試驗統(tǒng)計學(xué)主講黃成達(dá)試驗統(tǒng)計學(xué)第四章概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識本課程使用區(qū)靖祥編著的《試驗統(tǒng)計學(xué)》一書作為課本。全程為50學(xué)時，占2.5學(xué)分。第二章常用的試驗設(shè)計第三章試驗數(shù)據(jù)的整理第五章參數(shù)區(qū)間估計第八章常用試驗設(shè)計的資料分析第六章統(tǒng)計假設(shè)測驗第七章方差分析第九章直線相關(guān)與回歸第一章緒論第十章協(xié)方差分析第二節(jié)隨機區(qū)組設(shè)計試驗的資料分析第一節(jié)完全隨機設(shè)計試驗資料的分析第三節(jié)拉丁方設(shè)計試驗的資料分析第八章常用試驗設(shè)計的資料分析第四節(jié)裂區(qū)設(shè)計試驗的資料分析第五節(jié)條區(qū)試驗設(shè)計的資料分析單因素完全隨機排列的試驗資料采用單向分類資料的方差分析進行分析。第七章的例7.1、例7.7都屬這類，這里不再重復(fù)。這里只討論多因素完全隨機試驗資料的統(tǒng)計分析當(dāng)試驗的環(huán)境條件比較均勻時，可以采用完全隨機排列的試驗設(shè)計。第八章常用試驗設(shè)計的資料分析如果一個單因素試驗用完全隨機方式進行安排，稱為單因素完全隨機試驗，試驗的目的在于比較考察因素不同水平之間的優(yōu)劣。如果一個多因素試驗用完全隨機方式進行安排，稱為多因素完全隨機試驗，試驗的目的在于比較各考察因素不同水平之間的優(yōu)劣；如果每處理組合有多于一個觀察值，還可以考察因素間的交互作用。二、多因素隨機區(qū)組試驗資料的統(tǒng)計分析當(dāng)試驗的環(huán)境條件具有從一端向另一端逐步變化的趨勢時，可以采用隨機區(qū)組的試驗設(shè)計。第八章常用試驗設(shè)計的資料分析一、單因素隨機區(qū)組試驗資料的統(tǒng)計分析

如果一個單因素試驗用隨機區(qū)組方式進行安排，稱為單因素隨機區(qū)組試驗，試驗的目的在于比較考察因素不同水平之間的優(yōu)劣。如果一個多因素試驗用隨機區(qū)組方式進行安排，稱為多因素隨機區(qū)組試驗，試驗的目的在于比較各考察因素不同水平之間的優(yōu)劣；如果每處理組合有多于一個觀察值，還可以考察因素間的交互作用。下面討論這些設(shè)計的試驗資料的分析方法拉丁方設(shè)計對橫向和縱向兩個方向的環(huán)境變化實行局部控制。由于拉丁方實行了兩向的局部控制，因而具有較高的試驗精確度，常用來布置具有多因素的高級試驗。

第八章常用試驗設(shè)計的資料分析在拉丁方設(shè)計中，橫向區(qū)組中的小區(qū)數(shù)和縱向區(qū)組中的小區(qū)數(shù)都等于處理數(shù)。為了使誤差自由度大于或等于12，處理數(shù)應(yīng)多于4。但當(dāng)處理數(shù)多于8時，小區(qū)數(shù)目太多，試驗難以控制。因此拉丁方設(shè)計一般只適用于處理數(shù)為5~8的試驗。

如果將一個因素的

t

個水平(即

t

個處理)安排在一個t×t拉丁方中，就得到一個單因素t×t拉丁試驗資料。

如果將一個多因素的試驗用拉丁方設(shè)計安排，就得到一個多因素拉丁方試驗。二、多因素拉丁方試驗資料的統(tǒng)計分析一、單因素拉丁方試驗資料的統(tǒng)計分析下面討論這些設(shè)計的試驗資料的分析方法裂區(qū)設(shè)計是一種特殊的兩因素試驗設(shè)計方案，其試驗安排形式已經(jīng)在第二章中詳細(xì)討論。這里介紹利用裂區(qū)設(shè)計布置的試驗資料的分析方法。第八章常用試驗設(shè)計的資料分析二、主處理按拉丁方，副處理按隨機區(qū)組一、主副處理都按隨機區(qū)組安排

的裂區(qū)設(shè)計試驗資料的分析

安排的裂區(qū)設(shè)計試驗資料的分析條區(qū)設(shè)計是裂區(qū)設(shè)計的一種演變形式。適用于兩個因素都需要較大面積的試驗。條區(qū)試驗設(shè)計能為兩個主效應(yīng)和它們之間的互作提供不同的估計誤差。第八章常用試驗設(shè)計的資料分析條區(qū)設(shè)計試驗資料的統(tǒng)計分析方法ClassisOverThankYou分兩種情況進行討論：

㈠每處理組合只有一個觀察值的情況

如果試驗中有兩個考察因素，因素A有a個水平，因素B有b個水平，共有ab個處理組合，在試驗中按完全隨機排列，不設(shè)重復(fù)。那么，此類資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：（i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b）

其中，為第ij個處理組合的觀察值，二、多因素完全隨機試驗資料的統(tǒng)計分析μ為總體平均數(shù)，是一常量；為A因素第i個水平的效應(yīng)值，為B因素第j個水平的效應(yīng)值，為第ij個處理組合（觀察值）的機誤。⒈二因素完全隨機試驗資料，每處理組合只有一個觀察值對這樣的數(shù)據(jù)，應(yīng)采用第七章第五節(jié)所介紹的每處理組合只有一個觀察值的兩向分類資料(p.149)的分析方法進行分析。方差分析表如表7.25所示(p.124)。

