概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章概率論的基本概念§1.1隨機試驗§1.2樣本空間、隨機事件§1.3頻率與概率§1.4等可能概型(古典概型)§1.5條件概率§1.6獨立性第一章概率論的基本概念

在我們所存在的客觀世界中，有各種各樣的現(xiàn)象。如在標準大氣壓下，水加熱到100°c就沸騰，同性電荷互相排斥，異性電荷相互吸引。再如：在相同條件下拋同一枚硬幣，其結(jié)果可能正面朝上，也可能反面朝上,并且在每次拋擲之前無法肯定拋擲的結(jié)果。我們將上述兩種現(xiàn)象分別稱為確定性現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象。引言：確定性現(xiàn)象：這類現(xiàn)象在一定條件下必然發(fā)生。隨機現(xiàn)象：

它是不可預(yù)知的，在一定條件下，可能出現(xiàn)的結(jié)果不只一個，而在試驗或觀察之前不能預(yù)知確切的結(jié)果.

經(jīng)過長期實踐人們發(fā)現(xiàn):盡管隨機現(xiàn)象出現(xiàn)的結(jié)果是隨機的,無規(guī)律的,但當大量觀察同類現(xiàn)象后,可以發(fā)現(xiàn)其確實存在某種規(guī)律性----隨即現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科；或者說是從數(shù)量化的角度來研究現(xiàn)實世界中的隨機現(xiàn)象及其規(guī)律的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科。第一章概率論的基本概念§1.1隨機試驗§1.2樣本空間、隨機事件§1.3頻率與概率§1.4等可能概型(古典概型)§1.5條件概率§1.6獨立性§1.1隨機試驗1.試驗:

對隨機現(xiàn)象的觀察。例E1:拋一枚硬幣,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.E2:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察反面出現(xiàn)的次數(shù).E4:拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).E5:記錄某城市120急救電話臺(某固定)一晝夜內(nèi)接到的呼叫次數(shù).E6:在一批燈泡中任意抽取一只,測試其壽命.2.隨機試驗：如果試驗具有如下特點：(1)可重復(fù)性：在相同條件下可重復(fù)地進行;(2)可觀察性：每次試驗的結(jié)果不止一個,但事先能明確試驗的所有可能結(jié)果;(3)不確定性：進行一次試驗之前，不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).這種試驗稱為隨機試驗。常用字母E表示.(注:后面所提到的試驗都是指隨機試驗.)

我們是通過研究隨機試驗來研究隨機現(xiàn)象的。一、樣本空間隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合.稱為E的樣本空間，記為S(或)．1.樣本空間:2.樣本點:樣本空間的元素，即E的每個可能結(jié)果，稱為樣本點．§1.2樣本空間、隨機事件例

寫出§1.1節(jié)中所列的試驗Ei的樣本空間試驗E1:拋一枚硬幣,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

S1={H,T}（H表示出現(xiàn)正面，T表示出現(xiàn)反面）S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}試驗E2:將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.

S3={0,1,2,3}試驗E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察反面出現(xiàn)的次數(shù).試驗E6:在一批燈泡中任意抽取一只,測試其壽命.

試驗E4:拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點數(shù).S4={1,2,3,4,5,6}試驗E5:記錄電話臺(某固定)一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù).S5={0,1,2,…}S6={t|t≥0}（t表示燈泡的壽命）

樣本空間是相對于某個隨機試驗而言，而其元素取決于試驗的內(nèi)容和目的．[注]

在實際工作中，對于隨機試驗，人們通常所關(guān)心的是滿足某種條件的的那些樣本點所組成的集合．例如：若規(guī)定某種燈泡的壽命（小時）小于600為次品，則在試驗E6中我們關(guān)心燈泡的壽命是否有t≥600小時．滿足這一條件的樣本點組成S的一個子集A={t|t≥600},我們稱A為試驗E6的一個隨機事件．很顯然，當且僅當子集A中的一個樣本點出現(xiàn)時，有t≥600．這時稱A事件發(fā)生.

