寒假課程·高一數(shù)學(xué)第五講函數(shù)圖像的變換一、知識(shí)梳理1.水平平移：函數(shù)的圖像是將函數(shù)的圖像沿軸方向向左（＞0）或向右（＜0）平移個(gè)單位得到.稱之為函數(shù)圖象的左、右平移變換.2.豎直平移：函數(shù)的圖像是將函數(shù)的圖像沿軸方向向上（＞0）或向下（＜0）平移個(gè)單位得到.稱之為函數(shù)圖象的上、下平移變換.3.要作函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象軸右側(cè)的部分對(duì)稱到軸左側(cè)去，而軸左側(cè)的原來圖象消失.稱之為關(guān)于軸的右到左對(duì)稱變換（簡稱去左翻右）.4.要作函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象軸下方的部分對(duì)折到軸上方即可.叫做關(guān)于軸的下部折上變換（簡稱去下翻上）.5.要作的圖象，只需將函數(shù)的圖象以軸為對(duì)折線，把ｙ軸右側(cè)的部分折到軸左側(cè)去.同時(shí)，將軸左側(cè)的部分折到軸右側(cè)去.叫做關(guān)于軸的翻轉(zhuǎn)變換.6.要作函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象以軸為對(duì)折線，把軸上方的圖形折到軸下方去，同時(shí)又把軸下方的圖象折到軸上方去即可.叫做關(guān)于軸的翻轉(zhuǎn)變換.7.要作函數(shù)（＞0）的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（＞1）或伸長（0＜＜1）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）即可（若＜0，還得同時(shí)進(jìn)行關(guān)于軸的翻轉(zhuǎn)變換.這種變換叫做函數(shù)圖象的橫向伸縮變換.8.要作函數(shù)（Ａ＞0）的圖象，只需將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（Ａ＞1）或縮短（0＜Ａ＜1）到原來的Ａ倍（橫坐標(biāo)不變）即可.這種變換叫做函數(shù)圖象的縱向伸縮變換（若Ａ＜0，還要再進(jìn)行關(guān)于軸的翻轉(zhuǎn)變換）.9.要作函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象發(fā)生關(guān)于直線＝的翻轉(zhuǎn)變換即可.實(shí)質(zhì)上，這種變換是函數(shù)圖象左右平移變換與關(guān)于軸翻轉(zhuǎn)變換的復(fù)合，即先把圖象發(fā)生左右平移得到函數(shù)的圖象，再關(guān)于軸翻轉(zhuǎn)便得到的圖象.10.要作函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象發(fā)生關(guān)于直線＝的翻轉(zhuǎn)變換即可.實(shí)質(zhì)上，這種變換是函數(shù)圖象的關(guān)于軸的翻轉(zhuǎn)變換與上下平移變換的復(fù)合，即先把函數(shù)的圖象發(fā)生關(guān)于軸的翻轉(zhuǎn)變換得到的圖象，再把的圖象向上（＞0）或向下（＜0）平移｜｜個(gè)單位便得到函數(shù)的圖象.綜合第9、第10變換，要作函數(shù)的圖象，只需做出函數(shù)圖象的關(guān)于點(diǎn)（，）的中心對(duì)稱圖形即可.二、方法歸納1.作圖象：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法.作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（即單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性及變化趨勢（漸進(jìn)性質(zhì)）；④描點(diǎn)連線，畫出函數(shù)的圖象.用圖象變換法作函數(shù)圖象，①要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換；②是確定實(shí)施怎樣的變換.2.識(shí)圖象：對(duì)于給定的函數(shù)圖象，能從圖象的左右、上下分布范圍，變化趨勢、對(duì)稱性等方面的觀察，獲取有關(guān)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等方面的信息.3.關(guān)注函數(shù)圖像的變換對(duì)函數(shù)的性質(zhì)的影響.三、典型例題精講【例1】函數(shù)的圖象大致為（）錯(cuò)解分析：錯(cuò)解一：由≥0，得≥1，即≥1，故選B.錯(cuò)誤在于誤將等同于，做出誤判≥0.錯(cuò)解二：沒注意，而默認(rèn)為，故選Ｃ.解析：考慮，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，淘汰B、Ｃ.當(dāng)時(shí)，，故選A.又例：函數(shù)的圖象大致是（）解析：由≥0，得≥1，故選A.【例2】函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是（）解析：因函數(shù)的圖象是由的圖象向上平移1個(gè)單位得到，故B、C、D滿足；又函數(shù)，其圖象為的圖象向右平移1個(gè)單位得到，故A、C滿足.由此選C.技巧提示：本題中的錯(cuò)誤答案均為對(duì)函數(shù)進(jìn)行錯(cuò)誤變換而得，因此只要變換正確，就能做出正確的選擇.本題亦可用特殊值法得到正確的選項(xiàng).由，可知B、C、D滿足；又，可知A、C滿足.故選C.又例：函數(shù)的圖象，可由函數(shù)的圖象經(jīng)過下述哪個(gè)變換得到（）A.向左平移6個(gè)單位B.向右平移6個(gè)單位C.向左平移3個(gè)單位D.向右平移3個(gè)單位解析：將函數(shù)中的用代之，即可得到函數(shù)，所以將函數(shù)的圖象向右平移3個(gè)單位即可得到函數(shù)的圖象，故選D.【例3】函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于（） A.點(diǎn)（－1，0）對(duì)稱B.直線＝1對(duì)稱C.點(diǎn)（1，0）對(duì)稱 D.直線＝－1對(duì)稱解析：若記，則，由于與的圖象關(guān)于直線＝1對(duì)稱，∴選B.技巧提示：若自身滿足，則的圖象關(guān)于直線＝對(duì)稱；若自身滿足，則的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱.兩個(gè)函數(shù)與的圖象關(guān)于直線＝對(duì)稱；兩個(gè)函數(shù)與的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱.【例4】設(shè)，若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.解析：保留函數(shù)在軸上方的圖象，將其在軸下方的圖像翻折到軸上方區(qū)即可得到函數(shù)的圖象.通過觀察圖像，可知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由，且.可知，所以，，從而，即，又＞0，所以.故選A.