方差分析表中的總變異將分解為因素A各水平之間的變異、因素B各水平之間的變異和試驗誤差三個部分。沒有交互作用。由于不能分析因子間的交互作用，這樣的“多因素試驗”實際不能算作真正意義上的多因素試驗。只有當(dāng)事先知道因子間的交互作用并不重要時，才采用這種設(shè)計。

現(xiàn)將該節(jié)所舉的例7.9稍微改動，變成例8.1的樣子，說明這類資料的分析方法。

例8.1

欲考察6個水稻品種在4種不同的土壤類型中的表現(xiàn)，準(zhǔn)備了24個花盆，每類土壤裝6盆，各盆中栽6個水稻品種中的一種，完全隨機安放在網(wǎng)室中。產(chǎn)量數(shù)據(jù)如p.125表7.26所示。如果品種和土壤類型都是固定效應(yīng)，試對資料進行適當(dāng)?shù)姆治觥?361.563.065.062.5151236937839037562.5063.2563.5061.7566.2560.75250253254247265243表7.26例7.9的產(chǎn)量資料及數(shù)據(jù)整理59626564A664626562A561626764A460636460A365686765A260616260A1B4B3B2B1土壤類型（B）品種（A）

分析過程和分析結(jié)果如p.124例7.9所示。它不能考察品種和土壤類型之間的交互作用，因此不是真正意義上的多因素試驗。如果因子之間的交互作用不可忽略時，每個處理組合應(yīng)多設(shè)幾盆（重復(fù)），變成為每處理組合中含有多于一個觀察值的情況，那將會是一個好得多的試驗設(shè)計。（i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b；k＝1，2，…，c）其中，為第ijk個處理組合的觀察值，

如果試驗中有三個可控因素，因素A有a個水平，因素B有b個水平，因素C有c個水平，共有abc個處理組合，在試驗中按完全隨機排列，不設(shè)重復(fù)。那么，資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：⒉三因素完全隨機試驗資料，每處理組合只有一個觀察值為總體平均數(shù)，為A因素第i個水平的效應(yīng)值，為B因素第j個水平的效應(yīng)值，為C因素第k個水平的效應(yīng)值為A因素第i個水平與Ｂ因素第j個水平的交互作用效應(yīng)；為A因素第i個水平與Ｃ因素第k個水平的交互作用效應(yīng)；為B因素第j個水平與C因素第k個水平的交互作用效應(yīng)。為殘差。

由于每個處理只有一個觀察值，不能估算Ａ、Ｂ和Ｃ三個因素的二級互作，如果該項互作效應(yīng)存在，將歸到殘差項里去。這和設(shè)計的試驗，對一級互作效應(yīng)的估算也往往存在精確度不高的現(xiàn)象。對于多因素試驗，一般都要求每處理有多個觀察值，沒有重復(fù)觀察值的多因素試驗不是真正意義上的多因素試驗，這里就不舉例了。

如果資料中有兩個考察因素A和B，其中A因素有a個水平，B因素有b個水平，于是共有ab個處理組合。每個處理組合含n個觀察值，整個試驗資料共有abn個觀察值。㈡每處理組合有多于一個觀察值的情況⒈二因素完全隨機試驗資料，每處理組合有多個觀察值其中，為第ij個處理組合的第k個觀察值觀察值;

此類資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：為第ij個處理的效應(yīng)值；（i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b；k＝1，2，…，n）μ為總體平均數(shù)，是一常量；為A因素第i個水平的效應(yīng)值；為B因素第j個水平的效應(yīng)值；為A、B因素的互作效應(yīng)值；為第ij個處理組合第k個觀察值的機誤。從以上數(shù)學(xué)模型看出，對于這類資料的分析可以分兩步進行：⑴先按模型將總變異分解為處理(組合)間變異和誤差變異；這是一個單向分類的方差分析。方差分析表如表7.33所示。如果這一步的F測驗不顯著，就不必進行第二步。分析就此結(jié)束。⑵如果第一步的F測驗顯著，應(yīng)進一步按模型將處理變異分解為A因素各水平間的變異、B因素各水平間的變異和交互作用(AB)引起的變異。如果資料中有三個考察因素A、Ｂ和Ｃ，其中A因素有a個水平，B因素有b個水平，C因素有c個水平，于是共有abc個處理組合。每個處理組合含n個觀察值，整個試驗資料共有abcn個觀察值。⒉三因素完全隨機試驗資料，每處理組合有多個觀察值此類資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：（i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b；k＝1，2，…，c;k＝1，2，…，n

）其中，為第ijk個處理組合的第l個觀察值；μ為總體平均數(shù)，是一常量；為A因素第i個水平Ｂ因素第j個水平C因素第k個水平構(gòu)成的處理組合的效應(yīng)值，為第ijk個處理組合（觀察值）的機誤。為A因素第i個水平的效應(yīng)值，為B因素第j個水平的效應(yīng)值，為C因素第k個水平的效應(yīng)值為A因素第i個水平與Ｂ因素第j個水平的交互作用效應(yīng)；為A因素第i個水平與Ｃ因素第k個水平的交互作用效應(yīng)；為B因素第j個水平與C因素第k個水平的交互作用效應(yīng)。

下面舉例兩個例子，例8.2是一個兩因素試驗的例子；例8.3是一個三因素試驗的例子。當(dāng)有更多考察因素時，可以按這兩個例子的情況類推，進行分析。

例8.2

欲考察3個水稻品種(A1、A2、A3)在4種不同的土壤類型(B1、B2、B3、B4)中的表現(xiàn)，準(zhǔn)備了24個花盆，每類土壤裝6盆，其中每個水稻品種在各類土壤中栽了2盆。完全隨機安放在網(wǎng)室中。產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表7.36所示。如果品種和土壤類型都是固定效應(yīng)，試對資料進行適當(dāng)?shù)姆治?。分析過程和分析結(jié)果見第128頁例7.10所示。