二、隨機事件5.不可能事件:

空集不包含任何樣本點,它也作為樣本空間S的子集，它在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可能事件．1.隨機事件:

試驗E的樣本空間S的子集稱為E的隨機事件，簡稱事件．通常用字母A，B，C表示.2.事件發(fā)生:

在每次試驗中，當且僅當事件A中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱這一事件A發(fā)生．3.基本事件:

由一個樣本點組成的單點集，稱為基本事件．4.必然事件:

樣本空間S

包含所有的樣本點,它是S自身的子集,在每次試驗中它總是發(fā)生的,稱為

必然事件．二、隨機事件例1E2:拋硬幣三次,觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況.事件A1：“第一次出現(xiàn)的是T”，即

A1={THH，THT，TTH，TTT}事件A2

：“三次出現(xiàn)同一面”，即

A2={TTT，HHH}例2

試驗E:“從4件產(chǎn)品中（2件正品，2件次品）任取兩件，觀察產(chǎn)品情況”。事件

A:“兩件都是正品”

B:“至少有一件次品”三、事件間的關(guān)系與事件的運算(一)事件間的關(guān)系1.事件的包含AB:

若AB，稱事件B包含事件A，是指:

若事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生,也稱A是B的子事件．顯然，對于任何事件A有

A

S．事件的相等A=B:

若A

B

且B

A

.2.和事件A∪B:稱為事件A與B的和.其含義：當切僅當事件A

與事件B

中至少有一個發(fā)生時，事件A∪B發(fā)生.類似地,(1)-----事件A1,A2,

…，An的和事件；

(2)-----可列個事件A1,A2,

…，An,

…的和。ABSAB3.積事件:

事件A與事件B同時發(fā)生，這一事件稱為事件

A與B的積，記作A∩B

或AB.

類似地,(1)：事件A1,A2,

…,An積事件；

(2)：事件A1,A2,

…，An,

…積事件。5.互不相容(互斥)的事件:

若A∩B=，稱事件A與B是互不

相容事件，或互斥事件，指事件A與事件B不能同時發(fā)生.4.差事件:

事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，這一事件稱為事件

A與事件B的差，記作AB．6.對立事件(互逆事件):

若A∪B=S且A∩B=，則稱事件

A與B為互逆事件.又稱A與B的互為對立事件.A的對立事件記作.ABBABA

(2)對于任意事件A，顯然

AA=,A∪A=S,

A=S-A,A=A,

[注]

(1)事件之間的關(guān)系可用文氏圖表示；(4)(3)基本事件都是互不相容的;

A與B-A也是互不相容的．(二)事件的運算法則1.交換律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

．4.德.摩根律(對偶原則)

：2.結(jié)合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;

A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

．3.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

．5.對必然事件的運算法則：A∪S=S,A∩S=A

6.對不可能事件的運算法則：A∪=A,A∩=

．A∪B=A∩B,A∩B=A∪B[注]

上述各算律可推廣到有限或可列個事件的情形.例3

從大批產(chǎn)品中取產(chǎn)品檢驗，設(shè)事件Ak表示“第k次取到合格產(chǎn)品”(k=1,2,3)，用A1,A2,A3表達下列各事件:

解：(1)(2)(3)(4)(2)

B表示“三次中至少有一次取到合格產(chǎn)品”.

(3)C表示“三次中恰有兩次取到合格產(chǎn)品”.

(4)D表示“三次中最多有一次取到合格產(chǎn)品”.(1)A表示“三次都取到合格產(chǎn)品”.

對于一個隨機事件A,在一次隨機試驗中，它是否會發(fā)生，事先不能確定.但我們會問，在一次試驗中事件A發(fā)生的可能性有多大？并希望找到一個合適的數(shù)來表示事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大?。疄榇?，首先引入頻率的概念，它是通過實驗結(jié)果來說明事件發(fā)生的頻繁程度，進而引出度量事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)——概率．§1.3頻率與概率一、頻率1.定義:

若在相同的條件進行n次試驗,其中隨機事件A發(fā)生的次數(shù)為nＡ(A發(fā)生的頻數(shù))，則稱nＡ/n為事件A發(fā)生的頻率，記作，即2.性質(zhì)

(2)fn(S)=1(1)0≤fn(A)≤1(3)若A1,A2,…,An

是兩兩不相容的事件，則

由頻率的定義可知,頻率反映了一個隨機事件在大量重復(fù)試驗中發(fā)生的頻繁程度.例“拋硬幣”試驗，設(shè)A表示“拋擲一枚硬幣，其結(jié)果出現(xiàn)正面”，將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次，各做4遍的結(jié)果如下：

大量實驗證實:當試驗次數(shù)n逐漸增大時,事件A發(fā)生的頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性,逐漸穩(wěn)定于某個確定的常數(shù)p------頻率的穩(wěn)定性.頻率的穩(wěn)定性的事實說明了刻畫隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)——概率的客觀存在性.

