題考查的知識點為利用導數(shù)符號判定函數(shù)的單調性．

由于f(x)在(0，1)內有f(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

12.A本題考查的知識點為無窮級數(shù)的收斂性。

13.A由于f(x)在(0，1)內有f'(x)＞0，可知f(x)在(0，1)內單調增加，故應選A．

14.C由題意知，級數(shù)收斂半徑R≥2，則x=2在收斂域內部，故其為絕對收斂.

15.C

16.C

17.B本題考查了曲線所圍成的面積的知識點，

曲線y=1/X與直線y=x,x=2所圍成的區(qū)域D如下圖所示，

18.A解析：

19.C解析：

20.D

21.B

22.B

23.D本題考查的知識點為可變上限積分的求導．

當f(x)為連續(xù)函數(shù)，φ(x)為可導函數(shù)時，

因此應選D．

24.A

25.A本題考杏的知識點為級數(shù)的絕對收斂與條件收斂．

26.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x；zy"=ex2+y22y∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy

27.D特征方程為r2-2r+1=0，特征根為r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1為特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此選D。

28.C本題考查的知識點為重要極限公式．

由于，可知應選C．

29.B

30.D

31.D

32.D解析：

33.D

34.B

35.D

36.C本題考查了導數(shù)的基本公式的知識點。f'(x)=(5x)'=5xln5.

37.D本題考查的知識點為拉格朗日中值定理的條件與結論．

可知應選D．

38.C

39.A

40.A本題考查的知識點為級數(shù)的絕對收斂與條件收斂。

由于的p級數(shù)，可知為收斂級數(shù)。

可知收斂，所給級數(shù)絕對收斂，故應選A。

41.C解析：

42.B

43.D本題考查的知識點為原函數(shù)的概念、復合函數(shù)求導．

44.A

45.A

46.B由r2-4=0，r1=2，r2=-2，知y"-4y=0的特征根為2，-2，故選B。

47.C解析：

48.C

49.C

50.A

51.x/1=y/2=z/-152.2x+y-3z=0本題考查的知識點為平面方程和平面與直線的關系．

由于已知直線與所求平面垂直，可知所給直線的方向向量s平行于所求平面的法向量n．由于s=(2，1，-3)，因此可取n=(2，1，-3)．由于平面過原點，由平面的點法式方程，可知所求平面方程為2x+y-3z=0

53.y=2x+1

54.55.y'=C1e-x+C2ex

；本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性齊次微分方程的求解．

將方程變形，化為y"-y=0，

特征方程為r2-1=0；

特征根為r1=-1，r2=1．

因此方程的通解為y=C1e-x+C2ex．56.F(sinx)+C

57.

58.1/x

59.1/2

60.

61.2xy(x+y)+3

62.

本題考查的知識點為可變上限積分的求導．

63.

64.65.

66.

67.68.0．

本題考查的知識點為冪級數(shù)的收斂半徑．

所給冪級數(shù)為不缺項情形

因此收斂半徑為0．

69.11解析：

70.11解析：

71.

72.

73.

74.由一階線性微分方程通解公式有

75.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％76.由等價無窮小量的定義可知

77.

列表：

說明

78.由二重積分物理意義知

79.

80.

81.

82.

83.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

84.

則

85.86.函數(shù)的定義域為

注意

87.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

88.

89.

90.

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.

98.99.由于y=x2，則y'=2x，曲線y=x2上過點A(a，a2)的切線方程為y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，曲線y=x2，其過點A(a，a2)的切線及x軸圍成的平面圖形的面積

由題設S=1/12，可得a=1，因此A點的坐標為(1，1)．過A點的切線方程為y-1=2(x-1)或y=2x-1．解