例8.3

選擇四個品種（A因素；a=4）體重相同的幼鱉，雌雄性別（C因素；c=2）各半，分別注射三種不同的生長素（B因素；b=3），在背甲上做好標(biāo)記后，放養(yǎng)在同一個池中。一年后，每處理組合抽取5只（n=5），稱量它們的體重，得數(shù)據(jù)如表8.2所示，如果品種、生長素和性別等三個因素的效應(yīng)都是固定的，試對資料進行適當(dāng)?shù)姆治?。黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制8.417643544298889C27.815213073987897C1B3

7.815213113997896C26.29611973186566C1B2A16.610892233387675C25.88411792958457C1B1

值察觀重體性別(C)生長素(B)品種(A)表8.2例8.3的試驗數(shù)據(jù)B1C126956281827845.6C22384219973613.8A2B2C13231615592253.0C244767281667845.6B3C145176231275294.6C2879884032216008.0B1C136459271677295.4C244388271697295.4A3B2C146339251516255.0C2467793323110896.6B3C158484291858415.8C233576241285764.8B1C13534419753613.8C22242313371692.6A4B2C12571318883243.6C234974271717295.4B3C17522420984004.0C296452261626765.2總和6544186192285.45第一步：按單向分類資料方差分析的方法，將總變異分解為處理間變異和試驗誤差。⒈平方和及自由度的分解：總自由度dfT=觀察值總數(shù)–1=abcn-1=4×3×2×5－1=120–1=119

處理(組合)間自由度dft=處理數(shù)–1=abc-1＝4×3×2－1＝24－1＝23

誤差自由度dfe=

dfT

–dft

=119－23＝96

分析過程分為兩個步驟：a=4；b=3；c=2；n=5；abcn=120.誤差平方和

=621.7－281.3＝340.4

表8.3

第一步的方差分析表變異來源dfSSMSF值F0.05F0.01處理組合間23281.312.23043.449**1.6422.009誤

差96340.43.54583總變異119621.7如果F測驗顯示處理間差異不顯著，分析到此結(jié)束。本例中，從方差分析表可見處理組合間的差異極顯著，因此需要進行第二步。⒉F測驗與方差分析表第二步：處理間變異進一步分解為各因素主效應(yīng)引起的變異和因素間交互作用引起的變異。

為了作這些分解，需要制作AB二向表、AC二向表和BC二向表，分別如表8.4、表8.5和表8.6所示。5.4506.0755.4004.87514373059049466563802537586154551213899935.45111132375866542432161954.10151295165123464532A45.50272259089165535854A35.10234098027153634347A27.104536915305213817062A1B3B2B1表8.4

AB二向表0123A因素間自由度dfA

＝A因素水平數(shù)－1＝a-1=4－1＝3B因素間自由度dfB

＝B因素水平數(shù)－1＝b-1=3－1＝2AB互作自由度dfAB

＝dfTAB

－dfA－dfB

＝11－3－2＝6或dfAB

＝dfA×dfB＝(a-1)(b-1)=3×2＝6AB組合的自由度dfTAB

＝組合數(shù)－1＝ab-1=4×3－1＝12－1＝11＝／10－3564.3＝194.337586=cn=2×5=10AB組合的平方和＝／30－3564.3＝140.1111132=bcn=3×2×5=30A因素間平方和＝／40－3564.3＝28.95143730=acn=4×2×5=40B因素間平方和AB互作平方和SSAB

＝SSTAB－SSA－SSB

＝194.3－140.1－28.95＝25.255.455.855.05215010123201918095594431977239675.45111132559446543513034.101512976051236657A45.5027225136171658481A35.1023409119251538766A27.10453692279721311499A1C2C1表8.5

AC二向表黃成達(dá)編制012A因素間自由度dfA

＝A因素水平數(shù)－1＝a-1=4－1＝3C因素間自由度dfC

＝C因素水平數(shù)－1＝c-1=2－1＝1AC互作自由度dfAC

＝dfTAC

－dfA－dfC

＝7－3－1＝3或dfAC

＝dfA×dfC＝(a-1)(c-1)=3×1＝3AC組合的自由度dfTAC

＝組合數(shù)－1＝ac-1=4×2－1＝8－1＝7＝／15－3564.3＝165.355944=bn=3×5=15AC組合的平方和＝／60－3564.3＝19.2215010=abn=4×3×5=60C因素間平方和AC互作平方和SSAC

＝SSTAC－SSA－SSC

＝165.3－140.1－19.2＝6.005.455.855.05215010123201918097286842017308515.45143730728686543513036.085904929745243132111B35.40466562405021612789B24.88380251907319592103B1C2C1表8.6

BC二向表黃成達(dá)編制01B因素間自由度dfB

＝B因素水平數(shù)－1＝b-1=3－1＝2C因素間自由度dfC

＝C因素水平數(shù)－1＝c-1=2－1＝1BC互作自由度dfBC

＝dfTBC

－dfB－dfC

＝5－2－1＝2或dfBC

＝dfB×dfC＝(b-1)(c-1)=2×1＝2BC組合的自由度dfTBC

＝組合數(shù)－1＝bc-1=3×2－1＝6－1＝5＝／20－3564.3＝79.172868=an=4×5=20BC組合的平方和最后用處理變異減去各主效應(yīng)和一級交互作用計算ABC互作：ABC互作自由度：dfABC