從上面的例子可以看出，試驗次數(shù)n越大，出現(xiàn)正面的頻率越接近0.5，即頻率穩(wěn)定于1/2．經(jīng)驗表明：只要試驗是在相同的條件下進行的，則隨機事件出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定于一個固定的常數(shù)，常數(shù)是事件本身所固有的，是不隨人們的意志而改變的一種客觀屬性，它是對事件出現(xiàn)的可能性大小進行度量的客觀基礎(chǔ)．為了理論研究的需要，從頻率的穩(wěn)定性和頻率的性質(zhì)得到啟發(fā)，給出如下度量事件發(fā)生可能性大小的概率的定義.二、概率1.定義

設(shè)E

是隨機試驗,其樣本空間S.對于E的每一事件A

賦于一個實數(shù),記為P(A),稱為事件A的概率,

如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件:(1)非負性：對于每一個事件A，有P(A)0；

(2)完備性:

對于必然事件S

,

有P(S)=1；

(3)可列可加性:設(shè)A1,A2,…

是兩兩互不相容的事件,即對于則有P(A1∪A2∪…)=P(A1)+P(A2

)+

…(2)(有限可加性)

若A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件,則2.概率的性質(zhì)(1)

P()=0．(3)

設(shè)A,B是兩個事件,若A

B,則有

P(BA)=P(B)P(A);P(B)≥P(A).

(5)

(逆事件的概率)

對任一事件A，(4)

對于任一事件A，有P(A)≤1.推論:

對任意事件A,B有(6)

(加法公式)對于任意兩事件A,B

有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)P(BA)=P(B)P(AB).(減法公式)推論1:設(shè)A1,A2,A3為任意三個事件，則有：

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)P(A1A2)

P(A1A3)P(A2A3)+P(A1A2A3)推論2:

對于任意n個事件A1,A2,…An，則有：P(A1∪A2∪…∪An)=例1

小王參加“智力大沖浪”游戲,他能答出甲、乙二類問題的概率分別為0.7和0.2,兩類問題都能答出的概率為0.1.求小王解事件A,B分別表示“能答出甲,乙類問題”,由題設(shè)(1)(1)答出甲類而答不出乙類問題的概率;(2)至少有一類問題能答出的概率;(3)兩類問題都答不出的概率.(2)(3)P(A)=0.7，P(B)=0.2,P(AB)=0.1,例2

(1)已知

P(AB)=0,求P(ABC);

(2)

已知

P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(AB)=0.6,

求P(AB);

(3)

已知

P(AB)=P(AB),P(A)=p,求P(B).解:(1)因為ABCAB，由性質(zhì)3知

0P(ABC)P(AB)=0，所以P(ABC)=0(2)

P(AB)=P(AB-B)=P(AB)-P(B)=0.6-0.3=0.3

P(AB)=P(AB)=P(AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(AB)

P(B)=1-P(A)=1-p例1

設(shè)

求例2

設(shè)求：

例3

設(shè)A,B為兩個事件，如果AB=,但A,B則一下哪個等式成立：

1.定義：(1)試驗的樣本空間的元素只有有限個；

(2)試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.這種試驗稱為等可能概型或古典概型．§1.4等可能概型(古典概型)2.古典概型中事件A的概率的計算公式

設(shè)試驗E的樣本空間S={e1,e2,…,en}，且每個基本事件發(fā)生的可能性相同，若A包含k個基本事件,即則有設(shè)E是試驗，S是E的樣本空間，若

若事件A發(fā)生，即把最強的兩隊拿出，將其余18個隊分成兩組，再將兩個強隊分別分在兩組內(nèi)，故事件A

所包含的基本事件數(shù)為．例1

為了減少比賽場次，把20個球隊分成兩組，每組10個隊進行比賽，求最強的兩個隊分在不同組內(nèi)的概率．[注]要計算事件A的概率，必須清楚樣本空間所包

含的基本事件總數(shù)以及A所包含的基本事件數(shù).解

:

把20個球隊分為兩組，每組10隊，共有種分法.