技巧提示：本題考查函數(shù)圖象的翻折變換，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡到繁的原則，通過研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)而得到的圖像和性質(zhì).由，且，得到才使得問題變得容易.又例：直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是.解析：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱.當(dāng)≥0時(shí)，＝，其圖象如下：aaOxya由直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)，得，解得.故的取值范圍是.再例：已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程(＞0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，解析：因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)，滿足，所以，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，再由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)樵趨^(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，所以在區(qū)間[－2，0]上也是增函數(shù).如圖所示，那么方程(＞0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，不妨設(shè)，由對(duì)稱性知所以.-8-6-4-202468-8-6-4-202468yxf(x)=m(m>0)【例5】定義在函數(shù)＝的圖象如下圖所示，則的取值范圍是（）A.（－∞，－1）B.(－1，2)C.(0，2)D.(1，2)解析：方法一（排除法）：若≤0，則函數(shù)的定義域不為R，與圖象信息定義域?yàn)椴环?，故排除掉A、B.取＝1，＝，此函數(shù)當(dāng)＝±1時(shí)，取得極值，與所給圖形不符，排除C.選D.方法二：顯然為奇函數(shù)，又＞0，＜0，即＜0，解得－1＜＜2.又取得最大值時(shí)，＝＞1，∴＞1，∴1＜＜2.故選D.技巧提示：根據(jù)已給圖形確定解析式，需要全面撲捉圖象信息.對(duì)奇偶性影響不大，但對(duì)定義域、極值點(diǎn)影響明顯.又例：當(dāng)參數(shù)時(shí)，連續(xù)函數(shù)的圖像分別對(duì)應(yīng)曲線和，則（）ＯＣ１Ｃ２A.ＯＣ１Ｃ２C.D.解析：由條件中的函數(shù)是分式無理型函數(shù)，先由函數(shù)在是連續(xù)的，可知參數(shù)，即排除C，D項(xiàng)，又取，知對(duì)應(yīng)函數(shù)值，，由圖可知所以，即選B項(xiàng).【例6】定義區(qū)間的長度為，已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，則區(qū)間的長度的最大值與最小值的差為.錯(cuò)解分析：函數(shù)的圖象如圖.ＯＯ１2令，得或.∴，又，∴長度的最大值為；最小值為.故所求最大值與最小值的差為.解析：函數(shù)的圖象如上圖.令，得或.∴長度的最大值為；最小值為.故所求最大值與最小值的差為.技巧提示：準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖象，正確理解區(qū)間長度的意義是解決此類問題的關(guān)鍵.Oyx又例:已知函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的關(guān)系是（）OyxA. B.C. D.解析：由圖易得，∴取特殊點(diǎn)，.即，∴.故選A.【例7】若不等式的解集為區(qū)間，且－＝2，則=.分析:本題主要考查解不等式、直線過定點(diǎn)問題，我們可以在同一坐標(biāo)系下作出，的圖像，根據(jù)圖像確定的值。解析：令，，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出其圖象，xx-330（-2，）y因的解集為區(qū)間，且－＝2，結(jié)合圖象知＝3、＝1，即直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為.∴∴=.技巧提示：看似與函數(shù)無關(guān)，但利用函數(shù)的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想把問題置于直觀簡捷狀態(tài)，就容易解決.若先平方整理求解，運(yùn)算量大，極易出錯(cuò).四、課后訓(xùn)練1.將函數(shù)的圖象向左平移2個(gè)單位得到曲線C，若曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.1D.22.已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，那么函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（）A.B.（1，2）C.（2，2）D.（-1，2）3.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（）.A.B.C.D.4.已知函數(shù)，若，且，則與關(guān)系為（）A.B.C.D.5.用{，，}表示、、三個(gè)數(shù)中的最小值，設(shè)（0），則的最大值為（）A.4B.5C.6D.76.方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為.7.函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.8.若定義在R上的偶函數(shù)滿足，又當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的解析式為.9.曲線(–2≤x≤2)與直線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.10.設(shè)曲線的方程是，將沿軸、軸正方向分別平移、個(gè)單位長度后得到曲線.（1）寫出曲線的方程；（2）證明曲線與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（3）如果曲線與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明：五、參考答案1.B2.B3.D4.B5.C解析：由題意知函數(shù)是三個(gè)函數(shù)，，中的較小者，作出三個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象，可知A（4，6）為函數(shù)圖象的最高點(diǎn).故選C.6.答案：2解析：利用數(shù)形結(jié)合，分別作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，觀察兩圖象有幾個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為原方程的實(shí)數(shù)解.7.答案：.8.