=dft-dfA

-dfB

-dfC

-dfAB

-dfAC

-dfBC

=23-3-2-1-6-3–2=

6或dfABC

=dfA×dfB×dfC

=3×2×1＝6ABC互作平方和:SSABC=SSt-SSA

-SSB

-SSC

-SSAB

-SSAC

-

SSBC

=281.3-140.1-28.95-19.2-25.25-6-30.95=30.85BC互作平方和SSBC

＝SSTBC－SSB－SSC

＝79.1－28.95－19.2＝30.95黃成達(dá)編制621.70119總變異3.546340.4096誤

差2.9962.1951.4505.14230.856ABC4.8333.0914.364*15.47530.952BC3.9922.7000.564ns2.0006.003AC2.9962.1951.187ns4.20825.256AB6.9063.9405.415*19.20019.201C4.8333.0914.082*14.47528.952B3.9922.69913.170**46.700140.103A2.0091.6423.449**12.230281.3023處理組合間F0.01F0.05F值MSSSdf變異來源表8.7

總的方差分析表本例A、B、C三個因素都為固定模型01黃成達(dá)編制期望均方(EMS)MSe誤

差MSABCABCMSBCBCMSACACMSABABMSCCMSBBMSAAMSt處理組合間混合模型(AB固定，C隨機)固定模型均

方變異來源表

三因素完全隨機設(shè)計各均方的期望均方(1)黃成達(dá)編制隨機模型MSe誤

差MSABCABCMSBCBCMSACACMSABABMSCCMSBBMSAAMSt處理組合間均

方變異來源表

三因素完全隨機設(shè)計各均方的期望均方(2)MS1=MSA+MSABCMS2=MSAB+MSAC多重比較：⒈品種平均數(shù)間差異性的多重比較

F測驗表明，不同品種之間有極顯著差異，因此要做多重比較；以Duncan法為例，標(biāo)準(zhǔn)誤差為：；dfe

＝96；比較標(biāo)準(zhǔn)如表8.8，比較結(jié)果如表8.9。表8.8

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.803.710.9631.27532.953.861.0141.32743.053.981.0491.3684.1A41.0ns5.1A20.4ns1.4**5.5A31.6**2.0**3.0**7.1A1平均數(shù)品種編號表8.9

不同品種鱉魚平均數(shù)之間的多重比較黃成達(dá)編制⒉不同生長素平均數(shù)間差異性的多重比較

F測驗表明，不同生長素之間的效應(yīng)有顯著差異，因此也要做多重比較；以Duncan法為例，標(biāo)準(zhǔn)誤差為：；dfe

＝96；比較標(biāo)準(zhǔn)如表8.10，比較結(jié)果如表8.11。表8.10

查得的SSR值及各種LSR值的計算gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.803.710.8341.10532.953.860.8791.1494.875B10.525ns5.400B20.675ns1.200**6.075B3平均數(shù)生長素號表8.11

不同生長素之間的多重比較黃成達(dá)編制

⒊不同性別之間有顯著差異。但因為該因素只有兩個水平，無需進行多重比較就可以判斷一定是性別C2的平均數(shù)(5.85)顯著高于性別C1(5.05)。

⒋BC間的交互作用顯著，說明不同性別對生長素的反映不一樣?？梢詫ιL素與性別的不同組合進行多重比較。以Duncan法為例，標(biāo)準(zhǔn)誤差為：；dfe

＝96；比較標(biāo)準(zhǔn)如表8.12，比較結(jié)果如表8.13。表8.12

SSR值及LSR值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.803.711.1791.56232.953.861.2421.62543.053.981.2841.67653.124.061.3141.71063.184.111.3391.731黃成達(dá)編制4.45B2C10.154.60B1C20.550.705.15B1C10.400.951.105.55B3C10.801.201.75**1.90**6.35B2C20.251.051.45**2.00**2.15**6.60B3C2組合表8.13

不同生長素與性別的組合之間的多重比較黃成達(dá)編制為了形象地了解它們間的交互作用，可將它們的平均數(shù)作圖如圖8.1所示。

B1B2B3圖8.1

生長素與性別的交互作用C2C1⒌

其余互作即品種×激素、品種×性別的互作都不顯著。一、單因素隨機區(qū)組試驗資料的統(tǒng)計分析單因素隨機區(qū)組試驗，t個處理，r次重復(fù)，試驗資料采用每處理組合內(nèi)只有一個觀察值的兩向分類資料的方差分析進行分析，將其中一個因素看作處理(τ

)，將另一個因素看作區(qū)組(γ

)，那么，此類資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：（i＝1，2，…，t；j＝1，2，…，r）其中，為第i個處理第j個區(qū)組的觀察值，μ

為總體平均數(shù)，是一常量；為第i個處理的效應(yīng)值，為第j個區(qū)組的效應(yīng)值，為第i個處理第j個區(qū)組觀察值的機誤。方差分析表如表8.14所示，其中總變異被分解為處理間變異、區(qū)組間變異和試驗誤差（剩余項）三個部分。表8.14

單因素隨機區(qū)組資料的方差分析變因dfSSMSF值區(qū)組間dfr＝r－1SSrMSrMSr

/

MSe處理間dft＝t－1SStMStMSt

/

MSe誤差dfe＝(t－1)

(r－1)SSeMSe總變異dfT＝rt－1SST將第七章中的例7.9的設(shè)計稍微改動變成例8.4的樣子，就是一個單因素隨機區(qū)組試驗。

例8.4

六個水稻品種(A1、A2、A3、A4、A5和A6)種在四個隨機區(qū)組(B1、B2、B3和B4)中，產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表7.26所示，如果品種是固定效應(yīng)，試對其平均數(shù)進行適當(dāng)?shù)姆治觥?/p>

例7.9

六個水稻品種(A1、A2、A3、A4、A5和A6)種在四種不同的土壤類型(B1、B2、B3和B4)中，產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表7.26所示，如果品種和土壤類型都是固定效應(yīng)，試對資料進行適當(dāng)?shù)姆治觥Ｍ寥李愋妥兂蓞^(qū)組二、多因素隨機區(qū)組試驗資料的統(tǒng)計分析如果試驗中有兩個考察因素，因素A有a個水平，因素B有b個水平，共有ab個處理組合，在試驗中安排了r個隨機區(qū)組，那么，此類資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：其中，為第ij個處理第k個區(qū)組的觀察值，μ