所以，基本事件總數(shù)為．所以P(A)==0.526設(shè)A=“最強的兩個隊分在不同組內(nèi)”，例2

在一批n個產(chǎn)品中，有m個次品，從這批產(chǎn)品中任取

k個產(chǎn)品，求其恰有l(wèi)個(l≤m)次品的概率．解:

從n個產(chǎn)品中任取k個產(chǎn)品，共有種取法.故基本事件總數(shù)為．設(shè)A=“取出k個產(chǎn)品中恰有l(wèi)個次品”

若事件A發(fā)生，即從m個次品中取l個次品，從n-m個正品中取k-l個正品，故事件A所包含的基本事件數(shù)為

所以P(A)＝－－－超幾何分布公式例3

一袋中有10只球,其中4個紅球,6個白球,從袋中取3次,每次取一只.按兩種取法:(a)放回抽樣;(b)不放回抽樣取球，求(1)取到的3個球都是白球的概率;(2)取到的3個球中有2個紅球，1個白球的概率.=0.288解

(a)放回抽樣(b)不放回抽樣=0.3=0.216=0.167解

(1)放回抽樣：由于每次抽取的小球看后都放回袋中，所以每次都是從10個小球中抽取，由乘法原理，從10個小球中有放回地抽取3個的所有可能的取法共有種，故基本事件總數(shù)為.

若事件A發(fā)生，即3次取的小球都是白球，故事件A所含基本事件數(shù)為.所以P(A)==0.216若事件B發(fā)生，即3次取的小球中有2次取的是紅球，一次取的是白球，考慮到白球出現(xiàn)的次序，故事件B所含基本事件數(shù)為.所以P(B)==0.288(2)

不放回抽樣：第一次從10個球中取1個小球，由于不再放回，因此第二次從9個小球中抽取1個，第三次從8個小球中抽取1個，故基本事件總數(shù)為10×9×8.若事件A發(fā)生，事件A所含基本事件數(shù)為6×5×4所以P(A)==0.167若事件B發(fā)生，事件B所含基本事件數(shù)為所以P(B)==0.3例4設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,任意選取n個人(n<365)，求至少有兩人生日相同的概率．解

每個人取365天中的一天作生日，基本事件總數(shù)為．經(jīng)計算可得：

n 20 304050100

P0.4110.7060.8910.970 0.999 上表說明：當n很大時，n個人的生日各不相同的概率很小.設(shè)A=“至少有兩人生日相同”，所以=“n個人的生日各不相同”而“n個人的生日各不相同”的種數(shù)為:于是

將n只球隨機地放入N（Nn）個盒子中去，試求每個盒子至多有一只球的概率。解:把n+m個學(xué)生隨意排成一列，共有(m+n)!種排法，而事件A發(fā)生的排列：先把n個男生排成一列，共有n!

種排法．在每兩個相鄰的男生之間有一個位置，共(n-1)個位置，加上頭尾共(n+1)個位置.從這n+1個位置中任意插入m

個女生，共有種排法故事件A所包含的基本事件數(shù)為．所以

例5設(shè)有n個男生，m個女生(m≤n+1)，隨機排成一列，A=“任意兩個女生都不相鄰”，求P(A).例6

從0，1，2，3這四個數(shù)字中任取三個進行排列，求“取得的三個數(shù)字排成的數(shù)是三位數(shù)且為偶數(shù)”的概率．則A=A0+A2，由于三位數(shù)的首位數(shù)不能為零，所以解:設(shè)A表示“排列的數(shù)字是三位數(shù)且為偶數(shù)”

A0表示“排列的數(shù)字是三位數(shù)且末位為0”

A2表示“排列的數(shù)字是三位數(shù)且末位為2”

P(A0)=P(A2)=顯然，A0，A2互斥，由性質(zhì)得：

P(A)=P(A0

+A2)=P(A0)+P(A2)=又由于一個數(shù)同時能被6與8整除,就相當于能被24整除,因此,例7

在１～2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù)，問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?解:

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”，B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為由于,故得由于,故得于是所求概率為由得例8

將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(i)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(ii)3名優(yōu)秀生分配在同一班級的概率是多少?解:(i)(ii)解假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定，而各來訪者在一周內(nèi)的任一天去接待站是等可能的，那么12次接待來訪者都是在周二和周五進行的概率為P==0.0000003，即千萬分之三.例9

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次來訪接待都是在周二和周五進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.