為總體平均數(shù)，是一常量；為第j個區(qū)組的效應(yīng)值，為第ij個處理的效應(yīng)值，為第ij個處理第k個區(qū)組觀察值的機誤。（i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b；k＝1，2，…，r）為A因素第i個水平的效應(yīng)值，為B因素第j個水平的效應(yīng)值為A、B因素的互作效應(yīng)值從數(shù)學(xué)模型看出，對于這類資料的分析可以分兩步進行：第一步：先按模型將總變異分解為區(qū)組間變異、處理(組合)間變異和誤差變異三個部分。這是一個兩向分類資料的方差分析，方差分析表如表8.15所示。表8.15

第一步的方差分析表變因dfSSMSF值區(qū)組間dfr＝r－1SSrMSrMSr

/

MSe處理間dft＝ab－1SStMStMSt

/

MSe誤差dfe＝(ab-1)

(r-1)SSeMSe總變異dfT＝rab－1SST黃成達(dá)編制該表與表8.14有點類似，只是在表8.14中的處理是指一個因素的一個水平(τi)，而這里的處理是指多因素各水平交錯配合成的一個組合(τij)。如果這一步中對處理間差異的F測驗不顯著，就不必進行第二步。分析就此結(jié)束。如果第一步對處理間差異的F測驗顯著，應(yīng)進一步按模型將處理變異分解為A因素各水平間的變異、B因素各水平間的變異和交互作用(AB)引起的變異。方差分析表如表8.16所示。在第二步中的F測驗值如何計算需要視研究目的所確定的模型而定。表8.17列出了總的方差分析表和各種模型中的期望均方。第二步：表8.16第二步的方差分析表變異來源自由度平方和均方F值A(chǔ)間dfA=a-1SSAMSA視模型而確定B間dfB=b-1SSBMSBAB互作dfAB=(a-1)(b-1)SSABMSAB處理間dft=ab-1SStMStMSt/

MSe黃成達(dá)編制01黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制總變異誤差A(yù)B互作B間A間處理間區(qū)組間A固定B隨機隨機模型固定模型期望均方(EMS)變異來源

表8.17

兩因素隨機區(qū)組試驗資料的期望均方

例8.5

考察三種生長素Ai

(i＝1，2，3)和兩種葡萄糖濃度Bj

(j＝1，2)所配成的6種培養(yǎng)基對香草蘭胚狀體發(fā)育的影響。將接種好的培養(yǎng)皿放置在四個培養(yǎng)箱(k＝Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ)中，按隨機區(qū)組排列，每培養(yǎng)箱為一個區(qū)組。所得數(shù)據(jù)如表8.18所示。如果除區(qū)組效應(yīng)不需考察外，其余效應(yīng)都是固定效應(yīng)，試對資料進行適當(dāng)?shù)姆治?。黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制表8.18

三種生長素和兩種葡萄糖濃度所配成的6種培養(yǎng)基對香草蘭胚狀體發(fā)育的影響ⅣⅢⅡⅠ糖濃度(B)生長素(A)區(qū)組(培養(yǎng)箱k)5.506.335.175.704.83132383134294166523B27288695B1A35208354B23122334B1A26245865B28329698B1A1

分析過程分為兩個步驟：第一步：

按兩向分類資料方差分析的方法，將總變異分解為區(qū)組間變異、處理間變異和試驗誤差。根據(jù)表8.18的整理結(jié)果可以得到：總自由度dfT

=rab-1=3×2×4-1=24-1=23區(qū)組間自由度dfr

=r-1=4-1=3處理間自由度dft

=ab-1=3×2-1=6-1=5誤差自由度dfe

=dfT

-dft-dfr

=23-3-5=15或dfe

=(r-1)(ab-1)=(4-1)(3×2-1)=15（a=3；b=2；r=4.）誤差平方和

=118-70-7.6667=40.3333于是可得到如下的方差分析表。表8.19

第一步的方差分析表變異來源dfSSMSF值F0.05F0.01區(qū)組間37.66672.5556<1處理間570.000014.00005.2066**2.90134.5556誤差1540.33332.6889總變異23118.0000

如果F測驗顯示處理間差異不顯著，分析到此結(jié)束。本例中，從方差分析表可見處理組合間的差異極顯著，因此需要進行第二步。第二步：

將處理間的變異分解為A因素水平間的變異、B因素水平間的變異和AB互作三個部分。黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制5.55.06.08784360051843184123219525.56096318413260725.519361040441628A34.01024544322012A27.031361600562432A1B2B1表8.20

AB二向表處理間自由度dft

=處理數(shù)–1=ab-1=6–1=5A因素自由度dfA

=生長素數(shù)–1=a-1=3–1=2B因素自由度dfB=糖濃度數(shù)–1=b-1=2–1=1AB交互作用自由度dfAB=

dft–dfA–dfB

=5–2–1=2或dfAB=

dfA×dfB=2×1=2處理間平方和SSt=70AB交互作用平方和=SSt

–SSA-SSB=70–36–6=28于是得到如下總的方差分析表。因為本例中所有考察因素都是固定模型，所以各個F值均采用誤差均方作分母進行計算。表8.21

第二步的方差分析表變異來源dfSSMSFF0.05F0.01區(qū)組間37.66672.5556處理間570.000014.00005.2066**2.90134.5556A間236.000018.00006.6942*3.68236.3588B間16.00006.00002.2314ns4.54318.6832AB互作228.000014.00005.2066*3.68236.3588誤差1540.33332.6889總變異23118.0000方差分析表明：A因素的三個水平（即三種生長素）之間顯著極差異，需要對它們進行多重比較。B因素的兩水平間差異不顯著。AB之間具有顯著的交互作用，可以通過對處理組合間的多重比較來分析它們的關(guān)系。多重比較：⒈A因素各水平平均數(shù)間差異性的多重比較

F測驗表明，A因素各水平平均數(shù)之間有極顯著差異，因此要做多重比較；以Duncan法為例，標(biāo)準(zhǔn)誤差為：；dfe

＝15；比較標(biāo)準(zhǔn)列于表8.22，比較結(jié)果列于表8.23。表8.22

對A因素進行比較的判斷臨界值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.171.74512.417633.164.371.83202.5335黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制4.0A21.5ns5.5A31.5ns3.0**7.0A1平均數(shù)生長素編號表8.23

對A因素的多重比較結(jié)果⒉各處理平均數(shù)間差異性的多重比較

F測驗表明，AB兩因素具有顯著的交互作用，可以通過對處理組合間的多重比較來分析它們的關(guān)系。以Duncan法為例，標(biāo)準(zhǔn)誤差及自由度為：

dfe

＝15比較標(biāo)準(zhǔn)列于表8.24，比較結(jié)果列于表8.25。表8.24

對處理組合進行比較的判斷值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.014.172.473.4233.164.372.593.5843.254.502.663.6953.314.582.713.7663.364.642.753.80黃成達(dá)編制3A2B114A3B2125A2B2123*6A1B2123*4**7A3B1123*4**5**8A1B1組合表8.25

對處理組合進行比較的結(jié)果黃成達(dá)編制多重比較的結(jié)論：最優(yōu)的處理組合為A1B1，最差的處理組合是A2B1，同是B1，與A1組合時為最好，與A2組合時就變成最差?？梢娛瞧贩N因素A起了主要的作用，雖然葡萄糖濃度的主效應(yīng)之間沒有顯著差異，但是一旦與不同的生長素結(jié)合起來就有不同表現(xiàn)了。

A1A2A3圖8.2

生長素與糖濃度的互作B1B2讓我們重新回到表8.19來討論關(guān)于區(qū)組效應(yīng)的問題。因為對于區(qū)組效應(yīng)的F值小于1，不用查表就可以確定不同區(qū)組間沒有顯著差異，即數(shù)據(jù)在表面上顯示出來的差異僅僅是誤差造成的。既然是誤差造成的，就可以把這一項與誤差項合并，得到更好的誤差估計值，于是方差分析表就變成為表8.26的樣子。黃成達(dá)編制表8.26

第一步的方差分析表變異來源dfSSMSF值F0.05F0.01處理間570.000014.00005.25**

2.77294.2479誤差18482.6667

總變異23118.0000表8.19

第一步的方差分析表變異來源dfSSMSF值F0.05F0.01區(qū)組間37.66672.5556<1處理間570.000014.00005.2066**2.90134.5556誤差1540.33332.6889總變異23118.0000一看就明白，這是一個完全隨機設(shè)計的試驗資料的方差分析表。但是，誤差均方從原來的2.6889變成為現(xiàn)在的2.6667，即試驗誤差減少了。同時。這時由于誤差自由度由原來的15變成現(xiàn)在的18，查得的F0.05由原來的2.9013變成為現(xiàn)在的2.7729，F(xiàn)0.01由原來的4.5556變成為現(xiàn)在的4.2479，既要達(dá)到顯著的要求降低了。這就使整個測驗的精確度提高了。事實上，如果試驗環(huán)境本身差異不顯著，用完全隨機排列設(shè)計要比隨機區(qū)組設(shè)計好；反之，如果試驗的環(huán)境條件有按一個方向變化的趨勢，用隨機區(qū)組設(shè)計就能有效地控制由環(huán)境條件引起的誤差，從而減少試驗誤差，提高試驗精確度。本例中，利用新的誤差均方對處理組合進行多重比較的比較標(biāo)準(zhǔn)和比較結(jié)果如表8.27和表8.28所示。從中可以看到，有若干處理組合間的差異由原來的不顯著變成了顯著；也有若干差異由原來的顯著變成了極顯著。表8.27對處理組合進行比較的判斷值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.974.071.431.9633.127.271.503.5043.214.381.552.1153.274.461.572.1563.324.531.602.18黃成達(dá)編制3A2B114A3B212*5A2B212*3**6A1B212*3**4**7A3B112*3**4**5**8A1B1組合表8.28對處理組合進行比較的結(jié)果黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制3A2B114A3B212*5A2B212*3**6A1B212*3**4**7A3B112*3**4**5**8A1B1組合表8.28對處理組合進行比較的結(jié)果黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制3A2B114A3B2125A2B2123*6A1B2123*4**7A3B1123*4**5**8A1B1組合表8.25

對處理組合進行比較的結(jié)果黃成達(dá)編制一、單因素拉丁方試驗資料的統(tǒng)計分析如果將一個因素的t個水平(即t個處理)安排在一個t×t拉丁方中，就得到一個單因素t×t拉丁試驗資料。在這類試驗資料中，各觀察值的數(shù)學(xué)模型為：(i＝1，2，…，t；j＝1，2，…，t；k＝1，2，…，t)其中，為第i橫行區(qū)組第j縱列區(qū)組第k個處理的觀察值；下標(biāo)k外面加個括號，是為了表明下標(biāo)k與下標(biāo)i和j之間有重疊現(xiàn)象。μ為總體平均數(shù)，為一常量；αi為第i橫行區(qū)組的效應(yīng)值；βj為第j縱列區(qū)組的效應(yīng)值；τk為第k個處理的效應(yīng)值；其中，為第i橫行區(qū)組第j縱列區(qū)組第k個處理觀察值的機誤；下標(biāo)k外面加個括號，是為了表明下標(biāo)k與下標(biāo)i和j之間有重疊現(xiàn)象。根據(jù)以上數(shù)學(xué)模型，可得到方差分析表如表8.29所示。表8.29