人們在長期的實踐中總結(jié)得到的經(jīng)驗是:“概率很小的事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的”——--------實際推斷原理.

按實際推斷原理，可以推斷接待時間是有規(guī)定的．思考題:(傳統(tǒng)型彩票)

傳統(tǒng)型“10選6+1”：先從0~9號球中搖出6個基本號碼，每組搖出一個，然后從0~4號球中搖出一個特別號，構(gòu)成中獎號碼。投注者選出6個基本號碼和一個特別號碼，構(gòu)成一注，基本號碼和特別號碼都正確獲一等獎；只有基本號碼正確獲二等獎。求獲得一等獎、二等獎的概率。思考題答案:例10

將一枚均勻硬幣連續(xù)拋擲三次.(1)設(shè)事件A為“恰有一次出現(xiàn)正面”，求P(A).(2)設(shè)事件B為“至少有一次出現(xiàn)正面”，求P(B).解

(1)樣本空間所含基本事件總數(shù)為8,事件A所包含的基本事件數(shù)為3,故P(A)=3/8(2)樣本空間所含基本事件總數(shù)為8,事件B所包含的基本事件數(shù)為1,故P(B)=1-P(B)=1-1/8=7/8注本題不能用E3的樣本空間S3={0,1,2,3},因為其各個基本事件發(fā)生的可能性不同.§1.5條件概率在對概率的討論中，我們有時會碰到這樣的情況，已知某一事件A

已經(jīng)發(fā)生，要求另一事件B發(fā)生的概率,則所求的并非

P(B),而是附加了A

已發(fā)生的條件,這時所求的概率叫做條件概率，記作

P(B|A).一、條件概率引例某班30名同學(xué),其中男20名,女10名.身高1.70米以上者15名,其中男12名,女3名.任選一名學(xué)生,選出來后發(fā)現(xiàn)是個男生,問該學(xué)生的身高在1.70米以上的概率是多少？解：設(shè)事件A為“選出的是男生”，事件B為“選出的是身高1.70米以上”.顯然,P(A)=20/30.而我們要求的是在設(shè)事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率,即P(B|A).由題意，P(B|A)=12/20ABS1.定義:

設(shè)A,B是兩個隨機事件,且P(A)>0,稱

2.性質(zhì)：條件概率P(·|A)滿足概率的三個基本屬性:

由于條件概率符合概率定義的三個條件，所以前面所證明的一些概率性質(zhì)對于條件概率也同樣適用.為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.(1)對于任一事件B，有P(B|A)0(2)P(S|A)=1(3)設(shè)B1,B2,…是兩兩不相容的事件，則有例如對于任意事件B1,B2，有：

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A)對于任意事件B，有:

P(B|A)=1-P(B|A)

例1

一袋中裝有10個球，其中3個黑球，7個白球，先后兩次從袋中各取一球（不放回）.解

記A1=“第一次取出的是黑球”，A2=“第二次取出的是黑球”,

(1)由題意(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;(2)由定義而

定理(乘法定理)對于任意的事件A,B,若P(A)>0，

則

P(AB)=P(A)P(B|A)

二、乘法定理注：乘法公式可以推廣到多個事件的情形:1°設(shè)A,B,C為事件，且P(AB)>0,則有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|BA)2°設(shè)A1,A2,…An

為n個事件,且P(A1A2…An-1)>0,-----乘法公式

或P(AB)=P(B)P(A|B)

(P(B)>0)

在某些問題中，條件概率是已知的或者是比較容易求得的，在這種情況下，就可以利用乘法公式來計算積事件的概率.[注]例2

今有3個布袋,2個紅袋,1個綠袋.在2個紅袋中各裝60個紅球和40個綠球，在綠袋中裝了30紅球和50個綠球，現(xiàn)任取1袋，從中任取1球，問是紅袋中紅球的概率為多少？解設(shè)A=“取到紅袋”,B=“取到紅球”,

所求概率P(AB).顯然，P(A)=2/3,

P(B|A)=60/100=3/5,由乘法公式

P(AB)=P(A)P(B|A)=(2/3)·(3/5)=2/5.例3

設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色然后放回,并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.解:

記Ai=“第i次取到紅球”，i=1,2,3,4,則所求概率為=“第i次取到白球”，i=1,2,3,4,例4

今有1張電影票，4個人都想要，他們用抓鬮的辦法分這張票，試證明每人得電影票的概率都是1/4.證明：設(shè)第i次抓鬮的人為第i人，i=1，2，3，4

并設(shè)Ai=“第i個人抓到‘有’”，i=1，2，3，4

(1)顯然

P(A1)=1/4

(2)第2個人抓到‘有’的必要條件是第一個人抓到‘無’，

故

，所以,

有

又顯然有：，故因此(3)類似地，

故(4)同樣地，

例5

設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時打破的概率為1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率為7/10，第三次落下打破的概率為9/10，試求透鏡落下三次而未打破的概率.解:設(shè)Ai=“透鏡第i次落下打破”，i=1,2,3,4,

B=“透鏡落下三次而未打破”.故有因為另解,按題意

而是兩兩互不相容的事件,故有已知即有故得三、全概率公式和貝葉斯公式1.全概率公式定義：設(shè)S為試驗E的樣本空間,B1,B2,…,Bn為E的一組事件.若則稱B1,B2,…,Bn

為樣本空間S的一個劃分。上式稱為全概率公式.定理

設(shè)試驗E的樣本空間為S,A為E的事件,B1,B2,…Bn

為樣本空間S的一個劃分,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則[注]全概率公式是概率論的一個基本公式，有著多方面的應(yīng)用.當

P(Bi)和

P(A|Bi)比較容易計算時，可利用這個公式來計算P(A).2.貝葉斯公式定理

設(shè)試驗E的樣本空間為S,A為E的事件,B1,B2,…Bn

為樣本空間S的一個劃分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則----貝葉斯公式例6設(shè)一倉庫中有十箱同樣規(guī)格的產(chǎn)品，已知其中有五箱、三箱、兩箱依次為甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的.且甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的該種產(chǎn)品的次品率依次為1/10、1/15、1/20.從這十箱中任取一箱，再從取得的這箱中任取一件產(chǎn)品，求

(1)取得正品的概率;

(2)已知取得正品，該正品是甲廠生產(chǎn)的概率是多少？解設(shè)A=“取得的是正品”,

Bi=“該件產(chǎn)品是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的”，i=1,2,3顯然，B1∪B2∪B3=S，且B1、B2、B3互斥由已知得：P(B1)=5/10，P(B2)=3/10，P(B3)=2/10，P(A|B1)=9/10，P(A|B2)=14/15，P(A|B3)=19/20由全概公式P(A)=0.92例7

用某種方法來診斷癌癥，由于方法較陳舊，真正癌癥患者被診斷出患癌的概率為0.95，未患癌者被診斷未患癌的概率是0.90.現(xiàn)用此方法對一批患癌率為千分之四的人群進行普查，某人被診斷為患癌，求此人真正患癌的概率是多少？解

設(shè)A={此人被診斷出患癌},

B={此人真正患癌}，B={此人未患癌}由已知得P(B)=0.004，P(B)=0.996

P(A｜B)=0.95，P(A｜B)=1-0.90=0.10由貝葉斯公式得--后驗概率前驗概率稱P(Bi|A),i=1,2,3,…n

為后驗概率，它是得到了信息—A

發(fā)生,再對導(dǎo)致

A

發(fā)生的原因發(fā)生的可能性大小重新加以修正.