單因素拉丁方試驗的方差分析變異來源自由度平方和均

方F值橫行間dfR=t-1SSRMSR直行間dfC=t-1SSCMSC處理間Dft=t-1SStMStMSt／MSe誤

差Dfe=dfT-dfR-dfC-dft

=(t-1)(t-2)SSeMSe總變異dfT=t2-1SST從方差分析表可知，為了讓dfe＝(t－1)(t－2)≥12，t應(yīng)大于4。在這個方差分析表中，我們是按田間試驗在試驗地上的排列來闡述的。但事實上，在非田間試驗的場合下，也可以利用拉丁方設(shè)計來提高試驗的精確度。下面舉一個5×5拉丁方設(shè)計的例子，以說明其具體應(yīng)用和分析過程。

例8.6

為了比較5種測驗水稻葉片含水量的方法(A、B、C、D、E)之間是否有顯著差異，取5株水稻的5片連續(xù)排列的葉片進行測定。這里，可以視植株編號為橫行號，視葉片生長的順序號為直行號，測定方法為處理號。試驗結(jié)果數(shù)據(jù)如表8.30所示，其中圓括號內(nèi)標(biāo)出的是處理號。試比較這5種測定方法之間是否有顯著差異。表8.30

例8.7的試驗結(jié)果植株編號葉片序號1234513（D）5（A）7（C）6（B）8（E）26（B）9（E）4（D）8（C）6（A）34（C）5（B）3（A）7（E）5（D）48（E）3（D）7（B）4（A）7（C）57（A）9（C）8（E）5（D）6（B）

很明顯，在這個試驗中，植株編號和葉片生長的序號之間是否差異顯著，不是我們研究的目的。只有測定方法之間是否差異顯著，才是我們分析的目的，而且它是固定效應(yīng)。這個試驗應(yīng)該屬拉丁方試驗設(shè)計。其具體分析過程如下。先將觀察數(shù)據(jù)整理為表8.31和表8.32。其中表8.31是對植株(橫行)間和葉片序號(直行)間進行計算的過程，表8.32則是對測定方法(處理)間進行的數(shù)據(jù)整理。⒈數(shù)據(jù)整理黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制6.06.465.86.25.615032302931287356589755.8297473844.8245735436.6336849625.82986753154321葉片序號（直行）植株號（橫行）表8.31

例8.7中橫行和直行數(shù)據(jù)的整理

黃成達(dá)編制觀察值測定方法（處理）6.0150合計84088798E42053543D73597487C63067566B52574365A表8.32

例8.7中各種測定方法所測得數(shù)據(jù)的整理黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制⒉計算各項平方和黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制6.06.465.86.25.615032302931287356589755.8297473844.8245735436.6336849625.82986753154321葉片序號（直行）植株號（橫行）表8.31

例8.7中橫行和直行數(shù)據(jù)的整理

橫行區(qū)組：黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制6.06.465.86.25.615032302931287356589755.8297473844.8245735436.6336849625.82986753154321葉片序號（直行）植株號（橫行）表8.31

例8.7中橫行和直行數(shù)據(jù)的整理

縱列區(qū)組：黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制6.06.465.86.25.615032302931287356589755.8297473844.8245735436.6336849625.82986753154321葉片序號（直行）植株號（橫行）表8.31

例8.7中橫行和直行數(shù)據(jù)的整理

處理：黃成達(dá)編制觀察值測定方法（處理）6.0150合計84088798E42053543D73597487C63067566B52574365A表8.32

例8.7中各種測定方法所測得數(shù)據(jù)的整理黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制SSe=SST–SSR–SSC–SSt=15.6表8.33

對五種測定水稻葉片含水量的方法進行比較的方差分析變因dfSSMSF值F0.05F0.01橫行間t-1=414.4直行間t-1=42.0處理間t-1=450.012.59.615**3.2595.412誤

差(t-1)(t-2)=1215.61.3總變異t2-1=2482.001*混合模型：處理效應(yīng)為固定模型，區(qū)組效應(yīng)為隨機模型?；旌夏Ｐ?隨機模型固定模型試驗誤差處理間縱列區(qū)組間橫行區(qū)組間期望均方變異來源表

單因素拉丁方試驗資料的期望均方黃成達(dá)編制以上方差分析結(jié)果表明，5種測定方法之間有極顯著的差異。表8.34列出了采用Duncan法對5種測定方法進行多重比較的判別臨界值。本例中，，dfe＝12。表8.34

對測定方法進行比較的判斷值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.57052.202833.234.551.64702.320143.334.681.69802.386353.364.761.71332.42714D15A1