稱P(Bi),i=1,2,3,…n為先驗概率，它是由以往的經(jīng)驗得到的，它是事件

A

的原因.例8

由于隨機干擾,在無線電通訊中發(fā)出信號“?”,收到信號“?”,“不清”,“—”的概率分別為0.7,0.2,0.1;發(fā)出信號“—”,收到信號“?”,“不清”,“—”的概率分別為0.0,0.1,0.9.已知在發(fā)出的信號中,“?”和“—”出現(xiàn)的概率分別為0.6和0.4,試分析,當收到信號“不清”時,原發(fā)信號為“?”還是“—”的概率哪個大？解設(shè)B1=原發(fā)信號為“?”，B2=原發(fā)信號為“—”

A=收到信號“不清”，B1,B2為樣本空間的一劃分.已知可見,當收到信號“不清”時,原信號為“?”的可能性大.例9

某人忘記了電話號碼的最后一位數(shù)字，因而隨意撥最后一位數(shù)字，求(1)其不超過三次而接通電話的概率;(2)已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)，求不超過三次而接通電話的概率.練習(xí)解：(1)撥號次數(shù)不超過三次而接通電話的可能有三種,設(shè)Ai={第

i次接通電話},i=1,2,3.

A={三次內(nèi)接通電話}故顯然解法Ⅱ：(2)當已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)時，設(shè)Bi={第

i次接通電話},i=1,2,3,B={三次內(nèi)接通電話}

一般來講，條件概率P(B|A)與概率P(B)是不等的,即事件A，B中某個事件發(fā)生對另一個事件發(fā)生是有影響的.但在許多實際問題中常會遇到兩個事件中任何一個發(fā)生都不會對另一個事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響,此時P(B)=P(B|A)?！?.6獨立性

定義1

設(shè)A,B是兩事件,如果

P(AB)=P(A)P(B)

則稱事件A,B為相互獨立的隨機事件.[注]1°A、B相互獨立

P(B|A)=P(B)，P(A|B)=P(A);

2°兩事件互不相容與相互獨立是完全不同的兩個概念.若P(A)>0,P(B)>0,則A與B相互獨立和A與B互不相容不能同時成立.

若四對事件A與B、A與B、A與B

、A與B

中有一對獨立，則另外三對也獨立.

(即這四對事件或者都獨立，或者都不獨立).僅證明A與B獨立時有A與B

獨立，其余情況方法類似.在實際應(yīng)用中，對于事件的獨立性，我們往往不是根據(jù)定義來判斷，而是根據(jù)實際意義判斷兩事件是否獨立,利用事件的獨立性解決實際問題.定理證明=P(A)P(B)由于

P(AB)=P(A)-

P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]上式說明A與B

相互獨立.(A與B獨立)定義3

如果對于任意的k(k≤n),及任意的1i1<i2<…<ikn,都有定義2設(shè)A1,A2,...,An是n個事件，如果對于任意的1i,jn,有

P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)則稱這n個事件兩兩相互獨立.則稱這n個事件相互獨立.定義4

設(shè)A,B,C為三個事件，如果P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

則稱事件A,B,C相互獨立.[注]

若n個事件A1,A2,...,An

相互獨立，則

(1)A1,A2...An兩兩獨立,反之不然；

(2)A1,A2...An中任意k個事件相互獨立；

(3)A1,A2...An中任意m(1mn)個事件換成它們的對立事件，所得的n個事件仍相互獨立相互獨立.例1

設(shè)袋中有4個乒乓球，1個涂有白色，1個涂有紅色，1個涂有藍色，1個涂有白、紅、藍三種顏色.今從袋中隨機地取一個球，設(shè)事件A=“取出的球涂有白色”，B=“取出的球涂有紅色”，C=“取出的球涂有藍色”，試驗證事件A、B、C兩兩相互獨立，但不相互獨立.證明事件A、B同時發(fā)生，只能是取到的球涂有白、紅、藍三種顏色的球，因而

P(AB)=1/4,同理P(BC)=1/4,P(AC)=1/4事件A發(fā)生，只能是取到的球涂有白色的球或涂三種顏色的球，因而P(A)=2/4=1/2,同理P(B)=1/2,P(C)=1/2,即P(A)P(B)=1/4=P(AB),故事件A、B相互獨立.類似可證P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).因此A、B、C兩兩相互獨立.但是P(ABC)=1/4,

而P(A)P(B)P(C)=1/8所以,事件A、B、C并不相互獨立.例2

設(shè)某類高射炮，每門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機的概率為0.6，現(xiàn)若干門炮同時發(fā)射（每門炮發(fā)射一次，且各門炮工作是獨立的），問欲以99%的把握擊