2*6B12*3**7C12*3**4**8E處理表8.35

對測定方法進行比較的結(jié)果黃成達(dá)編制表8.34

對測定方法進行比較的判斷值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0123.084.321.57052.202833.234.551.64702.320143.334.681.69802.386353.364.761.71332.4271多重比較結(jié)果表明，除了EC之間、CB之間、BA之間、AD之間沒有顯著差異外，其余處理之間都有顯著或極顯著的差異。其中方法E測驗的結(jié)果水分含量最高，方法D測驗的結(jié)果水分含量最低。到底是高好，還是低好，要看實際情況而定。二、多因素拉丁方試驗資料的統(tǒng)計分析雖然拉丁方不能布置太多的考察因素，每因素的水平數(shù)也不能太多。但是拉丁方又有較高的試驗精確度，所以人們偏喜歡用它來布置高級試驗。若經(jīng)過初級試驗，并從其中找到一些極有希望的因素和水平要進行仔細(xì)的比較時，可考慮使用拉丁方試驗設(shè)計。兩個因素A和B，其中因素A有(k=1，2，…，t)個水平，因素B有(l＝1，2，…，s)個水平，共有ts個處理組合。按拉丁方設(shè)計安排試驗。橫行數(shù)為(i＝1，2，…，ts)；直行數(shù)為(j＝1，2，…，ts)；共有ts×ts個觀察值。各觀察值的數(shù)學(xué)模型為：其中，為第i橫行的效應(yīng)值;為第j直行的效應(yīng)值;為第kl處理的效應(yīng)值;為第隨機誤差;為A因素第k個水平的效應(yīng)值;為B因素第l個水平的效應(yīng)值;為A因素第k個水平與B因素第l個水平的互作效應(yīng)值;根據(jù)以上的數(shù)學(xué)模型，可知對試驗數(shù)據(jù)的分析分為兩個步驟：第一步將總變異分解為橫行區(qū)組間變異、直行區(qū)組間變異、處理組合間變異和試驗誤差，第二步將處理組合間變異分解為因素A各水平間變異、因素B各水平間變異和AB間的交互作用效應(yīng)。下面舉例說明一個3×2兩因素拉丁方試驗的分析方法。

例8.7

用3種精飼料(A1、A2、A3)按2種不同比例(B1、B2)喂養(yǎng)奶牛，觀察它們的產(chǎn)奶量，找了6個奶牛場中的6個品種的奶牛作試驗。將奶牛場編號視為橫行，奶牛品種編號視為直行，將3×2＝6個處理組合按拉丁方試驗設(shè)計布置試驗。牛奶產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表8.36所示。表8.36

六個飼料組合在不同奶牛場和奶牛品種中的表現(xiàn)奶牛場號奶牛的品種(直行)編號12345612（A2B2）2（A3B1）6（A1B1）7（A2B1）6（A1B2）5（A3B2）26（A3B2）6（A2B2）6（A3B1）8（A1B2）8（A1B1）9（A2B1）37（A3B1）7（A1B2）7（A2B1）8（A3B2）9（A2B2）7（A1B1）44（A1B1）3（A3B2）6（A1B2）5（A2B2）8（A2B1）8（A3B1）56（A1B2）8（A2B1）4（A3B2）6（A1B1）5（A3B1）2（A2B2）69（A2B1）8（A1B1）6（A2B2）8（A3B1）7（A3B2）9（A1B2）將表8.36中的數(shù)據(jù)按橫行和直行進行整理，得表8.37。因為橫行和直行都不是考察因素，所以對橫行和直行都沒有求平均數(shù)。數(shù)據(jù)整理黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制228404342353434479786896312564865348856344457987773439886662285676221654321奶牛的品種（直行）編號橫行編號表8.37

對試驗數(shù)據(jù)的橫行和直行進行整理

6.33228合計5.533743865A3B26.036858762A3B15.030625962A2B28.048988797A2B17.042966786A1B26.539864786A1B1觀察值處理號表8.38

對處理組合數(shù)據(jù)的整理黃成達(dá)編制第一步：

利用表8.36和表8.37按表8.29的形式將總變異分解為橫行間變異、直行間變異、處理組合間變異和誤差變異。得方差分析表如表8.39所示。方差分析表明處理間差異顯著。因此需要進行第二步分析。表8.39

對六個飼料組合的方差分析表變異來源自由度平方和均方F值F0.05F0.01橫行間553.33310.667直行間514.3332.867處理間535.0007.0003.962*

2.7114.103誤差2035.3331.767總變異35138.000自由度和平方和的分解及方差分析01AB互作B間A間固定模型試驗誤差處理間縱列區(qū)組間橫行區(qū)組間期望均方變異來源表

多因素拉丁方試驗資料的期望均方黃成達(dá)編制第二步：處理效應(yīng)的進一步分解利用表8.38中各處理組合之和作得AB二向表，如表8.40所示。黃成達(dá)編制黃成達(dá)編制6.335.836.832281051235.75693336A36.50783048A26.75814239A1B2B1精飼料比例精飼料號表8.40

AB二向表利用這個AB二向表將處理組合間的差異分解為因素A各水平間的變異、因素B各水平間的變異和因素AB之間的交互作用。將這些效應(yīng)的自由度和平方和插入表8.39得總的方差分析表如表8.41所示。表8.41

對六個飼料組合的總方差分析表變異來源dfSSMSF值F0.05F0.01橫行間553.33310.667直行間514.3332.867處理間535.0007.0003.962*2.7114.103A間26.5003.2501.840ns

3.4935.849B間19.0009.0005.094*

4.3518.096AB互作219.5009.7505.519*

3.4935.849誤差2035.3331.767總變異35138.000

方差分析結(jié)果表明：三種不同的精飼料(A)之間沒有顯著差異，即使用哪一種精飼料的效果都差不多；但喂養(yǎng)的飼料中，精飼料所占的比例(B)不同，其效果差異顯著。由于因素B只有兩個水平，因此無需進行多重比較就可以知道B1水平顯著優(yōu)于B2水平。分析還表明：不同的精飼料配上不同的比例，效果也不一樣。圖8.3顯示了兩因素之間的交互作用。表8.42和表8.43列出了對各處理組合的多重比較的判別臨界值和比較結(jié)果，其中：

dfe＝(t－1)(t－2)＝20表8.42

對處理組合進行比較的判斷值gSSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.0122.954.021.602.1833.104.221.682.2943.184.331.732.3553.254.401.762.3963.304.471.792.43黃成達(dá)編制5.0A2B20.55.5A3B20.51.06.0A3B10.51.01.56.5A1B10.51.01.52.0*

7.0A1B21.01.52.0*

2.5**

3.0**

8.0A2B1組合表8.43

對處理組合進行比較的結(jié)果多重比較結(jié)果表明：A2B1與A2B2、A3B2

、A3